1.6《线段垂直平分线的性质》同步练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦线段垂直平分线性质，通过基础巩固、中档综合、提升拓展三层设计，实现从单一性质应用到模型建构的进阶，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|性质直接应用|单选1-3、填空6-8，如求三角形周长，强化概念理解| |中档|性质与图形结合|单选4-5、填空9-10，如动态周长最小值，提升空间观念| |提升|综合应用与模型|解答11-15，如将军饮马模型，发展创新意识与应用能力|

1.6《线段垂直平分线的性质》 一、单选题 1.如图，在△ABC中，AC=7,BC=10,AB边的垂直平分线分别与AB、BC交于点D、E, 连接AE,则△ACE的周长为() A.17 B.24 C.26 D.27 2.如图，在△ABC中，AC=5,AD=2,观察图中尺规作图的痕迹，BD的长为() N A.1 B.2 C.3 D.6 3.如图，在△ABC中，BC=6,∠BAC>90°，AB的垂直平分线交BC于点E,AC的垂直平分 线交BC于点F,垂足分别为D,G.则△AEF的周长是() A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图，在△ABC中，AB=9,BC=7,AC=4,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P 是直线上一动点，△ACP周长的最小值为() m A.11 B.13 C.14 D.16 5.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D,作BD的中垂线交AB于点E,交BC于点 7,连接D,者1DB=2∠C,则图中与C相等的角（不增加箱助线，除C外）共有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 二、填空题 6.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为13cm,则△ABC 的周长为cm. 7.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB,BC于点M,P,AC的垂直平分线 分别交线段AC,BC于点N,D,BC=10,△APO的周长为16，则P№的长度为 N B 0 8,如图，在已知的。ABC中，按以下步骤作图：①分别以B,C为圆心，以大于BC的长为 半径作弧，两弧相交于两点M,N;②作直线MN交AB于点D,连接CD,若AC=5,AB=11, 则△ACD的周长为 9.如图，在四边形ABCD中，AD=3,BC=4,E是AB的中点，∠CED=90°，则CD长的最大 值是 10.如图，在△ABC中，BC=6,△ABC的面积是18，MN是AC的垂直平分线，点P,D分别 在MN和BC上，则PC+PD的最小值为 三、解答题 11.如图，已知△ABC.请利用尺规作图法在BC下方求作一点D,使得DB=DC,且AD=AB ·(不写作法，保留作图痕迹) B 12.如图，在等腰△ABC中，AB=AC=20,DE垂直平分AB. D B (1)若△DBC的周长为35，求BC的长度； (2)若BC=13,求△DBC的周长. I3.如图，在△ABC中，AD是△ABC的高，E是BC上一点，BD=DE,且EF垂直平分AC,交 AC 于点R连接E (1)若∠BAE=50°，求∠C的度数； (2)若△ABC的周长为20，AC=8，求DC的长. 14.如图，在△ABC中，D是BC上的一点，连接AD,作DE⊥AB交AB于点E,DF⊥AC交AC 于点F,且AD平分∠BAC,连接EF. (1)证明：AD垂直平分EF. (2)若△ABC的周长为18，面积为24，BC=6,求DE的长. 15.【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题： 如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边1饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可 使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为 “将军饮马问题”. 【模型解决】如图①，小明将A,B两地抽象为两个点，将河1抽象为一条直线.如图②，小 明作点B关于直线1的对称点B,连接AB与直线1交于点C,点C就是饮马的地方，此时所 走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明流程： 如图③，在直线1上另取任意一点C'(与点C不重合)，连接AC',BC',B'C', “点B与点5关于直线1对称， B' 直线1是 B' 的垂直平分线. .CB= CB= ..AC+CB=AC+= △ACB AB'<AC+C'B' 在 中， 4C+CB<AC+CB即4C+CB最小. 请你完成上面填空. B A 图① 图② 图③ 【模型应用】如图④，在△ABC中，直线m是边BC的垂直平分线，点P是直线m上的动点. 若AB=5,AC=4,BC=7,则△APC周长的最小值为-· m A B B D M 图④ 图⑤ 图⑥ 【模型拓展】1.如图⑤，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A,ON上有 一点B,当△PAB的周长取最小值时，∠APB的大小是为_度， 2.如图⑥，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上，连接AD, 在AD的右侧作等边△ADE;连接EF,则△AEF周长的最小值是多少？此时∠CFE为多少度？ 参考答案 一、单选题 1.A 解：，DE是AB边的垂直平分线， .'AE=BE, ∴.△ACE的周长=AE+CE+AC=BE+CE+AC=BC+AC=1I0+7=17. 2.C 解：由尺规作图可得MN垂直平分线段BC, .BD=CD=AC-AD=5-2=3. 3.D ,DE垂直平分AB,FG垂直平分AC, .'AE=BE,AF=CF, ∴.△AEF的周长是AE+AF+EF=BE+CF+EF=BC=6. 4.B 解：如图，连接BP, m --“ B :直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， ∴BP=CP, ∴.△ACP周长为AC+AP+CP=4+AP+BP≥4+AB, ∴.当A、P、B三点共线时，△ACP周长取得最小值4+9=13. 5.C 解：∠ADB是△BDC的外角， ∴.∠ADB=∠DBC+∠C :∠ADB=2LC ∴.2∠C=∠DBC+∠C 即∠DBC=∠C, BD ∠ABC 平分 .∠ABD=∠DBC ∴.∠ABD=∠C EF 垂直平分 BD ∴EB=ED ∴.∠EDB=∠EBD .∠EDB=∠C :∠EDB=∠C∠DBC=∠C ∴.∠EDB=∠DBC ∴.ED∥BC ∴.∠ADE=∠C 综上所述，图中与∠C相等的角有∠DBC、∠ABD、∠EDB、∠ADE,共4个. 二、填空题 6.19 解：，DE是AC的垂直平分线， .AD=CD,AE CE=3cm ∴.AC=AE+CE=6cm 已知△ABD的周长为13cm,即AB+BD+AD=13cm, 将AD=CD代入，得AB+BD+CD=AB+BC=13Cm, ∴.△ABC =AB+BC+AC=13+6=19cm 的周长 7.3 解：：PM垂直平分AB,PN垂直平分AC, ∴.AP=BP,A0=C2, .△AP2的周长为16， .AP+PQ+AO=BP+PQ+CQ=BQ+PQ+PQ+PQ+PC =BO+PO+PC+PO+PO BC+2PO =BC+2PQ=16 .BC=10, PQ=216-Bc)=3 故答案为：3 8.16 解：由尺规作图可知，MN是BC的垂直平分线， 点D在MN上， ∴.BD=CD, ∴.△ACD的周长为AC+AD+CD=AC+AD+BD=AC+AB=16. 9.7 解：如图，延长CE至点F,使得EF=CE,连接AF,DF 、E IA :E是MB的中点 .AE=BE 在△AEF和△BEC AE=BE ∠AEF=∠BEC 中 EF=CE .∴△AEF≌△BEC(SAS) ..AF=BC=4 :∠CED=90° ∴.DE⊥CF 又：CE=EF DE是线段CF的垂直平分线 CF ..CD=DF DF≤AD+AF 当点D,A,F三点共线时，DF取得最大值，最大值为AD+AF AD=3 AF=4 ..DF +4=7 的最大值为 ..CD 7 的最大值为 10.6 解：如图所示，连接AP,过点A作AE⊥BC于点E, N D ,MN是AC的垂直平分线， ∴.PA=PC, ∴.PC+PD=PA+PD≥AE, 在△ABC中，BC=6,△ABC的面积是18， ×6AE=18 .2 解得，AE=6, .PC+PD的最小值为6. 三、解容题 11.所作图形如图所示： 12.(1)解：DE是AB的垂直平分线， :.DA=DB △DBC 的周长为35， .DB+DC+BC=35 ∴.DA+DC+BC=35 ∴.AC+BC=35 ∴.BC=35-AC=35-20=15 (2)解：由(1)知，△DBC的周长为DB+DC+BC=AC+BC=20+13=33, 13.(1)解：AD是△ABC的高，BD=DE, ∴.AD是线段BE的垂直平分线， .AB=AE, ∴.∠ABE=∠AEB, .∠BAE=50°， ∠ABE=∠AEB=2080°-∠BME)=65°， .EF垂直平分AC, .'AE=CE, .∠EAC=∠C, .∠AEB是△AEC的外角， ∴.∠AEB=∠EAC+∠C=65°， ∴.∠EAC=∠C=32.5°； (2)解：，△ABC的周长为20， ∴.AB+BC+AC=20, AC=8, ∴.AB+BC=12, .AE=CE=AB,BD=DE, ∴AB+BE+EC=12, ∴.2DE+2EC=12, .∴.DE+EC=6, ∴.DC=DE+EC=6. 14.(1)证明：DF⊥AC,DE⊥AB ∴.∠AED=∠AFD, .AD平分∠BAC, ∴.∠EAD=∠FAD, 在△AED和△AFD中， I∠AED=∠AFD ∠EAD=∠FAD AD=AD y △AED≌AAFD(AAS) .DE=DF,AE =AF ∴.点A和点D在EF的垂直平分线上， ∴.AD垂直平分EF; (2)解：，BC=6,△ABC的周长为18， .AB+AC=12, 由(1)得△ADE≌△ADF, ∴.∠AED=∠AFD=90°， :S.wc-AB-DE+AC.DF-DE(AB+AC)-24. 2 2 2 .1DE×12=24, ··2 ∴.DE=4. 15.解：模型解决：如图③，在直线1上另取任意一点C(与点C不重合)，连接AC',BC, B'C' “点B与点B关于直线1对称， 直线1是BB的垂直平分线. ..CB=CB'CB=C'B' ∴.AC+CB=AC+CB'=AB ·△ACB AB'<AC'+CB' 在 中， .AC+CB<AC+C'B ,即1C+CB 最小 故答案为：CB,CB',CB,AB, 模型应用：如图，设直线m与AB交于点D, m P B ,直线m垂直平分BC, ∴.B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，AP+CP的值最小，最小值等于AB的长， ,AB=5,AC=4,△APC的周长=AP+CP+AC, ∴.△APC周长的最小值是AB+AC=5+4=9. 故答案为：9： 模型拓展1：分别作点P关于OM、ON的对称点P、P,连接OP、OP”、P'p”,交OM、ON 于点A、B,连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于PP”. 由轴对称性质可得，OP=OP"=OP,∠P'OA=∠POA,∠POB=∠POB, ∴.∠P'OP"=2∠MON=2×40°=80° :.20Pp=∠0Pp=(180°-80°)+2=50 又.∠BPO=∠OP"B=50°，∠APO=∠AP'O=50°， ∴.∠APB=∠APO+∠BPO=100° 故答案为：100； 2:连接CE并延长，作点A关于射线CE的对称点M,连接AM,CM,连接FM交CE的延长 线于点N,连接AW,如下图： D :aAC和△1DE是等边三角形， ∴.AB=ACAD=AE∠BAC=∠ABC=∠ACB=∠DAE=60° ∴.∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE ∠BAD=∠CAE ∴.△BAD≌△CAE(SAS) ∴.∠ABD=∠ACE .AB=AC BF 是4C上的中线， .BF⊥AC 且B 平分 ∠ABC ∴.∠ABD=∠CBD=∠ACE=30° ∴.∠BCE=∠ACB+∠ACE=90° CE ,即点B在射线CE上运动， 点4和点M关于射线CE对称， A CE ∴.∠MCE=∠ACE=30°CE⊥AMCA=CM ∴.∠ACM=60° ,△ACM 是等边三角形， .AM=AC=AB .△ACM和△ABC是两个全等的等边三角形， 同理可得MF⊥AC, :BF⊥AC .∴.FM=BF=b 又C△MEF=AF+AE+EF=)a+AE+EF 六当G+最小时（此时点E与点N重合），B 的周长取得最小值， :AE+EF的最小值为FN+MN=MF=b, 1 Cou-za+b 此时∠CFE=90°