3.4.1 圆周角定理及其推论1 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆周角定理及其推论1，通过复习圆心角概念、等腰三角形性质及三角形外角性质导入，搭建新旧知识联系的学习支架，为新知探究奠定基础。 此资料以分类讨论和转化思想为主线，通过圆周角定理证明中分圆心在角的一边、内部、外部三种情况，培养学生推理能力。结合船航行触礁判断等实际问题，发展应用意识，助力学生理解数学与现实的联系，同时达标测评与教学反思设计，提升课堂效率，便于教师优化教学。

第1课时　圆周角定理及其推论1　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　圆周角定理及其推论1 授课人 教 学 目 标 1.理解圆周角的概念,掌握圆周角定理及其推论1.认识到圆周角定理及其推论1是计算和证明与圆有关的角相等的重要定理,并能运用这些知识进行有关的计算和证明. 2.经历探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系的过程,了解并证明圆周角定理,发展合情推理和演绎推理的能力. 3.掌握圆周角定理的推论1,会熟练运用推论1解决相关问题. 教学 重点 掌握圆周角定理及其推论1. 教学 难点 在探究过程中渗透分类讨论思想和转化思想. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回答下列问题: 1.什么样的角是圆心角?请举例说明. 2.圆心角、弧、弦、弦心距之间有什么关系? 3.等腰三角形有什么性质? 4.三角形的外角有什么性质? 　　复习前面学过的圆心角的概念,为本课引入新概念——圆周角做好准备,同时复习需要用到的等腰三角形的性质和三角形外角的性质,为证明圆周角定理做好铺垫. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆周角的定义 问题:我们已经知道,顶点在圆心的角叫作圆心角,那么当角的顶点的位置发生变化时,我们能得到几种情况? 图3-4-10 处理方式:学生口答,并类比圆心角的定义,得出圆周角的定义:如图②,∠BAC的顶点在圆上,它的两边都和圆相交.像这样的角叫作圆周角. 试一试:指出图3-4-11中的圆心角和圆周角. 图3-4-11 　　本环节的设置,采用分类讨论和类比的思想方法得出圆周角的定义.问题中的“角的顶点的位置发生变化可得到几种情况”,其实是点与圆的位置关系的知识点的应用,教师在此应注意知识之间的联系,达到触类旁通的目的. 活动 二: 探究 与 应用 解:圆心角有∠AOB,∠AOC,∠BOC; 圆周角有∠BAC,∠ABC,∠ACB. 处理方式:让学生独立思考,当学生回答出正确答案后,教师总结寻找圆心角和圆周角的方法. 寻找圆心角关注的是半径,任意两条半径所夹的角就是一个圆心角,圆心角的个数由半径的条数决定. 寻找圆周角应关注两条弦与圆的交点,两条弦的交点在圆上,则这两条弦所夹的角是一个圆周角,数完一个交点后,再数另一个交点.这里要注意,因为∠OAB的边AO与圆只有一个交点,所以∠OAB严格来说不算是一个圆周角,这里有必要向学生说明一下,但以后在解题中,我们又往往会忽略这类角,因为只要把∠OAB的边AO延长与圆周相交,就会形成圆周角,所以这里要特别注意. 【探究2】 圆周角定理 画一个80°的圆心角,然后再画同弧所对的圆周角,动手画一画并思考下列问题: 问题1:你所画的圆周角与圆心角的大小有什么关系?如果改变圆心角的度数,这个关系依然成立吗? 问题2:通过量每次变化后圆心角与圆周角的度数,你有何猜想? 问题3:怎么证明你的猜想呢? 说说你的想法,并与同伴交流. 教师适时引导:考虑从特殊情况入手试一试.圆心与圆周角的位置一边经过圆心.如图3-4-12,当圆心O在圆周角∠ABC的一边BC上时,显然∠ABC=∠AOC,结论成立. 图3-4-12 (由学生口述证明过程) 证明:因为OA=OB,所以∠ABC=∠A. 因为∠AOC是△ABO的外角, 所以∠AOC=∠ABC+∠A=2∠ABC,所以∠ABC=∠AOC. 如果∠ABC的两边都不经过圆心,还有哪几种情况?上面的结论还成立吗?怎样证明?(学生互相交流、讨论,教师适时引导学生转化为特殊情况解决) 如图3-4-13①,当圆心O在圆周角∠ABC的内部时,连结BO并延长,交☉O于点D. 由前面的结果可知∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD, 所以∠ABD+∠CBD=(∠AOD+∠COD), 即∠ABC=∠AOC. 图3-4-13 　　在学习了圆周角的定义后,有必要先让学生熟练判断圆中哪些是同一条弧所对的圆周角,并掌握如何在较复杂的图形中按照一定的规律寻找所有的圆周角和圆心角,这一能力对后续学习圆周角定理及圆的相关证明题是很有必要的. 教师在教学中要注意逐一渗透.通过分类讨论思想、从特殊到一般的思想,让学生进一步体会“猜想、验证、得出结论”的探究问题的一般步骤. 活动 二: 探究 与 应用 如图②,当圆心O在圆周角∠ABC的外部时,连结BO并延长,交☉O于点D. 由前面的结果可知∠ABD=∠AOD,∠CBD=∠COD, 所以∠ABD-∠CBD=(∠AOD-∠COD),即∠ABC=∠AOC. 问题4:还会有其他情况吗?经过刚才的探讨,可以得到什么结论? 教师适时总结:这一结论称为圆周角定理. 板书:圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半. 问题5:在上述探索圆周角和圆心角的关系的过程中,我们学到了什么方法? 图3-4-14 师生活动:学生通过从对特殊位置的圆周角与圆心角之间的数量关系入手进行猜想,然后进行讨论、交流,并证明,在教师的引导下寻找解决问题的途径.教师利用计算机画图软件演示圆心与圆周角的三种不同的位置情况,配合学生的思考过程进行逐步演示分析,并给学生充足的时间思考.通过回顾圆周角定理的证明过程,体会探究过程中的数学思想方法的运用.多让学生用自己的语言表述用到的方法,然后教师再提出有效的优化建议. 【探究3】 圆周角定理的推论1 如图3-4-15,AB是☉O的直径,则半圆所对的圆周角有什么特点? 图3-4-15 师生活动:学生动手操作,作出直径AB不同方向所对的圆周角,完成后运用自己的方法进行判断.运用量角器测量或利用圆周角定理得直径AB所对的圆周角是直角. 因为AB是☉O的直径,所以半圆所对的圆心角是平角∠AOB.根据圆周角定理,半圆所对的圆周角∠C等于∠AOB的一半,即∠C=90°. 得出圆周角定理的推论:直径所对的圆周角是直角. 想一想:反过来,如图3-4-16,圆周角∠C=90°,弦AB是☉O的直径吗?为什么? 图3-4-16 师生活动:学生分组讨论,统一意见,教师参与其中,及时给予指点. 学生代表发言:弦AB是☉O的直径.连结OA,OB.因为∠C=90°,所以∠AOB=180°,所以点A,O,B共线,所以AB是☉O的一条直径. 教师重点提示:这里要分别连结OA,OB,而不是直接连结AB. 得出圆周角定理的推论:90°的圆周角所对的弦是直径. 总结运用圆周角的推论作辅助线的口诀记忆法:见直径得直角,见直角连直径. 　　通过这样的启发式提问,可提高学生的思维能力,为推理论证圆周角定理打下了良好的基础.在解决困难问题时,首先考虑其特殊情形,然后再设法解决一般问题.有意识地向学生渗透解决问题的策略以及分类、归纳等数学思想方法. 教师通过组织、点拨、引导,促进学生主动探索、积极思考、主动总结规律,充分发挥学生的主体作用. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图3-4-17所示,已知CO,CB是☉O'的弦,☉O'与x轴,y轴分别相交于点B,A.若∠COB=45°,∠OBC=75°,点A的坐标为(0,2),求☉O'的直径. 图3-4-17 [答案:4] 活动方式:此环节可以先让学生在自己的练习本上完成解答,随后选择两名学生上台板书解题过程. 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 【拓展提升】 例2　船在航行过程中,船长通过测定∠α的度数来确定是否遇到暗礁,如图3-4-18,A,B表示灯塔,暗礁分布在经过A,B两点的一个圆形区域内,上任一点C都是有触礁危险的临界点,∠ACB就是“危险角”,当船位于安全区域时,∠α与“危险角”有怎样的大小关系?为什么? 图3-4-18 [答案:∠α<∠ACB　理由略] 处理方式:先让学生独立完成,教师巡视,了解学情,然后师生共同校对答案、纠错.通过一组习题来加深学生对圆周角及其定理的理解,提高运用所学知识解决问题的能力. 　　进一步巩固所学的知识,夯实基础,并体会数学知识在实际问题中的应用,同时培养学生发现问题、解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图3-4-19,在☉O中,弦AB∥CD,若∠ABC=40°,则∠BOD的度数为(　D　) 图3-4-19 A.20° B.40° C.50° D.80° 2.如图3-4-20,A,B,C是☉O上的三点,∠CAO=25°,∠BCO=35°,则∠AOB=　120　°.  图3-4-20 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,让每名学生都能有所收益、有所提高. 活动 三: 课堂 总结 反思 3.如图3-4-21,在☉O中,直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交☉O于点D,求BC,AD和BD的长. 图3-4-21 [答案:BC=8 cm,AD=BD=5 cm] 处理方式:学生在练习本上完成后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 第1课时　圆周角定理及其推论1 圆周角定理: 圆周角定理的推论1: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在探究过程中,教师对于学生圆周角定理的学习时间需要灵活把握,根据学生的学情灵活调整,但一定照顾到练习的时间,尽量能够让学生在课堂上初步形成理解应用的意识和能力. ②[讲授效果反思] 圆周角定理的推论1是在圆周角定理的基础上的一个延伸,如果方法得当,实际授课时,该处应该是不需要花费很长时间的. ③[师生互动反思] 在探究活动中,学生的交流活动较多,对问题的思考、分析、交流做得比较充分,教师引导分析比较及时,但是在问题思考中的单独指导还要适当加强. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $