3.7.1 弧长的相关计算 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦弧长公式的推导与应用，课堂导入通过田径400米比赛起跑位置不同的生活情境引发问题，从圆周长已有知识出发，借助特殊圆心角弧长计算，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生自主构建公式。 该资料特色在于情境导入贴近生活，培养学生用数学眼光观察现实世界的意识，公式推导过程通过特殊值探究，发展数学思维中的推理能力，应用环节结合公路弯道、机械配件等实例，强化用数学语言表达现实世界的模型意识，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供清晰教学流程与多样化例题。

第1课时　弧长的相关计算 　　　　　　　　　　 课题 第1课时　弧长的相关计算 授课人 教 学 目 标 1.掌握弧长的计算公式,并学会运用弧长公式解决一些实际问题. 2.经历弧长公式的推导过程,培养学生自主探索的能力. 3.在利用弧长公式解题的过程中,培养学生应用知识、空间想象和动手画图的能力,体会由一般到特殊的数学思想. 4.让学生了解弧长计算公式的同时体会公式的变式,养成独立思考、合作交流的良好学习习惯. 教学 重点 会利用弧长公式解决问题. 教学 难点 探索弧长公式的过程. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 同学们,你看过田径运动会吗?为什么在田径400米的比赛中,每名运动员的起跑位置不相同呢? 　图3-7-11 因为每名运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而它们各自的半径不相等,所以每名运动员的起跑位置不相同. 思考:怎么才能求出弧的长度呢? 　　通过运动员赛跑起跑位置的情境,吸引学生的注意力,借此引入新课,学生有亲切感.教师可以启发学生从情境中发现数学问题:为什么起点不一样呢?以此引发思考和讨论,引出弧长的计算. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 弧长公式 通过多媒体动态演示,学生得到弧长与半径和圆心角的度数有关. 提出问题:观察特殊条件下的弧长的分析和计算,有什么发现? (1)已知圆的半径为2,则圆的周长是　4π　;  当圆心角为360°时,弧长是　4π　,弧为　圆周　;  当圆心角为180°时,弧长是　2π　,弧为　半圆　;  当圆心角为90°时,弧长是　 π　,弧为圆周的 　;  当圆心角为60°时,弧长是 π　,弧为圆周的 　;  当圆心角为30°时,弧长是 　,弧为圆周的 　;  当圆心角为1°时,弧长是 　,弧为圆周的 　.  (2)你能推导出半径为R,圆心角为n°的弧长是多少吗? 师生活动:学生根据提示自主探究后,小组内合作、交流,教师派学生代表发言,师生共同总结:在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的弧长为2πR,1°的圆心角所对的弧长为=,n°的圆心角所对的弧长为1°的圆心角所对的弧长的n倍,即弧长公式为l=n·=. 【探究2】 求弧长 如图3-7-12,弧AB的半径R为30,弓形的高h为15.求的长. 图3-7-12 解:如图3-7-13,连结OA,过点O作OC⊥AB,交于点C,交AB于点D,连结BC. 图3-7-13 由题意,得OA=OB=OC=30,CD=15, 则OD=OC-CD=15,即OD=CD, 所以BO=BC. 所以△OBC为等边三角形,得∠BOC=60°, 可得∠AOB=2∠BOC=120°, 所以===20π. 答:的长为20π. 【探究3】 弧长公式的实际应用 一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2 km.一辆汽车以每小时60 km的速度通过弯道,需时20 s.求弯道所对圆心角的度数(精确到0.1°). 分析:已知圆弧形弯道的半径,如果能求出弯道的弧长,那么根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数. 解:汽车在20 s内通过的路程为=×20=(km), 由弧长公式l=,得圆心角的度数为n===≈9.5(度). 答:弯道所对圆心角的度数约为9.5°. 　　由已有知识入手,经过特殊值的推导,调动学生课堂参与的积极性,在教师的指引下,在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充,学生自己得出公式.不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力,同时也让学生对知识有了更深刻、全面、正确的理解,培养了学生的抽象思维能力、科学严谨的学习态度. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图3-7-14,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2, ∠B=135°,求的长. 　图3-7-14　　　　　　　图3-7-15 解:如图3-7-15,连结OA,OC. 因为四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠B=135°, 所以∠D=180°-∠B=180°-135°=45°, 所以∠AOC=2∠D=2×45°=90°,则==π. 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 【拓展提升】 例2　一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径为2 km,弯道所对圆心角的度数为10°.一辆汽车从此弯道上驶过,用时20 s,弯道上有一块限速警示牌,限速为40 km/h,则这辆汽车经过弯道时有没有超速?(π取3) 解:因为弯道的弧长l===(km), 所以汽车的速度为÷=÷=60(km/h). 因为60 km/h>40 km/h,所以这辆汽车经过弯道时超速了. 　　进一步巩固所学的知识,夯实基础,并体会数学知识在实际问题中的应用,同时培养学生发现问题、解决问题的能力. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.制作某种弧形机械配件时,需要先按中心线(图3-7-16中虚线)计算“展直长度”再下料.中心线可看作半径为4 cm,108°圆心角所对的圆弧,则该中心线的展直长度为 (　B　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3-7-16 A.1.2π cm B.2.4π cm C.3.6π cm D.4.8π cm 2.某次社会实践活动中,小明同学用一个直径为30 cm的定滑轮带动重物上升.如图3-7-17,滑轮上一点A绕点O逆时针旋转90°,假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动,则重物上升了 (　B　) 图3-7-17 A.6.5π cm B.7.5π cm C.9π cm D.15π cm 3.如图3-7-18,在正五边形ABCDE中,连结BD,BE.以点B为圆心,BD长为半径作圆弧,得到.若BD=3,则的长为　0.6π　.  图3-7-18 处理方式:学生在练习本上完成后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生的答题情况.学生根据答案进行纠错. 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,让每名学生都能有所收益、有所提高. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学的知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 第1课时　弧长的相关计算 弧长公式: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 在讲述完弧长公式之后,为进一步加深学生对公式的理解,可以尝试让学生说一说公式推导过程.这样在学习面积公式时,可以尽量规避学生将两个公式弄混的情况. ②[讲授效果反思] 个别同学并不能完全理解公式的意义,而是强行背公式,需要适当调整其学习掌握方式. ③[师生互动反思]  　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　  　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $