专题 1.8 三角形全章复习讲义（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学三角形全章复习讲义通过知识梳理模块系统构建知识体系，以框架图呈现三角形概念、三边关系、内角和定理等8个核心知识点，按“概念-性质-判定-应用”逻辑串联，用对比表格归纳全等判定方法及易错点，清晰展现知识内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础夯实涵盖14类基础题型如三边关系取值计算、内角外角角度应用，综合培优聚焦动点全等压轴题等4类综合题型，培养推理意识与几何直观。证明题标注推理依据规范书写，尺规作图结合性质应用强化空间观念，同步检测分题型设置，助力教师精准教学，满足不同层次学生提升需求。

专题 1.8 三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】三角形的概念 1 【知识点二】三角形三边关系 2 【知识点三】三角形内角和定理与外角性质 2 【知识点四】三角形角平分线、中线、高线 2 【知识点五】定义、命题与证明 3 【知识点六】全等三角形 3 【知识点七】三角形全等的判定 3 【知识点八】线段垂直平分线与角平分线的性质 4 二.全章常考题型题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】利用三边关系求边长或取值范围 4 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 6 【题型 3】三角形中线、高线、角平分线基础计算 9 【题型 4】三角形分类辨析 12 【题型 5】区分定义、命题、公理、定理 14 【题型 6】拆分命题的条件与结论，改写 “如果… 那么…” 15 【题型 7】判断真假命题，举反例证明假命题 17 【题型 8】基础几何证明书写（规范步骤 + 标注依据） 19 【题型 9】基础判定选择（根据条件判断能否证全等） 21 【题型 10】基础证明大题 23 【题型 11】尺规作图——全等三角形 26 【题型 12】线段垂直平分线基础线段长度计算（含尺规作图） 29 【题型 13】角平分线求垂线段长度（含尺规作图） 31 【题型 14】垂直平分线 + 角平分线综合题（含尺规作图） 34 三.全章常考题型题型精析（综合培优） 38 【题型 15】全等 + 角平分线性质综合计算 38 【题型 16】全等 + 线段垂直平分线综合证明 42 【题型 17】线段垂直平分线 + 角平分线周长、角度综合大题 46 【题型 18】动点全等问题（期末必考压轴） 52 四.同步检测 60 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 60 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 66 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 72 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形三要素：边：组成三角形的三条线段；顶点：相邻两边的公共端点；内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角）。 3、三角形分类 按边分类： ； 按角分类： 【知识点二】三角形三边关系 1、三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 【要点说明】（1）已知两边长a、b（a>b），则第三边c取值范围为：a-b < c < a+b；（2）判断三条线段能否构成三角形方法：只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可。 【知识点三】三角形内角和定理与外角性质 1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于. 2、三角形的外角性质 （1）外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 （2）外角核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个与它不相邻的内角； 三角形外角和等于。 【知识点四】三角形角平分线、中线、高线 1、三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 相关结论： ①三角形有3条中线，交于一点，该点叫重心；②一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。 2、三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 相关结论： ①3 条角平分线交于一点，叫内心； ②角平分线上任意一点，到角两边的距离相等（以后学习）。 3、三角形的高 定义：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 4、（1）三角形高的位置与其形状关系：锐角三角形：三条高都在三角形内部；直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点；钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部。 （2）三条高所在直线交于一点，该点叫垂心。 【知识点五】定义、命题与证明 1、定义：能清楚规定某一名称或术语意义的句子。 2、命题：判断一件事情的语句，命题的构成：条件 + 结论，常写成 “如果… 那么…” 形式。 3、真命题：正确的命题；假命题：错误命题（举反例即可推翻）。 4、定理：通过推理证明为正确、可作为判断依据的真命题。 5、证明（1）定义：从命题条件出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论成立的过程。 （2）证明规范格式： ① 画图；② 写出已知、求证；③ 书写推理过程，每一步标注依据。 【知识点六】全等三角形 全等图形定义：能够完全重合的两个图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形，符号“”。 全等三角形对应元素：对应顶点、对应边、对应角；书写全等时，对应顶点写在对应位置。 全等三角形性质 ① 对应边相等；② 对应角相等； 推论：对应中线、对应角平分线、对应高线相等；周长、面积全部相等。 【知识点七】三角形全等的判定 1、SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； 2、SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等；（易错：两边及其中一边对角 SSA 不能判定全等） 3、ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等； 4、AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等； 5、HL（斜边直角边）：仅直角三角形专用，斜边和一条直角边对应相等。 【要点提示】（1）SSA、AAA 不能判定普通三角形全等；（2）判定时必须找准 “对应边、对应角”。 【知识点八】线段垂直平分线与角平分线的性质 线段垂直平分线（1）定义：垂直且平分一条线段的直线。（2）性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等（距离指垂线段长度）。 二.全章常考题型题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用三边关系求边长或取值范围 【例题1】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【答案】 【分析】先求出，则，再根据三角形的三边关系和为这个三角形的最大边解答即可． 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵三角形的三边分别为， ∴，即， ∴， 又∵为这个三角形的最大边， ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【答案】 【分析】先根据得，再结合三角形三边关系：两边之和大于第三边，得，即可作答． 解：， ，， 解得：， 为三角形的三边， ． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在中，，，已知第三边的长度是偶数，求的长． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系定理求出的取值范围，再结合是偶数的条件即可得到结果． 解：在中，，， 根据三角形三边关系可得：， 即， 已知第三边的长是偶数， 故的值为． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，熟练掌握三角形三边关系和绝对值的化简是解题的关键． （1）直接根据三角形的三边关系求解即可； （2）由三角形三边关系定理得到：，再化简绝对值，然后运用整式的加减运算法则化简即可． 解：（1）解：， ，即； （2）解：的三边长为， ， 原式 ． 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 【例题2】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先利用角平分线定义得到，根据三角形的外角，求出，根据高的定义和互余两角的性质求出； （2）先根据三角形中线定义得到，然后利用三角形面积公式求出的长． 解：（1）解：∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵为的边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用可得，再利用三角形外角的性质即可解得. 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴. 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【答案】 【分析】由三角形的外角和定理得，结合的内角和求出的值，从而求出的值． 解：， ， ， ， ． 