精品解析：上海市浦东新区上海中学东校2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

2025学年第二学期七年级期末考试 数学学科试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式性质或举反例判断各选项正误． 【详解】解：A、已知，当，，满足，此时，不等式不成立，故A错误； B、已知，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，不等式一定成立，故B正确； C、已知，当，时，满足，此时，不等式不成立，故C错误； D、已知，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，不等式不成立，故D错误． 2. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的高，理解“从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．”是解题的关键． 【详解】解：三角板摆放位置正确， 故选：D． 3. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质和三角板的相关计算，熟练掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质得到，，进一步即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C 4. 如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角形的外角的性质得，再根据等腰三角形的判定可得，然后根据的周长得出答案． 【详解】解：∵是的外角， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． ∵， ∴的周长为． 5. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了等角对等边，三角形内角和定理，大角对等边，作与已知角相等的角的尺规作图，由作图方法可得，则由三角形内角和定理和等边对等角得到，，由大角对大边得到，再由可得． 【详解】解：由作图方法可得，故A结论正确，不符合题意； ∴，，故B、C结论都正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D结论错误，符合题意； 故选：D． 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（ ）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 二、填空题（每题2分，共30分） 7. 若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 【答案】锐角 【解析】 【分析】先根据三角形的内角和定理求出中最大角的度数，再根据三角形的分类求解即可． 【详解】解：∵的三个内角的比为，且三角形内角和为， ∴中最大角的度数为： ， ∵中最大角为锐角， ∴为锐角三角形． 8. 如图，直线、相交于点O，若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对顶角相等，求出的度数，再根据图形中角的关系即可求解． 【详解】解：直线、相交于点O， ， ， ． 9. 如图，，，．则______． 【答案】66 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 10. 如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据角的和差关系求出的度数，再在中，利用三角形的内角和定理求出，结合角平分线的定义求出，最后根据三角形的内角和定理求解． 【详解】解：，， ∴， ∵是边上的高， ， ， 是的平分线， ， ∴, ∴． 11. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 【答案】##度 【解析】 【分析】先在中利用等边对等角求出的度数，然后根据垂直平分线的性质可得，再利用等边对等角得出，最后结合三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的等边对等角是解题的关键． 12. 判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的关键． 要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件但结论不成立的值，可以当时，进行求解即可． 【详解】解：当时，，满足条件； 但 ，不满足结论， ∴命题是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 14. 如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 【答案】 4 【解析】 【分析】先根据角平分线的定义和平行线的性质得到，再根据等角对等边得到，最后利用线段的和差关系求解． 【详解】解：平分， ． ， ， ， ． ， ．  ， ． 15. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的两点，连接，，且，，，则的长为______． 【答案】3 【解析】 【分析】利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，可证，由全等三角形性质可得，然后根据求出的长，进而可求出的长． 【详解】解：∵是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 16. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点G，根据平行线的性质可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，设交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴． 17. 如图，在中，，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】三角形的内角和定理求出，等边对等角，结合平角的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴. 18. 如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 19. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（个） … 总高度（） … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是________个． 【答案】29 【解析】 【分析】观察表格数据得出每增加一个杯子高度增加，摞起杯子的总高度为：，根据总高度不超过列一元一次不等式求解． 【详解】解：由表格数据可知，每增加一个杯子，总高度增加， 摞起杯子的总高度为：， 根据题意，得， 解得． 为正整数， 的最大值为． 故一摞最多能叠的杯子个数是个． 20. 若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意可求不等式组的解集为，再分情况判断出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为：， 所有整数解的和为， ①整数解为：、、、， ， 解得：， 为整数， ． ②整数解为：，，，、、、， ， 解得：， 为整数， ． 综上，整数的值为或 故答案为：或． 【点睛】本题考查了含参数的一元一次不等式组的整数解问题，掌握一元一次不等式组的解法，理解参数的意义是解题的关键． 21. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，设，，则和之间的数量关系是________ ． 【答案】 【解析】 【分析】利用折叠性质、平角定义和平行线的性质进行求解即可得到答案． 【详解】解：设，， 作的延长线与交点为，如图所示： ∵将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠，折痕分别为， ，， ， ， ， 由折叠得出， ， 则， ． 三、解答题（第22题8分，第23题6分，第24题8分，第25题8分，第26题10分，第27题12分，共52分，第24、26、27题均需要书写依据） 22. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【解析】 【分析】分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，得到解集后取公共部分，再从中找出整数解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组解集：， 原不等式组的所有整数解：，，． 23. 如图，已知，．求证：．请补全下面的证明过程． 证明：（已知）， 又（①________）， （等量代换）， ②________（③________）， （④________）， （已知）， ⑤________（等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （⑥________）． 【答案】①对顶角相等；②；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，内错角相等；⑤；⑥两直线平行，同位角相等． 【解析】 【分析】利用对顶角性质、平行线判定定理推导出，再借助平行线性质与等量代换得到，证出，最后根据平行线性质得到，填写推理依据与线段、角． 【详解】证明： （已知）， 又（①对顶角相等）， （等量代换）， ②（③同旁内角互补，两直线平行）， （④两直线平行，内错角相等）， （已知）， ⑤（等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （⑥两直线平行，同位角相等）． 24. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即. 【解析】 【分析】（1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 已知，a、b、c是的三条边长，定义的“k次边比和”，其中k为正整数，c是的最长边． （1）若为等边三角形，则________； （2）当时，请直接写出的“1次边比和”的取值范围：________； （3）当时，若是等腰三角形，且，请直接写出的“2次边比和”的取值范围：________； （4）当时，若，a、b、c为三个连续整数，，则满足条件的有________个． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，则，据此求解即可； （2）当时，，根据是的最长边， 推出，再由三角形三边的关系可推出，据此可得答案； （3）当，时，，根据三角形三边的关系可推出，，即，据此可得答案； （4）根据题意可得，；当时，，根据，得到，则可求出；再由三角形三边的关系可得，即， 解得，据此可得答案． 【小问1详解】 解：∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵k为正整数， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，， ∵是的最长边， ∴，， ∴，即，当且仅当时取等号， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴； 【小问3详解】 解：当，时，， ∵是的最长边， ∴，即， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴，即； 【小问4详解】 解：∵、、为三个连续整数，且， ∴是的最长边，且，， 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； ∵三角形两边之和大于第三边， ∴，即， 解得， ∴， ∵为整数， ∴可取，共6个值，对应6个不同的． 26. 如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） （2）证明：是等边三角形，为中点， ，，，， ， ， ， ，； ∵，， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 中，， ， ∵， 是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）利用等边三角形三线合一求出，结合得到，通过角的差计算 （2）先沿用（1）的结论得到，证明得到，算出；利用三角形内角与邻补角求出，结合判定，最终证明为等边三角形． 【小问1详解】 解：是等边三角形，为中点， ，，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 27. 如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． （1）试说明 的理由； （2）延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； （3）当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 【答案】（1） 证明：根据旋转的性质得到，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）不改变， （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据两条边相等，即可证得两个三角形全等； （2）先证明，得到，，再计算出的值，再证明，最后根据三角形外角定理即可求得的大小； （3）证明是的角平分线，根据角平分线定理得到，，再根据，，即可得到和，根据三角形面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如下图所示，连接， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴大小不改变，且； 【小问3详解】 解：如下图所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是的角平分线， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判断和性质、三角形外角定理、直角三角形的性质和角平分线定理，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期七年级期末考试 数学学科试卷 时间：90分钟 满分：100分 一、选择题（每题3分，共18分） 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 嘉嘉同学用三角板作的边上的高，下列三角板摆放位置正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 将一个含角的三角尺和直尺按如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点D在边上，．若，，则的周长为（ ） A. 10 B. 11 C. 15 D. 16 5. 如图，在中，．尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边于点M，N；（2）以点C为圆心，长为半径画弧，交边于点；再以点为圆心，长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点；（3）过点画射线交边于点D．下列结论错误的为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（ ）个． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（每题2分，共30分） 7. 若的三个内角的比为，则的形状是_________三角形．（填锐角、直角、钝角中的一个） 8. 如图，直线、相交于点O，若，，则的度数为________． 9. 如图，，，．则______． 10. 如图，中，是边上的高，，，是的平分线，则的度数为________． 11. 如图，在中，的垂直平分线交于点D．交于点E．连接．若，，则的度数为______________． 12. 判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为________． 13. 如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 14. 如图，中，平分，交于点E，若，，则长度为______． 15. 如图，中，是边上的中线，E，F为直线上的两点，连接，，且，，，则的长为______． 16. 小华将一副三角板（，，）按如图所示的方式摆放，其中，则的度数为________． 17. 如图，在中，，，，则的度数为________． 18. 如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为__________． 19. 圆圆想把一些相同规格的塑料杯，尽可能多地放入高的柜子里（如图）．她把杯子按如图这样整齐地叠放成一摞（如图），但她不知道一摞最多能叠几个可以一次性放进柜子里．圆圆测量后发现，按这样叠放，这摞杯子的总高度随着杯子数量的变化而变化，记录的数据如下表所示： 杯子的数量（个） … 总高度（） … 请帮圆圆算一算，一次性放进高的柜子里，一摞最多能叠的杯子个数是________个． 20. 若关于x的不等式组所有整数解的和为，则整数的值为___________． 21. 如图，将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，若，设，，则和之间的数量关系是________ ． 三、解答题（第22题8分，第23题6分，第24题8分，第25题8分，第26题10分，第27题12分，共52分，第24、26、27题均需要书写依据） 22. 解不等式组，并写出该不等式组的所有整数解． 23. 如图，已知，．求证：．请补全下面的证明过程． 证明：（已知）， 又（①________）， （等量代换）， ②________（③________）， （④________）， （已知）， ⑤________（等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （⑥________）． 24. 如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． （1）求证：； （2）若，求证：． 25. 已知，a、b、c是的三条边长，定义的“k次边比和”，其中k为正整数，c是的最长边． （1）若为等边三角形，则________； （2）当时，请直接写出的“1次边比和”的取值范围：________； （3）当时，若是等腰三角形，且，请直接写出的“2次边比和”的取值范围：________； （4）当时，若，a、b、c为三个连续整数，，则满足条件的有________个． 26. 如图，是等边三角形，是的中点，连接，过点作，过点作，、交于点，连接、，交于点． （1）求的大小； （2）求证：是等边三角形． 27. 如图，已知在 中， 射线 点P为射线上的动点(点P不与点A重合)，连接，将线段绕点B顺时针旋转角度α后， 得到线段， 连接、． （1）试说明 的理由； （2）延长交射线于点D，在点P的移动过程中， 的大小是否发生变化?若改变请说明理由，若不改变，请求出 的大小(用含α的代数式表示)； （3）当时， 过点Q作垂直射线， 垂足为E，那么 (用m、 n的代数式表示) ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $