第26章 二次函数——抛物线与存在性（6）矩形1 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与四边形综合应用，以存在性问题为主线，构建“解析式求解-平行四边形判定-矩形探究”的递进式训练逻辑，发展几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与四边形综合|多题（含3-4小问）|多问递进，几何与函数结合|从二次函数解析式（待定系数法）到平行四边形判定（边/对角线关系），再到矩形存在性（特殊平行四边形性质），形成概念应用与拓展链条|

抛物线与存在性(6)矩形【题集A】 1 1.如图，已知二次函数的图象过点4(0，-3)，B(V3,√③)，对称轴为直线=一2，点P是抛物线上 的一动点，过点P分别作PM⊥轴于点M,PN⊥轴于点N,在四边形PMON上分别截取 PO-3MP.MD-3OM OB-3ON NP-3NP B D (1)求此二次函数的解析式. (2)求证：以C、D、E、F为顶点的四边形CDEF是平行四边形 (3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的 P点坐标.若不存在，请说明理由. 【答案】（1)y=x2+它-3. (2)证明见解析 (3)B(W3,√3)P2(-√3，-V3,P(-3,3),P4(1,-1). 【解折】（1)设抛物线的解折式为：y=a(+)+ 点A(0,-3),B(V3,√3)在抛物线上， 4a+k=-3 {a(3+)°+k=vg 解得：a=1,k=-13 抛物线的解折武为：y三十？一3 4 =x2+x-3 (2)如图，连接CD、DE、EF、FC M D PML轴于点M,PNL轴于点V, 四边形PMON为形， PM=ON PN-OM 1 PC=MP OB-TON 3 ·PC=O .MD= OM.NF- MD=NF PF=OD 在△PCF与△OED中， (PC=OE ∠FPC=∠DOE=90° ∴△PCF≌△DED(SAS), ·.CF=DE 同理可证：△CDM≌△FEN, ..CD=EF .CF=DE,CD=EF. …四边形 是平行四边形. CDEF (3)假设存在这样的点， 使四边形 为矩形， 设矩形 的近长 CDEF ,则 PMON PM=ON=m PN=OM=n PC= 3m MC= m 1 2 若纷形3”形3侧 ,易证 CDEF 即 LDCP化閤得： △PCF∽△MDC PC PF 3m MD 即形 九万形 m2=n2 :虎为抛物线 PMON 与坐标象限角平分线 或 的交点 P y=x2+x-3 y=T y=-T 2 联立 y=x2+x-3 y=x 解得 x1=V3 Jx2=-√3 h=V3'=-V31 .B(W3,V3),P(-V3,-V3) 联立y=2+x-3 y=-x 解得{ x1=-3 Jx2=1 h=3'1=-1 P3(-3,3),P4(1,-1). 抛物线上存在点P,使四边形CDEF为矩形， 这样的点有四个，在四个坐标象限内各一个，其坐标分别为：乃（√3，V3) P2(-V3,-V③，P(-3,3),P4(1,-1) 【标注】【知识点】二次函数与平行四边形 2.如图，已知二次函数划=2-2x-1的图象与0轴交于AB两点，与轴交于点P,点(3,2)为抛 物线上一点，抛物线上有一动点F,平面内有一点K,使得四边形EPFK为矩形.点K的横坐标 为 【答案】4 【解析】四边形EPFK为矩形时，△EPF为直角三角形， 已知E(3,2),P0,-1),设F,2-2r-1),则 EP2+Fp2=EF2,即18+r2+(r2-2r)2=(r-3)2+(r2-2r-3)2, 解得r1=0(舍去)，r2=1,故F(1,-2), K(4,1) 【标注】 【知识点】二次函数与特殊平行四边形 3.如图，抛物线=-2+证+c与直线AB交于A(-4,-4)B0,4两点，直线AC:y= 2-6 交轴于点C,点E是直线AB上的动点，过点作EF⊥轴交AC于点F,交抛物线与点G. 3 备用图 (1)求抛物线划=一x2+bc十的表达式 (2)连接GB,EO,当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标. (3)在轴上存在一点H,连接EH,HF,当点运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点 的四边形是矩形？求出此时点E,H的坐标， 【答案】(1)y=-x2-2x+4. (2)（-2,4) （3)E(-2,0),H(0,-1) 【解析】(1)点A(-4,-4),B(0,4)在抛物线y=-x2+bm+c上， 「-16-4b+c=-4 c=4 b=-2 c=4 抛物线的解析式为y=一x2-2c+4」 (2)设直线AB的解析式为y=kc十n且过点A,B, Jn=4 -4k+n=-4 k=2 n=4 ·直线AB的解析式为y=2x十4， 设E(m,2m+4), ∴C(m,-m2-2m+4), ,四边形GEOB是平行四边形， ·EG=OB=4, -m2-2m+4-2m-4=4, m=-2, G(-2,4): (3) 如图，由(2)知，直线AB的解析式为y=2x+4, 设(a,2a+4), .直线AC:y= 2-6, 1 Fa,-2a-6 设H（(0,P), :以点A,E,F,H为顶点的四助形是矩形， 直线AB的解折武为y=2x+4,直线AC:y=- 2-6, ·AB⊥AC EF为对角线， -4+0=+a.-4+到=(2a+4--0) ∴a=-2,p=-1, E(-2,0),H(0,-1) 【标注】【知识点】二次函数与平行四边形 4.如图，矩形0ABC的两边OA、OC分别在轴和y轴上，且A(-3,0),过点C的直线划=-2c+4 与轴交于点D,二次函数y= 2+证十的图经过RC两点. (1)求B、C两点的坐标 (2)求二次函数解析式 (3)若点P是CD的中点，求证：AP⊥CD (4)在二次函数图像上是否存在点M,使以A、P、C、M为顶点的四边形为矩形？若存在，求出 点M的坐标；若不存在，请说明理由】 【答案】(1 C0,4)B(-3,4④) 2)y=--+4 (3)证明见解析. (4)存在；M(-4,2) 【解析】(1)y=-2x+4 当x=时，y=4 C0,4) 在矩形OABC中， BC=0A=3 AB=OC=4 B(-3,4) （2）二次函 y=一 的图像经过 x2+bx+c 点， (4=c 4=- 1 3×9+6×（-3)+9 J6=- 2 (c=4 （3)连骏22- 1 3 20+4 AC B Rt△AOC 中 AC=V0A2+0C2=V32+4=5 :y=-2m+4当y=时，x=2 D(2,0) AD=0A+OD=3+2=5 ·.AD=AC 6 P是CD的中点， ∴.AP⊥CD (4)存在，理由：假设四边形APCM为矩形，过点M作MN⊥轴于N点， 6 0 在Rt△C0D中，CD=VW0C2+0D2=V42+22=2V5. CP=AM=号CD=V5. ·MA//CD ∴·∠MAN=∠CDO ∠MNA=LC0D=90°， △MNA△COD. ∴.N NA MA COOD=CD MN=2,NA=1, ON=0A+AN=4, -42到，把=-4代入w=-2- 20+4中，y=2 M在抛物线上 存在这样的点M,使四边形APCM为矩形. 【标注】【知识点】二次函数与相似三角形结合 5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线割=ac2-2ax-3a(a>0)与轴交于A、B两点（点A在点B 左侧)，经过点A的直线：y=kx+b与轴交于点C,与抛物线的另一个交点为D,且 CD=4AC. (1)直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线的函数表达式（其中是k、b用含的式子表 示)· (2)点E为直线下方抛物线上一点，当AD的面积的最大值为孕时，求抛物线的函数表达式。 (3)设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D.P、Q为顶点的四边形能否 为柜形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. B 备用图1 备用图2 【答案】（1)l:y=ax+a. 2)g=0--8 (3)pa,减r29同 【解析】(1)ac2-2ac-3a=0, x2-2-3=0, (x-3)(+1)=0 x1=3,x2=-1, A(-1,0), ∴.△ACO∽△ADF AF AD AO =5, …AF=5, 8 .D(4,5a ..l:y=ax+a (2)过点作DF⊥轴于点过点作平行于轴的直线交A于P ·SAADE=SAAPE十S△PDE E(t,at2-2at-3a)P(t,at+a) SAADE= 1 .（-at+3at+4a).5 2 5 6a(2-3t+4-4)》 .99 +10a 5 2at 32,1 + 8a(-1<t<3 当t= 3时， Smax 12525 4 2 8a 4 6 y= (3) A(-1,0)D(4,5a) P(1,m) Q(n,an2-2an-3a} @ADPQ内对角线时 对角线中点坐标 /35 1+n an2-2an-3a+m 22 2 2 1+n 3 2 3 an2-2an-3a+m 5 解得 2 n=2 1m=8a 彩a Q埚形3a) APDQ .AD=PQ .25+25a2,=1+121a2 96a2=24 a2=1或 (舍)， 1 2 a二 2 为对角线时， P1, 4) 对中标 分0 () 4+n an2-2an-3a+5a 21 2 4+n =0 2 an 2an-3a+5a m 2 2 9 n=-4 解得， 1m=26a .P(1,26a) Q(-4,21a) ..AP=OQ .4+262a2=64+162a2 √ T ‘.a= 或7 7 (舍)， ,a= 7 26 ③AQDp为对角线时， 对角线中点坐标 2 n-1 5 2 an2-2an-3a 5a+m 解得， 2 2 n= m=16a P(1,16a),Q(6,21a .AQ=DP 49+212a2=9+121a2 无解日 不存在柜形， 综上所述： 或 26 【知识点P次幽数点甲感7 【标注】 10 1. 如图，已知二次函数的图象过点 ， ，对称轴为直线 ，点是抛物线上 的一动点，过点分别作轴于点 ， ， ， ， 轴于点，在四边形 ． 上分别截取 （ 1 ）求此二次函数的解析式． （ 2 ）求证：以、、、为顶点的四边形是平行四边形． （ 3 ）在抛物线上是否存在这样的点，使四边形为矩形？若存在，请求出所有符合条件的点坐标．若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点 为抛物线上一点，抛物线上有一动点，平面内有一点，使得四边形为矩形．点的横坐标 为 ． 3. 如图，抛物线 与直线交于 两点，直线, 交轴于点，点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线与点． 3 学科网（北京）股份有限公司 备用图 （ 1 ）求抛物线的表达式． （ 2 ）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标． （ 3 ）在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标． 4. 如图，矩形的两边 、 分别在轴和轴上，且 ，过点的直线 与轴交于点，二次函数的图象经过、两点． y x O （ 1 ）求、两点的坐标． （ 2 ）求二次函数解析式． （ 3 ）若点是的中点，求证：． （ 4 ）在二次函数图象上是否存在点 ，使以、、、 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），经过点的直线：与轴交于点，与抛物线的另一个交点为，且 ． y x （ 1 ）直接写出点的坐标，并用含的式子表示直线的函数表达式（其中是、用含的式子表示）． （ 2 ）点为直线下方抛物线上一点，当的面积的最大值为 时，求抛物线的函数表达式． （ 3 ）设点是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，以点、、、为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 备用图 备用图 $ 1. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点． （ 1 ）求直线的解析式． （ 2 ）点 是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以， ，，为顶点的四边形是以为边的矩形．若点和点关于所在直线对称，求点的坐标． 2. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． y x O （ 1 ）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式． （ 2 ）在（ ）的情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 的坐标． （ 3 ）在（ ）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、 、、构成平行四边形时，求点的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标． 3. 如图，抛物线： 和抛物线： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 y x O （ 1 ）两抛物线的顶点、的坐标分别为 和 ． （ 2 ）设抛物线的对称轴与抛物线交于点，则为何值时，、、 、为顶点的四边形是平行四边形． （ 3 ）设抛物线与轴的左交点为点，抛物线与轴的右边交点为点，试问，在第问的前提下，四边形能否为矩形？若能，求出值；若不能，说明理由． 4. 已知在平面直角坐标系中，抛物线： 与轴交于、两点，其中，点在点的左侧，且抛物线的顶点为． （ 1 ）求点、的坐标． （ 2 ）用含的式子表示抛物线顶点到轴的距离． （ 3 ）记抛物线关于原点中心对称的抛物线为，且抛物线与轴的交点为、，其中点与点为对应点，点与点为对应点，点为抛物线的顶点．若四边形为矩 形，请你求出抛物线的表达式． 5. 在平面直角坐标系（如图）中，经过点的抛物线与轴交于点，点与点，点与点分别关于该抛物线的对称轴对称． （ 1 ）求的值以及直线与轴正方向的夹角． （ 2 ）如果点是抛物线上一动点，过作平行于轴交直线于点，且在的右边，过点作与点，设的横坐标为，的周长为，试用表示． （ 3 ） 点 是该抛物线的顶点，点是轴上一点，是坐标平面内一点，如果以点， ，，为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点的坐标． $ 1. 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点和点关于抛物线的对称轴对称，直线与轴交于点． （ 1 ）求直线的解析式． （ 2 ）点 是抛物线的顶点，点是轴上一点，点是坐标平面内一点，以， ，，为顶点的四边形是以为边的矩形．若点和点关于所在直线对称，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） 或 （ 1 ）由 、 由 故答案为： ，可得 、 ，对称轴是 ，所以点 的坐标为 ． ． 、 ，得直线解析式为： ． （ 2 ）直线 设直线 把 交 轴于 ， ，则 ． 的解析式为 ， 、 分别代入 ，得 ， ∴直线 当 的解析式为 时， ． ，则 ． 当 为矩形 的对角线，如图 ， 10 学科网（北京）股份有限公司 备用图 ∵ ， ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴点 的坐标为 ． ∵点 向上平移 个单位，向右平移 个单位，得到 ， ∴点 向上平移 个单位，向右平移 个单位，得到 ， ∵点 和点 关于 所在直线对称， ∴点 的坐标为 ． 当 为矩形 的对角线，反向延长 交 轴于 ，如图 ， 备用图 同理可得 的坐标为 ， ∵点 为 的中点， ∴点 为 的中点， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ∴点 关于 的对称点为点 ，即点 的坐标为 ． 综上所述，点 的坐标为 或 ． 故答案为： 或 ． 【知识点】一次函数与二次函数的交点 2. 在平面直角坐标系中，平行四边形如图放置，点、的坐标分别是、，将此平行四边形绕点顺时针旋转，得到平行四边形． y x O （ 1 ）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式． （ 2 ）在（ ）的情况下，点 是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点 在何处时，的面积最大？最大面积是多少？并求出此时 的坐标． （ 3 ）在（ ）的情况下，若为抛物线上一动点，为轴上的一动点，点坐标为，当、 、、构成平行四边形时，求点的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ）当 （ 3 ）点 时， 的坐标为： 的面积最大，最大值 ， 的坐标为： ， ， ， ． ； 当这个平行四边形为矩形时，点 的坐标为： 或 （ 1 ）∵平行四边形 绕点 顺时针旋转 ，得到平行四边形 ，且点 的 坐标是 ， ∴点 的坐标为： ， ∵点 、 的坐标分别是 、 ，抛物线经过点 、 、 ，设抛物线的解析式为： ， ∴ ， 解得： ， ∴此抛物线的解析式为： ． （ 2 ）连接 ， y x O 设直线 的解析式为： ， ∴ ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 设点 的坐标为： ， 则 ， ∴当 时， 的面积最大，最大值 ， ∴ 的坐标为： ． （ 3 ）设点 的坐标为 ，当 ， ， ， 构成平行四边形时， ∵平行四边形 中，点 、 的坐标分别是 、 ， ∴点 的坐标为 ， ∵点 坐标为 ， 为抛物线上一动点， 为 轴上的一动点， ①当 为边时， ， ， ∵ ， ∴ ， 当 时，解得： ， ， ∴ ， ； 当 时，解得： ， ， ∴ ， ； ②当 为对角线时， ， ，此时 与 ， 重合； 综上可得：点 的坐标为： ； ， ， ， 如图 ，当这个平行四边形为矩形时，点 的坐标为： y 或 ． x O 【知识点】二次函数与动点问题 3. 如图，抛物线： 和抛物线：． y x O （ 1 ）两抛物线的顶点、的坐标分别为 和 ． （ 2 ）设抛物线的对称轴与抛物线交于点，则为何值时，、、 、为顶点的四边形是平行四边形． （ 3 ）设抛物线与轴的左交点为点，抛物线与轴的右边交点为点，试问，在第问的前提下，四边形能否为矩形？若能，求出值；若不能，说明理由． （ 1 ） （ 2 ）当点 当点 ; 在点在点 的下方时， ， 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形． （ 3 ） 四边形 的上方时不存在． 能为矩形，且 的值为 ． （ 1 ）抛物线 ： 抛物线 ： 的顶点坐标是 的顶点坐标是 ， ， 故答案为： ， ． （ 2 ）∵ ， ∴当 时， 、 、 、 为顶点的四边形是平行四边形， ∵当 时， ， ， ∴ ． ①当点 在点 的下方时， ，∵ ，∴ ． ②当点 在点 的上方时， ，整理，得 ， ∵ 时， ；当 时， ， ∴这样的 值不存在， 答：当点 在点 的下方时， ，当点 在点 的上方时不存在． （ 3 ）由 可知，二次项系数互为相反数， ∴两抛物线的形状相同，故它们成中心对称， ∵点 和点 的纵坐标的绝对值相同， ∴两抛物线得对称中心落在 轴上． ∵四边形 是平行四边形， ∴当 时，四边形 是矩形， ∵抛物线 与 轴左交点坐标是 ， ∴ ． ∵抛物线 与 轴右交点坐标是 且 ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ． ∴ ，即 ，解得 ， ∴四边形 能为矩形，且 的值为 ． 【知识点】二次函数与动点问题 4. 已知在平面直角坐标系中，抛物线： 与轴交于、两点，其中，点在点的左侧，且抛物线的顶点为． （ 1 ）求点、的坐标． （ 2 ）用含的式子表示抛物线顶点到轴的距离． （ 3 ）记抛物线关于原点中心对称的抛物线为，且抛物线与轴的交点为、，其中点与点为对应点，点与点为对应点，点为抛物线的顶点．若四边形为矩 形，请你求出抛物线的表达式． （ 1 ） ， ． （ 2 ） ． （ 3 ） ． （ 1 ）∵抛物线 ： 与 轴交于 、 两点， ∴令 ，即 ，解得 ， ∵点 在点 的左侧， ∴点 ，点 ． （ 2 ）由（ ）知点 ，点 ．， ∴抛物线 的对称轴为直线 ， ∴顶点 的横坐标为 ，将其代入到抛物线 的表达式 中得： ， ∴顶点 ， 又∵ ， ∴点 到 轴的距离为 ． （ 3 ）方法一：由（ ）知点 ，点 ．∴点 ，由（ ）知，点 ，∴点 ， 故设抛物线 的表达式为 ， 如解图，过点 作 轴的垂线，垂足为点 ，即点 的坐标为 ， y x O ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， 或 ，则 （负值舍去）， ， 故抛物线 的表达式为 ． 方法二：由（ ）知点由（ ）知，点 故 ，点 ，∴点 , ， ．∴点 ， ， ， ∵四边形 ∴ ∴ ∴ 解得 故抛物线 为矩形， ， 或 的表达式为 （负值舍去）， ． 【知识点】二次函数与平行四边形 5. 在平面直角坐标系（如图）中，经过点的抛物线与轴交于点，点与点，点与点分别关于该抛物线的对称轴对称． （ 1 ）求的值以及直线与轴正方向的夹角． （ 2 ） 如果点是抛物线上一动点，过作平行于轴交直线于点，且在的右边，过点作与点，设的横坐标为，的周长为，试用表示． （ 3 ）点 是该抛物线的顶点，点是轴上一点，是坐标平面内一点，如果以点， ，，为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ，直线 与 轴正方向的夹角为 ． ． （ 3 ）点 的坐标为 或 或 或 ． （ 1 ）∵将点 代入抛物线的解析式得： ，解得： ， ∴ ． ∴抛物线的对称轴为直线 ，令 得： ，则 ， ∵点 与点 ，点 与点 分别关于该抛物线的对称轴对称， ∴ ， ， 设直线 的解析式为 ， ∵将 ， 代入得： ，解得： ， ， ∴直线 的解析式为 ． ∴直线 与 轴正方向的夹角为 ． （ 2 ）如图 所示： 设 ， 则 ， ， ∵ ， ， ∴ 为等腰直角三角形． ∴ ， ， ， ， ． （ 3 ）∵ ， ∴ ． ① 为矩形的对角线时，如图 所示： ∵由矩形的性质可知： 为 的中点， ， ， ∴ ． ∵由两点间的距离公式可知： ． ∴ ∴ ②当 作 ∵在 ∴ ∴ ， ， ． 为矩形的一边时，如图 所示：过 轴，垂足为 ． 作 轴，垂直为 ，过 中， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵点 ∴ ， ， ． ， ， ， 的坐标为 与 关于点 ． ， 对称， 综上所述，点 的坐标为 或 或 或 ． 【知识点】二次函数与动点问题 $