1.6 线段垂直平分线的性质9大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦“线段垂直平分线的性质”核心知识点，从三角形认识引入，系统梳理定义（垂直与平分双重条件）、性质定理（线上点到两端距离相等）、判定定理（到两端等距点在线上）、尺规作图原理及三角形综合应用，构建从概念理解到推理应用的学习支架。 该资料通过分层设计（基础通关、素养提升、迁移创新）和9类细化题型（含典例与变式），结合“即学即练”即时巩固，培养抽象能力（符号语言转化）、几何直观（图形识别）和推理意识（证明书写）。例如，利用垂直平分线性质求三角形周长时，引导学生挖掘隐藏等线段，提升逻辑推理能力，课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺。

第一章 认识三角形 1.6 线段垂直平分线的性质 课标要点 1.理解线段垂直平分线定义，分清垂直与平分双重条件，能用文字、图形、符号三种语言完整描述该几何图形，准确辨别正误图形。 2.探究并掌握线段垂直平分线性质定理，自主完成定理逻辑证明，规范书写推理步骤，会用定理计算线段长度。 3.掌握线段垂直平分线判定定理，理清性质与判定的因果区别，能依据条件判断点是否在线段垂直平分线上。 4.熟练运用尺规作图法作线段垂直平分线，知晓每一步作图依据，规范保留圆弧痕迹，准确作出标准图形。 5.结合三角形题型综合运用定理，挖掘图中隐藏相等线段，提升几何逻辑推理能力，解决求值与证明类习题。 学习重难点 重点： 1.熟记垂直平分线性质定理，熟练转化几何符号语言，利用线段相等完成简单计算与基础证明题。 2.掌握尺规作线段垂直平分线完整步骤，理解作图原理，规范作图格式，保留全部作图圆弧痕迹。 3.分清性质与判定定理用途，根据已知条件正确选取定理，完成基础几何推理书写。 难点： 1.区分性质、判定定理的逻辑因果，做题时易颠倒条件结论，难以精准匹配对应几何题型。 2.在三角形综合图形中，快速识别垂直平分线，找出隐藏等线段建立等量关系解题。 3.理解尺规作图背后全等三角形原理，独立严谨证明所作直线为线段垂直平分线。 知识点一 线段垂直平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 即学即练 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为12，，则的周长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 知识点二 线段垂直平分线的画法 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 即学即练 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（   ） A．B．C． D． 5．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P，Q两点作直线分别交于点D，E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的______． (2)当时，将绕点C旋转，使与重合得到，的对应边交于点F，补全图形，并求的度数． 题型01 垂直平分线的基本概念 解题贴士 需同时满足垂直、平分线段两个条件，二者缺一不可；直线、射线不存在垂直平分线，仅线段独有，线上任意点到线段两端距离相等。 典｜例｜精｜析 1．关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等． 其中，正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 变｜式｜巩｜固 2．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作，是的垂直平分线．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，则下列说法一定正确的是（　　） A．， B． C．， D． 4．如图，线段，垂足为点，，则下列说法正确的有（    ） ①垂直平分； ②垂直平分； ③的垂直平分线是； ④的垂直平分线是所在的直线； ⑤的垂直平分线是所在的直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 垂直平分线的判定 解题贴士 判定需两点到线段两端距离均相等，两点确定直线才可判定；单点相等不能判定，注意区分判定与性质的条件结论，切勿混淆。 典｜例｜精｜析 5．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 变｜式｜巩｜固 6．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 7．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 8．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 题型03 利用垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则___． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型04 利用垂直平分线的性质求长度 解题贴士 找准垂直平分线上点，直接转化两段线段相等；审题识别隐藏平分线，等量代换计算，避免混淆性质与判定定理。 典｜例｜精｜析 13．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 变｜式｜巩｜固 14．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 15．如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 16．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 题型05 利用垂直平分线的性质解决面积问题 典｜例｜精｜析 17．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为7和11，则的面积为（ ） A．18 B．20 C．22 D．36 变｜式｜巩｜固 18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是___cm2． 19．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上确定一点D，使得点D到B，C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为23，求的面积． 20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若对角线，，求四边形的面积． 题型06 垂直平分线性质的实际应用 典｜例｜精｜析 21．在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 22．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 23．某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域内修一条小路，如图①，已知的长为米，为边上的中线． 【尝试分析】 为了研究的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②，延长到，使，连接，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题． （）求证：； （）测得的长为米，小明据此说小路的长度不可能为米，他说得对吗？为什么？ 【实际应用】 （）如图③，若为直角三角形，．若要修一条与垂直的路，的长为米，且要求，求的长度． 24．【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 题型07 尺规作垂直平分线 解题贴士 画弧半径需大于线段一半，上下两侧均画弧；保留全部圆弧痕迹，连线两交点，不可随手画直线，牢记作图全等依据。 典｜例｜精｜析 25．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 27．如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 28．如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 题型08 垂直平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 29．如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 变｜式｜巩｜固 30．如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 31．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 32．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 题型09 垂直平分线的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 变｜式｜巩｜固 34．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 35．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 36．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，那么的周长为________． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为______． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 8．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 10．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 素养提升 11．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 13．（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 15．（25-26八年级下·浙江宁波·假期作业）如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 16．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，中，，是的中垂线，点在上，点在上，若的周长为，的周长为，那么的长度为______．    17．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在等腰中，于点D，E，F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为___． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，于点，作边上的中垂线，分别交，于点，，若周长为26，，则的长为______． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 20．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知：是等边三角形，点O是直线上方的一点，连接，并且 (1)如图1，交于点M，若，求证：； (2)如图2，交于点N，作于点D，求的值． 迁移创新 21．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 22．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 24．（25-26七年级下·重庆江北·期中）如图，在四边形中，，过点A作.于点E，连接，若，，则的长为_______． 25．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.6 线段垂直平分线的性质 课标要点 1.理解线段垂直平分线定义，分清垂直与平分双重条件，能用文字、图形、符号三种语言完整描述该几何图形，准确辨别正误图形。 2.探究并掌握线段垂直平分线性质定理，自主完成定理逻辑证明，规范书写推理步骤，会用定理计算线段长度。 3.掌握线段垂直平分线判定定理，理清性质与判定的因果区别，能依据条件判断点是否在线段垂直平分线上。 4.熟练运用尺规作图法作线段垂直平分线，知晓每一步作图依据，规范保留圆弧痕迹，准确作出标准图形。 5.结合三角形题型综合运用定理，挖掘图中隐藏相等线段，提升几何逻辑推理能力，解决求值与证明类习题。 学习重难点 重点： 1.熟记垂直平分线性质定理，熟练转化几何符号语言，利用线段相等完成简单计算与基础证明题。 2.掌握尺规作线段垂直平分线完整步骤，理解作图原理，规范作图格式，保留全部作图圆弧痕迹。 3.分清性质与判定定理用途，根据已知条件正确选取定理，完成基础几何推理书写。 难点： 1.区分性质、判定定理的逻辑因果，做题时易颠倒条件结论，难以精准匹配对应几何题型。 2.在三角形综合图形中，快速识别垂直平分线，找出隐藏等线段建立等量关系解题。 3.理解尺规作图背后全等三角形原理，独立严谨证明所作直线为线段垂直平分线。 知识点一 线段垂直平分线 1.线段的轴对称性：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴； 2.线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等； 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件. 三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心. 即学即练 1．（25-26八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为12，，则的周长为（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．由是垂直平分线，得；利用周长求出；转化周长为即可求得结果． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵的周长为12，即， ∴． ∵的周长，且， ∴的周长． 故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江金华·阶段检测）如图，在中，是的平分线，的垂直平分线交的延长线于点，已知，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，角平分线定义，线段垂直平分线性质，熟练应用相关性质定理是解题的关键．根据线段垂直平分线得出，推出，根据角平分线得出，根据三角形外角性质得到，结合，即可得到． 【详解】解：的垂直平分线交的延长线于点， ， ， 平分， ， ，， ． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期中）如图，在中，边的垂直平分线交于点，边的垂直平分线交于点． (1)若的周长为，求的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等边对等角，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可； （2）根据三角形内角和定理和等边对等角进行计算即可． 【详解】（1）解：是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ， 的周长为，即， ； （2）解：由题意得，，， ， ， ． 知识点二 线段垂直平分线的画法 1.分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点C、D； 2.过C、D两点作直线（直线CD就是线段AB的垂直平分线）. 即学即练 4．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法及其性质是解题的关键．根据题意可知，到三角形三个顶点距离相等的点为三条边的垂直平分线的交点，再根据线段垂直平分线的作法，逐项分析即可解答． 【详解】解：∵小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点， ∴该点为三角形三边的垂直平分线的交点， 选项中只有选项B中的作图痕迹为其中两条边的线段垂直平分线，故可用直尺找到此点， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江·期中）如图，已知，，，． (1)尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点； (2)求的度数． 【答案】(1) 解：如图所示： 图中垂直平分线即为所求； (2) 【分析】本题考查基本作图-作垂直平分线、三角形中求角度，熟练掌握垂直平分线的作法、三角形相关性质是解决问题的关键． （1）直接由垂直平分线的尺规作图方法作图即可得到答案； （2）由垂直平分线的性质得到，再由等腰三角形性质得到，接着由三角形内角和定理求出，从而三角形结合表示出求解即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示： 由（1）知，是线段的垂直平分线， ， 则， 在中，，，则， ． 6．（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知：如图，在中，，分别以点A，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P，Q两点作直线分别交于点D，E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的______． (2)当时，将绕点C旋转，使与重合得到，的对应边交于点F，补全图形，并求的度数． 【答案】(1)垂直平分线 (2) 补全图形如下： 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，熟知线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据作图方法可得答案； （2）根据等边对等角得到的度数，由线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角和三角形外角的定义求出的度数，由旋转的性质得到的度数，据此由三角形外角的性质可得答案． 【详解】（1）解：由作图方法可知直线是线段的垂直平分线； （2）解：∵， ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 由旋转的性质可得， ∴． 题型01 垂直平分线的基本概念 解题贴士 需同时满足垂直、平分线段两个条件，二者缺一不可；直线、射线不存在垂直平分线，仅线段独有，线上任意点到线段两端距离相等。 典｜例｜精｜析 1．关于线段的垂直平分线有以下说法： ①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点； ②线段的垂直平分线是一条直线； ③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等． 其中，正确的说法有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质以及定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确； ②线段的垂直平分线是一条直线，正确； ③线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，故③不正确； 综上分析可知，正确的说法有2个，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了垂直平分线的定义与性质，掌握垂直平分线的定义与性质是解题的关键．经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，又称“中垂线”．垂直平分线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，垂直平分线是线段的一条对称轴． 变｜式｜巩｜固 2．如图是我国古建筑框架示意图，顶部可看作，是的垂直平分线．下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定，熟练运用等腰三角形的三线合一性质是解本题的关键．根据垂直平分线的性质，得出，证明，再逐一判断即可解答． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， 又∵ ∴，故A，B，D正确， 由已知条件无法得出，即不一定成立，选项C符合题意． 故选：C． 3．如图，直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点，则下列说法一定正确的是（　　） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质，即可作出判断． 【详解】∵直线l是的垂直平分线，P，Q是直线l上两点， ∴，． 故选：C． 4．如图，线段，垂足为点，，则下列说法正确的有（    ） ①垂直平分； ②垂直平分； ③的垂直平分线是； ④的垂直平分线是所在的直线； ⑤的垂直平分线是所在的直线． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的定义，根据线段垂直平分线的定义逐个判断即可． 【详解】解：①∵线段，， ∴垂直平分，故①正确； ②不能证明垂直平分，故②④错误； ③的垂直平分线是所在的直线．故③错误，⑤正确； 说法正确的有2个， 故选：B． 题型02 垂直平分线的判定 解题贴士 判定需两点到线段两端距离均相等，两点确定直线才可判定；单点相等不能判定，注意区分判定与性质的条件结论，切勿混淆。 典｜例｜精｜析 5．有不在同一直线的三个村庄，现要建设一个活动中心，使三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心应建在（    ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】根据“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”，即可确定满足条件的点的位置. 【详解】解：∵线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等. ∴要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上， 同理，要使点到，的距离相等，该点一定在的垂直平分线上. ∴两条垂直平分线的交点，到，，三个点的距离都相等， ∴活动中心应建在三条边的垂直平分线的交点. 变｜式｜巩｜固 6．如图，在中，是上的一点，连接，作交于点，交于点，且平分，连接． (1)证明：垂直平分； (2)若面积为，求的周长． 【答案】(1)证明：，， ， 平分， ， 在和中， ， ， 点和点在的垂直平分线上， 垂直平分； (2)30 【分析】（1）证明，可得，从而得到点和点在的垂直平分线上即可． （2）由三角形的面积可求出，根据三角形周长公式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ，， ， ， 的周长为30． 7．如图，在四边形中，，为的中点，连接，，，延长交的延长线于点．求证： (1)； (2)是的垂直平分线； (3)猜想：线段，，之间关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：， ， 又∵E为的中点， ， 在和中， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， 又∵， ∴是的垂直平分线； (3)结论：，理由如下： 在和中， ， ， ， 由（1）可知， ， 即． 【分析】（1）先根据平行线的性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证； （2）由（1）得，再由垂直平分线的判定即可证明； （3）根据全等三角形的判定和性质得出，确定，由（1）可知，根据即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 8．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，交于点． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上． (2)若的周长为，的周长为，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，，， 垂直平分，垂直平分， ，， ， 点在线段的垂直平分线上； (2) 【分析】（1）连接，，，由线段垂直平分线的性质推出，，得到，即可证明； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，，，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分，垂直平分， ，， 的周长为， ，即， ，的周长为， ， ， 垂直平分，垂直平分， ，， ． 题型03 利用垂直平分线的性质求角度 典｜例｜精｜析 9．如图，在中，，，通过观察尺规作图的痕迹，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据尺规作图痕迹得到所在直线垂直平分线段，所在直线平分； 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，，同一个三角形中等边对等角可知的度数，利用三角形内角和是得到的度数，最后根据角平分线进行求解即可． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知：所在直线垂直平分线段，所在直线平分； ∵所在直线垂直平分线段， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵平分， ∴． 变｜式｜巩｜固 10．如图，在中，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，作直线，分别交于点P、D，连接．若点到的距离相等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，是的垂直平分线，得到，，再得到，根据题意得到是的角平分线，得到，进一步得到，即可求解． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∴，， ∴， ∵点到的距离相等， ∴， 又∵，， ∴是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 11．如图，在中，，边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点．交于点，连接，．则___． 【答案】 【分析】由垂直平分线性质可得，，所以，，然后通过三角形内角和定理求得，则有，最后通过角度和与差即可求解． 【详解】解：∵边的垂直平分线，交于点，交于点，边的垂直平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明：如图所示，连接， 是的垂直平分线， ， ，是的中点， 是的垂直平分线 ， ； (2) 【分析】（1）连接，利用垂直平分线的性质得到，再结合、是中点，得到，进而证明； （2）证明，得到，根据三角形外角性质得到的度数，同理求出的度数，最后根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴． 题型04 利用垂直平分线的性质求长度 解题贴士 找准垂直平分线上点，直接转化两段线段相等；审题识别隐藏平分线，等量代换计算，避免混淆性质与判定定理。 典｜例｜精｜析 13．如图，是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，且，则的周长是（　　） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【详解】解：∵是的边的垂直平分线， ∴， ∵， ∴的周长是：． 变｜式｜巩｜固 14．如图，点E为的边上一点，的垂直平分线刚好经过点C且与边交于点D，连接，若，，，则的周长是（    ） A．10 B．15 C．14 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，进而求出的长，最后利用三角形周长公式及线段和差关系求解即可． 【详解】解：的垂直平分线经过点且与边交于点， 垂直平分， ，， ，， ， ， ， 的周长． 15．如图，已知在中，，的垂直平分线分别交于点，，的周长为，的周长为，那么底边______． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，结合的周长及建立等量关系求解即可． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴，即， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 16．如图，在中，，垂足为，点在边上，且，垂直平分，交于点，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，求的周长． 【答案】(1)证明：，且， 垂直平分． ， 垂直平分， ， ； (2)13 【分析】（1）根据垂直平分线的判定与性质证明即可； （2）根据的周长以及的长度可得的长度，再根据垂直平分线的性质得到边长相等，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：垂直平分， ， 的周长为，， ， 即的周长为． 题型05 利用垂直平分线的性质解决面积问题 典｜例｜精｜析 17．如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连接，若四边形与四边形的面积分别为7和11，则的面积为（ ） A．18 B．20 C．22 D．36 【答案】B 【分析】由中线，中垂线得，相应的得到三角形面积之间的关系，求得.进而得，.从而求解． 【详解】解：∵是的中线，是边的中垂线， ∴. ∴. ∵四边形与四边形的面积分别为7和11， ∴. ∴. ∴. ∴. 故选：B 【点睛】本题考查三角形中线、垂直平分线的性质，由三角形的位置关系得到面积之间的关系是解题的关键． 变｜式｜巩｜固 18．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝8cm，DE是BC边上的垂直平分线，△ABD的周长为14cm，则△ABC的面积是___cm2． 【答案】24． 【分析】根据线段垂直平分线性质得出BD＝DC，求出AB+AC＝14cm，进而得出AB，根据直角三角形面积公式代入求出即可． 【详解】∵DE是BC边上的垂直平分线， ∴BD＝DC， ∵△ABD的周长为14cm， ∴BD+AD+AB＝14cm， ∴AB+AD+CD＝14cm， ∴AB+AC＝14cm， ∵AC＝8cm， ∴AB＝6cm， ∴△ABC的面积是 （cm2） 故答案为：24． 【点睛】本题考查了三角形面积和线段垂直平分线性质，熟练掌握线段垂直平分线上点到线段的两个端点的距离相等． 19．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上确定一点D，使得点D到B，C两点的距离相等（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，的周长为23，求的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)60 【分析】本题考查了其他问题(一元一次方程的应用)，线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）用尺规作出线段的垂直平分线即可； （2）设，可用x表示出和，再根据的周长，列出关于x的方程求解，即可求得，从而可求得的面积为60​． 【详解】（1）解：连接， 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 可得：， 点D即为所求． （2）解：设，则． ∵， ∴． ∴的周长为． ∵的周长，得： ∴ 解得：． ∴的面积为：． 答：的面积为60​． 20．如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，． (1)求证：是线段的垂直平分线； (2)若对角线，，求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：在和中， ， ， ，， 点在线段的垂直平分线上， 是线段的垂直平分线； (2) 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形全等的判定与性质： （1）证明全等得到，，即可证明； （2）根据垂直平分线的性质得到，，再根据，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知是线段的垂直平分线， ，， ，， 四边形的面积 ． 题型06 垂直平分线性质的实际应用 典｜例｜精｜析 21．在乡村振兴项目中，农户要沿边给三角形农田（）安装滴灌系统，工程师计划在边的垂直平分线上铺设管道，交于E、交于D．已知，其中区域的滴灌管道总长为，则整个农田（）的滴灌管道总长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，，将的周长转化为的周长加上的长即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， 区域的滴灌管道总长为， ， 的滴灌管道总长． 变｜式｜巩｜固 22．综合与实践 综合实践课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 【操作发现】对折，使点C落在边上的点E处，得到折痕，把纸片展平，如图①，发现四边形满足：，．像这样的有两组邻边分别相等的四边形叫作“筝形”． 【初步探究】 （1）如图②，四边形是筝形，，．则线段和线段的位置关系是什么？请证明； 【综合运用】 （2）如图②，在“筝形”中，已知，，求“筝形”的面积． 【答案】 （1）垂直平分线段； 证明：已知，． 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴垂直平分线段． （2）12． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、垂直平分线的定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先证，再证，即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，进而求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）由（1）知垂直平分线段， ∴， ∴． 23．某学校打算在操场旁规划一块三角形区域进行绿化，为了方便养护，需要在绿化区域内修一条小路，如图①，已知的长为米，为边上的中线． 【尝试分析】 为了研究的某些参数，八年级二班的数学兴趣小组经过合作交流，得到了如下解决思路：如图②，延长到，使，连接，通过构造全等三角形来分析．请完成以下问题． （）求证：； （）测得的长为米，小明据此说小路的长度不可能为米，他说得对吗？为什么？ 【实际应用】 （）如图③，若为直角三角形，．若要修一条与垂直的路，的长为米，且要求，求的长度． 【答案】（）证明：∵为边上的中线， ， 在和中， （）解：由（）知， 米， 在中，， ∴米， 即， ∵， ∴， ∴， 小明说得对，小路的长度不可能为米； （）米 【分析】（）利用判定定理“”即可求证； （）由全等三角形的性质得，进而由三角形的三边关系得 ，即得到，即可说明； （）延长，交的延长线于点，可证，得到米，，即得到，再根据线段垂直平分线的性质即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）略 （）解：如图③，延长，交的延长线于点， ， ， ， ， 是的中线， ， 在和中， ， ， 米，， 米， 米， 又，， 垂直平分， 米． 24．【实际情境】手工课堂上，老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具．同学们认真观察后，组装了花折伞的骨架，粘贴了彩色伞面，制作出精美的花折伞． 【模型建立】（1） 如图1，从花折伞中抽象出“伞形图”．，．求证：． 【模型应用】（2） 如图2，中，的平分线交于点D．请你从以下两个条件：①；②中选择一个作为已知条件，另一个作为结论，并写出结论成立的证明过程．（注：只需选择一种情况作答） 【答案】（1）见解析；（2）选择②为条件，①为结论或选择①为条件，②为结论；证明见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形的外角性质等： （1）利用垂直平分线的判定，得出点在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，即可证明； （2）选择②为条件，①为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可；选择①为条件，②为结论：在取点N，使，连接，证明，可得，，再由，可得，从而得到，即可； 【详解】解：（1）连接 ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线 即； （2）解：选择②为条件，①为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 选择①为条件，②为结论 如图，在取点N，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 题型07 尺规作垂直平分线 解题贴士 画弧半径需大于线段一半，上下两侧均画弧；保留全部圆弧痕迹，连线两交点，不可随手画直线，牢记作图全等依据。 典｜例｜精｜析 25．如图：已知线段，请完成以下任务： (1)用尺规作图法作出线段的垂直平分线（不写作法，保留清晰的作图痕迹）． (2)某同学按照如下步骤完成作图： ①分别以点、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点； ②保持圆心、不变，更换另一个大于的长度为半径，再次画弧，两弧在线段的上方交于点； ③过、两点作直线． 该同学认为这条直线就是线段的垂直平分线．请判断该同学的结论是否正确，并说明理由． 【答案】(1)解：线段的垂直平分线，如图所示： (2)解：正确， 理由如下： 连接和，如图所示： ，， 在和中， ， ， 在和中， ， ，， ， ，即， ， 直线就是线段的垂直平分线． 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长度为半径画弧交于两点，过这两点作直线即可作出线段的垂直平分线； （2）连接和，由尺规作图得到，，由全等三角形的判定与性质得到、，结合垂直平分线定义即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 26．如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 27．如图，在中，平分， (1)作图：作边的垂直平分线分别交，于点，（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，，求的度数． 【答案】(1)解：如图，直线即为所求； (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的作法作图即可； （2）根据角平分线的定义得出，，利用三角形外角的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 平分， ． ∵， ， ∴，， ． 28．如图，在中，是的角平分线． (1)作线段的垂直平分线交于点，连接；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，过点作交于点，求证：． 【答案】(1)作图如图所示； (2)证明：如图，过点，作交于点， 平分， ， 点在的垂直平分线上， ， ， ， ， 在和中， ， . 【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，全等三角形的判定和性质等知识，解题时注意线段垂直平分线的应用． （1）利用尺规作线段的垂直平分线即可． （2）根据垂直平分线的性质得，运用平行线的性质可得，运用证明即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 题型08 垂直平分线的辅助线添加问题 典｜例｜精｜析 29．如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．15 D．17 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，由题意可得，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得，可得当点是与直线的交点时，的值最小，即的周长的最小，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 直线是的垂直平分线，是直线上任意一点， ， ， 当点是与直线的交点时，，即的值最小， ，， 的周长的最小值为：． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 30．如图，在中，平分，线段的垂直平分线交于点E，交于点F．若，的周长为15，，则的长度为________． 【答案】3 【分析】连接，证明，再由线段垂直平分线的性质及周长条件即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵平分， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； ∵的周长为15， ∴， ∴， 即， ∴． 31．如图在四边形中，．取中点P，连接，，若． (1)求证：； (2)若，四边形面积为78，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交的延长线于E，根据可知，再根据点为的中点，可证得，结合全等三角形的性质可知，，再由是线段的垂直平分线，可得，再由线段的和差以及等量代换即可得证； （2）由（1），根据梯形面积公式，列方程，求的长． 【详解】（1）证明：延长交的延长线于E， ∵， ∴， ∵取中点P， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即； （2）解：由（1）知，， ∵，， ∴四边形面积， ∴． 32．如图，在中，边的垂直平分线分别交于点 M，D，边的垂直平分线分别交于点 N，E，的延长线交于点 O． (1)若，求的周长． (2)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】(1)10 (2) 解：点O在的垂直平分线上，理由如下： 如图，连接， ∵分别垂直平分， ∴， ∴， ∴点O在的垂直平分线上． 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． （1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可； （2）连接，得出相等线段，利用线段垂直平分线的判定定理进行证明即可． 【详解】（1）解：∵的垂直平分线分别交于点D，E， ∴， ∴， ∴的周长为10； （2）略 题型09 垂直平分线的判定与性质综合 典｜例｜精｜析 33．如图，在中，，垂足为D，是的角平分线，点F在BC上，过F作，垂足为E，交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若D是的中点，且，求线段的长度，并说明理由． 【答案】(1)证明：是的角平分线， ，， ， ，， ， 在和中， ， ∴， ． (2)， 理由：，D是中点， 是的垂直平分线， ， 由（1）得，， ， ． 【分析】（1）由是的角平分线，可得，由，，，可证即可； （2）先证得是的垂直平分线，再由（1）的结论即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 34．【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”． (1)【问题解决】如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小明发现可以用上面的方法解决该题并作出了如下的辅助线（延长至点，使，连接），请结合小明做的辅助线，直接写出的取值范围______； (2)【类比运用】如图2，，点为的中点，，，求的长； (3)【拓展探究】如图3，在和中，，，．连接，，点是的中点，连接并延长，与相交于点．若，，请直接写出的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据三角形三边关系进行作答，即可求解； （2）如图，延长至点，使，连接，证，求得的长，证得为线段的垂直平分线即可解答； （3）如图，延长至点，使，连接，先证，得，，再根据平行线的性质得，再证即可解答． 【详解】（1）解：在中，是的中点， ， ，， ， ， ， 即， ， ， ， ； （2）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， ，， ， ，， ， ， ，，三点共线， ， ， ， ， 为线段的垂直平分线， ； （3）如图，延长至点，使，连接， 点为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 35．如图，在中，，分别垂直平分线段和线段，与边交点分别为点M，N，与相交于点F． (1)若，则的度数为______； (2)若，试求的度数（用含的代数式表示）； (3)连接，，，若的周长为8，的周长为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得，，根据等边对等角可得，，再求出，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，，然后求出，再由，分别垂直平分线段和线段，求出，即可求解． 【详解】（1）解：，分别垂直平分线段和线段， ，， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2），分别垂直平分线段和线段， ，，， ，， ，， ， ， 四边形的内角和为， ， ； 故答案为：； （3）如图所示， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， 的周长为8， ， 的周长为18， ， ， ，分别垂直平分线段和线段， ，， ， ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 36．综合与实践 【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．    小明在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________，由“三角形的三边关系”，可求得的取值范围是________； 【初步运用】 （2）如图2，在四边形中，是边的中点，且，若与不平行，试判断与之间的数量关系； 【灵活运用】 （3）如图3，若在（2）的基础上，增加平分，，，求的长． 【答案】（1）；；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系、角平分线的定义、线段垂直平分线的性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定和性质定理，结合三角形的三边关系可解答； （2）延长到E，使，连接，，证明，根据全等三角形的性质及三角形三边关系解答； （3）延长，交于点F，证明得出，，证明得出，则可得出结论． 【详解】解：（1）在和中， ， ， 故答案为：； ，， ， 在中，， ， ∴，， ∴， ， 故答案为：； （2）， 理由如下：延长到，使，连接，， 在和中， ， ， ， ，， ∴垂直平分， ， 在中， ， ； （3）延长，交于点， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 在和中 ， ， ， ，， ． 基础通关 1．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）在联欢晚会上，有三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置在的（    ） A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边上高的交点 D．三条垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】游戏公平要求凳子到三角形三个顶点的距离相等，根据线段垂直平分线的性质判断对应交点即可． 【详解】解：∵ 游戏公平需要凳子到三个顶点、、的距离相等， 又∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等， ∴ 凳子应放置在三边垂直平分线的交点处， 故选D． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，连接，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出，即可得到答案． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点D， ∴， ∴， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，的边，的垂直平分线交于点，若，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求线段长，涉及垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的性质是解决问题的关键． 由题意，结合垂直平分线的性质得到，再结合即可得到答案． 【详解】解：的边，的垂直平分线交于点， ， ， ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E．若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质得出相等的线段，然后根据等量代换进行求解即可． 【详解】解：∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的周长为， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，已知，那么的周长为________． 【答案】24 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质可得，再求出，据此即可求出的周长． 【详解】解：垂直平分线段， ， ，， ， 的周长为， 故答案为：24． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点E，若，，则的周长为______． 【答案】28 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解决本题的关键是得到为的垂直平分线． 根据作法可得，再由垂直平分线的画法可得为的垂直平分线，由此可得，再根据三角形的周长求解即可． 【详解】解：∵以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D， ∴， ∵以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点M和点N， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 故答案为：28 ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，点为三边垂直平分线的交点，点到顶点的距离为，则_____cm． 【答案】18 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键； 根据垂直平分线的性质可知即可得知三者相加的和． 【详解】解：∵点O为三边垂直平分线的交点 ∴ ∴ 故答案为：18 ． 8．（25-26八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，的垂直平分线与分别交于，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出的度数，由线段垂直平分线的性质得到，则由等边对等角可推出的度数，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的垂直平分线与分别交于， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（2026·陕西西安·二模）如图，是的边上一点．请你用尺规作图法在上方作，使得点在边上，且为斜边．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】利用尺规作图中作过点E的垂线的方法，先作垂线，再与交于F点，即可作出． 【详解】如图所示，即为所求． 10．（25-26八年级上·江西宜春·阶段检测）如图，中，，，垂直平分，交于点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长计算，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线上任意一点到线段的两个端点距离相等． （1）先证得垂直平分则，而垂直平分，则，等量代换即可证明； （2）由（1）得，而，再由三角形周长公式求解． 【详解】（1）证明：，， ∴垂直平分 ∵垂直平分， ， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴的周长为 素养提升 11．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，DE是中边的垂直平分线．若，，，则的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，从而将的周长转化为，代入数据计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 12．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 13．（2023·青海海东·二模）如图，在中，，垂足为点，垂直平分，交于点，交于点，连接，若，的周长为，，则的长为（   ）     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的定义与性质．由，，得垂直平分，所以，又垂直平分则，，可得，，然后通过的周长为可得，从而得出即可． 【详解】解：∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 14．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在等腰中，，边的垂直平分线分别交，于点E，F，D为边的中点，点为线段上一动点，若，的面积为12，则周长的最小值为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】根据中垂线的性质，两点关于对称，连接，交于点，此时的周长最小，利用等腰三角形的性质，求出，进而求出的周长的最小值即可． 【详解】解：∵的周长， ∴当最小时，的周长最小． ∵是的垂直平分线， ∴两点关于对称， ∴， 连接，交于点，此时的周长最小， ∵，D为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和中垂线的性质，以及利用轴对称解决周长最小问题．熟练掌握相关知识点以及将军饮马问题，是解题的关键． 15．（25-26八年级下·浙江宁波·假期作业）如图，在中，，，是的中线，，，且，则____________． 【答案】6 【分析】延长交的延长线于，证明，得到，，根据垂直平分线的性质解答． 【详解】解：延长交的延长线于，如图所示： ∵是的中线， ∴， ，， ， 又∵， ， ，， ， ． 16．（2022·浙江杭州·模拟预测）已知：如图，中，，是的中垂线，点在上，点在上，若的周长为，的周长为，那么的长度为______．    【答案】 【分析】由已知条件，根据垂直平分线性质，得到线段相等，进行线段的等量代换后得到答案． 【详解】解：是的中垂线， ， 的周长为，的周长为， ∴，， ． 17．（25-26八年级上·浙江·期末）如图，在等腰中，于点D，E，F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为___． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称﹣最短路径问题，掌握线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和外角定理是解题的关键． 先根据线段的垂直平分线的性质找到最小值，再根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理求解． 【详解】解：过C作于F，交于，连接， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 即当点三点共线，且时，的最小值为的长， ∴． 故答案为：． 18．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在中，，于点，作边上的中垂线，分别交，于点，，若周长为26，，则的长为______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键． 根据三角形的周长公式求出，根据线段垂直平分线的性质可得，由等腰三角形的性质可得，结合图形，进行计算即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵的周长为26 ， ， ， ， 垂直平分， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ． 故答案为：8． 19．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接． (1)证明：垂直平分． (2)若的周长为18，面积为24，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得到，即可得证； （2）根据三角形的周长，求出，分割法求面积，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点A和点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （2）解：∵，的周长为18， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（25-26八年级上·天津和平·期末）已知：是等边三角形，点O是直线上方的一点，连接，并且 (1)如图1，交于点M，若，求证：； (2)如图2，交于点N，作于点D，求的值． 【答案】(1) 证明：， ． ， ， 是等边三角形， ． ． 平分． ，． 是的垂直平分线． ． (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，轴对称的性质； （1）证明，证明，，即可得到结论. （2）在上截取，连接，证明，得出，即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：如图，在上截取，连接， ∵时等边三角形， ∴， ，， ． 在和中，， ． ． ， ． ． 迁移创新 21．（25-26八年级上·江西南昌·期中）如图，已知线段与线段外一点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧分别交于点，连接，若，四边形的面积为65，则的长为（　　） A． B．10 C．13 D．26 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握线段垂直平分线的性质定理的逆定理．由线段垂直平分线的性质定理的逆定理推出，由三角形的面积公式得到四边形的面积． 【详解】解：由题意得到：， 和都在线段的垂直平分线上， ，设交点为O， 的面积，的面积 四边形的面积的面积的面积， ， ． 故选：C． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在中，是的中点，过点作于点，的垂直平分线分别交，于点，，且．若，，则的长为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接，， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ 故选：B． 23．（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，在等腰中，，于点D，E、F两动点分别在线段上运动，若，则当取得最小值时，的度数为________°． 【答案】40 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、线段最短问题、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 如图：连接，先证明得到，从而推出当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小；如图：过点C作于点交于点，连接，由三线合一定理得到，则，故当最小时，、，同理可得，则，最后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、F三点共线且时最小，即此时最小， 如图：过点C作于点交于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴． ∴当取得最小值时，的度数为． 故答案为：40． 24．（25-26七年级下·重庆江北·期中）如图，在四边形中，，过点A作.于点E，连接，若，，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．在边上截取，连接，利用垂直平分线的性质证得，利用已知和证出，然后证出，进而即可得出答案． 【详解】解：在边上截取，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ； ∴， ， ， ， ， ． 故答案为：． 25．（24-25八年级上·广东珠海·阶段检测）八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是：______；中线的取值范围是________． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试说明：． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)，；理由见解析 【分析】（1）证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，得到，证明得出，，则．延长交于，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：延长至，使，连接， ∵是边上的中线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：；； （2）证明：如图2所示，延长至点，使，连接、， 由（1）得：， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， 在中，， ∴； （3）解：，．理由如下： 如图3所示，延长至，使，连接， 由（1）得：， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 延长交于， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，． 【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、三角形中线的定义，三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理、角的关系等知识．通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $