1.1.4 集合的运算（分层作业练题型）高一数学沪教版必修第一册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+素养导向”为特色，通过A/B/C组及高考链接的梯度设计，实现从集合运算基础到创新应用的知识巩固，培养数学运算、推理意识与创新思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组巩固过关|并集、交集、补集等单一运算|基础选择填空题，强化概念理解与基本运算能力| |B组能力进阶|交并补混合运算、参数求解|综合解答题，提升逻辑推理与问题转化能力| |C组思维拔高|韦恩图、新定义问题|创新题型，培养数学抽象与创新意识，衔接高考|

分层作业 1.1.4 集合的运算 参考答案 ( 题型0 1 )并集的运算 1．【答案】D 【详解】由题，，则 2．【答案】A 【详解】 已知集合，对应区间内的所有实数， ，根据并集的定义可得：. 3．【答案】B 【详解】因为， 所以，共8个元素. 4．【答案】B 【详解】由，得，解得，所以， 所以. 5．【答案】C 【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以，所以， 故选：C ( 题型0 2 )交集的运算 6．【答案】C 【详解】由，，所以. 7．【答案】B 【详解】由题意联立方程组，解得：，即. 8．【答案】D 【详解】不等式，可化为， 故， 不等式，可化为， 所以， 所以. 9．【答案】C 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 10．【答案】D 【详解】因为， 对于A，因为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误， D正确 ( 题型0 3 )根据交集或并集的运算求集合或参数 11．【答案】D 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：D. 12．【答案】B 【详解】，， 因为，，所以，，， 由，得，即，解得或， 当时，，此时不合题意； 当时，，满足题意； 综上，. 故选：B. 13．【答案】 【详解】因为，，则，则其取值范围为. 故答案为：. 14．【答案】 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 15．【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）， 则，， ，. （2），且， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 16．【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）因为集合， 所以集合的所有子集为. （2）因为，所以， 又，， 当时，无解，即集合，满足； 当时，， 由，则或，解得或； 综上，实数的取值集合. （3）因为，，， 当时，，解得； 当时，或，解得或； 综上，或. ( 题型0 4 )补集的运算 17．【答案】B 【详解】，又， 所以． 故选：B． 18．【答案】B 【详解】已知全集，，则. 故选：B 19．【答案】C 【详解】集合，， 又， ，故C正确． 故选：C． 20．【答案】D 【详解】因为，所以， 因为， 所以． 故选：D. 21．【答案】A 【详解】由可得，，则， 故选：A. ( 题型0 5 )根据补集的结果求集合或参数 22．【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 23．【答案】A 【详解】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A 24．【答案】或 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 25．【答案】4 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 26．【答案】 1 【详解】因为，则， 注意到，可得 ，解得. 故答案为：1；. ( 题型0 6 )集合的交、并、补的混合运算 27．【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：A 28．【答案】C 【详解】由题意，或，所以. 故选：C 29．【答案】D 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 30．【答案】C 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 31．【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 32．【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． ( 题型0 7 )韦恩图 33．【答案】C 【详解】由图可以直接看出阴影部分是三个集合的交集， 故选:C． 34．【答案】B 【详解】对于A,如图：若，如图所示，此时,，AC错误， 对于B, 但，而 但但 且，故，B正确， 对于D，如图：，而且，故D错误， 故选：B 35．【答案】D 【详解】集合， 表示的是直线上的点的集合，且在该直线上， 故图中阴影部分表示的集合为． 故选：D． 36．【答案】 【详解】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 37．【答案】A 【详解】由图可知，元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为. 故选：A. ( 题型0 8 )集合运算的新定义 38．【答案】B 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B 39．【答案】C 【详解】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 40．【答案】D 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 41．【答案】14 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 42．【答案】(1) 集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． (2) 集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 一、填空题 1．【答案】 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： 2．【答案】 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 3．【答案】 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 4．【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 5．【答案】15 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 6．【答案】 【详解】空：因为， 所以， 若，则， 所以， 空：若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 7．【答案】 【详解】解：已知全集，即， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 二、单选题 8．【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 9．【答案】A 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，， 故，，. 故选：A. 10．【答案】B 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 11．【答案】B 【详解】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 三、解答题 12．【答案】(1) (2)或或 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 把代入方程，解得， 当时，方程的解为或， 此时集合，符合， 所以． （2）因为， 所以， 因为非空集合合， 所以集合为或或． 13．【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 14．【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 1．【答案】 1 15 【详解】因为，， 所以 因为，所以，， 若,则,显然结合中最小的元素不小于4，此时无法满足, 所以, 因为，所以 因为 所以中必定有一个为3， 若，则，由于中所有元素之和为234，故，此方程没有整数解，故不成立， 所以，此时， 因为中所有元素之和为234，故， 因为，故当，中无正整数解， 所以 当，则，无整数解， 当，则，解得或（舍）， 所以，此时，满足题意 所以， 故答案为：；. 2．【答案】 【详解】①当中一个元素，中六个元素，则，，此时，共种； ②当中两个个元素，中五个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ③当中三个元素，中四个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ④当中四个元素时，中三个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ⑤当中五个元素时，中两个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ⑥当中六个元素时，中一个元素，则，，所以，， 则，共种. 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 故答案为：. 3．【答案】D 【详解】集合A的子集有：，{八}，{校}，{联}，{盟}，{八，校}，{八，联}，{八，盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}，{八，校，联}，{八，校，盟}，{八，联，盟}，{校，联，盟}，{八，校，联，盟}. 要满足，且的值最大，三元素子集最多有一个，不妨取{校，联，盟}，此时剩余的集合只能是{校，联，盟}的真子集，即，{校}，{联}，{盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}. 所以，的最大值为. 故选：D. 4．【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 1．【答案】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 2．【答案】B 【详解】因为，则. 3．【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 4．【答案】A 【详解】由题可得，所以 5．【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 6．【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 7．【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 8．【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.4 集合的运算 A组 巩固过关 題型01并集的运算 題型02交集的运算 題型03根据交集或并集的运算求集合或参数 題型04补集的运算 題型05根据补集的结果求集合或参数 题型06集合的交、并、补的混合运算 題型07韦恩图 题型08集合运算的新定义问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )并集的运算 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，，则 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 已知集合，对应区间内的所有实数， ，根据并集的定义可得：. 3．已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】因为， 所以，共8个元素. 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得，所以， 所以. 5．若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，无解；由，解得；由，解得，所以，所以， 故选：C ( 题型0 2 )交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，所以. 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意联立方程组，解得：，即. 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，可化为， 故， 不等式，可化为， 所以， 所以. 9．已知集合，集合，则的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题意得，集合，则． 则的真子集个数为． 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 对于A，因为，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误， D正确 ( 题型0 3 )根据交集或并集的运算求集合或参数 11．集合，，若，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D．0或或 【答案】D 【详解】由，则， 又， 当时，则，此时符合题意； 当时，即，则， 当，即，此时，，符合题意； 当，即，此时，，符合题意； 故选：D. 12．已知集合，，，若，，则（    ） A． B．4 C．或4 D．1或4 【答案】B 【详解】，， 因为，，所以，，， 由，得，即，解得或， 当时，，此时不合题意； 当时，，满足题意； 综上，. 故选：B. 13．设，集合，若，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】因为，，则，则其取值范围为. 故答案为：. 14．已知集合，，若，，则______. 【答案】 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 15．已知集合． (1)求和， (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）， 则，， ，. （2），且， 则，解得， 所以实数a的取值范围为. 16．集合，，，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值集合； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】 【详解】（1）因为集合， 所以集合的所有子集为. （2）因为，所以， 又，， 当时，无解，即集合，满足； 当时，， 由，则或，解得或； 综上，实数的取值集合. （3）因为，，， 当时，，解得； 当时，或，解得或； 综上，或. ( 题型0 4 )补集的运算 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又， 所以． 故选：B． 18．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知全集，，则. 故选：B 19．已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合，， 又， ，故C正确． 故选：C． 20．已知集合，则（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为， 所以． 故选：D. 21．已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，，则， 故选：A. ( 题型0 5 )根据补集的结果求集合或参数 22．已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由全集，且，故，从而. 23．设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 【答案】A 【详解】由以及可得； 即，所以，解得. 故选：A 24．已知全集，且，则实数的值为__________ 【答案】或 【详解】因为全集，且， 所以，得或. 故答案为：或 25．设全集，且，若，则________. 【答案】4 【详解】，故， 即1，4是方程的两根，由根与系数的关系可得. 故答案为：4 26．设集合，，，若，则____________，____________． 【答案】 1 【详解】因为，则， 注意到，可得 ，解得. 故答案为：1；. ( 题型0 6 )集合的交、并、补的混合运算 27．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 所以. 故选：A 28．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，或，所以. 故选：C 29．设集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，则. 故选：D. 30．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 且，则集合中不包含元素， 即. 故选：C 31．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为. 32．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）由题意，可得， 所以，． （2）因为，若， 所以解得，所以a的取值范围是． ( 题型0 7 )韦恩图 33．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图可以直接看出阴影部分是三个集合的交集， 故选:C． 34．对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A,如图：若，如图所示，此时,，AC错误， 对于B, 但，而 但但 且，故，B正确， 对于D，如图：，而且，故D错误， 故选：B 35．如图，全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】集合， 表示的是直线上的点的集合，且在该直线上， 故图中阴影部分表示的集合为． 故选：D． 36．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 【答案】 【详解】当时，，得，不符合； 当时，，得； 当时，，得，不符合， 故， ，， 则阴影部分表示在集合中，但不在集合中的元素构成的集合，即. 故答案为： 37．图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由图可知，元素属于但不属于， 即阴影部分对应的集合为. 故选：A. ( 题型0 8 )集合运算的新定义 38．设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】B 【详解】由题意， 所以的子集个数为， 故选：B 39．设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】根据题意，对于集合,含2个元素的子集 共10个， 其中只能取一个， 故满足条件的2个元素的集合有9个. 故选：C. 九、单选题 40．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 【答案】D 【详解】因为满足:①每个集合都恰有个元素；②， 所以一定各包含个不同数值， 集合中元素的最小值分别是1，2，3，最大值是18，13，8， 特征数的和最小，如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最小，最小值为； 当集合中元素的最小值分别是1，6，11，最大值是18，17，16时， 特征数的和最大， 如：，特征数为； ，特征数为； ，特征数为； 则最大，最大值为， 故的最大值与最小值的和为. 故选：D. 41．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 【答案】14 【详解】不妨设， ①当时，由，不满足题意； ②当时，由性质定义知： ，且， 所以m的最小值为，经检验符合题意. 故答案为：14. 42．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 【答案】(1) 集合不是“可分集合”，理由如下： 因为， 当去掉元素2时，计算知： ，，． 可见集合去掉元素2后，剩余元素组成集合不可能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合，即集合不是“可分集合”． (2) 集合是“可分集合”， 理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 因此任意去掉集合中的一个元素之后，剩余的所有元素组成集合总能分为两个交集为空集、且各自所有元素之和相等的集合． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 一、填空题 1．，，则______． 【答案】 【详解】解：因为，，得且. 所以或或或.所以 故答案为： 2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    【答案】 【详解】由Venn图可知，图中阴影部分区域表示为， ，， 或， ， 或， 故答案为：． 3．设集合 则中的元素个数为__________ 【答案】 【详解】由题集合 则中有个不同的元素， 又，可得中也有个不同的元素， 当时，，当时，, 当时，，当时，， 所以集合与有个相同元素4,17,54， 则中的元素个数为. 故答案为：. 4．已知集合．若，则实数________． 【答案】 【详解】因为，所以，因为且，集合中元素具有互异性， 所以或， 解得，此时，符合题意，故 5．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 【答案】15 【详解】依题意，，， 故，故的非空子集个数为. 故答案为：. 6．已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】空：因为， 所以， 若，则， 所以， 空：若，， 则，故的取值范围为. 故答案为：；. 7．已知全集，，，，则_____. 【答案】 【详解】解：已知全集，即， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 二、单选题 8．设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 【答案】B 【详解】则，因为 ，所以 ， 所以，解得：或. 当时，，，，不符合条件. 当时，，，，符合条件. 综上，. 9．集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，；当时，；当时，；当时，， 故，，. 故选：A. 10．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】依题意，， 由于， 所以，解得， 所以的最大值为. 11．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由集合可得或； 当时，可知，即可得，符合题意； 当时，可知，解得， 综上可得，实数的取值范围是. 故选：B 三、解答题 12．设，且． (1)求； (2)设全集，若非空集合，求集合． 【答案】(1) (2)或或 【分析】 【详解】（1）因为，所以， 把代入方程，解得， 当时，方程的解为或， 此时集合，符合， 所以． （2）因为， 所以， 因为非空集合合， 所以集合为或或． 13．已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】 【详解】（1）时，集合或， 所以， 因为集合， 所以； （2），或，，两个集合均为非空数集， 因为，所以与没有公共元素. 当，即时，，此时，不合题意； 当，即时，，解得； 综上，实数的取值范围是 14．已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在，或0 【分析】 【详解】（1）当时，集合，集合， 则，. （2）当时，集合，集合，不合题意，舍去， 当时，集合，集合， 因为，所以，又，只需， 情况①，，符合题意； 情况②，解得（1舍去），此时，符合题意， 综上可得或0. 1．已知集合，，设，且，又中所有元素之和为234，则____________，________________. 【答案】 1 15 【详解】因为，， 所以 因为，所以，， 若,则,显然结合中最小的元素不小于4，此时无法满足, 所以, 因为，所以 因为 所以中必定有一个为3， 若，则，由于中所有元素之和为234，故，此方程没有整数解，故不成立， 所以，此时， 因为中所有元素之和为234，故， 因为，故当，中无正整数解， 所以 当，则，无整数解， 当，则，解得或（舍）， 所以，此时，满足题意 所以， 故答案为：；. 2．设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 【答案】 【详解】①当中一个元素，中六个元素，则，，此时，共种； ②当中两个个元素，中五个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ③当中三个元素，中四个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ④当中四个元素时，中三个元素，则，，所以，， 所以或或或或或或或或或，共种； ⑤当中五个元素时，中两个元素，则，，所以，， 所以或或或或，共种； ⑥当中六个元素时，中一个元素，则，，所以，， 则，共种. 综上所述，满足条件的所有不同集合的个数为. 故答案为：. 3．已知集合，若集合是集合的个不同子集，且，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【详解】集合A的子集有：，{八}，{校}，{联}，{盟}，{八，校}，{八，联}，{八，盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}，{八，校，联}，{八，校，盟}，{八，联，盟}，{校，联，盟}，{八，校，联，盟}. 要满足，且的值最大，三元素子集最多有一个，不妨取{校，联，盟}，此时剩余的集合只能是{校，联，盟}的真子集，即，{校}，{联}，{盟}，{校，联}，{校，盟}，{联，盟}. 所以，的最大值为. 故选：D. 4．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由题意知， 因为，所以. 若，则， 解得； 若，则，无解； 若，则，解得； 若，则，无解. 综上，的取值范围是. （2）若恰有4个子集，则中恰有2个元素， 又，则关于的方程在内有两个相异的实根， 所以 解得 所以， 所以的取值范围是. 1．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 【答案】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 2．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，则. 3．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得,又因， 则. 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，所以 5．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 故选：D. 6．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 【答案】C 【详解】因为，所以， 中的元素个数为， 故选：C． 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，故， 故选：D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1.4 集合的运算 A组 巩固过关 題型01并集的运算 題型02交集的运算 題型03根据交集或并集的运算求集合或参数 題型04补集的运算 題型05根据补集的结果求集合或参数 题型06集合的交、并、补的混合运算 題型07韦恩图 题型08集合运算的新定义问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 题型0 1 )并集的运算 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设集合，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合，则中的元素个数是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．若集合，则（   ） A． B． C． D． ( 题型0 2 )交集的运算 6．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 8．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 9．已知集合，集合，则的真子集个数为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 3 )根据交集或并集的运算求集合或参数 11．集合，，若，则实数的值为（   ） A． B．或 C． D．0或或 12．已知集合，，，若，，则（    ） A． B．4 C．或4 D．1或4 13．设，集合，若，则的取值范围是___________． 14．已知集合，，若，，则______. 15．已知集合． (1)求和， (2)若，求实数a的取值范围． 16．集合，，，. (1)写出集合的所有子集； (2)若，求实数的取值集合； (3)若，求的取值范围. ( 题型0 4 )补集的运算 17．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 18．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 19．已知全集，集合，则（    ）． A． B． C． D． 20．已知集合，则（   ） A．或 B． C． D． 21．已知集合．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． ( 题型0 5 )根据补集的结果求集合或参数 22．已知全集，且则（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 23．设全集，集合，则的值是（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 24．已知全集，且，则实数的值为__________ 25．设全集，且，若，则________. 26．设集合，，，若，则____________，____________． ( 题型0 6 )集合的交、并、补的混合运算 27．已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 28．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 29．设集合，集合，，则（   ） A． B． C． D． 30．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 31．已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 32．已知集合，集合． (1)求和； (2)设，若，求实数a的取值范围． ( 题型0 7 )韦恩图 33．如图，是全集，是的子集，则阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 34．对于任意集合，，定义集合，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 36．如图，已知矩形表示全集，是的两个子集，若，集合，则图中阴影部分所表示的集合为__________． 37．图中阴影部分所表示的集合是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 8 )集合运算的新定义 38．设为两个实数集，定义集合，若，则的子集个数为（   ） A．15 B．16 C．31 D．32 39．设集合，都是的含有两个元素的子集，且满足：对任意的、都有，（表示两个数中的较小者），则的最大值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 40．已知集合，集合A，B，C满足：①每个集合恰有6个元素②，集合中元素最大值与最小值之和称为的特征数，记作. 则的最大值与最小值之和（       ）． A．116 B．132 C．126 D．114 41．已知集合，其中且，，若对任意的，，都有，则称集合具有性质，若集合具有性质，则的最小值为_____________. 42．对于集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合B和C，满足，，且B的所有元素之和与C的所有元素之和相等，则称集合A为“可分集合”．分别判断下列集合是否为“可分集合”，并说明理由： (1)； (2)． 一、填空题 1．，，则______． 2．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为________________．    3．设集合 则中的元素个数为__________ 4．已知集合．若，则实数________． 5．在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着许多有趣的数.定义：若一个位正整数的所有数位上数字的次方的和等于这个数本身，则称这个数是自恋数.已知所有一位正整数中的自恋数组成集合，集合，则的非空子集个数为______. 6．已知集合，若，则__________；若，则的取值范围为__________. 7．已知全集，，，，则_____. 二、单选题 8．设集合，若，则（   ） A．-3 B． C．1 D．3 9．集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 10．已知集合，若，则的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 11．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 12．设，且． (1)求； (2)设全集，若非空集合，求集合． 13．已知集合，集合或 (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围. 14．已知，集合，. (1)若，求，； (2)是否存在实数a，使得？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由. 1．已知集合，，设，且，又中所有元素之和为234，则____________，________________. 2．设有限集所含元素的个数用表示，并规定.已知集合、满足，，若，，则满足条件的所有不同集合的个数为_____. 3．已知集合，若集合是集合的个不同子集，且，则的最大值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 4．已知集合． (1)若，且，求的取值范围； (2)若恰有4个子集，且，求的取值范围． 1．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________． 2．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（     ） A． B． C． D． 4．（2026·全国二卷·高考真题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 5．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 8．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合则（   ） A． B． C． D． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $