1.5 三角形全等的判定16大题型（讲义）数学新教材浙教版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，系统梳理SSS、SAS、ASA、AAS四种通用判定方法及直角三角形HL专属判定，构建从概念理解（对应边、角识别）到定理探究，再到方法应用与综合模型（如倍长中线、一线三等角）的学习支架。 资料通过分层设计（知识点解析+题型典例+变式巩固）和丰富真题实例，培养学生几何直观（数学眼光）、规范推理能力（数学思维）及问题解决的应用意识（数学语言），课中助力教师高效授课，课后便于学生回顾强化、查漏补缺。

第一章 认识三角形 1.5 三角形全等的判定 课标要点 1、理解全等三角形的核心概念，精准识别全等三角形的对应边、对应角，夯实几何判定的基础认知。 2、经历三角形全等判定定理的探究过程，体会数形结合与推理思想，培养几何直观能力。 3、掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种通用判定方法，能规范运用定理判定普通三角形全等。 4、掌握直角三角形专属HL判定定理，区分通用与特殊判定方法，适配直角三角形全等证明。 5、能运用全等判定定理解决简单几何证明与计算问题，规范书写推理步骤，提升逻辑素养。 学习重难点 重点： 1、掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等判定定理的核心内容。 2、熟练掌握直角三角形HL判定定理，明确其适用的特殊条件。 3、能选用合适定理，规范完成三角形全等的推理证明过程。 难点： 1、精准区分SAS与SSA，规避边角对应关系混淆的判定误区。 2、根据题干已知条件，灵活选择最优的全等判定方法解题。 3、梳理复杂图形边角关系，精准找准全等三角形对应元素。 知识点一 全等三角形的判定1（边角边SAS） 定理1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 即学即练 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． ，由于对顶角相等得到，然后根据“”添加条件即可． 【详解】解：，， A、当添加时，不能证明；     B、当添加时，，不能用证明； C、当添加时，，不能用证明； D、当添加时，能证明． 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    【答案】见详解 【分析】根据，得，结合，，证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， 则， ∵，， ∴． 知识点二 全等三角形的判定2（角边角ASA） 定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 即学即练 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，关键是找到、所在的全等三角形．通过角的和运算得到，结合公共边和，利用判定，从而推出． 【详解】略 4．（25-26七年级下·广西南宁·期末）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 【答案】(1) 证明：∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； (2)3 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由三角形中线的定义得到，由平行线的性质得到，据此利用可证明； （2）由线段的和差关系可得的长，由全等三角形的性质可得，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 知识点三 全等三角形的判定3（角角边AAS） 定理3：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 即学即练 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，且，延长交的延长线于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定与性质，准确推导出全等三角形并理解线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）由“”可证； （2）由全等三角形性质可得，，由线段垂直平分线的性质可得，进一步求解即可． 【详解】（1）解：为的中点， ， ， ，， 在与中， ， ， （2）解：∵ ，， ∵， ∴， ， ， 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，的两条高，相交于点F，． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1) 证明：∵，是的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； (2)6 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键； （1）由即可证明； （2）由得，设，则，由建立方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：， 故． 知识点四 全等三角形的判定4（边边边SSS） 定理4：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 即学即练 7．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 【答案】(1) 解：， ，即． 在和中， ， ． (2) 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．解题关键是掌握全等三角形的判定方法，运用全等三角形的性质证明角相等． （1）根据可得，再加上条件，．可利用定理证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的性质得到对应角相等，再利用三角形内角和定理求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ． ，， ． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) ∵， ∴, ∴， ∵，， ∴． (2)， 理由如下： 由（1）得， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，得，再结合，，即可证明； （2）由全等三角形的对应角相等得，再根据内错角相等，两直线平行，得，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 知识点五 灵活选定判定方法 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 灵活运用全等判定定理 （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 即学即练 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，添加下列某一个条件后，能判定的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，掌握好全等三角形的判定定理是关键． 根据全等三角形的判定定理，逐一判断即可． 【详解】解：A，不满足全等三角形的判定条件，故A错误； B，不满足全等三角形的判定条件，故B错误； C，不满足全等三角形的判定条件，故C错误； D，满足全等三角形的判定条件，故D正确． 故选：D． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1) 解：①已知：，，，求证； ②已知：，，，求证； (2) 解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型01 用SAS证明三角形全等 解题贴士 两边必须夹同一角，角为两边夹角，非对角；对应边、角书写对齐；看清图形公共边 / 对顶角，避免误用 SSA 判定。 典｜例｜精｜析 1．如图，，加一个条件 ，并用证明． 【答案】（答案不唯一） 【分析】判定要求：两边及其夹角对应相等．已知，还有对顶角，因此只需要再添加一组夹边，就可以利用证明． 【详解】解：添加条件：，理由如下， 在和中： ， ． 变｜式｜巩｜固 2．如图，与全等吗？ 【答案】与全等 【分析】根据证明即可． 【详解】解：与全等， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 3．如图，点B、E在线段上，． (1)试说明：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴； (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）平行线的性质，得到，证明即可； （2）全等三角形的性质，得到，即可得到． 【详解】（1）略 （2）略 4．如图，，，，求证： (1) (2) 【答案】(1) 证明：         ， 又∵， (2) 证明：由（1）得      【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）求出，根据推出； （2）由（1）全等三角形的性质可得，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 题型02 全等的性质与SAS综合 典｜例｜精｜析 5．如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 【答案】C 【分析】在上截取 ，连接 ，通过证明 得到，，再结合已知条件推出 ，利用等边对等角和外角性质即可求解 【详解】解：如图，在 上截取，连接 ， ∵， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴，， ∵，且 ， ∴， 又 ∵， ∴，即 ， ∴， ∴， ∵ 是 的外角， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 6．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 【答案】26 【分析】根据全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：∵点是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，和都是等腰三角形，，，．连接，与相交于点． (1)求证：； (2)试说明：与的数量关系． 【答案】(1)证明：， ，即， 在和中， ， ， ； (2)，理由如下， 如图，设和相交于点， 由（1）可知，， ， 又， ， ， ， ． 【分析】（1）根据证明，即可证得结论； （2）设和相交于点，由得到对应角相等，继而根据三角形内角和定理得到，从而得到． 【详解】（1）略； （2）略． 8．如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： 因为， 所以． 因为， 所以， 所以． 在和中， ， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的性质、三角形的内角和定理，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以，， 所以． 题型03 用ASA证明三角形全等 解题贴士 ASA 需两角夹一条公共对应边，边必须是两角中间夹边；边角对应有序书写，区分 AAS，勿错用非夹边，留意公共角、对顶角等等角条件。 典｜例｜精｜析 9．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 【答案】 【分析】要配一块与原来一样的三角形模具，即要构造一个与原三角形全等的三角形，需根据全等三角形的判定定理寻找包含足够条件的碎片． 【详解】第块只保留了一个角和部分边，无法确定三角形的形状和大小； 第块不包含完整的边和角，无法确定三角形的形状和大小； 第块保留了两个角和这两个角的夹边，根据全等三角形的判定定理“角边角”，即两角及其夹边对应相等的两个三角形全等， 带第块去商店，可以配一块与原来一样的三角形模具． 变｜式｜巩｜固 10．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 11．如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； (2)16 【分析】（1）根据可证明即可； （2）根据全等三角形的性质求出，根据中点的定义求出，，再根据三角形周长定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，且， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ∵的周长比的周长大2， ∴， 即， 则， ∴， ∴的周长为． 12．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，进一步证明即可； （2）利用全等三角形的性质求解即可. 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ； （2）解：， ， 又， . 题型04 全等的性质与SAS综合 典｜例｜精｜析 13．如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)， 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） 变｜式｜巩｜固 14．如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴． ∵，， ∴； 15．如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明： ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． (2)24 【分析】（1）利用平行线的性质得到内错角相等，结合是中点和对顶角相等，用判定． （2）先算出直角的面积；再利用（1）中全等三角形面积相等，通过割补法，将四边形的面积转化为与面积相等，直接得到结果． 【详解】（1）（1）略 （2），，， ， 由（1）知， ． 观察图形可知： ． ． 16．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； (2) 解：，理由如下： 由（1）知： ， ∴. 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 题型05 用AAS证明三角形全等 解题贴士 AAS 是两角及其中一角对边对应相等，边不能夹两角，区别 ASA；边角一一对应，找准等角、等边，不可混淆边的位置。 典｜例｜精｜析 17．如图，，，根据AAS定理，要使，则须补充的一个条件是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据，，添加或利用AAS定理可判断；由隐含的条件结合，添加利用AAS定理可判断，据此即可求解． 【详解】解：添加， 在和中， ， ∴； 添加， 在和中， ∴； 添加， 在和中， ∴； 故答案为：或． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 19．如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 【答案】(1)证明：， ， 在与中， ，，， ， ． (2) 【分析】（1）先由推出一组同位角相等，结合已知、，利用证明，再根据全等三角形对应边相等得到； （2）要使，结合的角相等关系，构造直角条件，写出一个和相关的条件即可． 【详解】（1）略 （2）解：添加条件：， 理由：若，则是直角三角形，， 由得， 等量代换得， 因此． 20．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）因为，，所以可先推导与相等；可利用定理证明． （2）因为，所以可得到对应边相等，进而求出的长度；再结合三角形面积公式，计算的面积． 【详解】（1）证明：∵，， ， ， 在中，， 在和中： ∵ （2）解：由全等得： ∵共线，且， ∴， ∴， ∴ 题型06 全等的性质与AAS综合 典｜例｜精｜析 21．如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵是 的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）证明，对应边相等即可得到． （2）证明，则，即，则题目可解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，是边的垂直平分线，为垂足，交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接、． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由如下： ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）根据垂直平分线，求出，根据全等三角形的判定和性质，可得，得到，等量代换，即可； （2）根据垂直平分线的性质，可得，，求出，根据等边对等角，则，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明：∵E为中点， ∴， ∵ ∴ 在和中 ， ∴ (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据E为中点，可得，进而根据，证明； （2）证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， 在和中， ， ∴； ∴， 由（1）知：， ∴， ∴． 24．如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 【答案】(1)证明：∵ 是 的中线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）结合中线的定义得，再根据，，以及对顶角相等，证明，即可作答． （2）结合，，证明，结合线段的和差关系得，代入数值整理得即． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 题型07 用SSS证明三角形全等 解题贴士 SSS 需三组对应边全部相等，边要一一对应；注意公共边、等量代换推等边，书写对应顶点对齐，不可缺一组边就判定全等。 典｜例｜精｜析 25．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 【答案】 全等三角形的对应角相等 【分析】根据全等三角形的判定定理及性质解答即可． 【详解】解：由尺规作图可知，，，， 所以， 所以（全等三角形的对应角相等）． 变｜式｜巩｜固 26．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 【答案】三边分别相等的两个三角形全等（） 【分析】根据尺规作图的步骤，可得，，，根据“三边分别相等的两个三角形全等”，可判定． 【详解】解：根据题意可知，，， 在和中， ， ． 27．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 【答案】情况一：选取条件：①②③，结论：④ 已知：，，， 求证： 证明：， 在和中 由， ， ； 情况二：选取条件：②③④，结论：① 已知：，，， 求证： 证明：在和中 由， ， ， ； 【详解】略 28．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用证明与全等； （2）先根据全等三角形性质得出，进而求出，的长度，再计算； （3）先求出，再根据全等三角形性质得到，最后求出． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：， ． ∵， ∴． 又， ． ， ， ； （3）解：，，，， ， ， ， ， ， ． 题型08 全等的性质与SSS综合 典｜例｜精｜析 29．如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． (1)证明：． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用证明即可得到答案； （2）先证明是平分线．可得，结合，可得答案. 【详解】（1）证明：在和中， ， ， . （2）解：， ， ，， ， ， ， ， 即是平分线． 平分， ， 在中，， ，， . 变｜式｜巩｜固 30．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 【答案】(1) 证明：∵，即， 在与中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理可得的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴，， ∴， ∴． 31．如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) 证明：∵， ∴ ， 即， 又∵，， ∴； (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由，整理得，再结合，，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质进行计算，得，结合全等三角形的对应角相等，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴； 由（1）得， ∴． 32．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的中点； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定；熟练掌握等边三角形的性质、等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）由题意易得，，则有，然后可得，则有，进而根据等腰三角形的性质可进行求证； （2）根据题意得出，确定，，再由三角形内角和定理及角度的差计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分， 又∵， ∴，即为的中点； （2）解：∵平分， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型09 添加条件证明三角形全等 典｜例｜精｜析 33．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 【答案】(1)①③或③④ (2)解：添加2个条件：①③，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴； 添加2个条件：③④，使得， 理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴． 【分析】（1）②与对顶角相等重复，不可选取，全等至少有一组边相等，故①和④必须选一个，据此求解即可； （2）添加①③利用证明；添加③④利用证明． 【详解】（1）略 （2）略 变｜式｜巩｜固 34．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 【答案】②， 理由：∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴； ③， 理由：∵， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴, 在和中 ∴． 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可． 【详解】选①或②，理由略． 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等． 35．已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 【答案】 ②， 理由：∵， ∴， 在和中 ∴； ③； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中 ∴. 若选①，满足的是边边角，不能判定两个三角形全等. 【分析】根据全等三角形的判定方法结合平行线的性质逐一判断证明即可. 【详解】略. 36．如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 【答案】或；理由如下： ， ，即， ：在和中， ， ； ：在和中， ， ； ：此时条件为、、，此时无法推出． 【分析】分别添加三个条件中的个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可． 【详解】略 题型10 结合尺规作图的全等问题 典｜例｜精｜析 37．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1： ①如图1，即为所求； ②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ① 略 ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 39．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 40．如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．（1）根据题意补全图形即可； （2）根据已知条件证明，即可得； （3）根据（2）证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可得到． 【详解】（1）解：如图即为补全的图形； （2）证明： ，， ， ， 又， ， ， 又， ． ． （3）线段与的数量关系是．理由如下： ， ， 又， ， ， 即为等腰直角三角形， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ． 题型11 全等模型—倍长中线 典｜例｜精｜析 41．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，延长到E，使，连接，证，推出，根据三角形的三边关系求出即可． 【详解】解：延长到E，使，连接，如下图： ∵是的中线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴ 根据三角形的三边关系得∶ ， 即： ∴， ∵， ∴， 故选：D． 变｜式｜巩｜固 42．如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的中线的含义，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系，掌握：“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键. 如图，延长至 使再证明可得 再利用三角形的三边关系可得：从而可得答案. 【详解】解：如图，延长至 使 为的中线， 故选：B． 43．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 【答案】 【分析】先证明，则，，由，得到，则 ，由于，，再由三角形内角和定理求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 44．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 【答案】（1），2；（2）见解析；（3）,的面积为12 【分析】（1）如图1：先延长至点，使，连接，易证可得，，再在中利用三角形的三边关系可得，进而得到，再结合已知条件即可解答； （2）如图：延长到点F，使，连接．易证可得，进而得到，再根据等边对等角可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图3：延长到点E，使，连接．易证可得、，再证明可得、，即；再说明，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：（1）如图1：先延长至点，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为整数， ∴． 故答案为：，2． （2）证明：如图：延长到点F，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ∴． ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）如图3：延长到点E，使，连接． ∵点D是的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∴． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点睛】灵活运用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键． 题型12 全等模型—一线三等角 典｜例｜精｜析 45．如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证出，根据证明，得出，，从而可求出． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 变｜式｜巩｜固 46．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 【答案】3 【分析】过点E作交延长线于点F，证明，得到，然后利用三角形面积公式求解． 【详解】解：过点E作交延长线于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴的面积为． 47．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 【答案】楼高是米 【分析】证明，由全等三角形的性质即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得，米， ∴，米， ∴， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴楼高是米． 48．【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： ， ， 在和中，， ， ，， ； (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等可得：； （2）证明，根据全等三角形的性质可证； （3）证明，根据全等三角形的性质可得，根据，，即可求出的长度． 【详解】（1）解：， 根据同角的余角相等，可得：； （2）略 （3）解：是的外角， ， ， ， 在和中，， ， ，， ，即， ． 题型13 全等模型—截长补短 典｜例｜精｜析 49．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 【答案】③⑤ 【分析】由、分别是、上的任意点，可知与不一定相等，与也不一定全等，可判断①错误，②错误；延长到点，使，连接，先证明，得，，，由，，可以推导出，则，即可证明，得，因为，所以，可判断③正确，因为，所以，可判断⑤正确；由平分结合，推出与、分别是、上的任意点互相矛盾，可得④错误． 【详解】解：、分别是、上的任意点， 与不一定相等，故①错误； 于点，于点， ， ， 的另一个条件是， 与不一定相等， 与不一定全等，故②错误； 延长到点，使，连接，则， ， 在和中， ， ， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，，， ，， 平分，故③⑤正确； 若平分，而， ，与、分别是、上的任意点矛盾，故④错误； 综上可知，正确的结论有③⑤． 变｜式｜巩｜固 50．如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 【答案】 【分析】先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 51．已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (2)①证明：如图2所示，在上截取，连接， ∵在中，两内角的平分线交于点I， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ② 【分析】（1）由角平分线的定义得到，由三角形内角和定理可得，据此根据三角形内角和定理可得结论； （2）①在上截取，连接，证明，得到，则可证明；证明，则可证明，得到；根据，得到，则可证明，得到，即；②过点E作于点T，证明，得到；可证明，据此求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）①略； ②解：如图所示，过点E作于点T， ∴； ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴． 52．如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 【答案】(1)结论．                         证明：如图，延长到点G，使，连接．      在和中， ， ，                                   ， ，                                             又， ，                                   ． (2) 【分析】（1）如图，延长到点G，使，连接，证出，根据全等三角形的性质得出，再证明得，再根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，在上截取，使，连接，利用（1）的思路解答即可． 【详解】（1）解：结论．证明略． （2）解：，理由如下： 如图，在上截取，使，连接， ∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， ， ． 题型14 全等模型—半角模型 典｜例｜精｜析 53．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 【答案】（1）；（2），证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据题意证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （2）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）在和中 ， 又， 在和中 （2）， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 变｜式｜巩｜固 54．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 【答案】(1) (2) （1）中的结论仍然成立．证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； （2）延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）略 55．【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 【答案】(1)①，②将绕点顺时针旋转 (2)，理由见详解 (3)5.2 【分析】（1）①沿着小明的思路，先证，再证，即可得出结论；②在①的基础上，证明即可得解； （2）延长至点，使得，连接，先证，再证，即可得出结论； （3）方法1：延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接，设，则，证明，可得，求出，得出，由（1）得：，由勾股定理得：，解方程即可． 方法2：过点作于点，设，则有，即，分别在和中，表示出和求出，再证是等腰直角三角形，即可得，则有，再证，即有，进而有，则可得一元二次方程，解方程就可求出． 【详解】（1）解：①，理由如下： 沿着小明的思路进行证明， 在正方形中，有，， 即有， ，，， ， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； ②将绕点顺时针旋转即可得到． 理由如下： 在①已经证得，并得到， ， 将绕点顺时针旋转即可得到； 故答案为：①，②将绕点顺时针旋转； （2），理由如下： 延长至点，使得，连接，如图， 与互补， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ，结论得证； （3）解法一：如图，延长至，使，过作的平行线交的延长线于，延长交于，连接， 四边形是正方形， ，， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， 由（1）得：， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ； 解法二：过点作于点，如图， ，， 在矩形中，，，， 设，则有， ， 在中，， 在中，， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即： ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 结合，解得， ． 【点睛】本题考了勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的知识、等腰直角三角形的判定与性质、一元二次方程的应用等知识，做辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 56．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 【答案】思路启迪：，；触类旁通：结论仍然成立，见解析；模型迁移：12 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角和等边三角形的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． 思路启迪：先证明得到，再证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 触类旁通：延长到，使，连接，先导角证明，再证明得到，再接着证明，得到，再由线段的和差关系可得结论； 模型迁移：延长到H，使得，连接，可求出，由等边三角形的性质可得，则可证明，同理可证明，再根据三角形周长公式可得答案． 【详解】解：思路启迪：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 触类旁通：上述结论仍然成立，证明如下： 如图，延长到，使，连接． ，， ， 在与中， ， ， ， ， ． 在和中 ， ． ． 模型迁移：如图所示，延长到H，使得，连接， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴的周长． 题型15 全等模型—手拉手模型 典｜例｜精｜析 57．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】A 【分析】由等边三角形的性质得，，，则，，即可根据“”证明，得，，可判断①正确；再推导出，可判断④正确；再证明，得，，可判断③正确；由，，证明是等边三角形，可判断②正确；因为，所以，可判断⑥正确；作于点，于点，由，得，则，即可证明平分，可判断⑤正确，于是得到问题的答案．此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、平行线的判定、角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 故①正确； ， 故④正确； 在和中， ， ， ，， 故③正确； ，， 是等边三角形， 故②正确； ， ， 故⑥正确； 作于点，于点， ，，且， ， ， ， 点在的平分线上， 平分， 故⑤正确， 故选：A．    变｜式｜巩｜固 58．如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．首先由等边三角形的性质得到，，然后证明出，得到，然后证明出，得到，进而证明即可． 【详解】解：、为等边三角形， ，，， ，， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； 在和中， ， ， ， ∵， 为等边三角形，故③正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，结论不一定成立的有1个． 故选：B． 59．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①1；② (2)①；② (3)35 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 60．问题发现： （1）如图①，已知点为线段上一点，分别以线段、为直角边作等腰直角三角形，，，，连接、，则、之间的数量关系为________，位置关系为________． 拓展探究： （2）如图②，把绕点逆时针旋转，线段、交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，已知，，，连接、、，把线段绕点A旋转，若，，请直接写出旋转过程中线段的最大值．    【答案】（1），； （2）仍然成立．理由如下：如图，设与相交于点． ∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，． ∵，， ∴， ∴， ∴． （3） 【分析】（1）延长交于点，证明，得出，，根据，求出，得出即可； （2）设与相交于点，证明，得出，．根据，，得出，证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得出，，，求出，根据，得出．当点在线段的延长线上时等号成立，即可求出的最大值． 【详解】解：（1）     如图，延长交于点，    ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2） 略 （3）．提示：如图，连接，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴． 当点在线段的延长线上时等号成立，如图，    故的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理的应用，三角形三边关系，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． 题型16 全等三角形的综合问题 典｜例｜精｜析 61．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可证，又因为，可得；利用可证，根据全等三角形的性质可证，证明，根据全等三角形的性质可证，根据可证结论成立；根据全等三角形的性质可证，根据可知，；过点作，可知四边形是矩形，证明，根据全等三角形的性质可证，，根据可证结论成立． 【详解】解：，， ， ，， ， 又， ， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ，， 在和中，， ， ， ， 且， ， 在和中，， ， ， 故②正确； 由②可知， ， 由②可知， ， ， ， ， ， 故③不成立； 如下图所示，过点作， 则四边形是矩形， 由②可知， ， ， 在和中，， ， ，， 四边形是正方形， ， 由②可知， ， ， ； 综上所述，结论正确的有①②④． 变｜式｜巩｜固 62．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】由证明得出，则①②正确；由全等三角形的性质得出，由三角形的外角性质得，得出，则③正确；作于，于，则，由证明，得出，由角平分线的判定得出平分，假设，证明，可得到，从而得到，与矛盾，则④错误． 【详解】解：， ∴，即， 在和中， ， ，则①正确； ，，，则②正确； 由三角形的外角性质得：， ，则③正确； 如图，作于，于，则， 在和中， ， ， ，， 平分，即， ， ∴， 假设， ， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，即，与矛盾， 则假设不成立，则④错误； 综上，正确的结论有①②③． 63．如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 【答案】②③/③② 【分析】证明即可判断①，证明，即可得到，即可判断②；根据得到，根据即可判断③；根据得到，由，即可判断④． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； ∴, 但是无法证明， ∴不一定成立； 故①错误； ∵， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∵ ∴， ∵，， ∴，故④错误； 综上可知，正确的是②③． 64．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 【答案】(1)1； (2)4； (3)； (4)解：与为偏等积三角形，与为偏等积三角形，证明如下： 如图所示，过E作于点P，过C作交延长线于点Q． ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴， 又∵与不全等， ∴ ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形； 如图所示，过E作于点G，过B作交延长线于点F． ∴， ∵，， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵，， ∴与不全等， ∴与是偏等积三角形． 【分析】（1）根据定义可得，则可证明，即； （2）根据定义可得，则；证明得到；根据三角形三边的关系求出的取值范围，结合线段的长度为正整数，求出的长即可求出的长； （3）证明，得到，即可证明； （4）过E作于点P，过C作交延长线于点Q．证明，，推出，再证明，得到，则可推出，可证明，则可证明与不全等，故与是偏等积三角形；过E作于点G，过B作交延长线于点F．证明，得到．则可证明，可证明与不全等，则可证明与是偏等积三角形． 【详解】（1）解：如图1所示， ∵与为偏等积三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：∵与为偏等积三角形， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴ ∴； 在中，， ∴，即， ∴， ∵线段的长度为正整数， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （4）略 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由判定，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴可以直接作为判定的依据是． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，关键是先由平行线性质得到一组角相等，再结合各选项条件判断是否符合全等判定定理．已知且，根据“两直线平行，同位角相等”可得，接下来分析各选项即可． 【详解】解：， ， 又， 对于选项A：添加，此时满足，，，属于，无法判定； 对于选项B：添加， 在和中，， ； 对于选项C：添加， ， ， 在和中，， ； 对于选项D：添加， 在和中，， ； 故选：A． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形、全等三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解． 根据和都是等腰直角三角形，得，，从而通过推导证明，得；再结合三角形内角和的性质，通过计算即可得到答案． 【详解】和都是等腰直角三角形， ，， ∵ ， 故选：C． 4．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，本题应先假定选择哪块，再对应三角形全等判定的条件进行验证即可得到结论． 【详解】解：1、3、4块玻璃不同时具备包括一条完整边在内的三个证明全等的要素，所以不能带它们去， 只有第2块有完整的两角及夹边，符合，满足三角形全等的条件，是符合题意的， 故选：B． 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______ ． 【答案】（或或（答案不唯一）） 【分析】根据全等三角形的判定方法添加条件． 本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 【详解】解：，， 当添加，； 当添加或时，； 当添加时，； 故答案为：（或或（答案不唯一）） 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则_____． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明是本题的关键． 由“”可证，可得，即可求解． 【详解】解：， ，， 又， ， ， ， 故答案为：8． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角中，，，，，平分，于，则的周长是______． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，证明，得到，，进而得到的周长即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是_______． 【答案】500 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形面积公式，解题的关键是证明，得出且，再利用三角形面积公式求解．先证明，得到且，再结合的长度，利用三角形面积公式（为底，为高）求出的面积． 【详解】解：∵于， 在和中， ∴的面积是500． 故答案为：500． 9．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：∵ ∴ ∵为的中点， ∴ ∵ ∴ ∴． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明出，即可得到； （2）由全等三角形对应角相等求解． 【详解】（1）解：， ，即， 又∵，， ； （2）解：，， ． 素养提升 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 12．（16-17八年级上·甘肃平凉·期中）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明出，得到，进而求解即可． 【详解】解：∵为的平分线 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 13．（25-26八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长交于点，证明，得到，根据三角形的中线平分面积推出的面积等于的面积的一半，即可． 【详解】解：延长交于点， ∵垂直的平分线于点P， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，过点A作，交的延长线于点H，证明，得到，则；再证明，得到，则可证明． 【详解】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∵，， ∴； ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 15．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 【答案】/ 【分析】证明四边形是平行四边形，再证明，求解即可； 【详解】解：∵平移得到， ∴， ∴ ∵是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 16．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先证明，得出，，再结合三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴． 17．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 【答案】8 【分析】延长交于点F，证明，得，再证明，得，即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点F， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】合理添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，，连接与直线交于点F，若，则的长是______ ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，过点E作于H，由可证，可得，，由可证，可得，分点D在点C左侧或右侧讨论，即可求解． 【详解】解：当点D在点C右侧时，过点E作于H， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 又，， ， ， . 当点D在点C左侧时，过点E作于H， 同理证， 得， 故答案为：或. 19．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 20．（25-26八年级上·江西宜春·期末）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 【答案】(1) 证明：，，，， ， ，， ． 在和中， ； (2)40cm (3) 【分析】此题主要考查了全等三角形判定与性质的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． （1）根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明即可； （2）利用全等三角形的性质进行解答； （3）根据梯形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得：，． ， ，， ， 故两堵木墙之间的距离为． （3）解：依题意，四边形是梯形， ∴四边形的面积． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，注意认真观察图中各边之间的关系． 由已知得，，则，所以，则，即可求得． 【详解】∵平分且于点E， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，的周长， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，为内一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，延长交 的角平分线于点，连接，根据等腰三角形的性质及角平分线定义求出，，进而得出，利用证明，根据全等三角形的性质求出，，根据角的和差及三角形内角和定理求出，结合平角定义求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的性质及角的和差求解即可． 【详解】如图，延长交 的角平分线于点，连接．   平分，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 【答案】 【分析】先作，连接，即可证明，进而说明，可得，再结合，可得答案． 【详解】证明：如图，延长到点G，使，连接， ∵， ． ∵， ∴， ，． ， ∴， ， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴． 24．（25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)结论仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． （3）解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 25．（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 【答案】(1)60° (2)见解析 (3)2 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）如图中，设交于．证明，推出，可得结论． （2）如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，．证明，推出，，，再证明，推出，可得结论． （3）过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于．首先证明，，再证明，由此构建关系式，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图中，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． （2）证明：如图2中，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， 由（1）可知，， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． （3）解：过点作于，于，在上取一点，使得，连接，设交于． ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，， 全等三角形对应边上的高相等， 平分， ， ， 是等边三角形， 同理（1）可证，， ， ， 同法可证， ∵3， ， ， ， ∴2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 认识三角形 1.5 三角形全等的判定 课标要点 1、理解全等三角形的核心概念，精准识别全等三角形的对应边、对应角，夯实几何判定的基础认知。 2、经历三角形全等判定定理的探究过程，体会数形结合与推理思想，培养几何直观能力。 3、掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种通用判定方法，能规范运用定理判定普通三角形全等。 4、掌握直角三角形专属HL判定定理，区分通用与特殊判定方法，适配直角三角形全等证明。 5、能运用全等判定定理解决简单几何证明与计算问题，规范书写推理步骤，提升逻辑素养。 学习重难点 重点： 1、掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种三角形全等判定定理的核心内容。 2、熟练掌握直角三角形HL判定定理，明确其适用的特殊条件。 3、能选用合适定理，规范完成三角形全等的推理证明过程。 难点： 1、精准区分SAS与SSA，规避边角对应关系混淆的判定误区。 2、根据题干已知条件，灵活选择最优的全等判定方法解题。 3、梳理复杂图形边角关系，精准找准全等三角形对应元素。 知识点一 全等三角形的判定1（边角边SAS） 定理1：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）. 要点诠释：如图，如果AB ＝ ，∠A＝∠，AC ＝ ，则△ABC≌△. 注意：1. 这里的角，指的是两组对应边的夹角. 2. 有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B，但△ABC与△ABD不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等. 即学即练 1．（25-26八年级上·辽宁大连·期中）如图，与相交于点，，若用“”证明≌，还需添加的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：．    知识点二 全等三角形的判定2（角边角ASA） 定理2：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. 要点诠释：如图，如果∠A＝∠，AB＝，∠B＝∠，则△ABC≌△. 即学即练 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，与相交于点，，，求证：． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期末）如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若，试求的长． 知识点三 全等三角形的判定3（角角边AAS） 定理3：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） 要点诠释：由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 即学即练 5．（25-26八年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在四边形中，，为的中点，且，延长交的延长线于点． (1)求证： (2)若，，求的长． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，的两条高，相交于点F，． (1)求证：． (2)若，求的长． 知识点四 全等三角形的判定4（边边边SSS） 定理4：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. 要点诠释：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 即学即练 7．（25-26八年级上·湖南永州·期末）如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证： ； (2)若，， 求的度数． 8．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，已知：，，． (1)求证：． (2)判断与的位置关系，并说明理由． 知识点五 灵活选定判定方法 判定方法的选择 1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS 2.如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 3.三角形证全等思路 灵活运用全等判定定理 （1）判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 （2）要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 （3）要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。  已知条件中有两角对应相等，可找：  ①夹边相等（ASA） ②任一组等角的对边相等(AAS)  已知条件中有两边对应相等，可找  ①夹角相等(SAS) ②第三组边也相等(SSS)  已知条件中有一边一角对应相等，可找  ①任一组角相等(AAS 或 ASA) ②夹等角的另一组边相等(SAS) 即学即练 9．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，已知，添加下列某一个条件后，能判定的是（  ）． A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 题型01 用SAS证明三角形全等 解题贴士 两边必须夹同一角，角为两边夹角，非对角；对应边、角书写对齐；看清图形公共边 / 对顶角，避免误用 SSA 判定。 典｜例｜精｜析 1．如图，，加一个条件 ，并用证明． 变｜式｜巩｜固 2．如图，与全等吗？ 3．如图，点B、E在线段上，． (1)试说明：； (2)判断线段与的位置关系，并说明理由． 4．如图，，，，求证： (1) (2) 题型02 全等的性质与SAS综合 典｜例｜精｜析 5．如图，在中，于点，，，则等于（    ） A．25° B．30° C．50° D．60° 变｜式｜巩｜固 6．如图是一款便携折叠椅及它的侧面示意图，折叠椅椅脚，交于点，且点是，的中点．若上方椅面宽度，则椅脚底部的宽度是________． 7．如图，和都是等腰三角形，，，．连接，与相交于点． (1)求证：； (2)试说明：与的数量关系． 8．如图，点，，，在同一条直线上，，相交于点，，，． (1)请判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 题型03 用ASA证明三角形全等 解题贴士 ASA 需两角夹一条公共对应边，边必须是两角中间夹边；边角对应有序书写，区分 AAS，勿错用非夹边，留意公共角、对顶角等等角条件。 典｜例｜精｜析 9．如图，一块三角形模具碎成了三块，可以只带其中一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具，你选择带的那块编号是________． 变｜式｜巩｜固 10．如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 11．如图，，，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若点E是的中点，，的周长比的周长大2，求的周长. 12．如图，，，，点D在边上． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型04 全等的性质与SAS综合 典｜例｜精｜析 13．如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 变｜式｜巩｜固 14．如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 15．如图，在中，，，，，点是的中点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 16．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 题型05 用AAS证明三角形全等 解题贴士 AAS 是两角及其中一角对边对应相等，边不能夹两角，区别 ASA；边角一一对应，找准等角、等边，不可混淆边的位置。 典｜例｜精｜析 17．如图，，，根据AAS定理，要使，则须补充的一个条件是___________． 变｜式｜巩｜固 18．如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 19．如图，点、、、是同一直线上顺次四点，，，． (1)求证：； (2)添加一个与有关的条件，使得．（不需要证明） 20．如图，在中，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 题型06 全等的性质与AAS综合 典｜例｜精｜析 21．如图，是 的中线，交的延长线于点，于点，是 上一点，连接 ． (1)证明：． (2)若，，求 的长． 变｜式｜巩｜固 22．如图，在中，是边的垂直平分线，为垂足，交边于点，过点作于点，交延长线于点，且，连接、． (1)与相等吗？为什么？ (2)若，求的度数． 23．如图，在中，点为边上一点，点为边的中点，连接并延长，交的平行线于点，连接． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．如图， 是 的中线，交 的延长线于点E，于点F，G是 上一点，连接 ． (1)试说明． (2)若，，求 的长． 题型07 用SSS证明三角形全等 解题贴士 SSS 需三组对应边全部相等，边要一一对应；注意公共边、等量代换推等边，书写对应顶点对齐，不可缺一组边就判定全等。 典｜例｜精｜析 25．小明回顾了用尺规作的过程是： 由尺规作图可知，，，， 所以________， 所以________．（填写理由依据） 变｜式｜巩｜固 26．如图，下面是“作一个，使得”的尺规作图方法． （1）作一条线段； （2）以为圆心，长为半径画弧，以为圆心，长为半径画弧，两弧在线段上方交于点； （3）连接，，则． 上述判定的依据是________． 27．已知：，点，点分别在边，上，延长至点，连接，，交于点．现有四个条件： ①；②；③；④． 请从①②③④中任选三个作为条件，剩下的一个作为结论，组成一个真命题，并证明． 请写出你的条件________（填序号）结论________（填序号），并证明． 28．如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)若，求的度数． 题型08 全等的性质与SSS综合 典｜例｜精｜析 29．如图，在五边形中，是边上的点，连接，满足且． (1)证明：． (2)若，，，求的度数． 变｜式｜巩｜固 30．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求度数． 31．如图，已知点在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 32．如图，为等腰三角形，，和分别为等边三角形，与相交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的中点； (2)若平分，求的度数． 题型09 添加条件证明三角形全等 典｜例｜精｜析 33．如图，线段、相交于点，连接、．给出下列条件： ①点为中点；②于；③；④． (1)添加2个条件：__________（填序号），使得； (2)说明（1）中结论成立的理由． 变｜式｜巩｜固 34．已知：如图，点在上，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是___________．理由是： 35．已知：如图，点E，F在上，，． 请从①；②；③这三个选项中，选择一个作为条件，使得，并说明理由． 解：选择条件是_________．理由是： 36．如图，点，，，四点在同一直线上，，．若__________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由． 题型10 结合尺规作图的全等问题 典｜例｜精｜析 37．（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 变｜式｜巩｜固 38．如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 39．（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 40．如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 题型11 全等模型—倍长中线 典｜例｜精｜析 41．中，若，则中线的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 42．如图，在中，是的中点，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 43．如图，是的中线，在边上取一点E，连接交于点F，若，，，则的度数为________． 44．八年级数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． 【初步探索】 如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围． 以下是小聪同学思考的解决方法：先延长至点，使，然后连接，利用三角形全等将边转化到，最后在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围． （1）在这个过程中，小聪同学证明三角形全等用到的判定方法是_____；若线段的长度为整数，则_____； 【灵活应用】 （2）如图2，是的中线，延长到点，连接，使，求证：； 【拓展提升】 （3）如图3，在中，分别以作等腰直角三角形和，其中，连接，点是的中点，连接，延长与相交于点，，．试判断与的数量关系，并求出的面积． 题型12 全等模型—一线三等角 典｜例｜精｜析 45．如图，，则等于（     ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 46．如图，在中，，，过A点作；，，，连接，则的面积为_____． 47．小程为了测量一幢高楼高度，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测得楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，都等于10米，量得旗杆与楼之间距离为，请你帮小程计算出楼高是多少米？ 48．【特例感知】 (1)“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角的度数均为，且三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直”模型．如图1，点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，由，得_________________； 【问题探究】 (2)请猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图2，在中，点为上一点，，，，，求的长． 题型13 全等模型—截长补短 典｜例｜精｜析 49．如图，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，下列结论中①，②，③平分，④平分，⑤．其中正确的结论有_________ 变｜式｜巩｜固 50．如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 51．已知：如图1，在中，两内角的平分线交于点I， (1)试探究和的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，点F在边上，且，连接， ①求证：； ②若，，，求的长． 52．如图1，在正方形中，E，F分别是，上的点，且，则有结论成立． (1)如图2，在四边形中，，，E，F分别是，上的点，，探究线段，，之间有怎样的数量关系，请写出你的结论，并说明理由； (2)如图3，在四边形中，，，延长到点E，延长到点F，使得，猜想线段，，又有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想，不需要证明． 题型14 全等模型—半角模型 典｜例｜精｜析 53．如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系，他的结论应是 ． 像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 拓展如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且，则，，之间的数量关系是 ．请证明你的结论． 变｜式｜巩｜固 54．【问题背景】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过翻折、旋转或截长补短等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，进一步构成全等三角形，从而构建模型，解决问题． 如图1，在四边形中，，点，分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小雨同学的方法是延长到点．使，连接，先证明，再证明，从而得出结论：_____； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． 55．【模型建立】 (1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明． ①，，之间的数量关系为________； ②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型． 【类比探究】 (2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由． 【模型应用】 (3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长． 56．半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等，通过翻折、旋转或“截长补短”做辅助线等方法，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，弱化条件，变更载体．而构建模型，可把握问题的本质． 【问题提出】 如图①，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系． 【思路启迪】 小王同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明 ，可得出结论．他的结论应是 ． 【触类旁通】如图②，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【模型迁移】已知：如图，是等边三角形，，点D是外一点，且，分别交于点E、F，的周长为 ． 题型15 全等模型—手拉手模型 典｜例｜精｜析 57．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下六个结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤平分；⑥；其中正确的结论个数是（　　）    A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 变｜式｜巩｜固 58．如图，点A、B、C在同一条直线上，，均为等边三角形，连接和，分别交，于点，，交于点Q，连接，，下列结论： ①； ②； ③为等边三角形； ④． 其中结论不一定成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 59．综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 60．问题发现： （1）如图①，已知点为线段上一点，分别以线段、为直角边作等腰直角三角形，，，，连接、，则、之间的数量关系为________，位置关系为________． 拓展探究： （2）如图②，把绕点逆时针旋转，线段、交于点，则与之间的关系是否仍然成立？请说明理由． 拓展延伸： （3）如图③，已知，，，连接、、，把线段绕点A旋转，若，，请直接写出旋转过程中线段的最大值．    题型16 全等三角形的综合问题 典｜例｜精｜析 61．如图，在中，高和交于点，且，下列结论：①；②；③；④若于点，则．其中正确的结论是（　　） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 变｜式｜巩｜固 62．如图，在和中，，，，，连接，交于点，与相交于，与相交于，连接．则下列结论中：①；②；③；④．正确的个数有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 63．如图，在 中， ，，D，E是边BC上两点，过点A作，垂足是A，过点C作 ，垂足是C，交于点F，连接 ，其中．下列结论：① ；② ；③若，．则；④．其中正确的是______．（填序号） 64．数学探究课上，老师给同学们展示了几道有趣的几何问题，大家围绕图形中的面积关系、线段关系展开了思考和讨论，请你也来尝试解决下面的问题． 【探究初步】 探究1新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． (1)如图1，在中，，，D为边上的一点，若与为偏等积三角形，则 ； (2)如图2，在中，，，D为边上的一点，且满足与为偏等积三角形，过点B作，交的延长线于点E，如果线段的长度为正整数，那么 ． 探究2如图3，，，过点B作于点C，过点D作于点E．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型． (3)探究图3中线段之间的数量关系，可得 ． 【迁移应用】 (4)如图4，已知与是有公共顶点且不全等的两个等腰三角形，其中，，，，过D作，垂足为点M，的延长线与交于点N，请写出图中所有的偏等积三角形，并选择其中一对进行证明． 基础通关 1．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，，，垂足分别为D，E，．下列选项中，可以直接作为判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，已知且，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，和都是等腰直角三角形，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江西上饶·期中）小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一些块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带（   ） A．第1块 B．第2块 C．第3块 D．第4块 5．（25-26八年级上·浙江衢州·期中）如图，已知，若要使，不允许标注其他字母则添加的一个条件为______ ． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，D是的边上一点，交于，，，若，，则_____． 7．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在直角中，，，，，平分，于，则的周长是______． 8．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，于是上一点，连接并延长交于．若．则的面积是_______． 9．（2026·陕西安康·模拟预测）如图，在中，为边上的一点，为的中点，连接并延长至点，连接，使得．求证：． 10．（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）如图所示，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 素养提升 11．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 12．（16-17八年级上·甘肃平凉·期中）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（    ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·浙江衢州·开学考试）如图，的面积为，垂直的平分线于点P，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26八年级上·浙江金华·期末）如图，是的中线，，过点作的垂线交延长线于点，若，则的长是（    ） A．3 B． C． D．2 15．（25-26八年级下·浙江台州·期末）将平移得到，经过的中点，已知，则__________． 16．（25-26七年级下·辽宁丹东·期中）如图，点B， C， D三点在同一直线上，且，，．若，则的度数为_____． 17．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，在中，平分，过点A作，交的延长线于点E，若，则的长为_____ ． 18．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在等腰中，，，D是射线上一点，连结，过点A作，，连接与直线交于点F，若，则的长是______ ． 19．（25-26九年级下·江苏无锡·期中）如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 20．（25-26八年级上·江西宜春·期末）王强同学用块高度都是的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点在上，点和分别与木墙的顶端重合． (1)求证：； (2)求两堵木墙之间的距离； (3)求四边形的面积． 迁移创新 21．（25-26八年级上·浙江台州·期中）如图，平分且于点，，，的周长为32，则的长为（   ） A．10 B．11 C．12 D．16 22．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，为内一点，且，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在四边形中，，．点E在的延长线上，点F在的延长线上，连接、、，满足．若，则__________． 24．（25-26八年级上·广东广州·期中）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 25．（25-26八年级上·浙江金华·期中）在等边中，点为所在平面内一点． (1)如图1，点在内，以为边作等边，连接，，延长交的延长线于点，求的度数； (2)如图2，点在内，且，为的中点，连接，，求证：； (3)如图3，在（1）的条件下，将等边绕点顺时针旋转至，，三点共线，连接，交于点，连接，设，，，若，直接写出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $