3.3 垂径定理 提高练习 2026-2027学年 浙教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦垂径定理，通过基础应用、综合计算到实践探究的三层设计，强化几何直观与推理能力，实现从概念理解到实际建模的知识巩固。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|垂径定理直接应用|选择题1-8结合图形计算弦长、半径，填空题9-12强化勾股定理与垂径定理结合| |综合应用|定理与几何性质综合|解答题13-16涉及圆形拱门、面碗等实际场景，需构建方程求解半径| |拓展探究|跨学科与传统文化|实践探究题17-18结合《九章算术》及石拱桥测量，培养模型意识与应用能力|

3.3 垂径定理 提高练习 一、选择题 1．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图，AB是的弦，AB的长为6，P是上一个动点(不与点A，B重合).过点O作AP于点，作于点，则CD的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为（　　） A．50cm B．35cm C．25cm D．20cm 4．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底部是圆球形．球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（　　） A． B． C． D． 5．如何只用一张矩形纸条和刻度尺测量出一次性纸杯杯口的直径?小聪同学想到了如下方法：如图所示，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为3.5cm，AB=3cm，CD=4cm，则纸杯的直径为（　　） A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm 6．我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具——筒车，如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面的上方，的半径长为5米，被水面截得的弦长为8米，点是运行轨道的最低点，则点到弦的距离为（　　） A．5米 B．4米 C．3米 D．2米 7．如图，M为弦上的一点，连接过点M作交圆O于点C．若，则的长为 （　　） A．5 B．6 C． D． 8．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　） A．9.6 B．4 C．5 D．10 二、填空题 9．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，CD＝6，BE＝1，则弦AC的长为　 　． 10．“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为，开口宽为，这个水容器所能装水的最大深度是　 　． 11．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，点E在⊙G上运动，CF⊥AE于F，点E在G的运动过程中，线段FG的长度的最小值是　 　． 12．如图1是一款轴对称“磁悬浮地漏”无水时的示意图，它由一个圆弧形密封盖与两个磁体组成（下侧磁体固定不动），连接杆EF与地面BD垂直，排水口，密封盖最高点E到地面的距离为6mm，整个地漏的高度EG＝75mm（G为磁体底部中点），密封盖被磁体顶起将排水口密封，所在圆的半径为 　 　mm；当有水时如图2所示，密封盖下移排水，当密封盖下沉至最低处时，点M'恰好落在BG中点，若点M'到E'F'的距离为36mm，则密封盖下沉的最大距离为 　 　mm． 三、解答题 13． 下图是某学校人行过道中的一个以为圆心的圆形拱门，路面的宽为，高为，求圆形拱门所在圆的半径． 14．如图①是从正面看到的一个面碗的形状示意图．是⊙O的一部分． D是AB的中点，连接OD，与弦AB交于C．连接OA、OB．已知AB=24cm．碗深CD=8cm，问⊙O的半径OA是多少？ 15．如图，要把破残的圆片复制完整，已知弧上三点A、B、C. （1）用尺规作图法，找出弧BAC所在圆的圆心O；(保留作图痕迹，不写作法) （2）设△ABC为等腰三角形，底边BC=10 cm，腰AB=6 cm，求圆片的半径R；(结果保留根号) （3）若在(2)题中的R满足n＜R＜m(m、n为正整数)，试估算m和n的值. 16．如图，已知⊙O的弦AB垂直平分半径OC，连接AO并延长交⊙O于点E，连接DE，若AB＝4 ，请完成下列计算 （1）求⊙O的半径长； （2）求DE的长． 四、实践探究题 17．《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．《九章算术》中记载(如图①)：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何？” 阅读完这段文字后，聪聪画出了一个圆柱截面示意图(如图②)，其中BO⊥CD于点A，求“间径”就是要求⊙O的直径．根据上面记载的文字，发现AB= 寸，CD= 寸(一尺等于十寸)．运用有关知识即可解决这个问题．请你补全题目条件，并帮助聪聪求出⊙O的直径． 18．根据背景素材，探索解决问题． 测算石拱桥拱圈的半径 素材1 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图1），石拱桥由矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连接（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗岩各边的中点，如图2所示）． 素材2 通过观察发现A，B，C三个点都在拱圈上，A是拱圈的最高点，且在两块花岗岩的连接处，B，C两个点都是花岗岩的顶点（如图3）． 素材3 如果没有带测量工具，那么可以用身体的“尺子”来测，比如前臂长（包括手掌、手指）（如图4），利用该方法测得一块花岗岩的长和宽（如图5）． 问题解决 任务1 获取数据 通过观察、计算B，C两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）． 任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径． 注：测量、计算时，都以“肘”为单位． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解：∵CE=2，DE=8， ∴OB=5， ∴OE=3， ∵AB⊥CD， ∴在△OBE中，得BE=4， ∴AB=2BE=8． 故选：D． 【分析】根据CE=2，DE=8，得出半径为5，在直角三角形OBE中，由勾股定理得BE，根据垂径定理得出AB的长． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：，， ，， 是的中位线， ． 故答案为：C 【分析】先根据垂径定理得到，，进而根据中位线的定理结合题意即可求解。 3．【答案】C 【解析】【解答】解：设圆形工件的圆心为点E，连接BE，如图： ∴CE=BE=r. ∵CD垂直平分AB，AB=40cm， ∴直线CD经过圆心E. ∴AD=BD=20cm. ∵CD=10cm， ∴ED=r－10（cm）. 在Rt△BDE中，DE2+DB2=BE2， ∴(r－10)2+202=r2. 解得r=25. 故答案为：C. 【分析】证明点E在直线CD上，于是可利用垂径定理求出DB长，设半径BE=r，可表示DE，在Rt△BDE中利用勾股定理，即可求得工件半径. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：由题可知，OD⊥AB， ∠ACO=90°，， OA=OD=5cm，CD=3cm， OC=OD-CD=2cm， 在中，由勾股定理有， AB=2AC= 故答案为：D. 【分析】先根据垂径定理得到∠ACO=90°，，再根据勾股定理求出AC的长，即可得到AB的长. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：设圆心为O，EF为纸条宽，连接OC，OA， 则EF⊥CD，EF⊥AB， ∴CE=CD=×4=2，AF=AB=×3=， 设OE=x，则OF=3.5−x， 又∵OC=OA， ∴CE2+OE2=AF2+OF2，即22+x2=()2+(3.5−x)2， 解得：x=， ∴半径， 即直径为5cm， 故答案为：B. 【分析】设圆心为O，根据垂径定理可以得到CE=4，AF=3，再根据勾股定理构建方程解题即可． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：连接、，交于点，如图所示： 由题意得米，， （米，， （米， 米， 故答案为：D 【分析】连接、，交于点，由题意得米，，进而根据垂径定理得到（米，，再运用勾股定理求出OD，进而根据CD=OC-OD即可求解。 7．【答案】B 【解析】【解答】解：如图：连接以及过点O作， 设， ∵，， ∴， 则， ， ∴， ∴（负值已舍去）， 故答案为：B． 【分析】连接OB、OC，过点O作OH⊥AB，根据垂径定理求MH的长度，设OH=x，根据勾股定理列方程求解即可。 8．【答案】A 【解析】【解答】解：连接OC ∵AB⊥CD， OE⊥AC ∴ AE=EC，CF=FD ∵OE=3，OB=5 ∴OB=OC=OA=5 ∴在Rt△OAE中 ∴AE=EC=4 设OF=x，则有 x=1.4 在Rt△OFC中， ∴ 故答案为：A 【分析】连接OC，利用垂径定理可证得AE=EC，CF=FD，在Rt△OAE中，利用勾股定理求出AE的长，即可得到EC的长；设OF=x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到OF的长；然后在Rt△OFC中，利用勾股定理求出FC的长，即可求出CD的长. 9．【答案】 【解析】【解答】解：∵ 直径AB⊥CD， CD＝6， ∴CE=DE=3， 设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1， ∵OE2+ED2=OD2， ∴（r-1）2+32=r2， 解得r=5， ∴OA=5，OE=4， ∴AE=OA+OE=9， 在Rt△AEC中，AC===. 故答案为：. 【分析】由垂径定理可得CE=DE=3，设⊙O半径为r，则OE=OB-BE=r-1，在Rt△OED中，利用勾股定理建立方程，求出r=5，从而求出AE=9，在Rt△AEC中，利用勾股定理求出AC即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解：连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，如图， 根据题意得，OB=12cm，AB=10cm， ∴ BC=6cm， 由勾股定理得，OC=8cm， ∴ 最大深度是8+10=18cm. 故答案为：18. 【分析】连接AB，OB，过OC⊥AB于点C，根据垂径定理可得BC的长，根据勾股定理求得OC，即可求得最大深度. 11．【答案】3﹣3 【解析】【解答】解：过G作GM⊥AC于M，连接AG，如图所示： ∵GO⊥AB， 由垂径定理得：OA＝OB， 在Rt△AGO中，∵AG＝6，OG＝3， 由勾股定理得：OA＝， ∴AB＝2AO＝6，∠AGO＝60°， ∵GC＝GA＝6， ∴∠GCA＝∠GAC， ∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC， ∴∠GCA＝∠GAC＝30°， ∴AC＝2OA＝6，MG＝CG＝3， ∵∠AFC＝90°， ∴点F在以AC为直径的⊙M上， ∴＝3， 当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣MG＝3﹣3， 故答案为：3﹣3． 【分析】连接，作，连接，由可知，点F在以为直径的圆M上移动，当点F在的延长线上时，的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出，，最小值＝FM﹣MG，即可求解． 12．【答案】39；16.5 【解析】【解答】解：连接CD，交EF于点H，连接OD， 设OH=x， ∵ 密封盖最高点E到地面的距离为6mm， ∴EH=6，则OE=OD=6+x， ∵EF⊥CD， ∴， 在Rt△ODH中，HD2+OH2=OD2即， 解之：x=33， ∴OD=33+6=39； 过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'， ∴M'Z∥E'F'， ∴点Z是BQ'的中点， ∴点M'是BG的中点， ∴M'Z是△GQ'B的中位线， ∴M'Z=GQ'， ∵EG=75，EQ'=6， ∴GQ'=69， ∴M'Z=34.5， ∵点M'到F'E'的距离为36， ∴MJ=M'P'=36， ∵OM=OE=39， 如图1，作MJ⊥EG于点J，过点M作ML⊥L于点L， ∴， ∴移动前M到地面的距离为JH=39-15-6=18， ∴MM'=M'Z-JH=34.5-18=16.5， ∴密封盖下沉的最大距离为16.5mm. 故答案为：39，16.5. 【分析】如图1，连接CD，交EF于点H，连接OD，过点M作ML⊥L于点L，设OH=x，利用已知可表示出OE的长，利用垂径定理求出DH的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的半径.；过点M'作M'P'⊥E'F'于点P'，过点M'作M'Z⊥DB于点Z，延长GE'交AB于点Q'，易证M'Z是△GQ'B的中位线，利用三角形的中位线定理求出M'Z的长；利用点M'到F'E'的距离为36，可证得MJ=M'P'=36，利用勾股定理求出JO的长，由此可得到移动前M到地面的距离，然后求出MM'的长即可. 13．【答案】解：如图，连接， ∵，路面的宽为， ∴． 设，则． ∴在中，，即， 解得：． ∴圆形拱门所在圆的半径为． 【解析】【分析】（1）首先根据旋转定义和性质得出，， 然后再根据两角之差即可求得的度数； （2） 如图，连接， 首先根据垂径定理得出，然后根据同源的半径相等可得出OA+OD=5， 设，则，根据勾股定理即可得出方程， 解方程即可得出答案。 14．【答案】解：∵ 是⊙O的一部分，D是的中点，AB=24cm， ∴OD⊥AB，AC=BC=- AB=12cm， 设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm， 在Rt△OAC中，∠OCA=90° ， ∴r2=122+（r -8）2， 解得r= 13， ∴⊙O的半径OA=13． 【解析】【分析】设⊙O的半径OA为rcm，则OC=0D=（r - 8）cm，利用勾股定理可得r2=122+（r -8）2，再求出r的值即可. 15．【答案】（1）解：如图： （2）解：如图：作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB， ∵△ABC为等腰三角形，BC=10 cm， ∴BD=CD=5cm， ∵AB=6 cm， 在Rt△ABD中， ∴AD=， 在Rt△OBD中， ∴R2=52+（R-）2， ∴R=. 即圆片的半径为. （3）解：由（2）知R=. ∵3＜＜4， ∴4.5＜＜6， 又∵n＜R＜m， ∴n=5，m=6 【解析】【分析】（1）作出AB、AC的垂直平分线，交点即为圆心O. （2）作AD⊥BC于D，延长AD至O，连结OB，根据等腰三角形的性质和垂径定理可知BD=CD=5cm，在Rt△ABD中，由勾股定理求得AD；在Rt△OBD中，由勾股定理求得半径R. （3）由3＜＜4，从而估算的范围，从而得出m、n的值. 16．【答案】（1）解：连接BE， ∵⊙O的半径OC⊥弦AB于点D，AB＝ ， ∴AD＝BD＝ ， 设OA＝x， ∵弦AB垂直平分半径OC， ∴OD＝ x， 在Rt△AOD中，AD2+OD2＝OA2， ∴2+ ＝x2， 解得：x＝4， 即⊙O的半径长是4； （2）解：由（1）∴OA＝OE＝4，OD＝2， ∵AD＝BD ∴BE＝2OD＝4， ∵AE是直径， ∴∠B＝90°， ∴DE＝ 【解析】【分析】首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB＝ ，根据垂径定理可求得AD＝BD，然后设OA＝x，利用勾股定理，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B＝90°，继而求得答案． 17．【答案】1；10； ∵以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， ∴AB=1，CD=10. 如图，连结CO． ∵BO⊥CD，∴CA=CD=5 寸． 设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸． 在Rt△CAO中，AO2+CA2=CO2， 即(x-1)2+52=x2， 解得x=13， ∴⊙O的直径为26寸． 【解析】【分析】利用已知可得到AB，CD的长；连结CO．利用垂径定理求出AC的长，设CO=OB=x寸，则AO=(x-1)寸，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到圆的直径. 18．【答案】解：任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘， 根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离有2块花岗岩的长， B，C两点之间的铅垂距离（高度差）有4块花岗岩的宽， 答：B，C两点之间的水平距离为4肘； 任务2：如图，作过点C的水平线，垂足为E，记圆心为O、BO， 观察图形，CE＝6.5×2＝13（肘），AE＝8（肘）， ∵OB2＝OC2=EB2+OE2， ∴OB2=132+（OB-8）2， 解得OB=，答：石拱桥拱圈的半径为肘． 【解析】【分析】任务1：根据素材3，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘，宽为1肘；根据素材1、素材2，B，C两点之间的水平距离，及B，C两点之间的铅垂距离（高度差）； 任务2：如图，作过点C的水平线CE⊥AO，垂足为E，记圆心为OC、BO，根据勾股定理可得OB2＝OC2=EB2+OE2，即得OB2=132+（OB-8）2，解出OB即可. 1 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