专题04 集合的运算 （4大知识点+8大题型+强化训练）-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修一暑假班预习提升讲义

本讲义聚焦集合的运算核心知识点，系统梳理交集、并集、全集与补集的定义、性质及文氏图表示，通过运算、求参数等题型构建从基础到应用的学习支架，衔接综合提升内容。 以文氏图直观呈现集合关系培养几何直观（数学眼光），题型分类与跟踪训练提升推理能力（数学思维），容斥原理等实际问题发展应用意识（数学语言），课中辅助教学，课后助力查漏补缺。

2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题04 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1. 并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 2. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 知识点一、交集 题型01：交集的运算 【例1】已知集合，集合，则＝_______． 【例2】已知集合，，则集合_________． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则______ 2.已知集合，则______ 3.已知集合，那么集合_______ 4.已知集合，则______ 题型02：根据交集的运算结果求参数 【例3】若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【例4】设，若，则实数的值为______ 【跟踪训练】 1.已知集合，，若，则实数a的值为_____ 2.已知集合，集合，，则实数a的取值范围为_____ 3.已知集合，，若，，则满足条件的集合共有___个 4.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 知识点二、并集 题型03：并集的运算 【例5】已知集合，，，{3，，5}，则________． 、【例6】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则______ 2.已知集合，则______ 3.已知集合，则______ 4.集合，，则_____ 5.已知，，则的真子集的个数为_____ 题型04：根据并集的运算结果求参数 【例7】已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知集合，若，则实数a的取值范围为____ 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是______ 3.集合，且，实数a的值为 _____ 4.已知集合，． （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 知识点三、全集与补集 题型05：补集的运算 【例8】已知全集，若集合，则 ． 【例9】设全集，集合，则 ． 【例10】设全集，集合，若，则实数 ; 【例11】已知集合，. 若全集，求； 【跟踪训练】 1.　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则________. 2.若集合，当分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 题型06 交集、并集、补集的综合运算 【例12】已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【例13】设全集为，若的子集集合，子集，则= 【例14】若全集，集合，，则= 【例15】设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【跟踪训练】 1．若，，，则 ． 2.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 3.已知全集，集合，，求，，． 题型07：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例16】已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【跟踪训练】 1.已知全集，，，且，求的值． 2.已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为______ 知识点四、综合提升 题型08：韦恩图的应用 【例17】记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（       ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 2.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 3.已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 4.下边的Venn图中，两个椭圆区域对应集合A，B，其中，．则阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 5.设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 题型09：容斥原理的应用 【例18】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【跟踪训练】 1．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 . 2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（       ） A．70 B．75 C．80 D．85 题型10：新定义运算 【例19】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【跟踪训练】 1．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 2．已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 题型11：综合提升 【例20】设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【例21】已知集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． 【跟踪训练】 1.已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值集合． 2.已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 3.已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 4.已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 一、填空题 1. 设集合，，则_____ 2．已知集合，则 ． 3. 全集为，，，则 . 4. 集合，，若，则的值为 ． 5.已知集合，，若，则实数的值为_______ 6.设全集，，则___________ 7.设全集为，集合，，则=________. 8.已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 9.设集合，，集合，则实数的值为_____． 10.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 11．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 12.设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 二、选择题 13.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 14. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 15. 设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 16.已知集合，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 三、解答题 17.已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 18. 设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 19.已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 20.已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 21.若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上海高一数学必修一暑假班预习提升讲义 专题04 集合的运算 知识点一、交集及其性质 1.交集的定义：由集合与集合的所有公共元素组成的集合叫做与的交集，记作“”，读作“A交B”，即 2.交集的性质： ①；②，；③； ④； ⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A ∩ B的几种不同情况 （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时阴影部分A∩B既是A的真子集又是B的真子集 ； （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∩B＝A ； （ ３ ） 表示集合A与B没有公共元素的情况 ，此时A∩B＝∅． 知识点二、并集及其性质 1. 并集的定义：由所有属于集合或者属于集合的元素组成的集合叫做集合与的并集，记作“”，读作“A并B”，即 2. 并集的性质： 1　 ；②，；③； ④；⑤若，则； 3.文氏图表示：可以用文氏图直观地反映 A∪B的几种不同情况 ， 如图其中阴影部分表示A∪B． （ １ ） 表示集合A与B既有公共元素又都有非公共元素的情况 ， 此时A和B都是A∪B的真子集 （ ２ ） 表示集合A是B的子集的情况 ， 此时A∪B＝B 知识点三、全集、补集及其性质 1．全集 (1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集． (2)记法：全集通常记作U. 2．补集 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作 符号语言 ＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 U A 知识点一、交集 题型01：交集的运算 【例1】已知集合，集合，则＝_______． 【答案】 【解析】因为集合，集合， 所以． 故答案为： 【例2】已知集合，，则集合_________． 【答案】 【解析】由已知，集合，，所以集合． 故答案为：． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则______ 【解析】由已知，集合，，所以． 2.已知集合，则______ 【分析】由交集的运算法则即可求得. 【详解】由即可得. 3.已知集合，那么集合_______ 【解析】解：因为， 所以＝． 4.已知集合，则______ 【分析】由交集的定义求解即可. 【详解】因为， 故. 题型02：根据交集的运算结果求参数 【例3】若，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集运算结果可得出关于的等式，求出的值，再进行检验即可. 【详解】因为，且，则，解得， 此时，，合乎题意. 故选：B. 【例4】设，若，则实数的值为______ 【分析】根据一元二次方程解得集合，结合交集的结果，利用分类讨论思想，可得答案. 【详解】，由，则， 当时，方程无解，则； 当时，即，方程的解为，可得或，解得或. 【跟踪训练】 1.已知集合，，若，则实数a的值为_____ 【解析】因为，所以或，解得：． 2.已知集合，集合，，则实数a的取值范围为_____ 【解析】因为集合，集合，， 所以． 3.已知集合，，若，，则满足条件的集合共有___个 【分析】由集合间的基本关系求解即可. 【详解】因为集合，， 且，，所以满足， 则集合有，，，，共4个. 4.已知集合，非空集合，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合题意确定集合非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可. 【详解】由题意得，又因为， 所以，解得． 故答案为：. 知识点二、并集 题型03：并集的运算 【例5】已知集合，，，{3，，5}，则________． 【答案】 【解析】因集合，所以． 故答案为： 【例6】已知集合，，则（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】． 故选：A． 【跟踪训练】 1.已知集合，，则______ 【解析】，． 2.已知集合，则______ 【解析】依题意，，而， 所以． 3.已知集合，则______ 【解析】， 4.集合，，则_____ 【分析】根据题意先求集合B，再结合并集运算求解. 【详解】由题意可得：， 所以. 5.已知，，则的真子集的个数为_____ 【分析】确定中元素个数，后可得答案. 【详解】由题可得，其中有4个元素， 则的真子集的个数为. 题型04：根据并集的运算结果求参数 【例7】已知集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及并集的运算性质即可求得. 【详解】集合，，， 所以， 故实数的取值范围为. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知集合，若，则实数a的取值范围为____ 【解析】因为集合，且， 所以， 所以实数a的取值范围为， 2.已知集合，，若，则实数的取值范围是______ 【答案】 【分析】利用并集运算直接求得. 【详解】集合，，要使， 只需. 即实数的取值范围是. 故答案为： 3.集合，且，实数a的值为 _____ 【解析】由题设，又，故， 当时，； 当时，1或2为的解，则或． 综上，或或． 4.已知集合，． （1）当时，求A的非空真子集的个数； （2）若，求实数的取值范围． 【解析】（1）因为，，所以，A中共有7个元素，则A的非空真子集的个数为； （2）因为，所以， 因为，故，则，解得：，从而实数的取值范围为． 知识点三、全集与补集 题型05：补集的运算 【例8】已知全集，若集合，则 ． 【答案】 【分析】首先求出集合A中的不等式，然后根据补集的定义求出A的补集. 【详解】对于集合A，不等式为. 所以. 因为全集，所以集合的补集为. 故答案为：. 【例9】设全集，集合，则 ． 【答案】 【分析】先求出全集，然后可求出集合的补集 【详解】因为，， 所以， 故答案为： 【例10】设全集，集合，若，则实数 ; 【答案】 【分析】根据可得，进而求得，解得并判断是否满足集合即可. 【详解】因为，故，即，故，解得或； 当时，，满足条件； 当时，，不满足条件； 故. 故答案为： 【例11】已知集合，. 若全集，求； 【答案】或 【分析】根据补集得定义即可得解； 【详解】解：由， 得或； 【跟踪训练】 1.　(1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，{2,4,6}，＝{1,4,6}，则集合B＝________； (2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则________. 【答案】(1){2,3,5,7}　(2){x|x<－3或x＝5}　 【解析】(1)法一(定义法)：因为A＝{1,3,5,7}，，{2,4,6}，所以U＝{1,2,3,4,5,6,7}． 又{1,4,6}，所以B＝{2,3,5,7}． 法二(Venn图法)：满足题意的Venn图如图所示． 由图可知B＝{2,3,5,7}． (2)将集合U和集合A分别表示在数轴上，如图所示． 由补集的定义可知{x|x<－3或x＝5}． 2.若集合，当分别取下列集合时，求． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)或． (2)或． (3)或． 【分析】（1）（2）（3）由已知结合集合补集运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴或． （2）解：∵，， ∴或． （3）解：∵，， ∴或． 题型06 交集、并集、补集的综合运算 【例12】已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算法则计算. 【详解】由已知，，所以, 故选：B. 【例13】设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【分析】根据一元二次方程以及一元一次不等式组，可得集合，根据补集与交集的运算，可得答案. 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 【例14】若全集，集合，，则= 【答案】 【分析】首先求并集，再求补集. 【详解】，所以. 故答案为： 【例15】设全集，集合，， (1)求； (2)求． 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）集合. 因为，所以. （2）因为集合，，所以, 所以或. 【跟踪训练】 1．若，，，则 ． 【答案】 【解析】先求得集合A、B，再由集合的补集运算、交集运算可得答案. 【解析】因为，，所以， 又，所以， 故答案为：. 2.已知全集，集合，满足，，，则集合__________． 【答案】 【详解】已知，， 所以集合A中至少有2，4，6，集合B中没有2，4，6， 因为，， 所以集合A中没有5，7，9，集合B中有5，7，9， 集合A、B中没有0，1，10， 综上，集合A中没有5，7，9，1，10，集合B中没有2，4，6，1，10， 所以． 3.已知全集，集合，，求，，． 【答案】，或，． 【解析】 【分析】根据集合交集，并集，补集的定义进行求解即可． 【详解】解：因为，，， 所以或，或， ，所以或， ． 题型07：根据交集、并集、补集的混合运算的结果求参数 【例16】已知集合，，，全集． ；若，则实数b的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用交集的定义直接求解，再求出集合的补集，然后由，列不等式组可求出实数b的取值范围. 【详解】因为，，所以； 因为，所以； 因为，所以， 所以． 故答案为：；． 【跟踪训练】 1.已知全集，，，且，求的值． 【答案】． 【分析】由题意可得，2是关于的方程的一个根，得且，故．进而得到，3一定是关于的方程的一个根，求得的值，即可得到的值． 【详解】解：∵，， ∴，又， ∴2是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴，而， ∴，又， ∴3一定是关于的方程的一个根， ∴， ∴且， ∴． 2.已知全集，集合，，若，则实数的取值范围为______ 【分析】先求出集合的补集，再对集合分空集和非空集讨论，建立不等式关系，进而可以求解． 【详解】由已知可得或，又， 当时，，解得，此时满足题意； 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 知识点四、综合提升 题型08：韦恩图的应用 【例17】记全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由图知，阴影部分所表示的集合是， ∵，， ∴， 故． 故选：D 【跟踪训练】 1.设全集为U，用集合A、B、U的交、并、补集符号表图中的阴影部分 　 　． 【解答】解：阴影部分在集合A中或在集合B中，但不在A∩B中即在A∩B补集中； 故阴影部分表示的集合是∁U（A∩B）∩（A∪B）， 故答案为∁U（A∩B）∩（A∪B）． 2.已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的补集以及交集的运算，即可得答案. 【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 3.已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的定义及集合间的关系求解即可. 【详解】阴影部分表示在全集范围内属于集合不属于的集合，故图中阴影部分所表示的集合为. 故选：B. 4.下边的Venn图中，两个椭圆区域对应集合A，B，其中，．则阴影部分表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中,由此求解即可． 【详解】图中阴影部分表示的集合中的元素在集合中,但不在集合中, ，，, 所以阴影部分表示的集合为， 故选：C． 5.设全集为，集合，是的子集，其文氏图如图所示.下列选项中，能够表示该图中阴影部分的集合是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据韦恩图得出集合间关系判定选项. 【详解】图中阴影部分的集合是. 故选：B. 题型09：容斥原理的应用 【例18】已知某校高三（1）班有51名学生，春季运动会上，有17名学生参加了田赛项目，有22名学生参加了径赛项目，田赛和径赛都参加的有9名同学，则该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】C 【分析】根据进行求解. 【解析】设高三（1）班有51名学生组成的集合为，参加田赛项目的学生组成的集合为A， 参加径赛项目的学生组成的集合为， 由题意集合A有17个元素，有22个元素，中有9个元素， 其中， 所以有个元素. 所以该班学生中田赛和径赛都没有参加的人数为. 故选：C. 【跟踪训练】 1．高一班共有28名同学非常喜欢数学，有15人学习必修一，有8人学习必修二，有14人学习选修一，同时学习必修一和必修二的有3人，同时学习必修一和选修一的有3人，没有人同时学习三本书.同时学习必修二和选修一的有（    ）人，只学习必修一的有（    ）人. A．9，3 B．11，3 C．9，12 D．3，9 【答案】D 【分析】利用韦恩图法即可快速求解. 【解析】设同时学习必修二和选修一的有x人， 则，解得， 即同时学习必修二和选修一的有3人， 则只学习必修一的有（人）， 故选：D. . 2.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元1世纪左右．该书内容十分丰富，全书总结了战国、秦汉时期的数学成就．某数学兴趣小组在研究《九章算术》时，结合创新，给出下面问题：现有100人参加有奖问答，一共5道题，其中91人答对第一题，87人答对第二题，81人答对第三题，78人答对第四题，88人答对第五题，其中答对三道题以上（包括三道题）的人可以获得奖品，则获得奖品的人数至少为（       ） A．70 B．75 C．80 D．85 【答案】B 【解析】解：由题意知，一共回答了500道题，其中回答错误的题共有9＋13＋19＋22＋12＝75道． 由于答对3道题以上（包括3道题）的人可以获得奖品，即答错3道题及以上的人没有奖品， 故最多会有人没有奖品，故获得奖品的人数至少为75． 故选：B． 题型10：新定义运算 【例19】定义集合运算且称为集合A与集合B的差集；定义集合运算称为集合A与集合B的对称差，有以下4个等式：①；②；③；④，则4个等式中恒成立的是（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义、利用Venn图求集合 【分析】利用题设中的新定义，可判定①正确；利用集合运算的韦恩图法，可判定②正确、④错误；利用题设中的定义与集合的运算方法，可判定③正确. 【详解】对于①中，由，所以①正确； 对于②中，由且， 同理可得：, 则， 所以， 所以表示的集合为图（1）中阴影部分所表示的集合，如图所示， 同理，也表示图（1）中阴影部分所表示的集合， 所以，所以②正确；    对于③中，由，所以③正确； 对于④中，如图（2）所示，可得，所以④错误. 故选：B.    【跟踪训练】 1．对于集合、，定义集合运算且，给出下列三个结论：（1）；（2）；（3）若，则；则其中所有正确结论的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 【答案】D 【分析】由韦恩图分别表示集合，，，再逐一判断（1）（2）（3）即可得正确选项. 【详解】如图：若，不具有包含关系，由韦恩图分别表示集合，，， 若，具有包含关系，不妨设是的真子集， 对于（1）: 图中，，图中，所以， 故（1）正确； 对于（2）：图中，成立， 图中，，， 所以成立，故（2）正确； 对于（3）：若，则；故（3）正确； 所以其中所有正确结论的序号是（1）（2）（3）， 故选：D. 2．已知集合为非空数集，定义：， (1)若集合，直接写出集合（无需写计算过程）； (2)若集合，且，求证： (3)若集合，记为集合中的元素个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)1349 【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合S，T即可; （2）根据集合相等的概念，能证明； （3）通过假设集合，求出对应的集合S，T，通过，建立不等式关系，求出对应的值即可. 【解析】（1），， 集合，集合. （2），，且， T中也只包含4个元素，即， 剩下的元素满足， ； （3）设集合满足题意，其中， 则 ， ， ，由容斥原理，， 的最小元素为0，最大元素为，， 解得 实际上时满足题意，证明如下： 设， 则， 题意有，即， m的最小值为675，当m= 675时，集合A中元素最多， 即时满足题意 综上，的最大值为1349. 【点睛】关键点点睛：根据所给定义判断，据此得出，由关系，得出关于不等式，求出最小值即可得解. 题型11：综合提升 【例20】设，. (1)若，求实数的值； (2)若全集为，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2)且且且 【分析】（1）解出集合，根据可知是方程的两根，求出的值，然后结合检验即可得解； （2）分析可得，分两种情况讨论：，根据可求得的范围；，分析可知，、不是方程的根，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，，且， 则是方程的根， 所以，，解得或， 当时，，此时，，合乎题意； 当时，，此时，，合乎题意. 综上所述，或. （2）对于方程，， 因为全集为，，则，分以下几种情况讨论： 当时，则，可得，此时，，合乎题意； 当时，则，可得， 因为，则、都不是方程的根， 所以，， 解得且且且， 此时，或或或. 综上所述，实数的取值范围是且且且. 【例21】已知集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）代入，得出，然后即可根据交集以及并集的运算，计算得出答案； （2）分以及两种情况讨论求解，即可得出答案. 【详解】（1）当时，． 所以，， ． （2）当时，有，则； 当时， 可得，或， 解得或． 综上可得，实数m的取值范围是． 【跟踪训练】 1.已知集合，． （1）若，求； （2）若，求a的取值集合． 【解析】（1）当时，． 因为， 所以． （2）因为，所以． 当时，解得，，符合题意； 当，即时，，符合题意； 当，即时，， 则解得． 综上，a的取值集合是或． 2.已知集合，集合． (1)若，求 (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据集合包含关系列出不等式组，求出实数m的取值范围； (2)分与进行讨论，列出不等关系，求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，所以. （2），因为， 所以当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上所述实数m的取值范围是． 3.已知集合， (1)已知，求的取值范围； (2)是否存在实数，使且． 【答案】(1) (2)不存在． 【分析】（1）先求，然后结合数轴和，列出不等式组，解不等式组即可得解； （2）由（1）知的范围，从而可以得出，这与矛盾，从而得解. 【详解】（1）因为，所以或． 因为．（如图） 所以，所以．即的取值范围是． （2）由（1）知当时，，而， 所以，这与矛盾． 即这样的不存在． 4.已知全集为R，集合，集合． (1)求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合内元素的不等式，再求出交集即可； （2）由得到，然后分成是否为空集对分类讨论即可. 【详解】（1），或， 所以或， 即； （2）因为，所以， ①若，此时； ②若，此时需满足，不等式无解， 综上可知. 一、填空题 1. 设集合，，则_____ 【分析】根据集合间的运算法则直接计算. 【详解】由，， 得， 2．已知集合，则 ． 【答案】 【分析】求出和，得到答案. 【解析】由题意得，解得，故， ，故， 故， 故答案为： 3. 全集为，，，则 . 【答案】 【分析】根据集合的运算求解. 【详解】，，， ， . 故答案为：. 4. 集合，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】依题意可得，即可得到或，求出的值，再检验是否符合集合元素的互异性. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或， 当时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，满足， 所以. 故答案为： 5.已知集合，，若，则实数的值为_______ 【分析】根据元素的互异性只需，结合并集的元素即可求解． 【详解】集合，，， 因为本身含有元素，所以根据元素的互异性即可， 故或2. 6.设全集，，则___________ 【答案】 【详解】全集，， 则 7.设全集为，集合，，则=________. 【答案】 【详解】，故. 8.已知集合，．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据交集的结果直接得到参数的取值范围. 【详解】因为，且， 所以. 故答案为： 9.设集合，，集合，则实数的值为_____． 【答案】1或3或4. 【详解】由解得或，所以， 由解得或， （i）若，则，满足； （ii）若，则，因为， 所以或， 综上实数的值为1或3或4. 10.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【详解】因为，所以， 若即，则，满足题意； 若即， 因为，所以解得， 综上，实数的取值范围是， 11．若集合，，若满足的所有m的值组成的集合记为Q，则Q的真子集个数为 ． 【答案】7 【分析】根据子集关系可分类求解，进而得到，根据子集的个数公式即可求解. 【解析】由可得， 由于，所以， 当时，， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 所以,故Q的真子集个数为， 故答案为：7 12.设方程解集为A，解集为B，解集为C，且，，则_________． 【答案】 【详解】 ，即或 又 ，即或 又因为 所以且 又因为 所以或 所以只有成立， 所以是方程的根，即 故，即 所以或 当时，方程变为 所以不满足，故不符合题意舍去. 当时，方程变为 所以满足，和，满足题意. 二、选择题 13.设全集，集合，，则图中的阴影部分表示的集合为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，结合韦恩图求出集合. 【详解】全集，集合，则， ，由韦恩图得. 故选：A 14. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得集合,再根据交集定义求解． 【详解】，又， 所以， 故选：B． 15. 设是全集的两个子集，，则下列式子成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集、补集、并集、交集的知识来求得正确答案. 【详解】依题意，是全集的两个子集，， A选项，，所以A选项错误. B选项，，所以B选项错误. C选项，，所以C选项正确. D选项，，所以D选项错误. 故选：C 16.已知集合，，，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的定义域、值域化简集合，再结合集合的运算判断ABC；利用元素特征判断D. 【详解】函数中，，则， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，则，C正确； 对于D，集合的元素是数，集合的元素是有序实数对，因此，D正确. 故选：A 三、解答题 17.已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】交集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）当时，代入集合中，写出集合，再解出集合，取交集即取公共的部分即可. （2）由题意知，分为两种情况与，分别求出a的取值范围再取并集即可. 【详解】（1）当时，，，故. （2）由知，①当时，. ②当时，.综上. 18. 设集合，. (1)若，求实数的值; (2)若，求实数的范围. 【答案】（1）；(2)或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素，∴A=B，从而得到实数的值；（2）求出集合A、B的元素，利用B是A的子集，即可求出实数a的范围. 【详解】（1）∵∴A⊆B，又B中最多有两个元素， ∴A=B， ∴x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； （2）∵A={x|x2+4x=0，x∈R} ∴A={0，﹣4}， ∵B={x|x2+2（a+1）x+a2﹣1=0}，且B⊆A． 故①B=∅时，△=4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，即a＜﹣1，满足B⊆A； ②B≠∅时，当a=﹣1，此时B={0}，满足B⊆A； 当a＞﹣1时，x=0，﹣4是方程x2+2（a+1）x+a2﹣1=0的两个根， 故a=1； 综上所述a=1或a≤﹣1； 【点睛】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．要正确判断两个集合间的关系，必须对集合的相关概念有深刻的理解，善于抓住代表元素，认清集合的特征． 19.已知集合，. （1）若，求实数a的取值范围； （2）若，求实数a的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、根据集合的包含关系求参数 【解析】（1）等价于，先化简集合，再根据包含关系列不等式求解即可； （2）先求出集合的补集，再根据列不等式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 又因为集合，， 所以 即实数a的取值范围是； （2）因为， 所以， 又，且， 所以， 可得， 即实数a的取值范围是. 【点睛】易错点睛：在解答与集合交集、并集、补集有关的问题时，一定要考虑端点是否可以取到，这是一个易错点. 20.已知集合，，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2) 【分析】（1）先求解出方程的根，则集合可知，再求解出的根，则可确定出集合，根据得到，从而可求解出的可取值，则的值可求； （2）根据得到，分别考虑当为空集、单元素集、双元素集的情况，由此确定出的取值. 【详解】（1）由得或，所以， 由得或，所以， 因为，所以， 所以或，所以或； （2）因为，所以， 当时，，解得， 当时，，无解， 当时，，解得， 当时，，无解， 综上，实数m的取值范围是. 21.若集合，其中、、…、均为非空集合，，则称集合为集合的一个划分， (1)写出集合的所有不同的2划分； (2)设为有理数的一个2划分，且满足对任意、都有，则下列两种情况是否可能成立？若可能成立，请举出一个例子；若不能成立，请说明理由； ①中的元素不存在最大值，并且中的元素不存在最小值； ②中的元素存在最大值，并且中的元素存在最小值； (3)设集合，对集合的任意一个3划分，证明：存在，存在、，使得． 【答案】(1) (2)①可能成立，，②不可能成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①可以举出实例，②可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明，假设对任意，对任意，都有，结合题意推出矛盾，即可得结果. 【详解】（1）集合的所有不同的2划分为 （2）①可能成立，举例如下:; ②不可能成立，证明如下:假设②成立，不妨设中元素的最大值为中元素的最小值为，由题可知:，所以，因为为中元素的最大值，所以， 因为为中元素的最小值，所以，因为，所以， 这与矛盾，所以假设不成立，即②不可能成立； （3）由于集合中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素，设，且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为，由假设可知:， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立，所以存在，存在，使得 【点睛】方法点睛：对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $