专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（几何模型讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 例2（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 例3（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 例4（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 例5（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 模型2.“A”字模型 例1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 例2（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 例3（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 例5（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 模型3.三角板模型 例1（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 例2（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 例3（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例4（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 例5（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 1．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）如图，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）将一副三角板如图放置，使点落在线段上，若，且与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 5．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 6．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 7．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图所示的是螳螂的简易示意图，，则的度数为 ． 8．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为 ；②的度数为 ． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在三角形中，是上一点，交于点，连接． （1）要使结论成立，则 ； （2）在（1）的条件下，连接，若，，则的度数为 度． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 11．（24-25七年级下·河南许昌·阶段练习）如图，，点P为上一点，、的角平分线交于点F，已知，则的度数． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且于E． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G． ①若，求的度数． ②当的度数变化时，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． (1)，，求的度数； (2)求证：． 22．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，． (1)请直接写出：_________． (2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点． 若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系； 若，求的度数． 23．（24-25七年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． (1)已知：如图1，在中，求证： 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴ （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角 ． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和． 【实践运用】 (2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：． 【拓展提升】 (3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ． (4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ． 24．（25-26八年级上·全国·阶段练习）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 25．（24-25七年级下·广东惠州·期末）综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形中的倒角模型之“8”字模型、“A”字模型与三角板模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 5 模型1.“8”字模型 5 模型2.“A”字模型 8 模型3.三角板模型 10 15 “8”字模型（又称“八字模型”）和“A”字模型是几何倒角中的经典结构，“8”字模型因其形状类似数字“8”而得名，“A”字模型因其形状类似大写字母“A”而得名。 该模型常用于初中几何题中，用于简化角度计算（如填空题或大题中的角度求和）‌；部分题目会结合平行线或角平分线条件，进一步复杂化模型。 ‌ （2025·福建·中考真题）某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ∵，∴， ∵，∴；故选：B． （24-25七年级下·河南南阳·期末）如图①，已知线段，相交于点，连接，，我们把形如这样的图形称为“八字图形”．(1)问题发现：如图①，试证明：； (2)拓展研究：如图②，若和的平分线和相交于点，与，分别交于点，． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：______；______； ②若，，求的度数（用含，的代数式表示）； (3)解决问题：在（2）的条件下，若与分别平分与，与交于点，且，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)见解析(2)①，；② (3) 【详解】（1）证明：，，； （2）①，，； ，，； 故答案为：，； ②如图所示：和的平分线和相交于点，，， 由(1)得，，，． ，，； （3）解：，理由如下：与分别平分与， ，， 和的平分线和相交于点，，， ，， ，， ，，， 四边形，， ，， ，，， ，，． （2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 1）8字模型（基础型） 条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。 证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°；在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°； ∵∠AOB=∠COD ∴∠A+∠B=∠C+∠D； 在∆ABO中，AB＜AO+BO；在∆COD中，CD＜CO+DO； ∴AB+CD＜AO+BO+CO+DO=AD+BC；∴。 图1 图2 图3 图4 2）8字模型（加角平分线） 条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D 证明：∵线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；∴∠BAP=∠PAD, ∠BCP=∠PCD ∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B ① ∠PAD+∠P=∠PCD+∠D ② ①+②得2∠P=∠B+∠D， 则，即2∠P=∠B+∠D 3）A字模型 条件：如图3，在∆ABC中，∠1、∠2分别为∠3、∠4的外角； 结论：①∠1+∠2=∠A+180° ；②∠3+∠4=∠D+∠E 证明：①∵∠1=∠A+∠ACB ∴∠1=∠A+180°-∠2 ∴∠1+∠2=∠A+180°。 ②在∆ABC中，∠A+∠3+∠4=180°；在∆ADE中，∠A+∠D+∠E=180°∴∠3+∠4=∠D+∠E。 模型1.“8”字模型 例1（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，则 °． 【答案】30 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，角平分线的性质等知识点，根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，即可求出的度数，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 【详解】解：∵是中的平分线，是的外角的平分线， ∴，， ∵是的外角， ∴， 故答案为：30． 例2（24-25七年级下·四川成都·期末）如图是可调躺椅示意图（数据如图），与的交点为C，且，，保持不变．为了舒适，需调整的大小，使 ，则应 （填“调大”或“调小”） 度． 【答案】 调小 10 【分析】本题考查了三角形内角和的度数以及对顶角相等，灵活运用所学知识是解题关键． 连接，在中，求出，然后在中，求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴应调小； 故答案为：调小，10． 例3（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键． （1）利用三角形的内角和定理表示出与，再根据对顶角相等可得，然后整理即可得解； （2）①根据（1）的关系式求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用“8字形”的关系式列式整理即可得解； ②根据“8字形”用、表示出，再用、表示出，然后根据角平分线的定义可得，然后整理即可得证． 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 例4（24-25七年级下·四川广安·期末）已知：如图，线段、相交于点，连接、，我们把形如图的图形称之为“字形”，和的平分线和相交于点，试解答下列问题： (1)在图中，试说明：． (2)在图中，若，，根据（1）中得到的数量关系，求的度数； (3)如果图中和为任意角，其他条件不变，直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题关键． （1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论； （2）根据角平分线的定义得出，，由（1）得，，两式相加即可得答案， （3）同（2）的方法即可得出结论． 【详解】（1）解：∵线段、相交于点， ∴， ∵，， ∴． （2）解：由（1）可知：，， ∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）解：∵和的平分线和相交于点， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 例5（24-25八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 模型2.“A”字模型 例1（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在四边形中，，平分交的延长线于点，交于点，，过点作交于点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和、角平分线的定义、三角形外角的性质、垂直的定义等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据角平分线的定义可得，运用三角形外角的性质可得，最后利用角的和差以及垂直的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 例2（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 例3（24-25七年级下·四川绵阳·期末）如图，已知，且． (1)试判断和的位置关系，并说明理由； (2)若平分，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先证出，根据平行线的性质可得，则可得，然后根据平行线的判定即可得； （2）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）已得：， ∴． 例4（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一副三角尺摆放在中，点在上，点在上． (1)与平行吗？请说明理由； (2)若为上一点，连接，，且，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）证明即可求证； （）由得，，即得，再根据三角形外角性质解答即可求解； 本题考查了邻补角的性质，平行线的判定，三角形的外角性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解： ，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴，， ， ， ， ． 例5（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，在中，，是的角平分线，交于点D，点E在边上，连接，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和，先利用两直线平行内错角相等求出，结合角平分线定义求出的度数，再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：， ． 是的角平分线， ． ， ． 模型3.三角板模型 例1（24-25九年级下·江西抚州·阶段练习）一次数学拓展探究活动课上，小晨同学将一副三角板按如图所示方式摆放，边重合，，然后将三角板绕着点按顺时针方向以每秒的速度旋转．在此旋转过程中，当旋转时间为 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 【答案】，或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据题意分三种情况，或或，分别画出示意图，根据平行线的性质以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由题意得，分三种情况： ①如图1，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ②如图2，当三角板旋转至时， 有， 旋转时间为． ③如图3，当三角板旋转至时，连接， 有． ，， ． ． 旋转时间为． 综上所述：当旋转时间为，或时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行． 故答案为：，或． 例2（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）将一副三角板按如图所示的方式摆放，已知，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角板的认识，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 由平行线的性质可得的度数，从而可得，根据三角形外角的性质，计算即可． 【详解】解：根据三角板各角的度数可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 例3（2024·浙江台州·模拟预测）一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 【详解】解： 在和中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 例4（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，将一块直角三角板放置在锐角上，使得该三角板的两条直角边，恰好分别经过点，．若时，点在内，则的值是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查三角形外角的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 根据三角形外角的性质，结合角的和差运算，即可得的值． 【详解】解：如图，连接并延长，交于点，则，， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为： ． 例5（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）【问题情景】如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点． 【特例探究】 （1）若，则，，； 【类比探究】 （2）请猜想与的关系，并进行证明； 【类比延伸】 （3）如图②，改变直角三角板的放置方式，使点P在外，其两条直角边，分别经过点C和点B，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请直接写出新的结论． 【答案】（1），，；（2），证明见解析；（3）不成立， 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形两锐角互余．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出，的度数． （1）已知，根据三角形内角和定理易求的度数，已知，根据三角形内角和定理易求的度数，进而得到的度数； （2）由（1）中的度数，的度数，相减即可得到与的关系； （3）由于在中，，在中，，相减即可得到结论． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：；；． （2）与的关系为：， 理由如下： 由（1）得：， ∵， ∴， ∴ ． ∴． （3）不成立，存在， 理由如下： 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴（2）中的结论不成立． 1．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）如图，，，，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据平行线的性质可求出，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·陕西西安·开学考试）将一副三角板如图放置，使点落在线段上，若，且与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，平行线的性质，由平行线的性质得到，再根据三角形外角的性质即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图，已知，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所有直角都相等，对顶角相等，和三角形内角和定理解答即可． 本题考查了所有直角都相等，对顶角相等，和三角形内角和定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，，，则等于（    ） A．100° B．200° C．180° D．210° 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理综合．熟练掌握三角形内角和定理，三角形外角性质，对顶角性质，是解题的关键． 根据，，，即可求出． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：C． 5．（24-25八年级上·河南安阳·期中）如图，与是一副叠放在一起的三角板，则 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角板有关的角度计算，三角形外角性质，正确计算是解题的关键． 由外角性质求出，即可再根据外角性质得到． 【详解】解：由题意可得，， ， 故答案为：． 6．（24-25七年级上·湖南湘西·期末）阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． （1）先在中利用三角形内角和定理求出，再在中求出，最后通过两者相减得到． （2）通过三角形内角和定理，将和用和表示，进而推导出与的关系． （3）利用三角形外角性质，将和用、和表示，再结合推导出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， ． 在中，， ． ． 故答案为：；． （2）在中， 三角形内角和为， ． 在中，， 三角形内角和为， ． ． 故答案为：． （3），， ，， ． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·全国·阶段练习）如图所示的是螳螂的简易示意图，，则的度数为 ． 【答案】/73度 【分析】本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，正确作出辅助线是解题的关键．延长交于点G，交于点F，根据三角形外角的性质可得，再利用平行线的性质得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：延长交于点G，交于点F， ，， ， ， ， 又， ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，已知，点是上方一点，点分别在直线、上，连结、，平分，是的反向延长线上一点，平分，若，，则①的度数为 ；②的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，角的平分线，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．过G作，得，利用平行线的性质，三角形外角性质，角的平分线解答即可． 【详解】解：如图，过G作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，． 9．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）如图，在三角形中，是上一点，交于点，连接． （1）要使结论成立，则 ； （2）在（1）的条件下，连接，若，，则的度数为 度． 【答案】 45 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的性质和判定证明即可； （2）首先由平行线得到，然后根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）要使结论成立，则， 证明如下：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故答案为：； （2）∵， ∴ ∵ ∴． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图所示，中，，分别是的平分线，则的度数为 ． 【答案】/100度 【分析】先根据外角的性质求出，再利用三角形内角和定理求出，进一步求出后，即可求解． 【详解】解：∵分别是的平分线， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质和角平分线定义，解题关键是正确进行角的和差转化． 11．（24-25七年级下·河南许昌·阶段练习）如图，，点P为上一点，、的角平分线交于点F，已知，则的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及三角形的外角的性质：三角形的外角等于两个不相邻的内角的和．正确识别图形并通过设未知数建立方程是解题关键． 设，，根据角平分线的定义得到，，根据外角的性质得到，，由平行线的性质得到，，于是得到方程，即可得到结论． 【详解】解：如图所示， 设，， 、的角平分线交于点， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、D在直线b上，且于E． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点F，平分交于点G． ①若，求的度数． ②当的度数变化时，的度数是否发生变化？请说明理由； (3)如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②不变化，始终为，理由见解析 (3)或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，理解角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点E作（点K在点E的右侧），证明，进而得，，则，再根据即可得出结论 （2）根据，得，再根据角平分线定义得，，由（1）得，，则，，由此可得出的度数； ②根据角平分线定义设，，则，，根据，得，由（1）得，， 进而得，，，由此得，据此即可得出答案； （3）依题意有以下两种情况：①当点N在直线a，b之间时，设，则，，根据角平分线的定义设，则，由（1）得，，进而得，由此可得出，，之间的数量关系；②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），设，则，设，则，由（1）得，再根据平行线的性质求出，则，由此可得出，，之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：过点E作（点K在点E的右侧），如图1所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由（1）得：， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由（1）得：，， ∴，， ∴； ②当的度数变化时，的度数不变化，始终为，理由如下： ∵平分，平分， 设，， ∴，， 由（1）得：， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴，， ∴； （3），，的数量关系是：或，理由如下： ∵N为的角平分线上一点，且， ∴有以下两种情况： ①当点N在直线a，b之间时，如图3①所示： 设， ∵， ∴， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设， ∴， 由（1）得：，， 又∵， ∴， ∴； ②当点N在直线b的下方时，过点N作直线a（点H在点N的左侧），如图3②所示： 设， ∵， ∴， ∵N为的角平分线上一点， ∴设，则， 由（1）得：， ∵，直线a， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 综上所述：，，的数量关系是：或． 故答案为：或． 13．（24-25八年级上·河南郑州·期末）将一副三角板的两块直角三角尺的直角顶点C重合，其中，，． (1)如图1，与的数量关系为______，与的数量关系为______； (2)如图2，三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当平行时，求的度数； (3)三角尺保持不动，绕点C转动三角尺，当与三角尺的一边平行时，请直接写出的所有可能的度数． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，图形的旋转等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）由得出，，进一步得出结果即可； （2）当点和在点C异侧时，延长，交于F，可得出，从而得出，当和在点C同侧时，设交于G，可得出，从而得出∠； （3）分为，同理（2）可得是两种情形；当与时，也是分别两种情形，同理（2）得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图， 延长，交于F， ， ， ， 如图2-2， 设交于G， ， ， ， 综上所述：当时，或； （3）当时， 如图3-1， ， ， 如图3-2， ， ， 当时， 如图3-3， ， ， 如图3-4， ， 由（2）知， 当时，或， 综上所述：或或或或或． 14．（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）已知和，，，将按一定方式摆放，使的两条边分别经过点和点． (1)若将按如图1所示方式摆放，则 度； (2)若将按如图2所示方式摆放，求的度数； (3)在（2）中， （填“存在”或“不存在”）某一位置，同时使平分，平分． 【答案】(1)240 (2) (3)不存在 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （2）先根据三角形内角和为和已知条件，求出和的度数，再次利用三角形内角和定理求出，最后根据，代入进行计算即可； （3）先根据已知条件，求出，假设、同时平分和，求出，根据三角形内角和定理进行解答判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：240． （2）解：，， ， ，， ， ， ， ． （3）解：， ， ， 若、同时平分和， 则， ，与三角形内角和定理相矛盾， 不能将摆放到某个位置时，使得、同时平分和， 故答案为：不存在． 15．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，点D，E分别在的边，上，点F在线段上，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握这些定理和性质是解题的关键． （1）要证明，可通过平行线的性质和已知角的关系，利用同角的补角相等来推导． （2）先根据角平分线的定义得到角的关系，再结合平行线的性质以及已知的角的倍数关系，通过设未知数，利用三角形内角和定理来求解的度数． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）解：设，则 ∵ 平分 ∴ ∵ ∴ ， ∴ ∵ ∴ 解得 ∴ 16．（24-25七年级下·吉林长春·期末）【模型探究】（1）如图①，已知线段、相交于点，连接、，则有．我们把形如这样的图形称为“八字”模型．甲乙两名同学给出两种不同证明过程如下： 甲同学证明：（①______）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明：（②______）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①______； 乙同学证明过程的理论依据是：②______． 【模型应用】（2）如图②，已知线段、相交于点，连接、，、分别平分、． ①若，，求的度数． 补全下面求解过程． 解：、分别平分、， ，． 由“八字”模型知， 求解过程缺失 ②若，，直接写出 ______（用含有和的代数式表示）． 【模型拓展】（3）如图③，已知线段、相交于点，连接、，、分别为、的三等分线，，，若，，，直接写出的度数 ______． 【答案】（1）三角形内角和等于；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和；（2），过程见解析；；（3）． 【分析】此题考查了三角形的外角性质，三角形内角和定理，列代数式，准确识图，熟练掌握三角形的外角性质，三角形内角和定理，“八字”模型的应用是解决问题的关键． （1）①甲同学：根据，则，同理得，再根据得； ②乙同学：根据三角形外角性质得，，由此得； （2）①设与交于点，根据角平分线性质得，，则，，在和构成的“八字”模型中，，进而得，在和构成的“八字”模型中，，继而得； ②由①可知：，，进而得； （3）设与交于点，设，，则，，，由得，在和构成的“八字”模型中，，则，进而得，由解得，，在和构成的“八字”模型中，，进而得． 【详解】解：（1）甲同学证明： ，（三角形内角和等于）， 同理可得，， 又， ． 乙同学证明： ，（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）， ， ． 甲同学证明过程的理论依据是：①三角形内角和等于， 故答案为：三角形内角和等于； 乙同学证明过程的理论依据是：②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和， 故答案为：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和； （2）①设于交于点，如图所示： 、分别平分、， ，， ，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， ，， ， 在和构成的“八字”模型中，， ， 故答案为：； ②，， 由①可知：，， ， ， 故答案为：； （3）设与交于点，如图所示： 设，， ，， ，， ， ， ， 在和构成的“八字”模型中，， ，， ， ， 由，解得：，， 在和构成的“八字”模型中，， ， ， 故答案为：． 17．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知直线． (1)如图，求证：． (2)如图，点在、之间，连接、，平分，平分，，求与之间的数量关系． (3)如图，点为直线，之间一点，且在内部，点为直线上一点，连接，，，当恒成立时， ______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过作，根据平行线的性质求证即可； （2）延长交于，根据三角形内角和、角平分线的定义以及平行线的性质求解即可； （3）根据三角形内角和以及平行线的性质求解即可． 本题考查了平行线的性质，角平分线性质，熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作，如图： ， ， ，， ； （2）解：延长交于，交于，如图： ， ， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ； （3）解：设交于，如图： ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 18．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）（1）如图的图形我们把它称为“字形”，请说理证明． （2）如图，、分别平分、，和为任意角时，其他条件不变，试写出与、之间数量关系． （3）在图中，若设，，试问与、之间的数量关系为______用、的代数式表示． （4）在图中，直线平分，平分的外角，猜想与、的关系，直接写出结论． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3） ．（4） 【分析】本题考查了三角形内角和定理，“字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题． （1）利用三角形内角和定理解决问题即可． （2）设，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （3）如图中，设，，则，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题． （4）如图中，延长交于，设利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题． 【详解】解：（1）如图中， ，，， ； （2）如图中， 设， 则有， ， ； ； （3）如图中，设，，则，设，， 则有， ， ， 故答案为：． （4）如图中，延长交于，设． 则有， ， ， ． 19．（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图，，点在的延长线上，． (1)求证：； (2)平分，点在线段上，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质以及角平分线的定义，解题的关键是熟记平行线的判定与性质． （1）根据平行线的判定与性质即可证出； （2）利用“两直线平行，内错角相等”，可得出，结合角平分线定义、三角形内角和定理求出，，再根据角的和差及三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在中，平分交于点，点在边上，连接，已知． (1)请说明：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题的关键是通过角的等量关系推导线线平行，并利用垂直关系和角度和差计算角度． （1）利用角平分线得角相等，结合已知角相等推出内错角相等，证明平行． （2）由垂直得直角，结合已知角度求，再用三角形内角和求． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ， ， ， ． 21．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． (1)，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是． （1）由三角形内角和定理求出，得到； （2）由三角形内角和定理得到，，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ． 22．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图1，一副三角板的直角顶点重合，边，在直线上，其中，，． (1)请直接写出：_________． (2)如图，将三角板沿着直线向右平移得到三角板，直线与直线相交于点． 若点在线段上（不包括端点），求与的数量关系； 若，求的度数． 【答案】(1)； (2)；的度数为或． 【分析】（）利用三角形的外角性质即可求解； （）由，，则，然后把，代入求解即可； 分如图，当点在线段上时，如图，当点在延长线上时，分别通过平行线的性质，三角形的内角和定理等知识即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：当点在线段上（不包括端点）时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图，当点在线段上时， ∵， ∴设，则， 由平移性质可得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴； 如图，当点在延长线上时， 由上得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上可知：的度数为或． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，平移的性质，三角形内角和定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（24-25七年级下·河北承德·期末）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（Thales，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． (1)已知：如图1，在中，求证： 证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴ （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角 ． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和 的两个内角的和． 【实践运用】 (2)如图2，线段、相交于点，连接、，试证明：． 【拓展提升】 (3)如图3，、分别平分、，若，则的度数为 ． (4)如图4，是一个不规则的五角星，则图中五个角的度数和为 ． 【答案】(1) 它不相邻 (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和的应用，角平分线性质，借助三角形的内角和由第二问得到是解决本题的关键． （1）根据平行线的性质，即“两直线平行，内错角相等”和“两直线平行，同位角相等”即可证明． （2）根据三角形的内角和为将角度进行等量代换证明即可． （3）由（2）中的结论可得，与，再结合角分线的性质等量代换求解即可． （4）由（2）中结论可得，再由三角形内角和为即可求解． 【详解】（1）证明：延长线段至点，并过点作． ∵（已作）， ∴（两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等） ∵（平角的定义）， ∴（等量代换）． 同时发现，外角． 于是得到性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 故答案为：；；；它不相邻． （2）证明：在中，， 在中，， 又∵， ∴． （3）解：设与交点为点E，如图， ∵， 由（2）中的结论可知， 在和中，， 在和中，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， ， 两式相减可得，， ∴解得． 故答案为：． （4）解：设与相交于点O，连接，如图， 由（2）中结论可知，在和中，， 在中，， 即， ∴图中五个角的度数和为． 故答案为：． 24．（25-26八年级上·全国·阶段练习）“8”字的性质及应用： (1)如图①，相交于点O，得到1个“8”字．求证：． (2)如图②，以图中已有字母的顶点组成的“8”字有多少个？请分别写出来． (3)如图②，和的平分线相交于点E，利用（1）中的结论说明：． 【答案】(1)见解析 (2)有3个，分别是 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角的性质和对顶角相等的综合运用，解题的关键是掌握三角形的内角和定理,外角的性质. （1）根据三角形内角和定理和对顶角相等即可解决. （2）根据题中的“8”字的概念解答即可. （3）根据角平分线的定义和三角形的外角的性质解答即可. 【详解】（1）证明：， ，， ． （2）解：有3个，分别是． （3）平分，平分， ． 由（1），同理可证得， ， ， ． 25．（24-25七年级下·广东惠州·期末）综合探究：在数学探究课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板．探究活动中，三角板和两条平行线，在同一平面内． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系________； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图3中，小明把三角板直角顶点E放在平行线内，另两顶点放在平行线外，分别在的内部作射线交于点P，使得，（且n为整数），请求出（用含n的式子表示）． 【答案】操作判断：；迁移探究：；拓展应用： 【分析】本题考查了平行线的性质，多边形的内角和，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． 操作判断：过点E作，则，则，，根据即可得到答案； 迁移探究：由操作判断可知，，进一步求得，即可得到的度数； 拓展应用：由已知得到，，过点E作，根据平行线的性质得到，由即可得到答案． 【详解】解：操作判断：如图1，过点E作， ， ，， ∵ ∴ 故答案为： 迁移探究：如图2， 由操作判断可知，， ∵ ∴， ∴ 解得 ∴； 拓展应用：∵， ∴，， 过点E作 ， ∴，， ∴ 即 ∵， ∴ ∴ 解得 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $