3.7.1 弧长的相关计算 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

课题

第1课时　弧长的相关计算

授课人

教

学

目

标

1.掌握弧长的计算公式,并学会运用弧长公式解决一些实际问题.

2.经历弧长公式的推导过程,培养学生自主探索的能力.

3.在利用弧长公式解题的过程中,培养学生应用知识、空间想象和动手画图的能力,体会由一般到特殊的数学思想.

4.让学生了解弧长计算公式的同时体会公式的变式,养成独立思考、合作交流的良好学习习惯.

教学

重点

会利用弧长公式解决问题.

教学

难点

探索弧长公式的过程.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体课件

教学活动

教学

步骤

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

同学们,你看过田径运动会吗?为什么在田径400米的比赛中,每名运动员的起跑位置不相同呢?

　图3-7-11

因为每名运动员所跑的弯道的路线是一条弧,而它们各自的半径不相等,所以每名运动员的起跑位置不相同.

思考:怎么才能求出弧的长度呢?

　　通过运动员赛跑起跑位置的情境,吸引学生的注意力,借此引入新课,学生有亲切感.教师可以启发学生从情境中发现数学问题:为什么起点不

一样呢?以此引发思考和讨论,引出弧长的计算.

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 弧长公式

通过多媒体动态演示,学生得到弧长与半径和圆心角的度数有关.

提出问题:观察特殊条件下的弧长的分析和计算,有什么发现?

(1)已知圆的半径为2,则圆的周长是　4π　; 

当圆心角为360°时,弧长是　4π　,弧为　圆周　; 

当圆心角为180°时,弧长是　2π　,弧为　半圆　; 

当圆心角为90°时,弧长是　 π　,弧为圆周的 　; 

当圆心角为60°时,弧长是 π　,弧为圆周的 　; 

当圆心角为30°时,弧长是 　,弧为圆周的 　; 

当圆心角为1°时,弧长是 　,弧为圆周的 　. 

(2)你能推导出半径为R,圆心角为n°的弧长是多少吗?

师生活动:学生根据提示自主探究后,小组内合作、交流,教师派学生代表发言,师生共同总结:在半径为R的圆中,360°的圆心角所对的弧长为2πR,1°的圆心角所对的弧长为=,n°的圆心角所对的弧长为1°的圆心角所对的弧长的n倍,即弧长公式为l=n·=.

【探究2】 求弧长

如图3-7-12,弧AB的半径R为30,弓形的高h为15.求的长.

图3-7-12

解:如图3-7-13,连结OA,过点O作OC⊥AB,交于点C,交AB于点D,连结BC.

　　由已有知识入手,经过特殊值的推导,调动学生课堂参与的积极性,在教师的指引下,在热烈的讨论中互相启发、质疑、争辩、补充,学生自己得出公式.不仅锻炼学生的合作学习能力、表达能力,同时也让学生对知识有了更深刻、全面、正确的理解,培养了学生的抽象思维能力、科学严谨的学习态度.

图3-7-13

由题意,得OA=OB=OC=30,CD=15,

则OD=OC-CD=15,即OD=CD,

所以BO=BC.

所以△OBC为等边三角形,得∠BOC=60°,

可得∠AOB=2∠BOC=120°,

所以===20π.

答:的长为20π.

【探究3】 弧长公式的实际应用

一段圆弧形的公路弯道,圆弧的半径是2 km.一辆汽车以每小时60 km的速度通过弯道,需时20 s.求弯道所对圆心角的度数(精确到0.1°).

分析:已知圆弧形弯道的半径,如果能求出弯道的弧长,那么根据弧长公式就可以求出弯道所对圆心角的度数.

解:汽车在20 s内通过的路程为=×20=(km),

由弧长公式l=,得圆心角的度数为n===≈9.5(度).

答:弯道所对圆心角的度数约为9.5°.

活动

二:

探究

与

应用

【应用举例】

例1　如图3-7-14,四边形ABCD是☉O的内接四边形,☉O的半径为2, ∠B=135°,求的长.

　图3-7-14　　　　　　　图3-7-15

解:如图3-7-15,连结OA,OC.

　　应用举例是对课堂学习的针对性练习.