【变式3】（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，平分的外角交的延长线于点D． （1）若，，求的度数是 ； （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据，，得到，，根据三角形外角性质，求解即可； （2）根据三角形外角性质，三角形内角和求解即可； 解：（1）解：，， ， ， 平分的外角， ， ； （2）解：平分的外角， ， ， ， ， ， ， ， ． 【题型 3】三角形中线、高线、角平分线基础计算 【例题3】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． （1）若是的角平分线，，，分别求和的度数． （2）若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【答案】（1），；（2）相等，见分析 【分析】（1）根据三角形内角和定理先求出，再由三角形内角和定理求解； （2）根据三角形的中线等分面积即可求解． 解：（1）解：∵是的高 ∴ ∵ ∴, ∵，是的角平分线 ∴ ∴； （2）解：和的面积相等，理由如下： ∵是的中线， ∴ ∵是的高 ∴， ∴． 【变式1】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据三角形中线的性质求出的面积，再根据面积公式求出即可． 解：∵是中线， ∴， ∵， 即， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，于点D，点E是线段上一点． （1）如图1，若平分，，，求的度数． （2）如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用垂线的定义可得，再由三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，最后根据求解即可； （2）利用三角形中线定义及三角形面积解答即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∵ ∴． ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴. 【题型 4】三角形分类辨析 【例题4】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 【答案】（1）是等边三角形；（2）的周长的最大值为19 【分析】本题考查了三角形的三边关系，非负数的性质，三角形的分类． （1）根据偶次幂的非负性可得，然后问题可求解； （2）根据三角形的三边关系可得，然后问题可求解． 解：（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵为整数， ∴当时，的周长为最大，即为． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知中，，则为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据三个内角的比例，利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，即可判断三角形的类型． 解：∵， ∴中最大角为， ∵三角形内角和为， ∴ ， ∵最大角， ∴三个内角均为锐角， ∴是锐角三角形． 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是___________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【答案】直角 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理求出即可判断. 解：在中，， ∵, ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）在中， ． （1）求三个内角的度数； （2）判断 的形状． 【答案】（1），，；（2）是直角三角形 解：（1）解：设， ， ， ， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形． 【题型 5】区分定义、命题、公理、定理 【例题5】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，同位角、内错角、同旁内角，垂线，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据定理的意义，逐一判断即可解答． 解：A、在直线上任取一点E，不是命题，所以不是定理，故A不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是同位角，是假命题，故B不符合题意； C、对顶角相等，是定理，故C符合题意； D、直线和垂直吗？不是命题，所以不是定理，故D不符合题意； 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题的定义，判断一件事情的语句叫命题，根据命题的定义逐一进行判断即可得到答案，掌握命题的定义是解题的关键． 解：、你喜欢数学吗？是疑问句，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、取线段的中点，没有作出判断，不是命题，不符合题意； 、美丽的天空，是描叙性语言，没有作出判断，不是命题； 、两直线平行，内错角相等，是命题，符合题意； 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【答案】 ②⑥/⑥② ①②⑤⑥ 【分析】此题考查了定义及命题，根据三角形内角和定理、无理数的定义和对顶角性质、两点间的距离进行判断即可解决． 解：①三角形的内角和等于，是命题，不是定义； ②无限不循环小数称为无理数，是定义，也是命题； ③你的作业做完了吗？既不是定义也不是命题； ④天空真蓝啊！既不是定义也不是命题； ⑤对顶角不相等；不是定义，是命题； ⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离，是定义，也是命题； 属于定义的是②⑥；是命题的是①②⑤⑥； 故答案为：②⑥；①②⑤⑥． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【答案】③④ 【分析】本题主要考查定义的相关知识，根据偶数、奇数、最大公约数的定义解答即可． 解：①能被2整除的整数叫作“偶数”，正确； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”，正确； ③1，3，5，7，……叫作“奇数”，故原说法不合理； ④两个数的所有公约数中最大的公约数叫作“最大公约数”，故原说法不合理； 故答案为：③④． 【题型 6】拆分命题的条件与结论，改写 “如果… 那么…” 【例题6】（2026七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）两个有理数相乘，同号得正． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）找出命题的条件和结论，进而得出答案； （2）找出命题的条件和结论，进而得出答案． 解：（1）解：如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行．条件：两条直线都平行于同一条直线，结论：这两条直线平行； （2）解：如果两个有理数同号，那么它们相乘的积为正．条件：两个有理数同号，结论：它们相乘的积为正． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题的结构组成，在命题“如果P，那么Q”中，P是条件，Q是结论，据此即可解答． 解：∵命题是“如果，那么 ”， ∴ 条件部分是， 故选A． 【变式2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 【答案】如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了命题的概念，命题是由题设和结论两部分组成，根据命题的概念作答即可． 解：把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是同旁内角，那么这两个角相等 ． 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． （1）互为相反数的两个数的和为零； （2）同旁内角互补． 【答案】（1）如果两个数互为相反数，那么它们的和为零，是真命题；（2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补．是假命题 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键． （1）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假； （2）先找出各个命题的条件和结论，再根据如果条件，那么结论，即可进行改写，再判断真假． 解：（1）解：如果两个数互为相反数，那么它们的和为零；是真命题； （2）如果两个角是同旁内角，那么它们互补；是假命题， 反例：如图，和是同旁内角， 但两直线不平行，故和不互补． 【题型 7】判断真假命题，举反例证明假命题 【例题7】（25-26七年级下·河北承德·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． （1）请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； （2）判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【答案】（1）如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等；命题的条件是：两个数的绝对值相等；结论：这两个数也相等；（2）是假命题，反例：，但 【分析】（1）根据命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论； （2）根据有关性质与定理，对命题的真假进行判断，如果是假命题，再举出反例即可． 解：（1）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等； 命题的条件是：两个数的绝对值相等； 结论：这两个数也相等． （2）解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等，是假命题， 反例：，但． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】根据“大角对大边，小角对小边”进行求解即可． 解：在一个三角形中，根据大角对大边，小角对小边可知：在中，，则有，故①是真命题； 若，则有， ∵， ∴， ∴， ∴，故②是假命题； 综上所述：①是真命题，②是假命题． 【变式2】（2026·北京石景山·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 解：当，时，满足条件， 此时，，可得，不满足， 因此，可以说明该命题是假命题． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． （1）异号两数相加和为零． （2）若，则． 【答案】（1）假命题．反例见分析；（2）假命题．反例见分析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 解：（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2）解：若，则，为假命题，，则． 【题型 8】基础几何证明书写（规范步骤 + 标注依据） 【例题8】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 已知：． 求证：． 证明：过点作的平行线， ， ，， ， ． 【分析】过点作的平行线，根据平行线的性质得到，，再根据平角的定义，即可得到三角形三个内角的和等于． 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是（   ） A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【答案】C 【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可． 解：证明：因为，（已知）， 所以，（等式的性质）； 因为（已知）， 所以（等量代换）． 所以（等量代换）． ∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④． 故选C． 【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键． 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【答案】 证明 举反例 结论 【分析】根据根据证明的概念和举反例的概念直接填空即可．． 解：要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做证明． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过举反例的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的结论的实例． 故答案为：证明；举反例；结论． 【点拨】本题主要考查了证明和举反例的概念，熟知相关知识是解题的关键． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【答案】见分析 【分析】本题考查了补角性质的证明；由等式的性质得，，即可得证． 解：已知：，，． 求证：． 证明：，（已知）， （等量代换）， （等式的性质）． （已知）， （等式的性质）， （等量代换）． 【题型 9】基础判定选择（根据条件判断能否证全等） 【例题9】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A、添加，由“”不可证，故选项A符合题意； B、添加，由“”可判定，选项B不符合题意； C、添加，由“”可证，故选项C不合题意； D、添加，可得到，由“”可证，故选项D不合题意． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 解：已知，， ，即， A选项，当时，； B选项，当时，不能判定； C选项，当时，； D选项，当时，． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【答案】①③ 【分析】根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 解：∵， ∴，即， ①当时， 在和中， ， ∴； ②当时，不能判断； ③当时， 在和中， ， ∴； ④当，而，所以与不是对应角，所以不能判断． 综上所述，能使的条件有①③． 【点拨】注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．根据题目给出的条件，可以用、、证明，所以补充的条件不唯一，写出一个即可． 解：∵，． ∴当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断； 当添加时，根据“”可判断；等等． 故答案为：（答案不唯一）． 【题型 10】基础证明大题 【例题10】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． （1）由可证明 （2）由（1）可得，即可得出，即可得出结论． 解：（1）证明：在和中 ，，， ∴． （2）证明：如图， 由（1）知， 在和中， ，，， ． 【变式1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：． 【分析】由得，证明，可得． 【答案】证明：， ，即， 在和 和 中， ， ， ． 【变式2】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，．求证：． 【答案】见分析 【分析】根据三角形外角的性质求出，证明，可知． 解：证明：，， ． ，， ， ． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2） 【分析】（1）根据平行线的性质得，再根据即可证得结论； （2）结合（1）利用线段的和差即可解决问题． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， 即， ∴， ∵，， ∴． 【题型 11】尺规作图——全等三角形 【例题11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见分析 【分析】在的上方作，在射线上截取线段，使得，在射线上截取线段，使得，连接，即为所求． 解：如图，即为所求． 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查作图—复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即． 故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，作，使与全等且不重合，则点C的坐标为______________________________． 【答案】或或 【分析】本题考查了利用全等三角形的判定与性质作全等三角形，点的坐标，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．根据全等三角形的性质和已知点的坐标画出图形，即可得出答案． 解：如图所示， 有三个点符合， 点，， ，， 与全等， ，， ，，． 故答案为：或或． 【变式3】（2024·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【答案】（1）；（2）④． 【分析】（1）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 解：（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 【点拨】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 【题型 12】线段垂直平分线基础线段长度计算（含尺规作图） 【例题12】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，等量代换证明即可； （2）根据线段垂直平分线的性质，三角形的周长，解答即可． 解：（1）证明：是的垂直平分线， ， ， ； （2）解：根据题意，得， ， ∵的周长为， ， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， 故的周长为． 【变式1】（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为10，得出，从而求出的长． 解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， ． 【变式2】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【答案】22 【分析】由作图可得，垂直平分，得到，然后等量代换即可得到的周长． 解：由作图可得，垂直平分， ， 的周长为． 【变式3】（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点． （1）尺规作图：作，交于点D，连接； （2）在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据垂线段的作法作图即可； （2）根据题意得出是线段的垂直平分线，确定，再由三角形的周长进行等量代换求解即可． 解：（1）略 （2）解：E是的中点，， 是线段的垂直平分线， ． ， ． 的周长为13， ． 的周长为． 【题型 13】角平分线求垂线段长度（含尺规作图） 【例题13】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 【答案】 【分析】过点D作于G，作于H，利用角平分线性质可得，再利用三角形面积可得，再根据计算，即可求得答案． 解：如图，过点D作于G，作于H， ∵平分， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 解：∵平分，，， ∴． 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【答案】 【分析】过作 于点 ，由角平分线性质可得，然后代入即可求出 的面积，掌握知识点的应用是解题的关键． 解：如图，过作 于点 ， ∵ 是 的平分线，， ∴， ∴ 的面积为 【变式3】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】（1）由平角的定义可求解，再利用三角形的内角和定理可求解，即可求解； （2）过点作于点，作于点，根据角平分线的性质可证得，，从而得到，即可证得． 解：（1）解：， ∴， ， ， ； （2）证明：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又∵点在的内部， ∴平分． 【题型 14】垂直平分线 + 角平分线综合题（含尺规作图） 【例题14】（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 （1）如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． （2）如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． （3）如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【答案】（1）；（2）7；（3）证明：如图，连接． 在和中， ， ． 又，， 【分析】（1）根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得，然后求出，再求出梯形的面积即为阴影部分的面积． （2）根据垂直平分线的性质可得，进而根据即可求解． （3）连接，证明，得到，再利用角平分线的性质得到． 解：（1）解：把向下平移至， ，， ， ， 阴影部分面积梯形的面积，． （2）垂直平分 ， ． （3）略 【变式1】（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】由题可知，设交于，可证，得到，则是的垂直平分线，进而得到，再根据边的关系计算周长即可． 解：由题可知，设交于， ， 是的角平分线， ，又， ， ， 是的垂直平分线， ， 又，，， , 则的周长． 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 【答案】1 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，线段垂直平分线平分线段是解题的关键． 先由垂直平分线的性质求出的长度，再利用角平分线的性质，得到点到直线的距离等于． 解：过点作 于点 ∵是 的垂直平分线，且 ∴是的中点， ∵，即 ∴点到直线的距离为 ∵平分 ∴点到直线 的距离等于点到直线的距离 ∴点到直线的距离为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏中卫·阶段检测）学校后勤组打算在所示的校园角区域，新建一个便民文具采购站．已知采购站到活动区边缘、两边的距离必须相等，这样才能方便两侧区域的学生前来购买；同时，采购站到线段所示的旧快递柜与旧饮水站的距离相等，以此实现新旧设施的资源统筹调配．请你用尺规作图的方法，在内部找出这个满足要求的采购站选址点P． 【答案】见分析 【分析】先画线段的垂直平分线，以、为圆心，大于为半径画弧交于点、，作直线，再画的角平分线，以为圆心，任意长为半径画弧，与、分别交于点、，然后以、为圆心，大于为半径画弧交于点，作射线，与的交点即为点P． 解：如图，点P即为所求． 三.全章常考题型题型精析（综合培优） 【题型 15】全等 + 角平分线性质综合计算 【例题15】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 解：（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 【变式1】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】在上截取线段，作，垂足为，容易证明，则．由垂线段最短可得，点、、都在垂线段上时，最小，利用三角形的面积公式求出的值即可． 解：如图，在上截取线段，作，垂足为， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由垂线段最短可知，， ∴当点、、都在垂线段上时，最小，即最小， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段和最值问题，三角形的面积公式，掌握好相关知识是关键． 【变式3】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【答案】（1） （2）证明：是的平分线， ． 在和中 ． ． 【分析】（1）以点B为圆心，任意长为半径作弧，与、相交，分别以交点为圆心，大于两个交点之间距离的一半为半径作弧，交于一点，过点B和两弧的交点作射线，交于点E； （2）结合角平分线的定义，可得，证明，即可证得结论； 解：（1）略 （2）略 【题型 16】全等 + 线段垂直平分线综合证明 【例题16】（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． （1）求证：； （2）若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 解：（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用角平分线的定义得，再由垂直平分线性质推出，，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴，，且． 在和中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴四边形的周长为． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 【答案】3 【分析】连接，证明，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解． 解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， ∴． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 解：（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型 17】线段垂直平分线 + 角平分线周长、角度综合大题 【例题17】（2026·山东青岛·模拟预测）尺规作图： 已知点为内部一点，求作直线，使得过点，交、于点、且． 【答案】作的角平分线； 以点为圆心，任意长为半径画弧交于点，， 以点，为圆心，以大于为半径画弧交于点，则垂直线段 连接并延长交于点，交于点， 为的角平分线，， 垂直平分， ； 【分析】先作角平分线，过作的垂线，利用角平分、直角、公共边证三角形全等，得． 解：设交于点， 平分， ， ∵， ， 在和中： ， ， ，且过点，满足要求． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，延长交的延长线于点，证明，可得，为中点，进而求出的长；根据三角形中线性质可知，当时面积最大，从而求解． 解：由作图可知平分，延长交的延长线于点， 平分，， ∴， ∵， ∴， ，为的中点， ， ，即， 为的中点， ， 在中，，， 当时，的面积最大，最大值为， 的最大值为． 【变式2】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【答案】 12 8 【分析】①，则，，求得，设，则，利用四边形的面积为16，即可求解； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得，证明，得到，，推出当A，B，Q共线时，最小，即最小，再证明，求得与面积相等，据此求解即可． 解：①∵对角线平分， ∴点到和的距离相等， 设这个距离为，再设，则，， ∴，， ∴， 设，则， ∵四边形的面积为16，∴， 解得， ∴； ②延长至点P，使得，连接，过P作平行，并且使得， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴当A，B，Q共线时，最小，即最小， ∵平行， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与面积相等， ∴的面积为． 【变式3】（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，是的角平分线，延长到点E，使，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）在的下方作，，如图2所示．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见分析；（2），证明见分析 【分析】（1）根据题干条件，容易证明，则，结合角平分线的性质，可证明； （2）过点作的平行线，交的延长线于点，通过平行线的性质和角平分线的性质可证明，．结合题干条件，容易证明，从而推出． 解：（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：结论：， 证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 【题型 18】动点全等问题（期末必考压轴） 【例题20】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见分析；（2）；证明见分析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 解：（1）证明：和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【答案】/127度 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的性质和判定、垂线段最短及三角形的内角和定理，确定使最小时点P的位置是解题的关键． 在上截取，连接，证明得出，从而证明当点A、P、E在同一直线上，且时， 的值最小，再根据三角形的内角和即可求出结果． 解：在上截取，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ∴当点A、P、E在同一直线上，且，的值最小，即的值最小， ∴当点A、P、E在同一直线上，且时，， ， ， ， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在等边中，线段为边上的中线，，且在下方，点分别是直线、射线上的动点，且点D不与点A重合，点E不与点B重合，． （1）求的度数； （2）若动点D在线段上时，求证：是等边三角形； （3）当动点D在线段延长线上运动时，试在备用图中画出的示意图，并给出一个与有关的数学结论． 【答案】（1）；（2）证明见分析；（3）图见分析，，理由见分析 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质,熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键. （1）由等边三角形的性质得,再根据即可求解； （2）先证明,得,再证，即可证明结论成立； （3）根据题意画出图形，此时,可证得,又可得，从而有是等边三角形得. 解：（1）解：是等边三角形， ， ， ； （2）证明：， 线段为边上的中线， ，， ， 在和中， ， ， 是等边三角形； （3）动点在线段延长线上运动时，的示意图如下图， 结论：是等边三角形； ． 此时，有数学结论：，理由如下： ， 线段为边上的中线， ， ∴∠CBE=∠CAD， 在和中， ， ， ， 是等边三角形； ． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定能否组成三角形时，只需验证较小两边的和是否大于最长边，满足条件即可构成三角形，反之不能． 解：∵ ，不满足三边关系，∴选项A不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项B不能摆成三角形； ∵ ，不满足三边关系，∴选项C不能摆成三角形； ∵ ，满足三角形三边关系，∴选项D能摆成三角形． 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 【答案】C 【分析】利用三角形中线的性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，先由是的中线求出的面积，再由是的中线求出的面积． 解：∵为的中线，， ∴， ∵为的中线， ∴． 3．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的画法知，过点B作边上的高，垂足为E，其中线段是△ABC的高． 解：由图可得，线段是△ABC的高的图是D选项． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 【答案】D 【分析】先将命题改写为“如果那么”的形式，明确题设与结论，再结合平行线的性质逐项判断即可． 解：将命题“同位角相等”改写为“如果两个角是同位角，那么这两个角相等”由此可得题设为“两个角是同位角”，结论为“这两个角相等” ∵只有两直线平行时，同位角才相等，原命题未限定平行条件，因此原命题是假命题， 又∵定理是经过证明的真命题，原命题为假命题，因此它不是定理，再逐项判断选项： 、题设应为两个角是同位角，本选项错误； 、结论应为“这两个角相等”，本选项错误； 、原命题是假命题，本选项错误； 、原命题是假命题，因此不是定理，本选项正确． 5．（2026·河南·模拟预测）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行的性质得到，再由三角形外角的性质运算求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴． 6．（18-19八年级上·河北石家庄·期末）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【答案】C 【分析】本题考查了常见的基本作图，熟练掌握基本作图是解题的关键．由图可知已知线段，，，由此即可判断解答． 解：由图可知：已知线段，，， 故选：C． 7．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐一求出各选项的隐含条件，进而判断即可． 解：A．根据等腰三角形的定义可知两底角均为，则顶角为，根据可证明和题干图全等； B．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； C．根据三角形内角和可知第三个角为，可知是等腰三角形，且腰长为6，根据可证明和题干图全等； D．根据三角形内角和可知顶角为，但不知道腰长数据，无法证明全等． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 解：已知，， ，即， A选项，当时，， B选项，当时，不能判定， C选项，当时，， D选项，当时，． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；作出辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 在上截取，连接，易证，，由，得出，由证得，得出，，推出，求出，即可得出结果． 解：在上截取，连接，如图所示： ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．证明，再逐项进行判断即可． 解：∵点E是的中点， ∴， ∵，， ∴，故②正确， ∴， ∴；故①正确； ∵． ∴．故③正确； 无法证明，故④不正确， 故选：A （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 【答案】 【分析】设边上的高为，根据“三角形的中线平分三角形的面积”求出，再根据可得答案． 解：设边上的高为， ∵， 分别是 ， 的中点，，， ∴是的边上的中线，是的边上的中线， ∴， ∴，即， 解得：， 即边上的高为． 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理的应用由等边三角形的性质证明，，再证明，，可得，再利用角的和差，从而可得答案. 解：∵是等边三角形， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，再求出结果即可． 解：∵在和中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识．作交延长线于点，证明得到，根据得到，即可求出． 解：如图，作交延长线于点． ∵，，， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴（负值已舍）． 故答案为：． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 【答案】7 【分析】根据垂直平分线的性质得到，，因此将的周长转化为即可求解． 解：∵、分别是边、的垂直平分线， ∴，， ∴ ． 16．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________． 【答案】28 【分析】根据角平分线的性质定理，推出点到的距离，再根据三角形的面积公式进行求解即可. 解：∵的两个外角的平分线，相交于点， ∴点到的距离等于点到的距离，点到的距离等于点到的距离， ∴点到的距离等于点到的距离， ∵点到的距离为7， ∴点到的距离为7， ∵， ∴的面积为. 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】由两个三角形全等的判定定理，结合已知条件添加一个条件即可． 解：添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ； 添加时， ，， ， 在和中， ． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． 【答案】240000 【分析】线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，，由角平分线的定义证得，进而证得，得，可得当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为，再根据等边三角形的判定与性质求解即可． 解：线段绕点C逆时针旋转得到线段，连接、，则，， ∵，， ∴，， ， ∵平分， ， ， 又， ∴， ， ， ∴当点A、F、三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，， 是等边三角形， ， ∵步道建设成本为每米400元， ∴这两条步道总建设费用的最小值为元， 故答案为：240000． 【点拨】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，，，，求证：． 【答案】证明：， ， ． ， ． 在和中， ， ， 。 【分析】先证明，，再证明，即可证明． 解：略 20．（本小题满分8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． （1）试说明． （2）若，，求 的长． 【答案】（1）证明：∵ 是 的中线， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴； （2） 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 解：（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． （1）若，的周长为9，求的周长； （2）若，求的度数． 【答案】（1）25；（2） 【分析】（1）由垂直平分线的性质可得，，据此即可求解； （2）证得，根据即可求解． 解：（1）解：是线段的垂直平分线， ， ， 的周长为， 的周长为； （2）解：在和中， ，， ， ， ， ． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·期末）在中，，分别是与的平分线． （1）如图（1），若，，求证：； （2）如图（2），若将（1）中的条件“”去掉，其他条件不变，则（1）中的结论是否成立？并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2）结论成立，理由见分析 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，核心解题思路是截长补短法的运用． （1）在等边三角形背景下，利用角平分线的性质结合等边三角形三边相等、三角均为的特点，可直接推导出线段间的等量关系； （2）当去掉“”的条件后，通过在上截取构造全等三角形，先证明，再证明，从而将、转化到上，最终验证结论依然成立． 解：（1）证明：，， 是等边三角形， ， ，分别平分，， ，分别是，的中点， ，， ； （2）解：结论成立．理由如下： 如图，设交于点，在上取一点，使得，连接． ， ， ，分别平分，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见分析；（2）50 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出． ②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过A作交延长线于G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】[问题背景]（1）见分析；[变式探究]（2），，理由见分析；[拓展应用]（3），理由见分析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． [问题背景]（1）根据等腰三角形的性质可得，运用边角边即可求证； [变式探究]（2）根据等腰三角形的性质可证，得到，，由，得到，由此即可求解； [拓展应用]（3）如图3，延长至，使，连接，可得是等边三角形，再证明，，由此即可求解． 解：[问题背景] （1）证明：， ， ， 在和中， ， ， [变式探究] （2）解：，， 和是等腰三角形，，，， ∴，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ； [拓展应用] （3）解：， 理由：如图3，延长至，使，连接， ， 是等边三角形， ，， ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.8 三角形全章复习讲义（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 2 【知识点一】三角形的概念 2 【知识点二】三角形三边关系 2 【知识点三】三角形内角和定理与外角性质 2 【知识点四】三角形角平分线、中线、高线 3 【知识点五】定义、命题与证明 3 【知识点六】全等三角形 4 【知识点七】三角形全等的判定 4 【知识点八】线段垂直平分线与角平分线的性质 4 二.全章常考题型题型精析（基础夯实） 4 【题型 1】利用三边关系求边长或取值范围 4 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 5 【题型 3】三角形中线、高线、角平分线基础计算 6 【题型 4】三角形分类辨析 7 【题型 5】区分定义、命题、公理、定理 7 【题型 6】拆分命题的条件与结论，改写 “如果… 那么…” 8 【题型 7】判断真假命题，举反例证明假命题 9 【题型 8】基础几何证明书写（规范步骤 + 标注依据） 9 【题型 9】基础判定选择（根据条件判断能否证全等） 10 【题型 10】基础证明大题 11 【题型 11】尺规作图——全等三角形 12 【题型 12】线段垂直平分线基础线段长度计算（含尺规作图） 13 【题型 13】角平分线求垂线段长度（含尺规作图） 15 【题型 14】垂直平分线 + 角平分线综合题（含尺规作图） 15 三.全章常考题型题型精析（综合培优） 17 【题型 15】全等 + 角平分线性质综合计算 17 【题型 16】全等 + 线段垂直平分线综合证明 18 【题型 17】线段垂直平分线 + 角平分线周长、角度综合大题 19 【题型 18】动点全等问题（期末必考压轴） 20 四.同步检测 22 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 22 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 24 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 26 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】三角形的概念 1、三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的封闭图形叫做三角形。 2、三角形三要素：边：组成三角形的三条线段；顶点：相邻两边的公共端点；内角：相邻两边组成的角（简称三角形的角）。 3、三角形分类 按边分类： ； 按角分类： 【知识点二】三角形三边关系 1、三角形三边关系 三角形两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。 【要点说明】（1）已知两边长a、b（a>b），则第三边c取值范围为：a-b < c < a+b；（2）判断三条线段能否构成三角形方法：只需验证较短两条线段之和是否大于最长线段即可。 【知识点三】三角形内角和定理与外角性质 1、三角形内角和定理：三角形三个内角和等于. 2、三角形的外角性质 （1）外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 （2）外角核心性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；外角大于任意一个与它不相邻的内角； 三角形外角和等于。 【知识点四】三角形角平分线、中线、高线 1、三角形的中线 定义：连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。 相关结论： ①三角形有3条中线，交于一点，该点叫重心；②一条中线把三角形分成面积相等的两个小三角形。 2、三角形的角平分线 定义：三角形一个内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段。 相关结论： ①3 条角平分线交于一点，叫内心； ②角平分线上任意一点，到角两边的距离相等（以后学习）。 3、三角形的高 定义：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段。 4、（1）三角形高的位置与其形状关系：锐角三角形：三条高都在三角形内部；直角三角形：两条直角边互为高，第三条高在内部，三条高交点为直角顶点；钝角三角形：钝角两条边上的高在三角形外部，一条高在内部。 （2）三条高所在直线交于一点，该点叫垂心。 【知识点五】定义、命题与证明 1、定义：能清楚规定某一名称或术语意义的句子。 2、命题：判断一件事情的语句，命题的构成：条件 + 结论，常写成 “如果… 那么…” 形式。 3、真命题：正确的命题；假命题：错误命题（举反例即可推翻）。 4、定理：通过推理证明为正确、可作为判断依据的真命题。 5、证明（1）定义：从命题条件出发，依据定义、公理、定理，一步步推导出结论成立的过程。 （2）证明规范格式： ① 画图；② 写出已知、求证；③ 书写推理过程，每一步标注依据。 【知识点六】全等三角形 全等图形定义：能够完全重合的两个图形；全等三角形：能够完全重合的两个三角形，符号“”。 全等三角形对应元素：对应顶点、对应边、对应角；书写全等时，对应顶点写在对应位置。 全等三角形性质 ① 对应边相等；② 对应角相等； 推论：对应中线、对应角平分线、对应高线相等；周长、面积全部相等。 【知识点七】三角形全等的判定 1、SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等； 2、SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等；（易错：两边及其中一边对角 SSA 不能判定全等） 3、ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等； 4、AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等； 5、HL（斜边直角边）：仅直角三角形专用，斜边和一条直角边对应相等。 【要点提示】（1）SSA、AAA 不能判定普通三角形全等；（2）判定时必须找准 “对应边、对应角”。 【知识点八】线段垂直平分线与角平分线的性质 线段垂直平分线（1）定义：垂直且平分一条线段的直线。（2）性质定理：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。 线段垂直平分线性质定理：角平分线上的点，到角两边的距离相等（距离指垂线段长度）。 二.全章常考题型题型精析（基础夯实） 【题型 1】利用三边关系求边长或取值范围 【例题1】（25-26八年级下·四川广元·期中）已知三角形的三边分别为a、b、c，其中a、b两边满足，求这个三角形的最大边c的取值范围． 【变式1】（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）若、、为三角形的三边，且、满足，则第三边的取值范围是______． 【变式2】（25-26七年级下·全国·课后作业）在中，，，已知第三边的长度是偶数，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知的三边长为， （1）若，求边长的取值范围； （2）化简． 【题型 2】三角形内角、外角角度计算 【例题2】（23-24八年级上·云南昆明·期中）如图，在中，，分别为的边上的中线和高，为的角平分线． （1）若，，求的大小； （2）若的面积为，，求的长． 【变式1】（2026·陕西西安·模拟预测）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点在同一条直线上，，，．当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在中，点在上，连接．根据图中标出的度数可知____． 【变式3】（2024八年级上·四川绵阳·专题练习）如图，平分的外角交的延长线于点D． （1）若，，求的度数是 ； （2）若，求的度数（用含的式子表示）． 【题型 3】三角形中线、高线、角平分线基础计算 【例题3】（25-26七年级下·贵州贵阳·期中）如图，中，已知是的高，点E是边上一点． （1）若是的角平分线，，，分别求和的度数． （2）若是的中线，和的面积相等吗？为什么？ 【变式1】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，，分别是的高和中线，已知，，则的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【变式3】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）在中，于点D，点E是线段上一点． （1）如图1，若平分，，，求的度数． （2）如图2，若是的中线，，的面积为5，求的长． 【题型 4】三角形分类辨析 【例题4】（25-26八年级上·安徽亳州·期末）已知的三边长分别为，，． （1）若，，满足，试判断的形状； （2）若，，且为整数，求的周长的最大值． 【变式1】（25-26七年级下·山东济南·期中）已知中，，则为（   ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 【变式2】（25-26八年级上·贵州遵义·期中）小明通过测量角的度数来判定三角形的形状时，不小心把墨水倒在了图形上，如图通过测量测得中，，则是___________三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【变式3】（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）在中， ． （1）求三个内角的度数； （2）判断 的形状． 【题型 5】区分定义、命题、公理、定理 【例题5】（23-24八年级上·全国·课后作业）下列语句中属于定理的是（    ） A．在直线上任取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是同位角 C．对顶角相等 D．直线和垂直吗？ 【变式1】（23-24八年级上·河南郑州·期末）下列语句中，是命题的是（　　） A．你喜欢数学吗？ B．取线段的中点 C．美丽的天空 D．两直线平行，内错角相等 【变式2】（25-26八年级上·全国·课前预习）下列语句中，属于定义的是_______，是命题的是_______．（请填写序号） ①三角形的内角和等于；②无限不循环小数称为无理数；③你的作业做完了吗？④天空真蓝啊！⑤对顶角不相等；⑥连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列定义不合理的是_______（填序号）． ①能被2整除的整数叫作“偶数”； ②能写成（n是整数）的数叫作“偶数”； ③1，3，5，7，……叫作“单数”； ④两个数的所有公约数中比较大的公约数叫作“大公约数”． 【题型 6】拆分命题的条件与结论，改写 “如果… 那么…” 【例题6】（2026七年级下·江苏·专题练习）将下列命题改成“如果…，那么…”的形式，并指出命题的条件和结论． （1）平行于同一条直线的两条直线平行； （2）两个有理数相乘，同号得正． 【变式1】（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）命题“如果，那么”的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级下·广东东莞·期中）把命题“同旁内角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为：_______ 【变式3】（25-26八年级上·全国·课后作业）将下列命题改写成“如果……，那么……”的形式，并判断它们是真命题还是假命题． （1）互为相反数的两个数的和为零； （2）同旁内角互补． 【题型 7】判断真假命题，举反例证明假命题 【例题7】（25-26七年级下·河北承德·期中）命题：绝对值相等的两个数相等． （1）请将上述命题改写成“如果……，那么……”，并指出这个命题的条件与结论； （2）判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题请说明理由，如果是假命题请举出反例． 【变式1】（25-26七年级下·上海·期末）如图，已知：，与相交于点O；现有如下命题： ①如果，那么； ②如果，那么．下列判断正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①是真命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【变式2】（2026·北京石景山·二模）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为________，________． 【变式3】（24-25七年级下·全国·课后作业）判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． （1）异号两数相加和为零． （2）若，则． 【题型 8】基础几何证明书写（规范步骤 + 标注依据） 【例题8】（2026·江苏南通·三模）求证：三角形三个内角的和等于．（要求：根据图形，写出“已知”、“求证”并“证明”．） 【变式1】（24-25七年级下·河北石家庄·阶段检测）试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程： ①因为（已知）； ②因为，（已知）； ③所以，（等式的性质）； ④所以（等量代换）； ⑤所以（等量代换）． 正确的顺序是（   ） A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④ C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④ 【变式2】（22-23八年级上·全国·课后作业）要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步地推得结论成立，这样的推理过程叫做___________． 要说明一个命题是假命题，通常可以通过___________的方法，命题的反例是具备命题的条件，但不具备命题的___________的实例． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）证明：等角的补角相等． 【题型 9】基础判定选择（根据条件判断能否证全等） 【例题9】（2026·重庆·模拟预测）如图，已知，，下列条件中，无法判定的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·吉林长春·期中）如图，已知，，增加下列条件：①；②；③；④．其中能使的条件有______． 【变式3】（25-26八年级上·安徽宣城·期末）如图，点，，，在同一条直线上，，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是_____．（写出一个即可） 【题型 10】基础证明大题 【例题10】（25-26八年级上·河南周口·期中）如图，E为上一点，，．求证： （1）； （2）． 【变式1】（25-26七年级下·陕西汉中·期末）如图，在 与 中，，，．试说明：． 【变式2】（2026·陕西汉中·模拟预测）如图，在中，，点D，E分别在边，上，且，．求证：． 【变式3】（25-26八年级下·广西南宁·阶段检测）如图，点B、E、C、F在直线l上（C、F之间有一水坑），点A、D在l异侧，测得，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【题型 11】尺规作图——全等三角形 【例题11】（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知，点D在边上．求作，使，并满足点E在的延长线上，．（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【变式1】（24-25八年级上·云南昭通·期中）如图1，已知，，线段，求作．作法：如图2，①作线段；②在的同旁作，，与的另一边交于点．则就是所作三角形，这样作图的依据是（ ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 【变式2】（23-24八年级上·湖北孝感·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，作，使与全等且不重合，则点C的坐标为______________________________． 【变式3】（2024·湖南长沙·中考真题）人教版初中数学教科书八年级上册第35-36页告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得≌． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： （1）完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴≌______． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是______．（填序号） ①AAS；②ASA；③SAS；④SSS 【题型 12】线段垂直平分线基础线段长度计算（含尺规作图） 【例题12】（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，在中，是的垂直平分线，为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【变式1】（2026·贵州六盘水·二模）如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，连接．若的周长为10，则的长是（     ） A．3 B．5 C．6 D．7 【变式2】（2026·湖南永州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作圆弧，交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点．则的周长为________． 【变式3】（2026·广东茂名·模拟预测）如图，在中，E是的中点． （1）尺规作图：作，交于点D，连接； （2）在（1）的情况下，若，的周长为13，求的周长． 【题型 13】角平分线求垂线段长度（含尺规作图） 【例题13】（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，中，，，平分，若的面积为，求的面积． 【变式1】（25-26八年级下·广东佛山·期中）如图射线平分，点D在上，，，若，则的长度为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（25-26七年级下·河南开封·期末）如图，是 的平分线，过上一点D作，分别交于E，F，若， ，则 的面积为______． 【变式3】（25-26九年级下·山东菏泽·期中）如图，中，点在边延长线上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． （1）求的度数； （2）求证：平分； 【题型 14】垂直平分线 + 角平分线综合题（含尺规作图） 【例题14】（25-26八年级下·江西九江·期中）解决问题 （1）如图1，已知在中，，．把向下平移至后，， ．请求出图中阴影部分的面积． （2）如图2，中，是边的垂直平分线，，，求的长． （3）如图3，已知，，垂直的延长线于点垂直的延长线于点F．求证：． 【变式1】（2026·天津南开·二模）如图，在中，，，．是的角平分线．按以下步骤作图： ①以点C为圆心，长为半径画弧，交于点Q； ②分别以点D和点Q为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P； ③连接并延长交边于点E，连接．则的周长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式2】（25-26七年级下·全国·周测）如图，的垂直平分线交于点，是上一点，平分．若，则点到直线的距离为____________． 【变式3】（25-26八年级下·宁夏中卫·阶段检测）学校后勤组打算在所示的校园角区域，新建一个便民文具采购站．已知采购站到活动区边缘、两边的距离必须相等，这样才能方便两侧区域的学生前来购买；同时，采购站到线段所示的旧快递柜与旧饮水站的距离相等，以此实现新旧设施的资源统筹调配．请你用尺规作图的方法，在内部找出这个满足要求的采购站选址点P． 三.全章常考题型题型精析（综合培优） 【题型 15】全等 + 角平分线性质综合计算 【例题15】（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在与中，，平分，，分别为，的高． （1）试说明：； （2）已知，求的长． 【变式1】（25-26八年级下·四川·期中）如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，，平分，点、分别是、上不与端点重合的动点，连接、，则的最小值为______． 【变式3】（2026·广东梅州·三模）如图，在中，点 是 上的一点，且 ． （1）实践与操作：作的平分线，交于点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． （2）应用与证明：在（1）的条件下，连接，求证：． 【题型 16】全等 + 线段垂直平分线综合证明 【例题16】（2026七年级下·上海·专题练习）如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． （1）求证：； （2）若，四边形面积为78，，求的长． 【变式1】（2026·山东临沂·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．12 B． C． D． 【变式2】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 【变式3】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． （1）证明：垂直平分． （2）若的周长为18，面积为24，，求的长． 【题型 17】线段垂直平分线 + 角平分线周长、角度综合大题 【例题17】（2026·山东青岛·模拟预测）尺规作图： 已知点为内部一点，求作直线，使得过点，交、于点、且． 【变式1】（25-26七年级下·山东淄博·阶段检测）在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【变式2】（25-26七年级下·四川·期中）如图，在四边形中，对角线平分，，四边形的面积为16， ① 若，那么的面积为_______． ② 若与在不发生变化的情况下，当取最小时，的面积为______． 【变式3】（25-26八年级上·北京顺义·期末）如图，是的角平分线，延长到点E，使，点F在的延长线上，且，连接． （1）求证：； （2）在的下方作，，如图2所示．用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【题型 18】动点全等问题（期末必考压轴） 【例题20】（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【变式1】（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【变式2】（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）如图，在中，，平分，点 P为线段上一动点，点 Q为边上一动点，当的值最小时，的度数是_____． 【变式3】（23-24八年级上·河南商丘·阶段检测）如图，在等边中，线段为边上的中线，，且在下方，点分别是直线、射线上的动点，且点D不与点A重合，点E不与点B重合，． （1）求的度数； （2）若动点D在线段上时，求证：是等边三角形； （3）当动点D在线段延长线上运动时，试在备用图中画出的示意图，并给出一个与有关的数学结论． 四.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，为的中线，为的中线．若的面积为30，则的面积是（   ） A．15 B．10 C．7.5 D．5 3．（26-27八年级·上海·暑假作业）如图，四个图形中，线段是的高的图是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·安徽芜湖·期中）对命题“同位角相等”的描述正确的是（    ） A．题设：两个角是同旁内角 B．结论：同位角相等 C．是真命题 D．不是定理 5．（2026·河南·模拟预测）如图，直线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（18-19八年级上·河北石家庄·期末）如图是作的作图痕迹，则此作图的已知条件是（   ） A．已知两边及夹角 B．已知三边 C．已知两角及夹边 D．已知两边及一边对角 7．（26-27八年级·全国·暑假作业）下列四个选项中的图形和图中的图形不全等的是（     ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，点，，，在同一直线上，已知，，添加下列一个条件，不能判定的是（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级上·福建厦门·期中）在等边中，点A是边上的动点（不与D，E重合），点C是边上的动点（不与D，F重合），若，连接，以为边在内作等边，连接，则的度数是（    ） A． B． C． D．随着A，C位置的变化而变化 10．（25-26八年级上·湖南岳阳·阶段检测）如图，点E是的中点，．某同学通过添加辅助线：延长到点F，使，连接．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26七年级下·江西九江·期中）如图，， 分别是 ， 的中点，，，则边上的高为____________ 12．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是等边三角形，若，，，则的度数是______． 13．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图所示的大正方形是由4个相同的小正方形组成的，则与的度数和为______． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，过点作，且，连接，若，则的长为___________． 15．（25-26九年级下·江苏常州·阶段检测）如图，中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G．则的周长为_____． 16．（2026·湖南长沙·三模）如图，的两个外角的平分线，相交于点，连接若点到的距离为7，，则的面积为_________． 17．（25-26八年级下·全国·暑假作业）如图，已知，，要使，则应添加的一个条件为________． 18．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，某社区公园的平面示意图为一个三角形区域，A为公园主入口．已知米，，为方便居民活动，计划在的平分线上设置一个便民服务站D（D在边上）；在和边上分别选取安装点E、F，要求；沿、铺设两条智能照明步道，已知步道建设成本为每米400元，为节省经费，这两条步道总建设费用的最小值为_______元． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（25-26七年级下·山东济南·阶段检测）如图，，，，求证：． 20．（本小题满分8分）（26-27八年级·全国·暑假作业）如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． （1）试说明． （2）若，，求 的长． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·江西景德镇·期中）如图，在中，点是边上的一点，连接，垂直平分线段，垂足为，交于点，连接． （1）若，的周长为9，求的周长； （2）若，求的度数． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·全国·期末）在中，，分别是与的平分线． （1）如图（1），若，，求证：； （2）如图（2），若将（1）中的条件“”去掉，其他条件不变，则（1）中的结论是否成立？并说明理由． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 24．（本小题满分12分）（24-25八年级上·湖北荆门·期末）【问题背景】两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并将它们的底角顶点分别对应连接起来得到两个全等三角形，我们把这样的图形称为“手拉手”图形． （1）如图1，在“手拉手”图形中，，，，连接、．求证：； 【变式探究】（2）如图2，和都是等腰三角形，即，，且，、、在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图3，，，试探究与的数量关系，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $