3.7.2 扇形面积的相关计算 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦扇形面积的相关计算，通过生活物品图片提问扇形定义导入，从圆面积公式出发推导扇形面积公式，搭建从已知到未知的学习支架。 以探究式教学引导学生通过旋转半径、对比不同半径圆的实验自主推导公式，体现数学思维的推理能力。结合折扇面积比较、菜园方案设计等实例，培养模型意识与应用意识，助力学生用数学语言解决问题，提升教学效率与学习兴趣。

第2课时　扇形面积的相关计算 　　　　　　 课题 第2课时　扇形面积的相关计算 授课人 教 学 目 标 1.经历探索扇形面积计算公式的过程,了解并会应用公式解决问题. 2.从熟知的圆的面积公式入手进行推导,培养学生探索和归纳的能力. 3.通过使用公式解决实际问题,让学生体验数学来源于生活,激发学生学习数学的兴趣. 教学 重点 探索扇形的面积计算公式,会应用公式解决问题. 教学 难点 通过对部分阴影面积的转移、转化,利用扇形面积公式求阴影部分的面积. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 教师出示问题: 想一想:如图3-7-27所示的物品是什么形状? 图3-7-27 思考:什么是扇形?扇形由哪几部分组成? 归纳:一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形. 　　学生观察图片,回答教师的问题. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 影响扇形面积大小的因素 如图3-7-28,将组成扇形的一条半径绕着圆心O旋转,可以发现,扇形的面积与什么有关? 图3-7-28 扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关,圆心角越大,扇形的面积越大. 如图3-7-29,将半径不同的两个圆的圆心重合在一起,选取相同的圆心角,此时该圆心角所对应的扇形面积与什么有关? 图3-7-29 扇形的面积与组成扇形的半径有关,半径越大,扇形的面积越大. 【探究2】 扇形的面积公式 如图3-7-30所示,☉O的半径为R,∠BOC=n°.怎样求扇形BOC的面积? 图3-7-30 我们知道,如果设圆的面积为S,半径为R,那么圆的面积为S=πR2,半径为R的扇形的面积与半径为R的圆的面积有没有关系呢? 图3-7-31 　　引导学生逐步掌握探究影响因素的方式方法. 需要强调的是,在探究过程中,为了确定圆心角与扇形面积的相关性,需要保证其他条件不变. 在第一个素材中,探究过程始终发生在同一个圆上,即默认了半径保持不变. 在第二个素材中,也明确描述了圆心角是相同的. 学生在教师的引导下探索扇形面积的计算公式,经历公式的形成过程. 教师需要注意在课堂上适当引导,有效调动学生自主探究的积极性,通过自主探究,深入理解公式的由来以及其中的含义. 活动 二: 探究 与 应用 　　因为1°圆心角的扇形的面积为圆面积的,即,所以扇形BOC的面积为.由弧长公式l=,得==lR. 如果扇形的半径为R,圆心角为n°,扇形的弧长为l,那么扇形面积S的计算公式为:S==lR. 做一做　已知圆的半径为6 cm,求下列各扇形的面积. (1)圆心角为90°的扇形.(2)圆心角为120°的扇形. (3)圆心角为240°的扇形.(4)弧长为7.2 cm的扇形. 解:(1)S===9π(cm2). (2)S===12π(cm2). (3)S===24π(cm2). (4)S=lR=×7.2×6=21.6(cm2). 【探究3】 扇形面积公式的实际应用 如图3-7-32,有一把折扇和一把团扇.已知折扇的骨柄与团扇的直径一样长,折扇扇面的宽度是骨柄长的一半,折扇张开的角度为120°.哪一把扇子扇面的面积大? 图3-7-32 解:设折扇的骨柄长为a,由于折扇扇面面积为两个扇形面积之差, 则S折扇=-×2=a2. 而S圆形=π×2=a2, 所以两把扇子扇面的面积一样大. 我国引滦工程某段的主干线输水管的直径为2.5 m,设计流量为12.73 m3/s(如图3-7-33①).如果水管截面中水面面积如图②所示,其中∠AOB=45°,那么水的流速应达到每秒多少米(精确到0.01 m/s)? 图3-7-33 解:过点B作BD⊥OA于点D. 因为输水管的直径为2.5 m,所以OA=OB= m. 因为∠AOB=45°,BD⊥OA,所以∠OBD=45°=∠AOB,所以OD=BD. 　　这里的实际情境题需要有一定的抽象能力. 通过对题目描述的理解,转化成几何图形,通过扇形面积公式进行求解. 其中涉及的抽象过程,需要学生先自主尝试,而后由教师来示范,注意示范速度相对慢一些,需要照顾到那些抽象能力弱的学生. 活动 二: 探究 与 应用 在Rt△OBD中,由勾股定理,得BD2+OD2=OB2, 即2BD2=2,解得BD= m, 所以S△AOB=OA·BD=××=(m2),S扇形AOB==(m2), 所以S☉O-S扇形AOB+S△AOB=π-+≈4.848(m2). 故水的流速是12.73÷4.848≈2.63(m/s). 【应用举例】 例1　如图3-7-34①是卧室门锁的局部图,图②是其示意图,其中点O到门框l的距离为2 cm,且OA⊥l,当开门时,门把手绕点O顺时针旋转60°,点A到达点B的位置,此时点B到门框l的距离为8 cm,则门把手OA划过区域的面积为 (　B　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图3-7-34 A.12π cm2 B.24π cm2 C.36π cm2 D.48π cm2 　　利用扇形面积公式解决实际情境中的问题. 【拓展提升】 例2　用一段长为36 m的篱笆围成一个一边靠墙的菜园(墙足够长),有如下两种方案. 方案一:如图3-7-35①,围成一个矩形菜园ABCD,其中一边AD靠墙,其余的三边AB,BC,CD用篱笆,其中AD≥AB. 方案二:如图②,围成一个扇形菜园EFG,一条半径EF靠墙,其余用篱笆. 小明同学认为方案二围成扇形菜园的最大面积大于方案一围成矩形菜园的最大面积.请你通过计算说明小明同学的说法是否正确. 图3-7-35 解:方案一:设AB的长为x m,矩形ABCD的面积为S1 m2,则AD的长为(36-2x)m, 所以S1=x(36-2x)=-2x2+36x=-2(x-9)2+162. 由题意,得解得0<x≤12. 　　进一步巩固所学的知识,夯实基础,并体会数学知识在实际问题中的应用,同时培养学生发现问题、解决问题的能力. 活动 二: 探究 与 应用 因为-2<0, 所以当x=9时,S1有最大值,为162, 所以围成的矩形菜园的最大面积为162 m2. 方案二:设EF=r m,扇形菜园的面积为S2 m2,则的长为(36-r)m, 所以S2=lr=(36-r)r=-(r-18)2+162. 由题意,得解得0<r<36. 因为-<0, 所以当r=18时,S2有最大值,为162, 所以围成的扇形菜园的最大面积为162 m2, 所以两种方案围成菜园的最大面积相等, 所以小明同学的说法不正确. 活动 三: 课堂 总结 应用 【达标测评】 1.如图3-7-36,☉A,☉B,☉C,☉D,☉E是以五边形的顶点为圆心两两不相交的圆,并且半径都是0.5 cm,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和为(　B　) 图3-7-36 A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 2.如图3-7-37,在△ABC中,AC=2,将△ABC绕点C逆时针旋转30°得到△FGC,则图中阴影部分的面积为 　.  图3-7-37 3.如图3-7-38,将扇形AOB沿OB方向平移,得到扇形A'O'B'.若OA=2,∠AOB=60°,半径O'A'经过的中点P,则阴影部分的面积为 　. 图3-7-38 处理方式:学生在练习本上完成后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生的答题情况.学生根据答案进行纠错. 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,让每名学生都能有所收益、有所提高. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学的知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 第2课时　扇形面积的相关计算 扇形面积公式: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课内容相对简单,学生能够较快地掌握公式,并根据实际情境解决问题,所以本课时有充分的时间给到学生用于过程性探究.在授课的过程中,可以适当给学生探究的时间和自我展示的时间. ②[讲授效果反思] 对于刚开始学习公式,学生应用起来相对较为熟练,但由于弧长公式和扇形面积公式在形式上有诸多相似之处,久而久之学生可能会存在遗忘、混淆等情况.为减少这种情况的发生,可以在课下适当回顾两个公式各自的探究过程,并进行对比,让学生对于两个公式之间的联系与区别有一个更清晰的认识. ③[师生互动反思]  　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　  　　　　 　　　　　　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $