3.2.2 垂径定理的逆定理 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

课题

第2课时　垂径定理的逆定理

授课人

教

学

目

标

1.进一步探索和掌握垂径定理的逆定理,明确理解“知二得三”的意义.

2.利用垂径定理及其逆定理解决相应的数学问题.

教学

重点

掌握垂径定理的逆定理.

教学

难点

运用垂径定理的逆定理解决有关问题.

授课

类型

新授课

课时

教具

多媒体课件

教学活动

教学

环节

师生活动

设计意图

活动

一:

创设

情境

导入

新课

【课堂引入】

做一做:在一张圆形纸片内任取一点M,请你折出一条弦AB,使AB经过点M,并且AM=BM.你能说说你是怎样做的吗?

问题:垂径定理的内容是什么?这个定理的条件和结论分别是什么?

垂径定理的逆命题是什么?

逆命题1:平分弦的直径垂直于弦.

逆命题2:平分弧的直径垂直于弧所对的弦.

　　理解垂径定理的逆命题时,平分弦作为条件,不能忽略弦不是直径这一条件.

活动

二:

探究

与

应用

【探究1】 垂径定理的逆定理

问题1:已知:如图3-3-24,☉O的直径CD交弦AB(不是直径)于点P,AP=BP.

求证:CD⊥AB,=,=.

　　在教师的引导下探究垂径定理的逆定理,在已知垂径定理及其探究

图3-3-24

图3-3-25

证明:如图3-3-25,连结OA,OB,则AO=BO.

因为AP=BP,所以CD⊥AB,

所以=,=(垂直于弦的直径平分弦所对的弧).

归纳:定理1:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.

问题2:已知:如图3-3-24,☉O的直径CD交弦AB(不是直径)于点P,=.

求证:CD⊥AB,AP=BP.

请同学们自己完成证明.

归纳:定理2:平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.

总结:解决有关弦的问题,经常是过圆心作弦的垂线或作垂直于弦的直径,连结半径等辅助线,为应用垂径定理及其逆定理创造条件.

巩固训练

1.判断:

(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.(　×　)

(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧. (　√　)

(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦. (　×　)

(4)若圆的两条弦所夹的弧相等,则这两条弦平行. (　×　)

过程的基础上,再次结合对称性,探究垂径定理的逆定理,并要求学生能快速、准确地将垂径定理的逆定理表述出来.教学时要鼓励学生用多种方法进行探讨,体会研究图形的多种方法.

(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. (　√　)

活动

二:

探究

与

应用

2.如图3-3-26所示,AB是半圆O的直径,E是的中点,OE交弦BC于点D.已知BC=8 cm,DE=2 cm,则半圆O的直径AB为　10　cm. 

图3-3-26

[解析] 因为E是的中点,OE交弦BC于点D,所以OE⊥BC,CD=BD=BC=4 cm.

设OE=OB=r cm,则OD=(r-2)cm.

在Rt△ODB中,OD2+BD2=OB2,即(r-2)2+42=r2,解得r=5,

所以OB=5 cm,所以AB=2OB=10 cm.

【探究2】 垂径定理的逆定理的应用

图3-3-27①是某城市一座造型独特的桥梁,该桥因索塔为圆形而被称为“戒指桥”,图②是该桥索塔的示意图.已知桥面在圆形索塔上的部分AB=20 m,C为的中点,O为圆心,连结OC.

(1)求证:OC⊥AB;

(2)经测量,点C到AB的距离为2 m,求☉O的半径.

图3-3-27

解:(1)证明:因为C为的中点,所以OC⊥AB.

　　让学生熟练运用垂径定理的逆定理,提高学生证明过程的合理性和推理的能力,培养学生的合作交流能力.