第26章 二次函数——抛物线与存在性（6）矩形2题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以分层设问构建从基础到综合的知识逻辑链 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数图像与性质|5大题（含旋转/对称变换）|分层设问（基础计算→综合应用）|从顶点/交点坐标计算到图形变换，构建概念生成与应用拓展逻辑| |函数与几何综合|含矩形判定/面积最值|动态探究（动点/存在性问题）|结合几何直观与推理能力，体现二次函数与平面图形性质的融合|

1. 如图，抛物线经过点、、，点在抛物线上，且在轴的上方． y x O （ 1 ）求抛物线和直线的解析式． （ 2 ）点在直线上，点在轴上，且位于点的上方，那么在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理 由． （ 3 ）点 为直线上一点，点在平面内，那么是否存在一点 ，使得为矩形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，已知抛物线与轴相交于点，与正半轴相交于点，对称轴是直线 ， （ 1 ）求此抛物线的解析式以及点的坐标． （ 2 ）动点 从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点到达点时， 、同时停止运动．过动点 作轴的垂线交线段于点，交抛物线于点，设运动的时间为秒．当为何值 时，四边形为矩形． 3. 如图，经过点、、，点为抛物线上第一象限内一点． 1 学科网（北京）股份有限公司 y x O 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当点在抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，将沿着直线翻折，点的对应点为点，试问，四边形能否成为菱形？如果能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （ 3 ）如图，在（）的条件下，连接交轴于点，点 为轴上面一点，点在平面内，那么是否存在一点，使得为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． y x O 图 4. 如图，抛物线交轴于，两点，点在点的左侧，交轴于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （ 1 ）如图，点为直线上方抛物线上的一点，过点作交于点．作轴交直线于点 ，当的周长最大时，连接与轴交于点，若为直线上一, 动点，为直线上一动点，连接，，应点的坐标． ，求四边形 周长的最小值和对 图 （ 2 ）在（ ）的情况下，将绕点逆时针旋转度 后得到，过点作的垂线与轴交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在 点，使得以 ，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存, 在，请说明理由．图 5. 如图，抛物线 与 轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．经过点的直线与 轴交于点 ． （ 1 ）求、两点的坐标及直线的表达式． 图 备用图 （ 2 ）如图，直线从图中的位置出发，以每秒个单位的速度沿轴的正方向运动，运动中直线与 轴交于点，与轴交于点，点 关于直线的对称点为，连接、，设直线的运动时间为 秒．探究下列问题． 图 请直接写出的坐标（用含字母的式子表示）．1 当点落在抛物线上时，求直线的运动时间的值，判断此时四边形的形状，并说明理由．2 （ 3 ）在（）的条件下，探究：在直线的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以，， ，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． $ 1. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，正方形的顶点在轴的正半轴上，顶点在的正半轴上，点的坐标是，抛物线经过、两点与轴的另一个交点是点，连接．y x O （ 1 ）请直接写出抛物线的表达式． （ 2 ）设抛物线的对称轴与直线相交于点，求出点的坐标． （ 3 ）点是抛物线上一动点，且位于轴上方，当的面积为 时，求出点的坐标． （ 4 ）若点 是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，是否存在以 、、 、为顶点的矩形，若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 3 ） ， ． （ 4 ）存在，点 ． 的坐标为 ， ， 或 （ 1 ）∵四边形 ∴点 的坐标为 为正方形，点 的坐标为 将 、 的坐标是 ． ，得： ， ，点 代入 ，解得 ∴抛物线的表达式为 （ 2 ）∵抛物线的表达式为 ∴抛物线的对称轴为直线 ， ． ， 当 时，有 ． ， 8 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， ， ∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．设直线 的解析式为 ， 将 、 代入 ，得： 解得： ， ∴直线 的解析式为 ． 当 时， ， ∴点 的坐标为 ． （ 3 ）过 点作 轴于点 ，直线 与直线 交于点 ，如图 所示． y x O 图 设点 的坐标为 ，则点 的坐标为 ． ∴ ， ∵ 点坐标为 ， 点坐标为 ． ∴ ， ∴ ． 解得： ， ， ∴点 的坐标为 ， ． （ 4 ）设点 的坐标为 ， ∵点 的坐标为 ，点 的坐标为 ， ∴ ， ， ． 分 为边或 为对角线两种情况考虑(如图 )： y x O 图 当 为边时，有 或 或 ，即 ， 解得： ∴点 的坐标为 ， ， 或 ； 当 为对角线时，有 ，即 ， 解得： ， ， ∴点 的坐标为 或 ． 综上所述：存在以 、 、 、 为顶点的矩形，点的坐标为 ， ， 或 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 2. 将抛物线沿 沿轴翻折，得抛物线，如图所示，现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 ，与轴的交点从左到右依次为，；将抛物线 向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴交点从左到右依次为， ，如图所示．y y x x O O 图 图 （ 1 ）求抛物线的表达式． （ 2 ）在平移过程中，是否存在以点，，， 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ）存在， ． （ 1 ）略． （ 2 ）方法一：连接 、 、 、 ． y x O 图 依题意可知： ， ．即 ， 关于原点 对称， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， 关于原点 对称，∴ ， ∴四边形 为平行四边形． 要使平行四边形 为矩形，必需满足 ，即 ，∴ ． 当 时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形．方法二：如上图，连接 、 、 、 ． 依题意可知： ， ．即 ， 关于原点 对称， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ， 关于原点 对称， ∴ ， ∴四边形 为平行四边形． ∵ ， ， ， 若 ，则 ， ∴ ． 此时 ∴当 是直角三角形，且 ． 时，以点 ， ， ， 为顶点的四边形是矩形． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴交于点，，与轴交于点．y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）连接，点在抛物线的对称轴上，点为平面内一点，四边形能否成为矩形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ）能， ． ， ． （ 1 ）把 ， 代入 ， ∴ ，得 ， ∴ （ 2 ）∵四边形 ． 是矩形， ∴ 是矩形的对角线， 中点 ， ∵对称轴为 设 ∴ ∴ ， ， ， ，解得 ， ， ． 【知识点】二次函数与动点问题 4. 如图，直线与坐标轴交于、两点，抛物线 经过点，与直线 交于点 ，且与轴交于，两点． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）抛物线上有一点 ，当时，求点 的横坐标． （ 3 ）点在抛物线上，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 （ 1 ）抛物线的解析式 ． （ 2 ）点 的横坐标 或 ． （ 3 ）存在矩形，点 的坐标为： ， ． （ 1 ）直线 则 ， 与坐标轴交于 、 两点， ， 把 、 点坐标代入二次函数方程，解得： 抛物线的解析式 ．①， （ 2 ）符合条件的有 和 ，如下图所示， 当 时， ∵ ，∴ ， 此时符合条件的 只有如图所示的一个点， MB直线的 为 ，所在的直线方程为： ②，联立方程①、②可求得： ， 即：点 的横坐标 ， 当 时， ， 直线 的 值为 ，其方程为 ，将 所在的方程与抛物线表达式联立， 解得： ， 故：点 的横坐标 或 ． （ 3 ）存在． ①当 为矩形对角线时，矩形 所在的位置如图所示，设： ， ③， 所在直线的 ， 所在的直线 ，则： ④， ③、④联立得： ， 解得： 或 ， 这两个点分别和点 、 重合， 与题意不符，故：这种情况不存在，舍去． ②当 为矩形一边时， 情况一：矩形 所在的位置如图所示，直线 所在的方程为： ， 则：直线 的 为 ，所在的方程为 ⑤，联立①⑤解得点 ， 则 ， 情况二：矩形 所在的位置如图所示， 此时， 在抛物线上，其坐标为： ， 坐标为 故：存在矩形，点 的坐标为： 或 ． 【知识点】二次函数与动点问题 $ 1. 如图，抛物线经过点、、，点在抛物线上，且在轴的上方． y x O （ 1 ）求抛物线和直线的解析式． （ 2 ）点在直线上，点在轴上，且位于点的上方，那么在抛物线上是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理 由． （ 3 ）点 为直线上一点，点在平面内，那么是否存在一点 ，使得为矩形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （ 1 ）抛物线的解析式为 直线解析式为 ． ． （ 2 ）存在． （ 3 ）存在． 或 ．理由见解析． ．理由见解析． （ 1 ）设抛物线的解析式为 ∴抛物线的解析式为 ，把 代入得到 ． ，即 ． 由 （ 2 ）设 ①当 、 得： 直线解析式为 ． ， 为对角线时，四边形 为菱形，如图 ， 11 学科网（北京）股份有限公司 y x O 图 则点 和 关于 轴对称， ∴ ， 把 代入 得 ，解得 （舍去）， ，∴ ． ②当 为菱形的边时，四边形 为菱形如图 ， y x O 图 则 轴， ， ∴ ∴ 而 ，即 ， ∴ t，解得 （舍去）， ， ∴ 综上所述， 或 ． （ 3 ）如图 所示， y x O 图 当四边形 ∴ ∵ ∴ 为矩形时， ， 则 联立 解析式为 ． 解得： ∴ ． 【知识点】二次函数与动点问题 2. 如图，已知抛物线与轴相交于点，与正半轴相交于点，对称轴是直线 ， （ 1 ）求此抛物线的解析式以及点的坐标． （ 2 ）动点 从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向运动，当点到达点时， 、同时停止运动．过动点 作轴的垂线交线段于点，交抛物线于点，设运动的时间为秒．当为何值 时，四边形为矩形． （ 1 ）抛物线解析式为 （ 2 ）当 的值为 时，四边形 ， 点坐标为 为矩形． ． （ 1 ）∵抛物线 对称轴是直线 ， ∴ ，解得 ， ∵抛物线过 ， ∴ ， ∴抛物线解析式为 ，令 可得 ，解得 或 ， ∴ 点坐标为 ． 故答案为：抛物线解析式为 ， 点坐标为 ． （ 2 ）①由题意可知 ∵ 在抛物线上， ∴ ， ， ， ∵四边形 ∴ ∴ 为矩形， ， ，解得 ∴当 的值为 时，四边形 或 （舍去）， 为矩形． 故答案为：当 的值为 时，四边形 为矩形． 【能力】数据处理能力 【能力】推理论证能力 【知识点】二次函数与动点问题 【知识点】二次函数一般式 【思想】函数思想 3. 如图，经过点、、，点为抛物线上第一象限内一点． y x O 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当点在抛物线上运动时，过点作轴交直线于点，将沿着直线翻折，点的对应点为点，试问，四边形能否成为菱形？如果能，请求出点的坐 标；若不能，请说明理由． （ 3 ）如图，在（）的条件下，连接交轴于点，点 为轴上面一点，点在平面内，那么是否存在一点，使得为矩形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． y x O 图 （ 1 ） （ 2 ）能． （ 3 ）存在． . ． ． （ 1 ）略． （ 2 ）由 设 ∵ ∴ 若四边形 、 得 直线解析式为 ，则 ， ， 沿着直线 翻折， ， ， 在线段 为菱形，则 的中垂线上， ，即 ，解得： ， ∴点 则 ∴ ∴ （舍）， ， ， ． 故答案为：能． （ 3 ）由 当 ∴ ， ． 得 解析式为 ， 时， ， ， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ，则 ， ∴ ∴ 解析式为 ， ， ∵点 向右平移 个单位，向上平移 个单位得到 ， 同理可得： ． 故答案为：存在． ． 【知识点】二次函数与动点问题 4. 如图，抛物线交轴于，两点，点在点的左侧，交轴于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （ 1 ）如图，点为直线上方抛物线上的一点，过点作交于点．作轴交直线于点 ，当的周长最大时，连接与轴交于点，若为直线上一, 动点，为直线上一动点，连接，，应点的坐标． ，求四边形 周长的最小值和对 图 （ 2 ）在（ ）的情况下，将绕点逆时针旋转度 后得到，过点作的垂线与轴交于点，点为抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在 点，使得以 ，，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存, 在，请说明理由．图 （ 1 ） . ． （ 2 ）存在，点 的坐标为 或 或 或 ． （ 1 ）∵ ， ， ， ， ∴ ，∴ ， ∵ 轴，∴ ． ∵ ，∴ ， ∴当 最长时 周长最大．由 ， ， ∴ 的方程为 ．设 ，则 ． ∴ ，∴当 时， 的最 大值为 ， ∴ ． 找点 关于 的对称点 ， ．点 关于 的对称点 ， ．连接 ，分别交 ， 于点 ， ． ∴ ， ∴ 的直线方程为 ， 的直线方程为 ，设 ， ∴ ．解得 ．∴ ． 设 ．∴ ．解得 ．∴ ． ∴ ， ， ∴四边形 的周长为 ． （ 2 ）存在，点 的坐标为 或 或 或 ． 【知识点】二次函数与动点问题 5. 如图，抛物线 与 轴分别交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点．经过点的直线与 轴交于点 ． （ 1 ）求、两点的坐标及直线的表达式． 图 备用图 （ 2 ）如图，直线从图中的位置出发，以每秒个单位的速度沿轴的正方向运动，运动中直线与 轴交于点，与轴交于点，点 关于直线的对称点为，连接、，设直线的运动时间为秒．探究下列问题． 图 请直接写出的坐标（用含字母的式子表示）． 当点落在抛物线上时，求直线的运动时间的值，判断此时四边形的形状，并说明理由．1 2 （ 3 ）在（）的条件下，探究：在直线的运动过程中，坐标平面内是否存在点，使得以，， ，为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点的坐标； 若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ）1 ． ． 2 （ 3 ）存在． ，四边形 为菱形，理由见解析． 点坐标为 或 ． （ 1 ）当 ， 时， ， ，解得 ， ，则 设直线 的解析式为 ， 把 ， 代入得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ． （ 2 ）1 作 轴于 ，如图 ， 图 ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵点 关于直线 的对称点为 ， ∴ ， ， 在 中， ， ， ∴ ， ∴ ． 2 把 代入 得 ， 解得 （舍去）， ， ∴当点 落在抛物线上时，直线 的运动时间 的值为 ；此时四边形 为菱形，理由如下： 当 时， 点的坐标为 ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 轴， ∵ ， ， ∴四边形 为平行四边形， 而 ， ∴四边形 为菱形． （ 3 ）存在． 当 时，如图 ，四边形 为矩形， 图 则 ，解得 ，则 ， ∵ ， ∴此时 点坐标为 ； 当 ，如图 ，四边形 为矩形， 图 作 轴于 ， ∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ，解得 ， 此时 ， ， 点 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，则点 向左平移 个单位，向下平移 个单位得到点 ，则 ， 综上所述，满足条件的 点坐标为 或 ． 【知识点】动直线（线段）与定抛物线交点问题 $ 1. 已知抛物线： 经过原点和点 ，顶点为点 ，将抛物线 绕点 旋转得到抛物线 ，顶点为点 ，与 轴的另一个交点为点 ． （ 1 ）直接写出点的坐标． （ 2 ）求，两点的坐标（用含的代数式表示）； （ 3 ）当四边形为矩形时，求的值． 2. 如图，抛物线与轴交于点，点为抛物线顶点，分别作点，关于原点的对称点，，顺次连接四点得四边形． 图1：y x O 图 （ 1 ）当时，求顶点的坐标； （ 2 ）当，四边形为矩形时（如图2），求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 y x O 图 3. 抛物线与直线交于 ， 两点，点是抛物线上，之间（不与点，重合）的一个动点，过点分别作轴、轴的平行线与直线交于点，． （ 1 ）求抛物线与直线的解析式． （ 2 ）当点为线段的中点时，求的长． （ 3 ）设点的坐标为 ，当以点，，，为顶点的四边形为矩形时，用含有的式子表示 ，并求出的取值范围． 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴相交于点，与轴相交于点，与抛物线的一交点为点，抛物线过轴上的两点，且． 备用图A O C B E A O C B （ 1 ）求直线和抛物线的解析式． （ 2 ）点是直线上方抛物线上的一动点，求当面积最大时，点的坐标． （ 3 ）设是抛物线对称轴上的一点，点在抛物线上，四边形能否为矩形？若能，请直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 5. 已知二次函数的图象与轴分别交于、两点（点在原点左侧，点在原点右侧），与轴正半轴交于点，点到的距离为 ． （ 1 ）求此抛物线的解析式． （ 2 ）点为中点，点、在线段上，与交于点，连接，若，求证：． （ 3 ）直线与抛物线交于点 、，且线段 被轴平分，点在轴上，以、 、、为顶点的四边形为矩形，求点的坐标． $抛物线与存在性(6)矩形【题集C】 1.已知抛物线C1:y=ax2+bm十c(c≤4)经过原点和点A(4,0),J顶点为点C,将抛物线C1绕点A 旋转180得到抛物线C2,J顶点为点D,与c轴的另一个交点为点B. 个y D B (1)直接写出点B的坐标， (2)求C,D两点的坐标（用含a的代数式表示）； (3)当四边形OCBD为矩形时，求a的值. 【答案】(1)点的坐标为（⑧，0） （2)C的坐标为(2，-4a),的坐标(6,4a): (3)a=± 2 【解析】(1)点的坐标为(8,0) (2）·,抛物线C1:y=ax2+bac+c(x≤4)经过原点和点A(4,0) .C1:y=aa(c-4④=a(x-2)2-4a :J顶点C的坐标为(2，-4a) 抛物线C2经过点A(4,0),B(8,0) .∴C2:y=-a(x-4)(e-8)=-a(x-6)2+4a 顶点D的坐标(6,4a): (3)由抛物线的对称性得CO=CA 当四边形OCBD为矩形时，AO=AC, C0=CA=OA,即△OAC是等边三角形形， 2 .lel = 2 0A=2V3, 即4a=±2V3. Q=土公 【标注】 【知识点】二次函数图像关于任意点对称 2.如图1，抛物线划=一x2+2bc十c(6>0)与轴交于点C,点P为抛物线顶点，分别作点P,C关于 原点O的对称点P',C,顺次连接四点得四边形PCP'C, 图1： 图1 (1)当b=c=1时，求顶点P的坐标； (2)当b=2,四边形PCP'C为矩形时（如图2），求c的值. y C 图2 【答案】(1)P(1,2). 2)c=- 2 【解析】(1)当b=c=1时，y=-x2+2x+1=-(z-1)2+2, J顶点的坐标为(1,2)： 故答案为：P(1,2) (2)当b=2时，y=-x2+2bm+c=-x2+4如+c=-(e-2)2+4+c ·J顶点P的坐标为(2,4+c), 当=0时，y=C, 2 ∴点C的坐标为(0，c) 当四边形PCP'C'为矩形时OP=OC, 即22+(4+c)2=c2, 众=名 故答案为：C=一2 【标注】 【知识点】二次函数与几何综合 3.抛物线划=一x2+ba+c与直线划=kc+m交于A(1,3),B(4,0)两点，点P是抛物线上A,B之 间（不与点A,B重合）的一个动点，过点P分别作轴、轴的平行线与直线AB交于点C,D, (1)求抛物线与直线AB的解析式. (2)当点C为线段AB的中点时，求PC的长. (3)设点的坐标为(8，)，当以点P,C,D,B为顶点的四边形为矩形时，用含有的式子表示 8,并求出g的取值范围。 【答案】(1)y=-x十4. (2)V10-1 2 (3)0≤8<4- 【解析】(1)：点A,在抛物线上 -1+b+c=3 (b=4 解得 -16+4b+c=0 c=0 抛物线的解析式为=一x2+4红. ,点A,B在直线上 (k+m=3 k=-1 解得 4k+m=0 m=4 ∴.抛物线的解析式为y=一心+4. 6 3 (2)根据题意，点C的坐标为2,2) 由-2+4红=解得=2-0 3 (舍去)，或=2+ 2 PC=2+y05=10-1 22 2 （3)设点P的坐标为(0,0)，有%0=-号+4r0. 根据题意，以点P,C,D,E为顶点的四边形为矩形， 如图，由已知得C(s,0),D(xo,), .0=-8+4,t=-x0+4. .-8+4=-(4-t)2+4(4-t) 8=t-4t+40<t<3)· 其虫对称轴为t=2 当0<t<2时，随的增大而减小， 当2<t<3时，随的增大而增大， 又当t=2时，8=0：当t=0时，8=4 ∴.的取值范围是0≤8<4， 【标注】 【知识点】二次函数与动点问题 4.如图，在平面直角坐标系中，直线：y=kc十h与轴相交于点A(-1,0),与轴相交于点C,与抛 物线划=一x2+bc+3的一交点为点D,抛物线过轴，上的AB两点，且CD=4AG 备用图 (1）求直线和抛物线的解析式. (2)点B是直线上方抛物线上的一动点，求当△AD面积最大时，点的坐标 (3)设P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，四边形APDQ能否为矩形？若能，请直接 写出点P的坐标；若不能，请说明理由、 【答案】（1)直线的解析式y=一x-1,抛物线的解析式y=一x2+2x+3. (2) (3)不存在，理由见解析 【解析】(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bc+3,得b=2, 所以抛物线的解析式为y=一x2+2x+3 过点D作DF⊥x轴于点F,如图1， 4 B 图1 易证△AOC∽△AFD, AC AO ADAF ·CD=4AC ∴AC AO 1 = , AF 把代入 2=4=-x2+2+3得 y=-51 把P4-5) 代入 解箱，4=，-5女=-1y=0y=缸+h 直线的解析武为=一1 (2)过点作 脚交心于点，如图， EEM⊥xAD M 2 自2 设点E(m,-m2+2m+3)则Mm,-m-1)少 EM=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4' SAADE 6-m2+3m+4=<8m2土15 2 -m+10 当 3时2 的面积最大 m= △ADE 此时， 3 15 24) x=1 P(1,m) (3)·.抛物线的对称轴为直线ADP2设 3 ①若 是亚行四边形 的一条边，如图， 3 Q24,-21）m=-21-5=-26mP1,-26) 则易 AQ2=32+212=450Qp2=52+3=50Ap2=22+262=680 此 AQ2+QP2≠AP2,ZAQP≠90此时平行四边形 ADPQ 是矩形： ②若A是平行四边形APD的对角线，如图4 Q2,3) 图 则暘看-5a3=-8则P(1,-8) PQ2=12+112=122PD2=32+32=18QD=22+82=68 PD2+QD2≠PQ ∠PDQ≠90° 此时平行四边形 ADP西是矩形， 综上所述，四边形APD香能为矩形， 【标注】 【知识点】二次函数与动点问题 5.已知二次函数地=2ax2+2x+3的图象与轴分别交于A、B两点（点A在原点左侧，点B在原点右 0,5正半轴交于点C,点0BC的距离为反 6 A (1)求此抛物线的解析式. (2)点D为BC中点，点E、F在线段OC上，BE与DF交于点G,连接OG,若LEGF=45°， 求证：∠COG=∠EBO. (3)直线与抛物线交于点M、N,且线段MN被轴平分，点D在轴上，以C、M、D、N为顶 点的四边形为矩形，求点D的坐标. C A 【答案】(1)y=-x2+2c+3. (2)证明见解析 (3)D0,-7). 【解析】(1)过点O作OH⊥BC于点H, y=2ax2+2c+3, C0,3), ∴.0C=3, 又0H= g ∴∠0CH=45°， ·△OBC的等腰直角三角形， B(3,0 将点坐标代入抛物线解折式中解得。= 1 2 (2)骏2+2e+3 OD 点为 中点， D BC 想作BDOD安BD于点 DDK⊥DFBE,K .∴∠DGK为等腰角三形 △DGK ∴DG= ·△ODG△BDK(SAS) ∠DOG=∠DBK ∠COG=∠EBO AU （3)设Na,-a2+2a十3)' 线段 被轴平分， M(-a,-a2-2a+3) E(0,-a2+3) 形2a2+3是形， NDMC .·CD=MN 解键=√(2a)2+(4a)2 a=√6 D0,-7) A B 【标注】【知识点】二次函数与平行四边形 9 1. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，正方形的顶点在轴的正半轴上，顶点在的正半轴上，点的坐标是，抛物线经过、两点与轴的另一个交点是点，连接．y x O （ 1 ）请直接写出抛物线的表达式． （ 2 ）设抛物线的对称轴与直线相交于点，求出点的坐标． （ 3 ）点是抛物线上一动点，且位于轴上方，当的面积为 时，求出点的坐标． （ 4 ）若点 是抛物线对称轴上一点，点是平面内一点，是否存在以 、、 、为顶点的矩形，若存在，请直接写出 点的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 将抛物线沿 沿轴翻折，得抛物线，如图所示，现将抛物线向左平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 ，与轴的交点从左到右依次为，；将抛物线 向右也平移个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为，与轴交点从左到右依次为， ，如图所示．y y x x O O 图 图 （ 1 ）求抛物线的表达式． （ 2 ）在平移过程中，是否存在以点，，， 为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与轴交于点，，与轴交于点． 2 学科网（北京）股份有限公司 y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）连接，点在抛物线的对称轴上，点为平面内一点，四边形能否成为矩形？若能，请求出点的坐标；若不能，请说明理由． 4. 如图，直线与坐标轴交于、两点，抛物线 经过点，与直线 交于点 ，且与轴交于，两点． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）抛物线上有一点 ，当时，求点 的横坐标． （ 3 ）点在抛物线上，在坐标平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 备用图 $