第26章 二次函数 ——抛物线与存在性（2）直角三角形 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合应用，以抛物线为载体整合直角三角形存在性等问题，强化代数几何转化能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |抛物线综合应用|多题递进|二次函数与几何综合（含直角三角形存在性、图形面积分割等）|从抛物线解析式求解到几何图形性质应用，体现代数表达与几何直观的结合，培养推理意识与模型观念|

1. 如图，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为．经过点的直线将平行四边形分割成面积相等的两部分，与抛物线交于另一点．点在直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为．y x O （ 1 ）抛物线的解析式为 ． （ 2 ）如图，是否存在点使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．y x O 2. 如图，已知抛物线（）经过点，,其对称轴为直线 ， 为 轴上一点，直线与抛物线交于另一点． 备用图 （ 1 ）求抛物线的函数表达式． （ 2 ）在抛物线的对称轴上是否存在一点,使得是直角三角形？如果存在，求点的坐标，如果不存在，请说明理由． 3. 抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线 上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；不 1 学科网（北京）股份有限公司 存在，请说明理由． 4. 如图，一次函数 的图象与轴交于点，与轴交于点．二次函数 的图象与一次函数 的图象交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为． （ 1 ）求二次函数的解析式． （ 2 ）在坐标轴上是否存在点，使得是以为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点，点在轴上，过点作轴的垂线，垂足为点，，抛物线的顶点为． 备用图 （ 1 ）求抛物线解析式． （ 2 ）点是线段上一动点（点，除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标． （ 3 ）在（）的条件下，在直线上是否存在点，使是直角三角形？若存在，求出可能存在的的坐标；若不存在，说明理由． 6. 已知抛物线 与轴的一个交点为，顶点在直线上，为坐标原点． y x （ 1 ）证明：为等边三角形． （ 2 ）若的内切圆半径为，求此抛物线的函数表达式． （ 3 ）在（）的条件下，抛物线上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． $抛物线与存在性(2)直角三角形【题集A】 1.如图，抛物线划=ax2+bc+经过平行四边形ABCD的顶点A(0,3).B(-1,0).D(2,3),抛物 线与轴的另一交点为E.经过点的直线将平行四边形ABCD分割成面积相等的两部分，与抛物 线交于另一点F.点P在直线上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为t (1)抛物线的解析式为 (2)如图，是否存在点P使△PAE为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1)y=-x2+2x+3 (2)存在，t= 1+√5 2 【解析】(1)y=-x2+2x+3. (2)A(0,3),D(2,3),BC=AD=2. B(-1,0),.C(1,0), 线段4C的中点为(22》 13 .直线将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分， 直线过平行西边对称中0（兮多》 A失于对称轴对称， 抛物线对称轴为x=1,…(3,0) k+m= 3 设直线的解析式为y=x+m,把览和对称中心坐标代入可得 2 k+m=0 3 解得 91 m= 5 1 3 9 y=- 直线的解析式为 5 3 9 y=- 联立直线和抛物线解析式可得 (y=-x2+2x+3 2 「x=3 解得y=或 51 y= 25 (-525 251 点在直线上方的抛物线上， 6<t<3 2 由图可知LPEA≠90 只能有∠PAE=90或APE=90° @当∠PAE=90时，如图1，作PCL轴， .OA=OE,.∠OAE=∠OEA=45° ∠PAG=∠APG=45,∴·PG=AG t=-t2+2t+3-3即-t2+t=0解得t=或t=0舍 ), 图1 ②当∠APE=90时，如图2，作PKL轴，AQ⊥PK PK=-2+2t+3,AQ=t KE=3-t PQ=-t2+2t+3-3=-t+2t, Q ·LAPQ+∠KPE=∠APQ+∠PAQ=90, LPAQ=∠KPB且∠PKE=∠PQA △PKE~△AQP PK=KE, AQ PQ 图 即-t2+2t+3 3-t,t2-t-1=0 -t2+2t 解得= +5或：6.15<- 2(舍去) 2 2 2 5 【知识点】二次函数与直角三角形结合；二次函数与相似三角形结合 【标注】 2.如图，已知抛物线划=ax2+bm+c(a≠0)经过点A(-3,2),B(0,-2),对称轴为直线r= 52 为W轴上一点，直线AC与抛物线交于另一点D. 2 C B B x 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得△ADF是直角三角形？如果存在，求点F的坐标， 如果不存在，请说明理由 【答案】（1)y= 6- 5 x-2 6 (2) 【解析】(1) 9a-3b+c=2 a= 根据题意得 c=-2 6 解得 2a=2 6 c=-2 所以抛物线解析式为！= - -2 6 (2)存在 设F 如图 B 图2 A(-3,2),D(5,-2). 3 AD=6+3+(-2-29=80AF=(侣+3） 2 +t-2)2 (6-°+t-9 当AD2+AF2=DF2△ADF是直角三角形，则 80+( 3+3)+e-2-(6-) +(-5-2)2,解得t=13,此时F点坐标为 ( 当AD2+DF2=AF2,△ADF是直角三角形，则 0+(6-岛)”+(t-2P=(侵+)°+e-2明，=-7，时坐标为 (3-7 当DF2+AF2=AD2,△ADF是直角三角形，则 (+)°+-+(6- 2 5 )+(-t-22,=80,解得=士 2 此时F点坐 2 标为 V71 22 或 2- 2 综上所述， F点的坐标为 2- 2 【标注】 【知识点】二次函数与直角三角形结合 3.抛物线划=一它2-2c十3与轴交于点C,与轴交于点AB(点B在点A的左侧)，在抛物线 y=一x2-2x+3上是否存在一点Q,使得△BCQ为直角三角形？若存在，请求出Q点的坐标；不 存在，请说明理由. 【答案】 Q的坐标为Q1(-1,4,Q2(2,-5, (2:649 2，2 【解析】存在符合条件的Q点，所有符合条件的点@如图所示： D( 2s 由D(-1,4),C0,3)可知，DCLCB, :.Q1坐标为(-1,4 由B(-3,0),C(0,3)易得， BQ2的解析式为y=一x-3,联立可得 ∫y=-x2-2c+3 y=-x-3 =2g*=03 可得Q2坐标为(2，-5)： 设Q3(a,-a2-2a+3), 所以kBQ2·kcg2=（-a+1)(-a-2)=-1, 解得Q3 -1-v55+√5 2 综上所述，( 【标注】 【知识点】二次函数与直角三角形结合 1 4.如图，一次函数如= 的象与轴交于点A.胶于B:次地=2+加+剂 20+1 (1,0) B 图像与一次函数则= 的图像交于B、C两点，与轴交于D、两点，且D点坐标为 5 (1)求二次函数的解析式 (2)在坐标轴上是否存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有 的点P,若不存在，请说明理由 【管1)y=女-+1 （2）(1,0)或(3,0)或(0,3) 】1)起=0代入y=+1=1 B为(0,1) 把Bo,1yrDu,o)代y=2+证+e 得1=c 10=2 o2- 6+c 二次函数解析式为 (2)存在点. =- 20+1 ①当照在轴上时，设为 联立P卫。 和(x,0) 得223 1 3 -20+197-22+1 1 骋2-20+1=2”+1 把 12=4，得 克为 20+1 y=3 43 为 唐得4，) :·为直角顶点， PB2=x2+1PC2=32+(4-x)2BC2=42+(3-1)2=20 P 化得+PB2=BC2 股2+12+32+(4-x)2=20 解得 x2-4x+3=0 “(为1)（或3）=0 ②当在轴上跛-点 坐标为 P(1,0)(3,0 Py P (0,) B(0,1)C(4,3) 6 ∵由勾股定理得： PB2=(1-)2,PC=4+(3-)2,BC2=42+(3-1)2=20. P为直角顶点， .PC2+PB2=BC2 (1-)2+42+(3-)2=20.化简得：2-4划+3=0，即(y-1)(y-3)=0, 解得1=1,2=3. B为(0,1)， y=1(舍去). 故P为(0,3) 综上所述，存在点P,使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形， 点P坐标为(1,0)或(3,0)或(0,3) 【标注】 【知识点】二次函数与直角三角形结合 5.如图，在平面直角坐标系中，直线划=x+1与抛物线划=x2+bm十c咬于A,B两点，点A在轴 上，过点B作轴的垂线BC,垂足为点C,OC=4,抛物线的顶点为D 备用图 (1)求抛物线解析式 (2)点是线段AB上一动点（点A,B除外），过点作轴的垂线交抛物线于点F,当线段EF 的长度最大时，求点的坐标， (3)在(2)的条件下，在直线EF上是否存在点P,使△ABP是直角三角形？若存在，求出可能 存在的P的坐标；若不存在，说明理由 【答案】 （1)y=x2-2-3. (2) /35 22 3)在P()（层）(5+ 35-5w2 2 2 或 212 【解析】 y=x+1 y=0 x=-1 (41饿x=4,当=5时， ∴ B(4,5);(-1,时，B(4,5) 1-b由c=0, b=-2, 得 16+46+c=5 解得 c=-3, y=x2-2x-3 ·抛物线解析式为 (m,m+1) F(m,m2-2m-3) (2)设毫F-m+1)m2-2m-3)=-m3+3m+4 则 3)2 25 =- m- + 4 -1<m<4 3 当m= 2时， 的长度最大，！ 点(） (3)直线EF:x= 2 设P 2,n 则AP2= (8+°+B=(4-)+6-m4B=50 ①当为直角顶点时， 5 由勾股定理得AP2+AB2=BP?解得n=- 3 2-2 ②当直角质点时， 由勾股定理得 BP2+AB2=AP2 解得 15 n= P3后y ®当另直角项点时， 由勾股定理得 P AP2+BP2=AB 解得 5+5v2 5-5√2 n1= n2= 2 或 2 P 35+5v2 35-52 综上 2 或 最 或 5 /315 35+5v2 2一 2 2 5-9） 【知识点】二次函数与动点问题 【标注】 6.已知抛物线y=ax2+bx(a<0)与m轴的一个交点为B,J顶点A在直线=√3x上，O为坐标原点. (1)证明：△OAB为等边三角形 (2)若△OAB的内切圆半径为1，求此抛物线的函数表达式. (3)在(2)的条件下，抛物线上是否存在点P,使△POB是直角三角形？若存在，请求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)证明见解析 (2）y=-x2+2W3 (3)存在点P,其坐标为h(V3+V2,小、B(V3-V2,) 【解析】(1)如图所示：过点A作AC1OB于点C. y A B 图1 :点班直线y=V3x上， 设A(,V3x) 在Rt△OAC中，tan ZAOC= AC OC √=√3， .∠A0C=60°， 由抛物线的对称性可知OA=AB ·.△OAB为等边三角形 (2)如图所示：过点A作AC⊥OB于点C,连接OI. y B 图2 9 △AOB I∠I0C=30° 设Rt△I08心尧-型 0I=2A=20C=V3 顶点A(V8,3)B(2V3,0) 3a+V36=3 代入抛物线的解析式得： 112a+2√3b=0 解得： a=-1b=2W3 抛物线的函数表达式为y=一x2+2V√3x (3)当∠POB=90时，点在轴上，不存在满足条件的点P 当∠0BP=90时，点在直线x=2V3不存在满足条件的点F 当∠OPB=90时，如图际：过点作PD1OB垂足为D 图3 ∠OPD=∠PDB=90° ∠POD=∠BPD △OPDM△PBD ·PD D即 BD PD PD2=OD.BD B(2W3,0】 ① 点2=m(往绳物线） 上 .P(m,n) 圆=-x2+2V3 由@=②得：+2√3m 当 时，1=02=1·解得 ·抛物线 -m2+2W3h在在点使m1为真角三角形m其点√的坐励 y=-x2+2V3x P△POB P P(便康V2次函数相假三角彩线当 【标注】 10 1. 已知：二次函数 的图象与一次函数 的图象交于、两点，在轴上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． C B A O 存在， 的坐标为 或 ． 设符合条件的点 存在，令 当 为直角顶点时，如图：过 作 C ， 轴于 ． A B O P F 可求 可得 ∴得 解得 ， ．即 ． ． 或 ∴所求的点 的坐标为 或 ． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 2. 如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由． 存在．以 为直角边时点 的坐标为 ， ． 存在符合条件的 点，所有符合条件的点 如图所示： 10 学科网（北京）股份有限公司 由 ∴由 ， 可知， ， 坐标为 ， 的解析式为 易得， ，联立可得 解得 或 （舍） 可得 坐标为 故答案为：以 y ． 为直角边时点 的坐标为 ， ． x O 【知识点】二次函数与直角三角形结合 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过、 、三点的抛物线上． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． （ 1 ） （ 2 ）存在， ． 或 ． （ 1 ） （ 2 ）存在． ． ①当 为直角顶点时，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设 ，则 ，解得： （舍去）， ， ∴ ，即 ； ②当 为直角顶点时，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ， 交 轴于点 ， ∴ 轴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， 设 ，则 ，解得： ， （舍去）， ∴ ，∴ ；综上： 或 ． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 4. 如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点． y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． （ 3 ）在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） 点坐标为 ． ． （ 3 ）存在，点 的坐标为 ． （ 1 ）把 ， 解得 代入 ， 中，得 ∴抛物线的解析式为 故答案为： ． （ 2 ）令 解得 ∴点 ，得 ． ， ， ， ， ∵ ∴ ∴ 过点 ∵ ， 为等腰直角三角形． ， y x O 作 轴，垂足为 ，∴ ． ， ， 所以可设点 则有 所以 点坐标为 故答案为： 点坐标为 （ 3 ）由⑵知， ， ，∴ ， （舍）， ． ． 当 若 ∵ 为直角梯形一底时，由图象可知点 不可能在抛物线上， 为直角梯形一底， 为直角梯形腰时， ， 的解析式为 ，且的解析式为 ， ∴直线 ∵直线 ∴直线 联立方程组得 ， ， ， 得 ， 解得 ∴ ， （舍）， ，即点 ， ∴符合条件的点 的坐标为 故答案为：存在，点 的坐标为 ， ． ． 【知识点】二次函数与梯形 5. 如图，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为．经过点的直线将平行四边形分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点．点在直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当何值时， 的面积最大？并求最大值的立方根． （ 3 ）是否存在点使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． （ 1 ） （ 2 ）当 ． 时， 的面积最大，其最大值为 ，最大值的立方根为 ． （ 3 ） 的值为 或 ． （ 1 ） 由题意可得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为： ． （ 2 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴线段 ， ， ， ， ， 的中点为 ∵直线 将平行四边形 ， 分割为面积相等两部分， ∴直线 过平行四边形的对称中心， ∵ 、 关于对称轴对称， ∴抛物线对称轴为 ， ∴ ， 设直线 的解析式为 ，把 点和对称中心坐标代入可得 ，解得 ， ∴直线 的解析式为 ， 联立直线 和抛物线解析式可得 ， 解得 或 ， ∴ ， 如图 ，作 轴，交 于点 ，作 ， ∵ 点横坐标为 ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ∴当 时， 的面积最大，其最大值为 ， ∴最大值的立方根为 ． 图 （ 3 ）由图可知 ， ∴只能有 或 ， ① 当 时，如图 ，作 轴， 图 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ，解得 或 （舍去）， ②当 时，如图 ，作 轴， ， 图 则 ， ， ， ， ∵ ， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴ ，即 ，即 ，解得 或 （舍去）， 综上可知存在满足条件的点 ， 的值为 或 ． 【知识点】二次函数与直角三角形结合 6. 已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （ 1 ）求抛物线的表达式． （ 2 ）如图，在抛物线上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在请说明理由． （ 1 ） （ 2 ）不存在． ． （ 1 ）将点 ， 代入 ， 得： ，解得： ， ∴抛物线解析式为： ． （ 2 ）不存在，（构造一线三垂直模型，由线段相等关系推出矛盾） 如图， ∵点 ∴ 、 ， 的中点 的坐标为 ， 设 所在直线解析式为 ，将点 、 代入， 得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为 ， ∴ 的中垂线的解析式为 ，即 ，由 ， 得 ， 或 ， 若点 坐标为 ， ∵ ， ， ∴ ，即 不是等腰直角三角形，舍去；若点 坐标为 ， ∵ ， ， ∴ ，即 不是等腰直角三角形，舍去； 【知识点】二次函数与直角三角形结合 $ 1. 已知：二次函数 的图象与一次函数 的图象交于、两点，在轴上是否存在点，使得是以点为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点，若不存在，请说明理由． C B A O 2. 抛物线与轴交于点，与轴交于点、（点在点的左侧），在抛物线上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，请用尺规作出所有符合条件的点，并求出以为直角边时点的坐标；若不存在，请说明理由． 3. 如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标是，并且，动点在过、 、三点的抛物线上． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 4. 如图，已知抛物线过点，，与轴交于另一点 ． y x O （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）若在第三象限的抛物线上存在点，使为以点为直角顶点的直角三角形，求点的坐标． （ 3 ）在⑵的条件下，在抛物线上是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为．经过点的直线将平行四边形分割为面积相等两部分，与抛物线交于另一点．点在直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． 图 （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当何值时， 的面积最大？并求最大值的立方根． （ 3 ）是否存在点使为直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 6. 已知如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，． （ 1 ）求抛物线的表达式． （ 2 ）如图，在抛物线上是否存在一点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求点的坐标，若不存在请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $