3.5 圆内接四边形 提高练习 2026-2027学年 浙教版九年级上册数学

**基本信息** 本练习以“基础应用—综合理解—拓展提升”三层次设计，梯度覆盖圆内接四边形性质、圆周角定理等核心知识点，通过选择、填空、解答、综合题型递进，适配新授课知识巩固与逻辑推理能力培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|圆内接四边形对角互补、圆周角与圆心角关系|选择题1-5直接考查单一性质，如第2题结合圆周角定理求角度，夯实概念理解| |综合理解|垂径定理、全等三角形与圆内接四边形结合|填空题9-12需多定理关联，如第9题菱形性质与圆周角定理综合，培养推理意识| |拓展提升|复杂图形中多知识点综合应用|综合题15-16涉及动态构造与多步证明，如第16题结合平行四边形判定与勾股定理，发展创新思维与数学表达能力|

3.5 圆内接四边形 提高练习 一、选择题 1．四边形ABCD内接于，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD=100°，则∠BCD的度数为（　　） A．50° B．80° C．100° D．130° 3．如图，点是上一点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4． 如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC⊥弦BD，若∠CBD＝30°，则∠A的大小为（　　） A．30° B．60° C．65° D．70° 5．如图，四边形ABCD内接于，若，则等于（　　） A． B． C． D． 6．如图，点A，B，C，D，E均在上，且经过圆心O，连接，若，则弧所对的圆心角的度数为（　　） A． B． C． D． 7．如图，A，B，C是⊙O上的三个点，如果∠ °，那么∠ 的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，，，、分别为、上一点，，，则的长为(　　) A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形AOCD是菱形，∠B的度数是　 　． 10．如图，点，，，都在上，，，，则　 　度. 11．如图，四边形ABCD内接于，延长AD至点，已知，那么　 　°. 12．如图，已知点D在锐角三角形ABC的BC边上，AB＞AC，点E、F分别是△ABD、△ACD的外心，且EF=BC，那么∠ADC=　 　度． 三、解答题 13．如图，四边形为的内接四边形，为的直径，且与互余. （1）求证：； （2）若，，求的长. 14．如图，已知⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，且AB=AC，点D是上一点，连结BD并延长至点E，连结AD，CD． （1）求证：DA平分∠EDC． （2）若∠EDA=72°，求的度数． 四、综合题 15．如图，是的直径，C，D为圆上位于直径两侧的点，连接、、、，且. （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若，，平分，求长度. 16．如图①，在中，，是外接圆上一点，连接，过点作，交的延长线于点，交于点. （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如图②，若为直径，，，求的长. 答案解析部分 1．【答案】B 【知识点】圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解： 四边形ABCD内接于， ∴∠B+∠D=180°， ∴∠D=80°. 故答案为：B. 【分析】根据圆内接四边形的性质即可求出∠D度数. 2．【答案】D 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵∠BOD=100°， ∴∠BAD=100°÷2=50°， ∴∠BCD=180°﹣∠BAD =180°﹣50° =130° 故选：D． 【分析】首先根据圆周角与圆心角的关系，求出∠BAD的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，用180°减去∠BAD的度数，求出∠BCD的度数是多少即可． 3．【答案】B 【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：由题意可得： 取优弧上一点C，连接AC，BC 则 ∴ 故答案为：B 【分析】取优弧上一点C，连接AC，BC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠ACB，再根据圆内接四边形对角互补即可求出答案. 4．【答案】B 【知识点】垂径定理的实际应用；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】∵OC⊥BD，OC是⊙O的半径， ∴BC=DC， ∴∠CBD=∠CDB=30°， 在△BCD中，∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°， 故答案为：B. 【分析】先利用垂径定理可得∠CBD=∠CDB=30°，再利用三角形内角和求出∠BCD=180°-∠CBD-∠CDB=120°，最后利用圆内接四边形的性质可得∠A=180°-∠BCD=180°-120°=60°，从而得解. 5．【答案】C 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：， ； ， ； 故答案为：C． 【分析】先利用圆周角的性质求出，再利用圆内接四边形的性质求出即可。 6．【答案】D 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：连接BC，OC，如图， ∵四边形ABCE为的内接四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：D. 【分析】连接BC，OC，根据圆内接四边形的性质得到进而根据题意求出∠CBD的度数，最后根据圆周角定理即可求解. 7．【答案】C 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图， 在弧AB上取一点D，连接AD，BD， 则 ∴ 故答案为：C 【分析】在弧AB上取一点D，连接AD，BD，利用圆周角定理可知 ，再利用圆内接四边形的性质即可求出∠ 的度数. 8．【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图所示，延长CB至H，使得BH=DF，连接AH， 四边形内接于， ∠ABC+∠ADC=180°， ∠ABC+∠ABH=180°， ∠ADF=∠ABH， 在和中，∠ADF=∠ABH，BH=DF，AD=BD， ， AF=AH，∠DAF=∠BAH， ， 四边形内接于， ∠BAD=180°-∠BCD=60°， ， ∠BAD+∠DAF=30°， ∠HAE=30°， 在和中， ∠HAE=∠EAF=30°，AF=AH，AE=AE， ， EH=EF=3， BE=EH-BH=3-1=2. 故答案为：B. 【分析】延长CB至H，使得BH=DF，连接AH，先根据圆内接四边形的性质和平角的定义证得∠ADF=∠ABH，进而可利用SAS证得，则AF=AH，∠DAF=∠BAH，再由， 四边形内接于，证出∠HAE=∠EAF=30°，从而可证，得出EH=EF=3，进而可得BE的长. 9．【答案】60° 【知识点】菱形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠B+∠D=180°， ∵四边形OACD是菱形， ∴∠AOC=∠D， 由圆周角定理得，∠B=∠AOC， ∴∠B+2∠B=180°， 解得，∠B=60°， 故答案为：60°． 【分析】根据圆内接四边形对角互补可得∠B+∠D=180°，由菱形的性质可得∠AOC=∠D，由圆周角定理得∠B=∠AOC，继而求解. 10．【答案】43 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：如图所示，连接BC， ∵， ∴， ∵，， 由三角形内角和定理可得，. ∴， 四边形ABCD是的圆内接四边形， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【分析】连接BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理分别求出、，进而得到，由圆内接四边形对角互补可得，进而可求得的度数. 11．【答案】70 【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【解答】解：∵ ∠AOC=140°， ∴ ∠ABC=∠AOC=70°， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴ ∠ADC=110°， ∵ ∠CDE+∠ADC=180°， ∴ ∠CDE=70°. 故答案为：70. 【分析】根据圆周角定理得∠ABC=∠AOC，再根据圆的内接四边形的性质得∠ADC=180°-∠ABC，再根据邻补角得∠CDE=180°-∠ADC，即可求得. 12．【答案】30 【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形的外接圆与外心 【解析】【解答】解：如图，分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H， 则有DG＝BG＝，DH＝CH＝ ∴GH＝DG+DH＝，　 ∵EF＝BC， ∴GH＝， 过F作FM⊥EG于M，则FM＝GH＝， ∴∠GEF＝30°， ∵ED＝EA，FD＝FA， ∴EF是AD的垂直平分线， ∴∠DEF＝ 又易证∠DEG＝ ∴∠DEF+∠DEG＝+ ∴∠GEF＝， ∴∠BEA＝60°， 在圆E上取点N，连接AN，BN，则四边形ANBD是圆内接四边形， 则∠N＝＝30°， ∴∠ADC＝∠N＝30°. 故答案为：30. 【分析】分别作△ABD和△ACD的外接圆，过E作EG⊥BD于G，作FH⊥CD于H，根据垂径定理和等腰三角形三线合一的性质推导出∠GEF＝，根据含有30°角的直角三角形的特点可以求出∠GEF为30°，从而推导出∠BEA，再构造圆内接四边形ADBN，从而得出外角∠ADC的度数。 13．【答案】（1）证明：连，， 是的直径 （2）解：延长交于点 设半径为由得： 为直径 【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】 (1)先说明，可得到，结合 与互余，可说明，从而有，就可说明 ； (2)连OB，延长D0交BC于点E，由垂径定理得： OE⊥BC， BE=CE=BC=2，在Rt△DEC中、在Rt△OEC中和在Rt△ABC中，利用勾股定理即可求解. 14．【答案】（1）证明：四边形ADBC为的内接四边形， ， ， 由圆周角定理得 平分； （2）解： ， ， ∴的度数为. 【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】（1）根据圆的内接四边形的对角互补得，根据邻补角的定义得，进而推出，再根据等腰三角形的性质得，根据圆周角定理得，最终推出； （2）由（1）得推出∠BAC，根据圆周角定理得=2∠BAC. 15．【答案】（1）解：是的直径， ， ， 在中，. （2）解：如图，延长至点K，使，连接，. 平分， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， . 【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念 【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，∠B=∠C=15°，然后根据内角和定理进行计算； （2）延长DB至点K，使BK=AD=3，连接BC、KC，由角平分线的概念以及圆周角定理可得∠ABC=∠ADC=∠CDB=45°，根据内角和定理可得∠CAB=45°，推出CB=CA，由圆内接四边形的性质可得∠CAD+∠CBD=180°，结合邻补角的性质可得∠CBK=∠CAD，利用SAS证明△CBK≌△CAD，得到∠CKB=∠CDA=45°，CK=CD，由内角和定理可得∠KCD的度数，据此求解. 16．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接，，如图所示， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵，， ∴， ∴ 【知识点】平行线的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定；圆周角定理；圆内接四边形的性质 【解析】【分析】（1）根据平行线的性质可得∠ADC=∠E，由圆周角定理可得∠ADC=∠CFB，推出∠E=∠CFB，得到DE∥CF，然后根据平行四边形的判定定理进行证明； （2）连接DF、AF，由平行线的性质可得∠DAC+∠ACF=180°，由圆内接四边形的性质可得∠ADF+∠ACF=180°，得到∠ADF=∠DAC，推出AF=CD，由圆周角定理可得∠AFB=90°，利用勾股定理可得AF，据此解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $