专题01 三角形中的倒角模型之双角平分线模型（几何模型讲义）数学新教材沪科版八年级上册

该初中数学讲义通过分类梳理三角形双角平分线的三类模型（双内角、一内一外、双外角），结合三角形内角和定理等知识储备，以模型框架图呈现推导逻辑与核心结论，清晰展现倒角模型的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于强化模型识别与多模型叠加应用，如“双外角平分线夹角计算”等填空压轴题，通过“内加外减”口诀培养推理意识与模型意识。易错总结与推导方法指导，助力基础学生掌握定值结论，优秀学生深化转化化归能力，为教师精准分层教学提供支持。

专题01三角形中的倒角模型之双角平分线模型 角度推导是初中几何证明与计算的核心基础，也是八年级几何入门的第一个重难点，而三角形双角平分线模型是倒角体系中最经典、应用最广泛的定值模型之一。该类模型主要依托三角形内角和定理、角平分线定义，考查等量代换、转化化归的数学思想。熟练掌握三类双角平分线的角度结论，可大幅提升倒角速度与准确率。本专题就三角形中的三类双角平分线倒角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化机械角度计算，强化模型识别与多模型叠加应用，多以“内角双平分、一内一外双平分、双外角平分”的组合形式出题，常与三角形内角和、外角性质结合考查填空选择压轴。 推导逻辑：依托三角形内角和定理，结合角平分线拆分角度，通过等量代换推导定值，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握三类双角平分线模型的推导过程，规范几何说理步骤； 2.能快速识别双角平分线模型，直接套用定值结论简化计算； 3.培养转化化归、定值探究的几何推理能力，为后续全等倒角奠基。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 双角平分线模型（双内角） 2 模型2. 双角平分线模型（一内角一外角） 7 模型3. 双角平分线模型（双外角） 12 模型拓展 15 【易错总结】 15 【模型运用】 16 模型根植于三角形内角和为180°、外角等于不相邻两内角和、角平分线平分角度三大基础性质，通过两条角平分线的组合叠加，衍生出三类固定角度定值模型。其中两内角平分线交点为三角形的内心（内切圆圆心），一内一外角平分线交点、两外角平分线交点为三角形的旁心（旁切圆圆心），三类模型分别对应三角形内心、旁心的角度性质，是教材基础性质的综合拓展与三角形心概念的前置铺垫。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°； 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 角平分线定义：从角的顶点出发，将角分成两个度数相等的角的射线； 等式的基本性质：等量代换、等式两边同时加减或乘除同一个非零数，等式仍然成立。 模型1. 双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P； 结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，（已知） ∴，。（角平分线定义） ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）（三角形内角和定理） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A。 核心结论：，夹角恒大于90°。 变式点拨：若已知∠BOC，可反向推导∠A=2(∠BOC-90°)。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P； 结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB， ∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（∠ABC+∠DCB） =180°-（360°-∠A-∠D） =（∠A+∠D）。 即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P； 结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE， ∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC） =180°-（∠BCD+∠CDE） =180°-（540°-∠A-∠D-∠E） =∠A+∠D+∠E-90°。 即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】(25-26八上·江苏镇江扬中·期中)如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了两直线平行内错角相等，角平分线定义，等角对等边， 先根据平行线性质和角平分线定义得，进而得出 ，然后根据得出答案． 【详解】解：∵和的平分线交于点，F， ∴， ∴， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 【典例2】如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，三角形的内角和及外角性质定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定定理． 根据角平分线的定义、三角形内角和及外角性质定理确定各个角的度数，根据有两个相等内角的三角形是等腰三角形进行判断即可． 【详解】解析:∵， ∴ ∵是角平分线， ∴， ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴． 同理，． ∴． ∴等腰三角形有，共8个． 故选：A． 【典例3】(24-25八上·江苏盐城东台实验中学·期中)如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【答案】13 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行线和角平分线得出等腰三角形，将的周长转化为． 由角平分线和平行线的性质得、，从而、；的周长可转化为，结合周长和AB的长度求出． 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， 同理可得， 的周长为20， ， ， ． 故答案为：13． 【典例4】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． 根据角平分线定义及平行线性质得，，再根据“等角对等边”得，，进而得，然后根据的周长为10得，由此即可得出BC的长． 【详解】解：、CP分别平分、， ，， ，， ，， ，， ，， ， 的周长为10， ， ． 故答案为：． 模型2. 双角平分线模型（一内角一外角） 【模型提炼与证明】 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，（已知） ∴，。（角平分线定义） ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 核心结论：，夹角等于顶角的一半。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推； 结论：∠Pn的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】(25-26八上·河南商丘睢县多乡镇·月考)如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，与交于点D． (1)若，则______； (2)若，则______； (3)若，则______． (4)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性． 【答案】(1) (2) (3) (4)，证明见解析 【分析】本题考查了外角的性质，根据外角的性质求得与的关系是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （2）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （3）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． （4）根据角平分线的定义可得，再根据外角的性质求解即可． 【详解】（1）解： 是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （2）解： 是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （3）解： 是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． （4）解：， 证明： 是的角平分线，是的外角的平分线， ， ． 【典例2】(25-26八上·广东东莞厚街新园学校·月考)如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． (1)若，则______； (2)判断与的数量关系，并加以证明； (3)若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查角平分线、三角形内角和、三角形的外角的性质： （1）（2）如图（见解析）利用三角形内角和定理、并结合角平分线和三角形的外角的性质即可得； （3）利用（2）中结论即可得到，从而可得． 【详解】（1）解：，理由见（2）； 故答案为：． （2）解：，证明如下： 如图， ， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）结论可知：， 又， ∴， 即． 【典例3】(25-26七·山东济南莱芜区·期末)如图，在中，平分． (1)如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； (2)如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 【答案】(1)证明：平分，平分， ，，       是的一个外角， ， ， 是的一个外角， ，       ； (2)的长为 【分析】（1）利用三角形外角性质和角平分线导角可得； （2）连接，，利用中垂线的性质可证，，则可求． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，     平分，，， ，       的垂直平分线交于点， ，       在和中， ， ，       ， 在和中， ， ，       ， ，， ， 即的长为． 模型3. 双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 【模型提炼与证明】 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线； 结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF， ∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A） =90°+∠A。 核心结论：，夹角恒小于90°。 变式点拨：三类模型可统一记忆：内加外减，一内一外直接半。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D； 结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN， ∴DM=DN， ∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】(24-25七·河北遵化苏家洼镇大刘庄中学·期末)在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【答案】 【分析】根据角平分线定义，三角形外角的定义，三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵三角形的外角和的平分线交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【典例2】(25-26八上·吉林吉林第二十九中学校·月考)如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和等于是解答此题的关键． 先根据分别是的平分线可知，再由是的两个外角得出，故 根据在中即可得出结论． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∵是的两个外角， ∴， 在中， ∵， ∴． 模型拓展 1. 三类模型均为定值模型，夹角大小只与顶角∠A有关，与三角形形状无关； 2. 可拓展至n等分线模型，将角平分线替换为三等分线、n等分线，推导逻辑完全一致； 3. 是后续三角形内心、旁心概念的几何基础。 模型常见易错点 1. 易错点：三类模型的加减符号记混，内角型记成减、外角型记成加 错因分析：死记硬背结论，不理解推导过程中内角和与外角的差异。 避坑指南：用特殊值验证，比如令∠A=60°，内角型夹角应为120°，一内一外为30°，双外角为60°。 2. 易错点：分不清外角平分线对应的外角 错因分析：外角位置判断错误，导致推导时角度加减出错。 避坑指南：外角是相邻内角的补角，延长一边即可找到对应外角。 3. 易错点：复杂图形中无法快速定位模型 错因分析：图形线条多，无法快速提取两条角平分线与三角形的结构。 避坑指南：先找两个角平分线，再找它们对应的公共三角形，锁定顶角。 模型小结 1. 核心口诀：内加外减，一内一外半；内角加半角，外角减半角； 2. 解题流程：找平分线→定类型→套结论→验合理性； 3. 所有结论均可通过内角和+外角性质快速推导，忘记结论时现场推导也可快速得出； 4. 倒角优先用模型，可大幅节省推导时间。 1．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 2．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为9 ． 3．如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质与三角形面积公式，掌握同高等底的三角形面积之比等于底之比是解题的关键． 点是的内心，到三边的距离相等，三个小三角形的高相等，面积比等于对应底边的长度比． 【详解】解：∵是和角平分线的交点 ∴点到的距离相等 ∴三个小三角形的高相等 ∵，， ∴面积比等于底边比 ∵已知 ∴． 故选：C． 4．(25-26九上·重庆凤鸣山中学教共体·月考)如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的判定，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，因此，判定，同理：，得到的周长，而的周长，即可求出的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴的周长， ∵的周长， ∴． 5．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有__．（填入序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查角平分线定义，等腰三角形判定及性质，三角形周长，平行线性质等．根据题意利用平行线性质可得，后由角平分线定义得，继而判断④和③正确，由三角形周长可得边长相加即，可得②正确，后由角度推出边不一定等，得到①错误，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形，故④正确； ∴，故③正确； ∴的周长为：，故②正确； ∵不一定等于， ∴不一定等于， ∴与不一定相等，故①错误． 故答案为：②③④． 6．(24-25八下·宁夏银川北塔中学·期中)如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得的周长，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示， ∵平分平分， ∴平分， ∴， 由平移得， ， ， ， 同理可得； ∴的周长， 即图中阴影部分的周长为 8 ； 故答案为：8． 7．(25-26七·上海闵行区·调研)如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 【答案】7 【分析】利用角平分线和平行线的性质可得、，从而得到、．将的周长转化为．已知 的周长为 25，即可求出． 【详解】∵平分平分， ∵， 的周长为18， 即 ∵的周长为 25， ， ． 8．(25-26七·上海杨浦区·期末)如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 【答案】12 【分析】根据角平分线的定义可得，，根据平行线的性质可得，，进而根据等角对等边证得，，最后将的周长转化为进行计算． 【详解】解：是等边三角形， ， 平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， 的周长 ． 9．(25-26七下·江苏南通·期末)在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 【答案】/76度 【分析】根据角平分线的定义和三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：如图， ∵点为和角平分线的交点， ∴，. ， ∴ ． ． 在中，根据三角形内角和定理得 ． 10．(25-26八·山西临汾侯马·期末)如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 【答案】 【分析】如图：过点作交于，交于，由平行四边形的性质和判定可得，，可得，即，再根据、的平分线、分别与相交点、，，得，，从而得到，由三线合一可得，，再根据勾股定理求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，过点作交于，交于， 四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 同理可得：， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 即：， ， 平分， ，， ， ， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得：, ． 【点睛】作出，利用“角平分线+平行线得到相等线段”，再根据“三线合一”求出，是解决本题的关键． 11．如图，是的平分线，是的外角的平分线． (1)若，求的度数； (2)结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的定义，得出，，再根据，故，又因为是的外角的平分线，得，再代入数值到进行计算，即可作答． （2）结合角平分线的定义以及三角形外角性质进行分析，故，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； （2）解：，过程如下： 设， ∵是的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵是的外角的平分线． ∴， ∵， ∴； ∴． 12．(24-25八下·甘肃武威十三中学联片教研·)如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． (1)当为高时，若，求的度数； (2)当为角平分线时，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线和高，关键是由角平分线定义和三角形内角和定理推出． （1））由角平分线的定义得到，由三角形高的定义得到，由三角形的外角性质即可求出的度数； （2）由角平分线定义，三角形内角和定理得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴； （2）∵平分，平分， ∴， ， ∴ ， ∴ ． 13．(25-26八上·回归教材三角形内（外）角平分线的夹角问题八年级数学上册（湘教2024）·)如下图，在中，BO，CO分别平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的值，再根据角平分线的定义求出的值，最后利用三角形内角和定理计算即可. 【详解】解： ， ， 分别平分， ， ， ∴    【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义，能进行推理计算解决问题是解题的关键. 14．已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：连接，如图所示： 平分，，， ， 垂直平分， ， ， ； (2) 【分析】本题考查三角形综合，涉及角平分线性质、垂直平分线性质、角平分线定义、三角形全等的判定与性质等知识，熟记三角形相关性质是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由垂直平分线的性质得到，从而由两个直角三角形全等的判定定理得到，再由全等性质即可得证； （2）先求出，再由三角形全等的判定得到，进而得到，表示出即可得到答案． 【详解】（1）证明：略； （2）解：由（1）可知 ， ， 平分， ， ，， ， 又， ， ， ． 15．(24-25八下·江西抚州临川区青泥镇初级中学·月考)如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 【答案】14 【分析】本题综合考查了平行线的性质，角平分线的定义以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 由平行线的性质、角平分线的性质推知， 则，同理可得，所以线段的长度转化为线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，平分，， ∴，， ∴， ∴； 同理，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 16．(25-26八上·山东临沂罗庄区·期中)如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 【答案】 证明：为的平分线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ∴平分． 17．在中，，、分别是的平分线、相交于点． (1)如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． (2)如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 【答案】(1) 证明过程见解析； ②，证明见解析； (2)（1）中所得结论仍然成立，理由见解析． 【分析】（1）由三角形的内角和定理可得，由角平分线的定义可得，，由三角形外角的性质，即可证得结论；过点作于点，由角平分线的性质，等量代换可得，可证明，即可得与之间的数量关系； （2）由角平分线的定义，结合三角形的内角和定理，可得，过点作于.作于，连接，同（1）可得，，是的平分线，可得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 、分别是的平分线， ，， ，， ． 解：， 证明：过点作于点， 、分别是的平分线， 于，于 ，， ， 又，， ， ． （2）解：（1）中所得结论仍然成立， 理由如下： 、分别是的平分线， ，， ， 过点作于.作于，连接， 同（1）可得，，是的平分线， ， ， ， 又， ， ． 【点睛】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形． 18．如下图，在中，平分，平分，过点作，与，相交于点，．已知，的周长为24，求的周长． 【答案】38 【分析】利用角平分线的定义和平行线的性质可证、是等腰三角形，即可得 ，，然后利用三角形的周长公式以及等量代换可得：，即可解答． 【详解】解：平分，平分， ，． ， ，， ，， ，， ， 即， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握根据角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 19．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． (1)若，求的度数； (2)若，则= °；（用含的代数式表示） (3)如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义、三角形外角的性质计算，得到答案； （2）仿照（1）的解法解答； （3）根据平行线的性质得到，根据（2）的结论解答． 【详解】（1）解：， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ； （2） ， ． 分别是和的平分线， ， 是的外角， ， 故答案为：； （3）， ． ． 由（）得． ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 20．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． (1)求证：． (2)请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 【答案】(1)见解析 (2)图2结论：；图3结论： 【分析】（1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得出，结合角平分线的定义即可得证； （2）在图2中，、的角平分线交于点，，在中，，即可得出；在图3中，根据三角形的外角的性质可得，在中，，进而在中，，即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的外角平分线，平分，且、交于点． ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴ （2）解：图2结论：；图3结论： 在图2中，、的角平分线交于点， ∴， 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ 在图3中，、的外角平分线交于点， ， ∴， 在中， 在中， ． 21．(25-26七下·四川嘉祥教育集团·期中)在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． (1)同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； (2)请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； (3)猜想与的关系，并证明与的关系． 【答案】(1) (2) 解：构造等腰直角三角形，， 则． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中，． 故为等腰直角三角形时，． (3)解：， 证明：∵、平分、， ∴， ∴． 在中，． 在中， ． 即． 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义以及特殊化到一般化的数学探究方法．解题的关键是利用角平分线定义表示出与，再结合三角形内角和定理推导与的关系； （1）通过等边三角形的特殊内角计算角平分线夹角； （2）构造等腰直角三角形验证规律； （3）由三角形内角和定理、角平分线定义即可得到与的关系． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴． ∵、是角平分线， ∴， ∴． 在中， ． （2）略 （3）略 22．(25-26八上·湖北武汉黄陂区·期中)如图，平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴上，点是的三条角平分线的交点． (1)如图，连接，直接写出的度数 ； (2)如图，连接并延长交于，若，，求的长； (3)如图，连接，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得，再根据三角形内角和定理即可求解； （）设，则，由可得，得到，过点作于，由三角形面积可得，再根据角平分线的性质得到，即得到，进而由勾股定理可得，即可求解； （）延长至，使，可得，，进而可证，得到，设，由角平分线的定义及三角形外角性质得，，，进而由可得，即得到，最后根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点是 三条角平分线的交点， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点作于，如图， 则， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， 整理得，， ∴，， ∴， ∴； （3）解：延长至，使， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∵，平分， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及外角性质，角平分线的定义及性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 23．(24-25七下·河北石家庄桥西区·期末)【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 (1)如图①，是“邻三分线”，则______； (2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； (3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 【答案】(1)20 (2)84 (3)54° 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是应用角的“三分线”定义来解决问题． （1）由是“邻三分线”，即可求出的度数； （2）由是“邻三分线”，求出，由三角形的外角性质得到； （3）由三角形内角和定理求出，由角的“三分线”定义得到，求出，由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：如图①，是“邻三分线”， ， 故答案为：20； （2）解：如图②，是“邻三分线”， ， ． 故答案为：84． （3）解：如图③，， ， ，分别是和的“邻三分线”， ，， ， ， ． 24．(25-26八上·吉林延边朝鲜族安图县第三中学·期中)请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）； （2）∵点是的外角与外角的平分线和的交点 ∴    ∵   ∴ ∴ ∴； （3）①；② 【分析】本题考查了三角形内角和，角平分线的性质，外角的性质等相关知识，解题关键在于熟练掌握其知识点.                                                                                                         （1）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的性质求出的度数，由三角形内角和定理即可求出答案； （2）根据角平分线的定义可得，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解； （3）①根据四边形的内角和定理表示出，然后同理（2）解答即可；②根据为锐角三角形，得到的取值范围，即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点是的内角与内角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ 故答案为：； （2）略 （3）①点是的外角与外角的平分线和的交点， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答案为：； ②∵为锐角三角形， ∴； ∴； ∴ . 25．(24-25八下·湖北武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）·期末)已知：在平面直角坐标系中，点坐标，B点坐标为． (1)如图1，点为平分线与平分线的交点，连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，若，且． ①直接写出点坐标__________，点坐标__________； ②求点坐标． (2)在（1）的条件下，在坐标轴上有一点，若，求点坐标． (3)若直线解析式为，向下平移直线得直线，如图2，若，在直线上，连接，交于点，求点横坐标． 【答案】(1)①，② (2)或 (3) 【分析】（1）①根据二次根式和绝对值的非负性可得，，进而可得，，由可得，由此可得点坐标为，点坐标为； ②由勾股定理得，过P点作，，，由点为平分线与平分线的交点，可得点也在的角平分线上，进而可得，利用面积法可得，，从而可得． （2）分两种情况考虑：①当Q点在x轴上时，先求得直线的表达式为，则可得，设．由可得，列出关于q的方程，求出q的值即可得Q点的坐标为或．②当Q点在y轴上时，结合图像发现，此种情况不存在，综上可得Q点坐标为或． （3）设直线的表达式为，将M、N的坐标代入得，，可得，．设直线的表达式为，利用待定系数法可得直线的表达式为． 设直线的表达式为，利用待定系数法可得直线的表达式为，将两个函数表达式联立，即可求得G点的横坐标为． 【详解】（1）解：①∵，且，， ∴，， ∴，， ∴，， 又∵， ∴ ∴点坐标为，点坐标为． 故答案为：，． ②∵，， ∴，， ∴ 如图，过P点作，，， ∵点为平分线与平分线的交点， ∴点也在的角平分线上， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①当Q点在x轴上时，设直线的表达式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∴． 设， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴或． ②当Q点在y轴上时， ∵，且底边都为， ∴与的高相同，这种情况不存在， ∴Q点不可能在y轴上． 综上，Q点的坐标为或． （3）解：∵直线解析式为， ∴， ∵直线平行于， ∴设直线的表达式为， 把，代入，得 ， 得， 解得， ∴． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴直线的表达式为． 联立， 得， 又∵， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴点的横坐标为． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，勾股定理，一次函数与几何的综合应用，面积问题，以及用待定系数法求一次函数的表达式，一次函数求交点问题，难度较大，熟练掌握以上知识及数形结合思想是解题的关键． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形中的倒角模型之双角平分线模型 角度推导是初中几何证明与计算的核心基础，也是八年级几何入门的第一个重难点，而三角形双角平分线模型是倒角体系中最经典、应用最广泛的定值模型之一。该类模型主要依托三角形内角和定理、角平分线定义，考查等量代换、转化化归的数学思想。熟练掌握三类双角平分线的角度结论，可大幅提升倒角速度与准确率。本专题就三角形中的三类双角平分线倒角模型进行系统梳理及对应试题分析，方便大家掌握。 命题趋势：弱化机械角度计算，强化模型识别与多模型叠加应用，多以“内角双平分、一内一外双平分、双外角平分”的组合形式出题，常与三角形内角和、外角性质结合考查填空选择压轴。 推导逻辑：依托三角形内角和定理，结合角平分线拆分角度，通过等量代换推导定值，拒绝死记结论。 核心素养目标： 1.掌握三类双角平分线模型的推导过程，规范几何说理步骤； 2.能快速识别双角平分线模型，直接套用定值结论简化计算； 3.培养转化化归、定值探究的几何推理能力，为后续全等倒角奠基。 【模型来源】 2 【知识储备】 2 【例讲模型】 2 模型1. 双角平分线模型（双内角） 2 模型2. 双角平分线模型（一内角一外角） 5 模型3. 双角平分线模型（双外角） 7 模型拓展 8 【易错总结】 9 【模型运用】 9 模型根植于三角形内角和为180°、外角等于不相邻两内角和、角平分线平分角度三大基础性质，通过两条角平分线的组合叠加，衍生出三类固定角度定值模型。其中两内角平分线交点为三角形的内心（内切圆圆心），一内一外角平分线交点、两外角平分线交点为三角形的旁心（旁切圆圆心），三类模型分别对应三角形内心、旁心的角度性质，是教材基础性质的综合拓展与三角形心概念的前置铺垫。 学习本专题前，需熟练掌握以下前置知识： 三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°； 三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和； 角平分线定义：从角的顶点出发，将角分成两个度数相等的角的射线； 等式的基本性质：等量代换、等式两边同时加减或乘除同一个非零数，等式仍然成立。 模型1. 双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 【模型提炼与证明】 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P； 结论：。 证明：∵∠ABC和∠ACB的平分线BP，CP交于点P，（已知） ∴，。（角平分线定义） ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）（三角形内角和定理） =180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠A） =90°+∠A。 核心结论：，夹角恒大于90°。 变式点拨：若已知∠BOC，可反向推导∠A=2（∠BOC-90°）。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、CP平分∠ABC、∠DCB，两条角平分线相交于点P； 结论：2∠P=∠A+∠D。 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠DCB， ∴，。 ∴∠P=180°-（∠PBC+∠PCB） =180°-（∠ABC+∠DCB） =180°-（360°-∠A-∠D） =（∠A+∠D）。 即：2∠P=∠A+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，CP、DP平分∠BCD、∠CDE，两条角平分线相交于点P； 结论：。 证明：∵CP、DP平分∠BCD、∠CDE， ∴，。 ∴∠P=180°-（∠PCD+∠PDC） =180°-（∠BCD+∠CDE） =180°-（540°-∠A-∠D-∠E） =∠A+∠D+∠E-90°。 即：2∠P=∠A+∠D+∠E-180°。 【模型运用】 【典例1】（25-26八上·江苏镇江扬中·期中）如图，在中，和的平分线分别交于点G、F，若，则的值为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【典例2】如图，在中，是角平分线，则图中的等腰三角形共有（    ） A．8个 B．7个 C．6个 D．5个 【典例3】（24-25八上·江苏盐城东台实验中学·期中）如图，平分，平分，，的周长为20，，则为 ___________ . 【典例4】如图，在中，、分别平分、，且，，的周长为10，则的长为______． 模型2. 双角平分线模型（一内角一外角） 【模型提炼与证明】 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点P； 结论：． 证明：∵BP、CP平分∠ABC、∠ACD，（已知） ∴，。（角平分线定义） ∴∠P=∠PCD-∠PBC=（∠ACD-∠ABC）=∠A。 核心结论：，夹角等于顶角的一半。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2，，∠ABC、∠ACD的平分线相交于点，的平分线相交于点，，的平分线相交于点……以此类推； 结论：∠Pn的度数是． 证明：∵BP1、CP1平分∠ABC、∠ACD，∴，。 ∴∠P1=∠P1CD-∠P1BC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=。同理：∠P2=∠P1=，∠Pn= 【模型运用】 【典例1】（25-26八上·河南商丘睢县多乡镇·月考）如图，已知是的角平分线，是的外角的平分线，与交于点D． （1）若，则______； （2）若，则______； （3）若，则______． （4）综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的正确性． 【典例2】（25-26八上·广东东莞厚街新园学校·月考）如图1，在中，的平分线与的外角的平分线相交于点． （1）若，则______； （2）判断与的数量关系，并加以证明； （3）若的平分线与的外角的平分线相交于点（如图2），直接写出与的数量关系． 【典例3】（25-26七·山东济南莱芜区·期末）如图，在中，平分． （1）如图1，的外角，的平分线与交于点．求证：； （2）如图2，的垂直平分线交于点，交于点，过点作于点，，交的延长线于点，若，，求的长． 模型3. 双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 【模型提炼与证明】 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△ABC中，BO，CO是△ABC的外角平分线； 结论：． 证明：∵BO、CO平分∠CBE、∠BCF， ∴，。 ∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB） =180°-（∠EBC+∠BCF） =180°-（∠A+∠ACB+∠ABC+∠A） =180°-（180°+∠A） =90°+∠A。 核心结论：，夹角恒小于90°。 变式点拨：三类模型可统一记忆：内加外减，一内一外直接半。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角，两条角平分线相交于点D； 结论：AD平分∠CAD。 证明：如图3，过点D作DM⊥BA、DN⊥AC、DH⊥BC， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB的外角， ∴DH=DM，DH=DN， ∴DM=DN， ∴AD平分∠CAD。 【模型运用】 【典例1】（24-25七·河北遵化苏家洼镇大刘庄中学·期末）在中，，三角形的外角和的平分线交于点，则____________． 【典例2】（25-26八上·吉林吉林第二十九中学校·月考）如图，已知、分别是的两个外角、的平分线，且，求的度数. 模型拓展 1. 三类模型均为定值模型，夹角大小只与顶角∠A有关，与三角形形状无关； 2. 可拓展至n等分线模型，将角平分线替换为三等分线、n等分线，推导逻辑完全一致； 3. 是后续三角形内心、旁心概念的几何基础。 模型常见易错点 1. 易错点：三类模型的加减符号记混，内角型记成减、外角型记成加 错因分析：死记硬背结论，不理解推导过程中内角和与外角的差异。 避坑指南：用特殊值验证，比如令∠A=60°，内角型夹角应为120°，一内一外为30°，双外角为60°。 2. 易错点：分不清外角平分线对应的外角 错因分析：外角位置判断错误，导致推导时角度加减出错。 避坑指南：外角是相邻内角的补角，延长一边即可找到对应外角。 3. 易错点：复杂图形中无法快速定位模型 错因分析：图形线条多，无法快速提取两条角平分线与三角形的结构。 避坑指南：先找两个角平分线，再找它们对应的公共三角形，锁定顶角。 模型小结 1. 核心口诀：内加外减，一内一外半；内角加半角，外角减半角； 2. 解题流程：找平分线→定类型→套结论→验合理性； 3. 所有结论均可通过内角和+外角性质快速推导，忘记结论时现场推导也可快速得出； 4. 倒角优先用模型，可大幅节省推导时间。 1．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 2．如图，在中，，，，平分，平分．将平移，使其顶点A与点I重合，则图中阴影部分的周长为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．如图，三条角平分线将分为三个三角形，且，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九上·重庆凤鸣山中学教共体·月考）如图，在中，的角平分线与的角平分线交于点D，过D点作的平行线分别交、于点M、N，若与的周长分别为22、14，则的长为___________． 5．如图，中，与的平分线交于点F，过点F作交于点D，交于点E，那么下列结论：①；②的周长等于与的和；③；④和都是等腰三角形．其中正确的有__．（填入序号） 6．（24-25八下·宁夏银川北塔中学·期中）如图，在中，，，，平分，平分，将平移使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为______． 7．（25-26七·上海闵行区·调研）如图，在中，平分 ， 平分，过点作分别交，边于点、，的周长为18，的周长为25，那么边 的长为_________ 8．（25-26七·上海杨浦区·期末）如图，等边中，的平分线与的平分线交于点，过点作，分别交边、于点D、E．如果，那么的周长________． 9．（25-26七下·江苏南通·期末）在中，点O为和角平分线的交点，，则_______． 10．（25-26八·山西临汾侯马·期末）如图，在平行四边形中，、的平分线、分别与相交于点、，与相交于点，若，，，则的长为______． 11．如图，是的平分线，是的外角的平分线． （1）若，求的度数； （2）结合（1）的结论，猜想与的数量关系__________（不证明）． 12．（24-25八下·甘肃武威十三中学联片教研·）如图，在中，为角平分线，D为边上的一点（不与点A，B重合），连接交于点O． （1）当为高时，若，求的度数； （2）当为角平分线时，若，求的度数． 13．（25-26八上·回归教材三角形内（外）角平分线的夹角问题八年级数学上册（湘教2024）·）如下图，在中，BO，CO分别平分．若，求的度数． 14．已知：如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15．（24-25八下·江西抚州临川区青泥镇初级中学·月考）如图，在中，，，，过点A的直线，与的平分线分别交于点，，求的长． 16．（25-26八上·山东临沂罗庄区·期中）如图，在中，点为的平分线上的一点，过点作交于点，交于点，连接，若．求证：平分． 17．在中，，、分别是的平分线、相交于点． （1）如图，若是直角， 求证：； 过点作于，于．请写出与之间的数量关系，并证明． （2）如图，若不是直角，判断（1）中所得结论是否还成立，并说明理由． 18．如下图，在中，平分，平分，过点作，与，相交于点，．已知，的周长为24，求的周长． 19．如图，点A，B分别在射线上运动（不与点O重合），分别是和的平分线，延长交于点G． （1）若，求的度数； （2）若，则= °；（用含的代数式表示） （3）如图，若，过点作 交于点，求与的数量关系． 20．已知，如图，是的外角平分线，平分，且、交于点． （1）求证：． （2）请探究，在中，、内角平分线形成的与的关系？、外角平分线形成的与的关系？（直接写出结果） 21．（25-26七下·四川嘉祥教育集团·期中）在学习完《问题解决策略：特殊化》内容后，同学们利用特殊化研究三角形角平分线相交形成的角度度数关系． 在中，线段和是的角平分线，与相交于点P，判断与的关系． （1）同学们首选选取等边三角形进行特殊化研究，请求出的度数； （2）请同学们作出一个特殊三角形，并说明它的特殊性，并写出的度数； （3）猜想与的关系，并证明与的关系． 22．（25-26八上·湖北武汉黄陂区·期中）如图，平面直角坐标系中，点，点分别在轴，轴上，点是的三条角平分线的交点． （1）如图，连接，直接写出的度数 ； （2）如图，连接并延长交于，若，，求的长； （3）如图，连接，若，求的度数． 23．（24-25七下·河北石家庄桥西区·期末）【概念认识】 如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，是“邻三分线”，则______； （2）如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______； （3）如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数． 24．（25-26八上·吉林延边朝鲜族安图县第三中学·期中）请你参与下面的探究过程，并完成所提出的问题． 【探究】 （1）如图①，点是的内角与内角的平分线和的交点，若，则______． （2）如图②，点是的外角与外角的平分线和的交点．求证：． 【拓展】 （3）如图③，点是的外角与外角的平分线和的交点，点、分别在边、上，连接．设． ①与的数量关系是______． ②当为锐角三角形时，直接写出的取值范围． 25．（24-25八下·湖北武汉外国语学校（武汉实验外国语学校）·期末）已知：在平面直角坐标系中，点坐标，B点坐标为． （1）如图1，点为平分线与平分线的交点，连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，若，且． ①直接写出点坐标__________，点坐标__________； ②求点坐标． （2）在（1）的条件下，在坐标轴上有一点，若，求点坐标． （3）若直线解析式为，向下平移直线得直线，如图2，若，在直线上，连接，交于点，求点横坐标． 3 / 47 学科网（北京）股份有限公司 $