1.1.4 集合的运算（题型专练）数学沪教版2020必修第一册

1.1.4集合的运算 题型一 交集运算 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，又， 所以， 故选：B． 2．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 3．已知集合，集合，则 . 【答案】 【详解】. 故答案为： 4．已知集合，则 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 5．已知集合，集合，则＝ ． 【答案】 【详解】. 故答案为：. 6．已知集合，集合，求 ． 【答案】 【详解】集合，集合， ∴. 故答案为：． 题型二 并集运算 1．设集合M，N满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合M，N满足，则是的子集，不一定是真子集，也不一定相等. 故选：B. 2．已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，则，，所以. 故选：C. 3．集合，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以， 故答案为： 4．已知集合，，则 ． 【答案】 【详解】因为集合，， 所以, 故答案为： 5．集合，，若，则 . 【答案】 【详解】由知， . 故答案为： 题型三 补集运算 1．已知全集，则集合 . 【答案】 【详解】由全集，故 . 故答案为： 2．已知全集，集合，则 ． 【答案】/ 【详解】根据补集的含义知. 故答案为：. 3．已知全集，集合，则 ． 【答案】 【详解】因为全集，集合， 所以. 故答案为：. 题型一 交集、并集、补集的混合运算及文氏图 1．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】图中阴影部分表示元素满足：是A中的元素，或者是B与C的公共元素 故可以表示为，也可以表示为：. 故选：B． 2．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A， ，当时，结论不成立，则A错误； 对于B, ，当时，结论不成立，则B错误； 对于C，因为，，所以， 又，所以，则，则C正确； 对于D，，当时，结论不成立，则D错误； 故选：C 3．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，, 所以， 因为全集中有m个元素，中有n个元素， 且非空，所以的元素个数为， 故选:D. 4．集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（    ） A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 【答案】B 【详解】解:由题知各有8个元素,且有6个元素, 设,且 , 则画图如下: 因为, 所以 所以集合中至少有,6个元素, 最多有,10个元素, 只需求出的子集, 在每个子集中加入6个元素,即可得集合, 所以集合的个数,即是的子集的个数个. 故选:B 5．如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    【答案】 【详解】由题意可得，. 故答案为：. 6．已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 【答案】 【详解】由题图知：阴影部分为，而或， 所以. 故答案为： 7．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    【答案】（表示不唯一，可写成） 【详解】观察韦恩图知，阴影部分是与的公共部分同与的公共部分，两部分合并在一起而得， 所以阴影所代表的集合是（也可表示为）. 故答案为： 8．集合，则 . 【答案】 【详解】∵， ∴， ∴. 故答案为： 9．设全集为，若的子集集合，子集，则= 【答案】 【详解】由，，解得或，则； 由，解得，则，可得或； 所以. 故答案为：. 10．已知全集，集合，；则 ．（结果用区间表示） 【答案】 【详解】由题可得， 则， 故答案为：. 11．若全集为的子集，且，，则 . 【答案】 【详解】，，作出韦恩图，如图所示：    则. 故答案为： 12．设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有 个 【答案】32 【详解】因为，，集合M满足 所以，则这样的集合M共有个. 故答案为： 13．已知集合，，则中元素的个数是 ． 【答案】2 【详解】集合A、B均是点集，中元素的个数即为单位圆 与直线 交点的个数，而直线经过圆的圆心，故有两个交点，即中元素个数是2个. 答案是2个. 14．已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）图中阴影部分表示集合为， 当时，，又或， 所以； （2）因为，所以， 当时，，解得. 当时，若，则有， 解得， 综上所述，实数的取值范围是或. 题型二 集合运算的应用 1．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    2．已知全集为不大于的素数．若，，，则 ， ． 【答案】 【详解】由全集是不大于的素数，得， 由，得，又，， 由此绘出韦恩图，如图所示：    由韦恩图知，，. 故答案为：； 3．设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 【答案】 【详解】因为{为小于20的非负奇数}， 因为，，且， 画出韦恩图，如图： 则 . 故答案为： 4．如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 【答案】3 【详解】因为全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素， 所以作出维恩图如图所示，则，得， 所以集合中含有的元素个数为个， 故答案为：3 5．集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据新定义可知集合M的长度为，集合N的长度为， 当集合的长度最小时，M与N应分别在区间上的左右两端， 故的长度的最小值是 故选：B. 6．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    【答案】9 【详解】由题意得，则，解得. 故答案为：9. 7．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 【答案】41 【详解】由题，只有数学不低于80分的人数为， 只有物理不低于80分的人数为， 则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为. 故答案为： 8．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 【答案】对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生分别有21人、8人. 【详解】赞成A的人数为，赞成B的人数为， 记50名学生组成的集合为U，赞成事件A的学生全体为集合M，赞成事件B的学生全体为集合N， 设对事件A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的人数为，赞成A而不赞成B的人数为，赞成B而不赞成A的人数为，作出图如下所示，    依题意可得，解得， 所以对A、B都赞成的学生有21人，都不赞成的有8人. 题型三 由集合的运算求参数 1．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，即， 全集， 由 ，即， ，，，即． 故答案为：. 2．已知集合若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以 ①若，则， ②若，则 综上 故答案为： 3．已知集合，，若，，则 . 【答案】 【详解】，因为，， 所以，即是方程的解， 所以，解得， 当时，方程的根为，此时， 满足，，符合题意， 所以. 故答案为： 4．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以或，解得． 5．已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】全集，集合，， 所以或， 所以． 集合或，且， 所以或， 解得或， 即的范围为． 故答案为：. 6．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合 . 【答案】 【详解】由，且， 得到只可能，即或， 由知，当时，， 而，则，故舍去， 则，∴，且， ∴或， ①若时，，不合题意； ②若时，此时，， 因，从而， 又，则，当时，无整数解， 当时，，所以. 故答案为：. 7．设A、B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，， ①若A⊆B，则对任意x∈R， ； ②若对任意x∈R，m+n＝1，若A＝{1，2，3}，则B为 ． 【答案】 0 {x|x≠1，x≠2，x≠3} 【详解】①∵A⊆B，则当时，m＝0，， 当x∈A时，必有x∈B，∴m＝n＝1，， 综上可得， ②对于任意x∈R，m+n＝1，则m、n的值一个为0，另一个为1，即x∈A，必有，或x∈B时，必有， 所以A、B的关系为， 又A＝{1，2，3}， 则B＝{x|x≠1，x≠2，x≠3}， 故答案为：0；{x|x≠1，x≠2，x≠3}． 8．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 若 若 综上： （2） 若则 若则 若，不符 综上： 9．已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 整理得，解得或， 因为， 当时，，满足； 当时，，满足； 故a的值为或. （2）因为，所以，又， 当时，关于x的方程没有实数根， 所以，即，解得，满足题意； 当时，若集合B中只有一个元素，则， 整理得，解得， 此时，符合题意； 若集合B中有两个元素，则， 即是方程的两根， 所以，无解， 综上，可知实数a的取值范围为. （3）因为，所以，则， 所以，即，所以. 综上，实数a的取值范围为. 10．已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）集合，， 若，则， 有，解得， 所以实数的取值范围为. （2）集合，， 若，则， 当，即时，，符合题意； 当时，有，解得， 所以实数的取值范围为. （3）集合，，若， 当，即时，，符合题意； 当时，有或，解得， 所以实数的取值范围. 1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【详解】因为，，所以或， 由，得， 关于x的方程， 当时，即时，易知，符合题意； 当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意； 当时，即时，方程 无实根， 若a=0，则B={0}，，符合题意， 若或，则，不符合题意. 所以，故. 故选：B. 【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目. 2．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 3．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①中，集合，当去掉元素时，剩余元素组成的集合为， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以①正确； 对于②，对于三元集，若去掉元素，剩余的元素组成的集合为， 把集合分成两个非空集合，可得集合，， 根据集合元素的互异性，可得，所以分成两个的集合的元素之和不相等， 所以三元集可能是“可分集合”，所以②不正确； 对于③中，集合，若去掉元素，剩余元素组成集合， 此时不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合， 所以集合不是“可分集合”，所以③不正确； 对于④中，若四元集是“可分集合”，不妨设， 若去掉，则；若去掉，则， 所以，显然与矛盾，所以集合不可能是“可分集合”； 对于⑤中，假设五元集是“可分集合”，不妨设， 则必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以或， 也必能将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集的元素之和相等， 所以有或， 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾； 由和，可得，矛盾， 所以假设不成立，所以五元集一定不是“可分集合”，所以⑤正确. 综上可得，只有①⑤正确. 故选：B. 4．已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 【答案】(1)，； (2)证明见解析 (3)1348 【详解】（1）由题意得，； （2）∵，，且， ∴集合也有四个元素，且都为非负数，∵， 又∵，∴且， ∴集合中其他元素为，，， 即， 剩下的， ∵， ∴，， 即，故； （3）设表示集合A中的元素个数， 设满足题意，其中， ∵， ∴， ∵，∴， ∵，∴， 中最小的元素为0，最大的元素为， ， ∴， ， 实际当满足题意，证明如下： 设，， 则，， 由题意得， 即，故的最小值为674． 即时，满足题意， 综上所述，集合中元素的个数为. 5．已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 【答案】(1); (2); (3)674 【详解】（1）由题意可得：，则，于是，则， 则，则，则， 所以中一定包含的元素为. （2）因为，则, 令，则,,, 因为，，，可都化为， 因为，故无解， 故为中的三个元素， 因为所有元素之和为，所以， 整理得：，即， 解得或或， 所以. （3）当，则，，，， 而无解，所以，，，均无解. 所以数集以形式出现,4个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 而数集以形式出现,3个数为一组出现，组与组之间无公共元素，, 于是数集,的元素个数分别是以4和3为最小正周期循环，且当时，， 而4和3互素，因此数集,中各组最多只能有1个公共元素， 设集合中共有个元素，满足是4的整数倍，其中有个元素在中，满足， 由同一周期内元素不相等，得这个元素在集合中归属于不同组内，则集合中有个元素，同时在内还有个元素，并满足是3的整数倍，， 显然， 解得，当时，符合条件的整数， 所以的元素个数的最大值是674个. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1.4集合的运算 题型一 交集运算 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，则 ． 3．已知集合，集合，则 . 4．已知集合，则 ． 5．已知集合，集合，则＝ ． 6．已知集合，集合，求 ． 题型二 并集运算 1．设集合M，N满足，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知则下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．集合，则 ． 4．已知集合，，则 ． 5．集合，，若，则 . 题型三 补集运算 1．已知全集，则集合 . 2．已知全集，集合，则 ． 3．已知全集，集合，则 ． 题型一 交集、并集、补集的混合运算及文氏图 1．如图表示图形阴影部分的是（    ） A． B． C． D． 2．设集合A、B、C均为非空集合，下列命题中为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（    ） A． B． C． D． 4．集合各有8个元素,有6个元素,若集合满足:,则满足条件的集合共有（    ） A．32个 B．16个 C．8个 D．4个 5．如图，已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合 ．    6．已知集合，则下图阴影部分表示的集合是 ． 7．集合A，B，C的关系如图所示：其中三个圆分别表示集合A，B，C，试用集合A，B，C的运算结果表述图中阴影所代表的集合 ．    8．集合，则 . 9．设全集为，若的子集集合，子集，则= 10．已知全集，集合，；则 ．（结果用区间表示） 11．若全集为的子集，且，，则 . 12．设集合，，集合M满足，则这样的集合M共有 个 13．已知集合，，则中元素的个数是 ． 14．已知全集为实数集，集合. (1)若，求图中阴影部分表示的集合C； (2)若，求实数的取值范围. 题型二 集合运算的应用 1．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 2．已知全集为不大于的素数．若，，，则 ， ． 3．设全集{为小于20的非负奇数}，若，，且，则 . 4．如果全集含有10个元素，都是的子集，含有2个元素，含有4个元素，含有3个元素，则含有 个元素. 5．集合，，且M、N都是集合的子集，若把叫做集合的长度，那么集合的长度的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．某社团有122名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项，得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，其余数据如图，则图中a=    7．某班在一次测验中，有36人数学成绩不低于80分，有20人物理成绩不低于80分，有15人的数学物理成绩都不低于80分，则这两科成绩中至少有一科不低于80分的人数为 . 8．向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果：赞成A的人数是全体的五分之三，其余的不赞成；赞成B的比赞成A的多3人，其余的不赞成；另外，对A，B都不赞成的学生数比对A，B都赞成的学生数的三分之一多1人．问对A，B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？ 题型三 由集合的运算求参数 1．已知全集，集合．若，则实数a的取值范围是 ． 2．已知集合若，则实数的取值范围是 . 3．已知集合，，若，，则 . 4．1881年英国数学家约翰•维恩发明了Venn图，用来直观表示集合之间的关系．全集，集合，的关系如图所示，其中区域Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a的取值范围是 ． 5．已知全集，集合或，且，则实数的取值范围为 . 6．已知，，，，，若且，，中各元素的和为256，则集合 . 7．设A、B是R中两个子集，对于x∈R，定义：，， ①若A⊆B，则对任意x∈R， ； ②若对任意x∈R，m+n＝1，若A＝{1，2，3}，则B为 ． 8．已知集合. (1)若求实数的取值范围; (2)若求实数的取值范围. 9．已知集合，集合. (1)若，求实数的值. (2)若，求实数的取值范围. (3)若，，求实数的取值范围. 10．已知集合，，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围； (3)若，求实数的取值范围. 1．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．对于集合，中每个元素均为正整数，如果去掉中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分成两个集合和，满足，且和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.以下命题中， ①不是“可分集合”； ②三元集可能是“可分集合”； ③是“可分集合”； ④四元集可能是“可分集合”； ⑤五元集一定不是“可分集合”. 真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合A为非空数集，定义，． (1)若集合，直接写出集合及； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，且，求A集合中元素个数的最大值． 5．已知非空实数集满足：若，则;若，则. (1)若，直接写出中一定包含的元素； (2)若由三个元素组成，且所有元素之和为，求； (3)若由2024个元素组成，求的元素个数的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$