专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年浙教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦初中数学“圆的有关概念”核心知识点，系统梳理圆的定义及基本要素、弦与直径、弧的相关概念、点与圆的位置关系、确定圆的条件与三角形外接圆，从基础概念到位置关系再到确定条件，构建递进式知识支架。 该资料以分层题型设计（基础到拔高）和同步检测为特色，通过概念辨析题（如题型1）强化推理意识，作图题（如题型3）培养几何直观，体现数学思维与数学眼光，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】圆的定义及基本要素 1 【知识点二】弦与直径 1 【知识点三】弧的相关概念 2 【知识点四】点与圆的位置关系 2 【知识点五】确定圆的条件与三角形外接圆 2 二.综合培优题型精析 3 【题型 1】圆的基础概念辨析（基础·必会） 3 【题型 2】点与圆的位置关系判定（基础·高频） 3 【题型 3】圆的基本作图（中档·应用） 4 【题型 4】三角形外接圆与外心计算（中档·必考） 6 【题型 5】确定圆的条件综合辨析（拔高·应用） 7 【题型 6】圆的概念几何综合压轴（拔高·拓展） 8 三.同步检测 9 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 11 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 12 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】圆的定义及基本要素 1. 动态定义：在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长度叫做半径。 2. 静态（集合）定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3. 表示方法：以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。 【要点提示】 ① 确定圆的两个必备条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ② 数学中的圆特指圆周曲线，不包含圆内部的平面区域； ③ 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，反之，平面内到圆心距离等于半径的点必在圆上。 【知识点二】弦与直径 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，直径长度倍半径。 【要点提示】 ① 包含关系：直径一定是弦，弦不一定是直径； ② 只有经过圆心的弦才能称为直径，直径是圆内长度最大的弦，无任何弦长度能超过直径。 【知识点三】弧的相关概念 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示。 2. 分类： （1）劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示； （2）半圆：直径所对的弧，是特殊的弧； （3）优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示。 3. 等圆与等弧：能够完全重合的圆是等圆（半径相等）；同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧。 【要点提示】 ① 半圆既不是劣弧，也不是优弧； ② 仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须满足：同圆/等圆中、能够完全重合两个条件； ③ 优弧必须标注三个字母区分，避免与劣弧混淆。 【知识点四】点与圆的位置关系 设的半径为，平面内任意一点到圆心的距离为，则有： 1. 点在圆外 2. 点在圆上 3. 点在圆内 【要点提示】 ① 该关系为双向等价，可根据距离判位置，也可根据位置列距离不等式； ② 解题核心：先计算点到圆心的距离，再与半径对比大小。 【知识点五】确定圆的条件与三角形外接圆 1. 基本定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同一直线上的三点无法确定圆。 2. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 3. 外心性质：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 【要点提示】 ① 外心位置规律：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部； ② 作三角形外接圆的关键：找任意两边垂直平分线的交点，即为圆心。 二.综合培优题型精析 【题型 1】圆的基础概念辨析（基础·必会） 核心考点：弦、直径、弧、等弧、等圆的概念正误判断 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【变式1】（25-26九年级上·天津河东·期中）下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．直径只有一条 D．圆中最长的弦是直径 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 方法总结：概念判断题重点关注限定词：“过圆心”“同圆或等圆”“完全重合”。 【题型 2】点与圆的位置关系判定（基础·高频） 核心考点：利用距离与半径的大小关系，判定点的位置 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的，试确定点与的位置关系． 【变式1】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B都在圆外？ （2）当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 方法总结：先求点到圆心距离，再与半径对比，三步即可判定位置。 【题型 3】圆的基本作图（中档·应用） 核心考点：根据定义画圆、弦、直径、优弧、劣弧 【例题3】（25-26九年级下·广东·二轮复习）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ③在射线上截取； ④连接． 若，求的半径． 【变式1】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图①、图②都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中画一个的内接正方形. （2）在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. 【题型 4】三角形外接圆与外心计算（中档·必考） 核心考点：外心性质、直角三角形外接圆半径求解 【例题4】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． （1）求的度数； （2）求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【变式3】（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． （1）请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求此外接圆的半径． 方法总结：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，是高频秒杀结论。 【题型 5】确定圆的条件综合辨析（拔高·应用） 核心考点：三点确定圆的分类讨论 【例题5】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）弧所在圆的圆心的坐标为________________； （2）求弧所在圆的半径； 【变式1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【变式2】（25-26九年级上·北京·随堂练习）平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______； （2）求该圆的半径． 方法总结：牢记核心规则：只有不共线的三点才能确定一个圆。 【题型 6】圆的概念几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆的定义、点与圆位置关系、动点综合应用 【例题5】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________． （2）这个圆的半径为________． （3）直接判断点与⊙的位置关系，点在⊙________（填“内”“外”或“上”）． 【变式1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值______． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． （1）求证：； （2）若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 4．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 6．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25八年级上·上海·阶段检测）到点距离为1的点的轨迹是______________． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 12．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 13．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 14．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 16．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________； （2）若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 19．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，点A，B，C，D在上，连接，若，，求证：四边形是菱形．    20．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，． （1）使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； （2）以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.1 圆的有关概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与解读 1 【知识点一】圆的定义及基本要素 1 【知识点二】弦与直径 1 【知识点三】弧的相关概念 2 【知识点四】点与圆的位置关系 2 【知识点五】确定圆的条件与三角形外接圆 2 二.题型精析 3 【题型 1】圆的基础概念辨析（基础·必会） 3 【题型 2】点与圆的位置关系判定（基础·高频） 5 【题型 3】圆的基本作图（中档·应用） 7 【题型 4】三角形外接圆与外心计算（中档·必考） 11 【题型 5】确定圆的条件综合辨析（拔高·应用） 15 【题型 6】圆的概念几何综合压轴（拔高·拓展） 18 三.同步检测 22 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 22 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 26 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 31 一.知识梳理与解读 【知识点一】圆的定义及基本要素 1. 动态定义：在同一平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。固定的端点叫做圆心，线段的长度叫做半径。 2. 静态（集合）定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合。 3. 表示方法：以点为圆心的圆，记作，读作“圆”。 【要点提示】 ① 确定圆的两个必备条件：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ② 数学中的圆特指圆周曲线，不包含圆内部的平面区域； ③ 圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，反之，平面内到圆心距离等于半径的点必在圆上。 【知识点二】弦与直径 1. 弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2. 直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最长的弦，直径长度倍半径。 【要点提示】 ① 包含关系：直径一定是弦，弦不一定是直径； ② 只有经过圆心的弦才能称为直径，直径是圆内长度最大的弦，无任何弦长度能超过直径。 【知识点三】弧的相关概念 1. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号表示。 2. 分类： （1）劣弧：小于半圆的弧，用两个字母表示； （2）半圆：直径所对的弧，是特殊的弧； （3）优弧：大于半圆的弧，用三个字母表示。 3. 等圆与等弧：能够完全重合的圆是等圆（半径相等）；同圆或等圆中，能够完全重合的弧是等弧。 【要点提示】 ① 半圆既不是劣弧，也不是优弧； ② 仅长度相等的弧不是等弧，等弧必须满足：同圆/等圆中、能够完全重合两个条件； ③ 优弧必须标注三个字母区分，避免与劣弧混淆。 【知识点四】点与圆的位置关系 设的半径为，平面内任意一点到圆心的距离为，则有： 1. 点在圆外 2. 点在圆上 3. 点在圆内 【要点提示】 ① 该关系为双向等价，可根据距离判位置，也可根据位置列距离不等式； ② 解题核心：先计算点到圆心的距离，再与半径对比大小。 【知识点五】确定圆的条件与三角形外接圆 1. 基本定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；同一直线上的三点无法确定圆。 2. 三角形外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。 3. 外心性质：三角形的外心是三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。 【要点提示】 ① 外心位置规律：锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形外心在斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部； ② 作三角形外接圆的关键：找任意两边垂直平分线的交点，即为圆心。 二.题型精析 【题型 1】圆的基础概念辨析（基础·必会） 核心考点：弦、直径、弧、等弧、等圆的概念正误判断 【例题1】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，包括弦、直径的定义以及圆的对称性，掌握相关知识是解决问题的关键． 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦；圆既是轴对称图形也是中心对称图形． 解：A：直径是弦，但弦不一定是直径（如非直径的弦），故A错误； B：过圆心的线段必须连接圆上两点才是直径，否则不是，故B错误； C： 直径是经过圆心的弦，且是圆中最长的弦，故C正确； D：圆有无数条对称轴（任何直径所在直线），且以圆心为中心对称点，故是中心对称图形，故D错误． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·天津河东·期中）下列说法正确的是（   ） A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．直径只有一条 D．圆中最长的弦是直径 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，掌握直径和弦的关系是解题的关键． 根据圆的相关概念逐项判断即可． 解：A由直径是过圆心的弦，且圆中最长的弦是直径； 弦是连接圆上任意两点的线段，但弦不一定是直径（如非直径弦），故A选项错误，不符合题意； B． 过圆心的线段且两端点在圆上的线段是直径，故B选项错误，不符合题意； C．直径有无数条，故C选项错误，不符合题意； D． 圆中最长的弦是直径，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）下列命题中正确的是（   ） ①直径是圆中最长的弦．②弧是半圆．③过圆心的直线是直径．④半圆不是弧．⑤直径不是弦．⑥长度相等的弧是等弧．⑦圆上两点间的部分叫做弦．⑧大小不等的圆中不存在等弧． A．①⑧ B．②⑦ C．③⑤ D．④⑥ 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，运用直径的定义与性质即可判断①③⑤是否正确；运用“比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧” 即可判断②④是否正确；运用“在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧”即可判断⑥⑧是否正确；运用“圆上两点间的部分叫做圆弧”即可判断⑦是否正确．解题的关键是理解命题有题设和结论两部分组成． 解：直径是圆中最长的弦，故①正确； 弧不一定是半圆，故②错误； 直径是线段不是直线，故③错误； 半圆是弧，故④错误； 直径是弦，故⑤错误； 在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故⑥错误； 圆上两点间的部分叫做圆弧，故⑦错误； ⑧∵在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧， ∴大小不等的圆中不存在等弧，该命题正确． ∴正确的命题是①⑧． 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．直径是弦，弦是直径 B．半圆是圆中最长的弧 C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等 【答案】C 【分析】考查了垂径定理以及弦和弧的概念等知识．根据弦的定义、垂径定理的推论，即可求得答案． 解：A．直径是弦，弦不一定是直径，故不正确，不符合题意；     B．同圆或等圆中，半圆比劣弧长，比优弧短，故不正确，不符合题意；     C．平分弧的半径垂直于弧所对的弦，故正确，符合题意；         D．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故不正确，不符合题意；     故选：C． 方法总结：概念判断题重点关注限定词：“过圆心”“同圆或等圆”“完全重合”。 【题型 2】点与圆的位置关系判定（基础·高频） 核心考点：利用距离与半径的大小关系，判定点的位置 【例题2】（26-27九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，作以原点O为圆心，半径为4的，试确定点与的位置关系． 【答案】点A在内；点B在外；点C在上． 【分析】连接OA、OB、OC，根据点的坐标，分别求出OA、OB、OC的长，和⊙O的半径4比较即可得出答案． 解：连接OA、OB、OC， ∵， 由勾股定理得 OA=<4， ∴点A与的位置关系是点A在内； ∵， 由勾股定理得OB=>4， ∴点B与的位置关系是点B在外； ∵， 由勾股定理得OC==4， ∴点C与的位置关系是点C在上． 【点拨】本题考查了点与圆的位置关系，勾股定理．点与圆的位置关系有三种：①当d=r时，点在圆上；②当d>r时，点在圆外；③当d<r时，点在圆内． 【变式1】（25-26九年级下·江苏泰州·阶段检测）已知的半径为4，若点在内，则点到圆心的距离可能为（    ） A．4 B． C．5 D．7 【答案】B 【分析】利用点在圆内的性质：点到圆心的距离小于圆的半径，判断各选项即可． 解：∵点P在⊙O内，⊙O的半径为4， ∴点P到圆心O的距离d满足； A选项，不符合要求； B选项，即，符合要求； C选项，不符合要求； D选项，不符合要求． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． （1）当r取什么值时，点A，B都在圆外？ （2）当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 【答案】（1）当时，点A，B都在圆外；（2）时，点A在圆内，点B在圆外． 【分析】（1）根据点与圆的位置关系，判断点到圆心的距离与半径的大小关系，从而确定的范围． （2）同样根据点与圆的位置关系，分别确定点在圆内、点在圆外时的范围，再取交集． 解：（1）解：， 当时，点A，B都在圆外． （2）解：， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 【点拨】本题考查点与圆的位置关系，掌握点到圆心的距离与半径的关系：时点在圆外，时点在圆内是解题的关键． 方法总结：先求点到圆心距离，再与半径对比，三步即可判定位置。 【题型 3】圆的基本作图（中档·应用） 核心考点：根据定义画圆、弦、直径、优弧、劣弧 【例题3】（25-26九年级下·广东·二轮复习）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，交于点B； ③在射线上截取； ④连接． 若，求的半径． 【答案】 【分析】如图，连接．证明是等边三角形，解直角三角形求出即可． 解：如图，连接． 由作法得， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 在中，． 即的半径为． 【点拨】本题考查作图基本作图，圆的基本性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【变式1】（24-25九年级下·湖北孝感·期中）如图，为上一点，按以下步骤作图： ①连接，②以点为圆心，长为半径作弧，交于点； ③在射线上截取；④连接．则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆的基本性质，等边三角形的性质和判定，三角形外角的性质等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 由题意得是等边三角形，则，进而可得． 解：如图所示，连接 ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2】（2023·甘肃兰州·中考真题）我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子天文训》中记载：“正朝夕：先树一表东方；操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表，以参望日方入北康．则定东方两表之中与西方之表，则东西也．”如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线a和直线外一定点O，过点O作直线与a平行．（1）以O为圆心，单位长为半径作圆，交直线a于点M，N；（2）分别在的延长线及上取点A，B，使；（3）连接，取其中点C，过O，C两点确定直线b，则直线．按以上作图顺序，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，可得，结合，C为的中点，可得． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴， 故选A． 【点拨】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形的外角的性质，熟记等腰三角形的性质是解本题的关键． 【变式3】（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图①、图②都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上．图①、图②中的点A在上，仅用无刻度的直尺，按下列要求完成画图，所画图形的顶点均在格点上，并保留作图痕迹． （1）在图①中画一个的内接正方形. （2）在图②中画一个的内接四边形，使该四边形是轴对称图形但不是中心对称图形，且点在该四边形内部. 【答案】（1）如图所示，正方形即为所作；    （2）如图所示，四边形即为所作；    【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案、正方形及圆的性质，正确掌握轴对称图形及圆的性质是解题关键． （1）直接利用正方形及圆的性质，作出图形即可； （2）直接利用轴对称图形的性质，作出图形即可． 解：（1）略； （2）略． 【题型 4】三角形外接圆与外心计算（中档·必考） 核心考点：外心性质、直角三角形外接圆半径求解 【例题4】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 解：（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·阶段检测）下列命题中，真命题的个数是（   ） ①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆只有一个内接三角形；③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；④三角形的外心到三角形的三边距离相等． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题主要考查了判断命题真假，确定圆的条件，三角形外心的性质等等，根据过不共线得到三点可以确定一个圆可判断①③，一个圆有无数个内接三角形，据此可判断②；三角形外心是三条垂直平分线的交点，据此可判断④． 解：①经过不共线得到三点一定可以作圆，原命题是假命题； ②任意一个圆有无数个内接三角形，原命题是假命题； ③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，原命题是真命题； ④三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，原命题是假命题． ∴真命题只有1个， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，将放在每个小正方形的边长为1的网格中，点均在格点上，若点的坐标为，则的外心坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的性质，两点之间距离公式，确定外心的性质是解题的关键． 先根据点坐标建立平面直角坐标系，由外心的性质得到点为与垂直平分线的交点，设，通过两点之间距离公式建立方程求解即可． 解：∵， ∴建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设外心为，连接， ∴点为与垂直平分线的交点， ∴点在直线上，， 设， 由得，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式3】（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图，在中，． （1）请用尺规作图法作出的外接圆O（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，，求此外接圆的半径． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）作线段，的垂直平分线交于点O，以O为圆心，为半径作即可； （2）证明是等边三角形，求出，即可解决问题． 解：（1）解：如图，即为所求作． （2）解：连接，交 于E，连接． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的外接圆的半径为． 方法总结：直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，是高频秒杀结论。 【题型 5】确定圆的条件综合辨析（拔高·应用） 核心考点：三点确定圆的分类讨论 【例题5】（25-26九年级上·河北石家庄·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． （1）弧所在圆的圆心的坐标为________________； （2）求弧所在圆的半径； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆的确定方法，勾股定理，熟练掌握圆的确定方法是解题的关键： （1）根据圆的确定方法，得到线段的中垂线的交点即为圆心，画图即可得出结果； （2）利用勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：如图，点即为圆心，由图可知：； （2）由勾股定理，得； 故半径为． 【变式1】（2026·河北廊坊·二模）一块圆形的玻璃打碎了，三块碎片如图所示，为了配一块一样的玻璃带哪一块去？（     ） A．① B．② C．③ D．都可以 【答案】A 【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第①块可确定半径的大小． 解：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长． 【变式2】（25-26九年级上·北京·随堂练习）平面直角坐标系内的三个点，，________确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点拨】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 【变式3】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______； （2）求该圆的半径． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查垂径定理，确定圆的条件，坐标与图形性质． （1）连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心； （2）根据勾股定理即可求得半径． 解：（1）解：如图所示，连接，作弦和的垂直平分线交于点O，则点O即为圆心， 由图可得该圆弧所在圆的圆心坐标， 故答案为：； （2）解：连接，设的中点为D， ，， ， ∴圆的半径为． 方法总结：牢记核心规则：只有不共线的三点才能确定一个圆。 【题型 6】圆的概念几何综合压轴（拔高·拓展） 核心考点：圆的定义、点与圆位置关系、动点综合应用 【例题5】（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，点，，． （1）经过，，三点的圆弧所在圆的圆心的坐标为________． （2）这个圆的半径为________． （3）直接判断点与⊙的位置关系，点在⊙________（填“内”“外”或“上”）． 【答案】（1）；（2）；（3）外；（4） 【分析】（1）垂直平分线的交点即是圆心，由图可确定其坐标； （2）由勾股定理即可求解； （3）计算出，并与半径的平方比较即可作出判断； 解：（1）解：如图，垂直平分线的交点即是圆心M，且点M的坐标为； 故答案为：； （2）解：， 即圆的半径为， 故答案为：； （3）解：， 而， 所以点D在圆外， 故答案为：外； 【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，点与圆的位置关系，确定弧所在圆的圆心，熟悉这些知识是关键． 【变式1】（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形中，，，点为平面内一点，且，连接，则的最小值为______，最大值______． 【答案】 / / 【分析】根据题意，得，，得点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2，连接，并延长交于点E，F，利用的等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质解答即可． 本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，圆的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 解：根据题意，得，， ∴点D的运动轨迹是以为直径的，且的半径为2， 连接，并延长交于点E，F， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴当点D与点E重合时，由最小值，当点D与点F重合时，由最大值， 故答案为：，． 【变式2】（2026·河北石家庄·二模）如图，中，，，．点P为内一点，且满足．当的长度最小时，则的长是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理得，又长度一定，则点P在以中点O为圆心，长为半径的圆上运动，所以当B、P、O三点共线时，最短；在中，利用勾股定理可求的长，并得到点P是的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质可求解． 解：， ∴， 取中点O，并以O为圆心，长为半径画圆，则点P在此圆上运动，当B、P、O三点共线时，最短， ， ，， ， ， ∴点P是的中点， ∴在中，． 【变式3】（25-26九年级上·全国·单元复习）如图，等边三角形中，点D，E分别在边、上，，连接，交于点P． （1）求证：； （2）若等边三角形的边长为，的最小值是多少？ 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及轨迹和最值问题，解题的关键是确定点的运动轨迹并利用几何性质求的最小值． （1）利用等边三角形性质得、，通过证明，推出，结合角的和差及对顶角相等，最终证得． （2）由确定点的运动轨迹是一段劣弧，连接，通过全等三角形及角度关系求出和半径，利用“两点之间线段最短”，得的最小值． 解：（1）证明：是等边三角形， ，． 在和中， ． ． ， ． ． ． ． ，，， ． ． （2）∵． 点的运动轨迹是点为圆心，半径为的劣弧，且． 如图所示，连接． ，，， ． ，． ， ． ． ， ． ． ． 的最小值为． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）已知线段，过，两点作半径为的圆，能作出圆的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了两圆相交的性质，根据题意分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于C、D，以点C和点D为圆心的两个圆满足题意．能找出圆的圆心是解此题的关键． 解：分别以A、B为圆心，以为半径画弧，两弧交于 C、D，如下图，    得以C为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 以D为圆心，以为半径的圆经过点A和点B， 即能画的圆的个数是2个． 故选：C． 2．（25-26九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在中，，弦的长为4，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边三角形的性质与判定，可证明是等边三角形，得到，再根据圆的面积计算公式求解即可． 解：∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的面积为， 故选：B． 3．（2026·云南昆明·二模）已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（    ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 4．（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在中，是弦，C是弧上一点．若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出和，进而可得的度数． 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键． 5．（25-26九年级上·江西九江·期末）点P到圆心O的距离为6，若点P在圆O外，则圆O的半径r满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是关键．点在圆外时，点到圆心的距离大于半径，且圆的半径为正数即可求解． 解：点P在圆O外， 点P到圆心O的距离大于圆O的半径r， 点P到圆心O的距离为，且圆的半径， ． 故选：A． 6．（2024·辽宁大连·三模）已知在平面直角坐标系中，的圆心为，半径为1，直线经过定点A，交于一点M，则当取得最大值时，k的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直线上点的坐标特征，圆外一点到圆上点距离的最大值，解题的关键是确定当圆心在线段上，取得最大值． 由题意知，当圆心在线段上，取得最大值，把点的坐标代入中，即可求得的值． 解：由题意知，当圆心在线段上，取得最大值， 此时直线过点， 把点坐标代入中，得：， 解得：； 故选：D． 7．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）下列条件中，能确定唯一一个圆的是（   ） A．以点为圆心 B．以长为半径 C．以点为圆心，长为半径 D．以上都不对 【答案】C 【分析】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 8．（25-26九年级上·山东烟台·期末）已知下列函数：；；；，则图象上的任意三点均可以确定一个圆的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查确定圆的条件，一次函数、二次函数与反比例函数的图象，熟练掌握相关知识是关键． 不在同一直线上的三点可以确定一个圆，结合函数的图象逐个判断即可． 解：不在同一直线上的三点可以确定一个圆， 对于①和④，一次函数的图象的形状是直线，故不符题意； 对于②，二次函数的图象的形状是抛物线，与直线最多两个交点，故符合题意； 对于③，反比例函数的图象的形状是双曲线，与直线最多两个交点，故符合题意． 故选：D． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（24-25八年级上·上海·阶段检测）到点距离为1的点的轨迹是______________． 【答案】以点A为圆心，1为半径的圆 【分析】本题考查了圆的定义，圆的定义是在同一平面内到定点的距离等于定长的点的集合，所以到定点A的距离为1的点的集合是圆． 解：根据圆的定义可知，到定点A的距离为1的点的集合是以点A为圆心，1为半径的圆， 故答案为：以点A为圆心，1为半径的圆． 10．（24-25九年级上·江苏南京·期中）的半径是，同一平面内，若点P到点O的距离是，则点P与的位置关系为________． 【答案】点P在外 解：已知的半径，点到圆心的距离， 可得， 因此点与的位置关系是点在圆外． 11．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）一直角三角形的两直角边是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为________． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法、勾股定理以及直角三角形外接圆的性质．关键在于准确求解一元二次方程，得到直角边的长度，并正确运用勾股定理求出斜边长度，同时牢记直角三角形外接圆直径与斜边的关系．首先求解一元二次方程，得到直角三角形两条直角边的长度．然后根据勾股定理（其中、为直角边，为斜边），计算出直角三角形斜边的长度．最后依据直角三角形外接圆的直径等于斜边长度这一性质，得出外接圆的直径． 解：， ， 解得 或， 故两直角边长分别为和． 由勾股定理，斜边长为 ． 故外接圆直径为 ． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·宁夏固原·期中）如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ． 【答案】② 【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心． 根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得． 解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧． 所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②． 故答案为：②． 13．（2026·四川巴中·中考真题）如图，是⊙的一条弦，A为圆上一点，，，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得为等边三角形，进而可得，再求即可． 解：，， ，则， 为等边三角形， ， ， ． 14．（2026·上海静安·三模）已知一个三角形的三边长分别为、、，则其外接圆的半径为_________． 【答案】 【分析】在 中， ， ，过点 作 于点 ，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出，利用勾股定理求出，利用三角形外接圆圆心在各边的垂直平分线上，可知圆心在底边的高所在直线上，设半径后利用勾股定理列方程求解即可． 解：如图，在 中， ， ，过点 作 于点 ， ∵ ， ， ∴ ， 垂直平分 ， ∴ ， ∵三角形外接圆圆心在三角形任意一边的垂直平分线上， ∴外接圆圆心 在射线上，连接，设外接圆半径为 ，则 ， ∴ ， 在 中， ， ∴， 解得：．即外接圆的半径为． 15．（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，已知和射线，动点在上，动点在射线上，．若的最小值为，最大值为，则的半径为_________． 【答案】7 【分析】本题考查圆外一点到圆上一点的距离，勾股定理，根据，得到当时，最长，当时，最短，利用的长为定值，结合勾股定理进行求解即可． 解：∵， ∴当，最长，此时最长， 当，最短，此时最短，如图： 设半径为， 当，即：， 由勾股定理，得：， 当，即：， 由勾股定理，得：， ∴， 解得：； 故答案为：7． 16．（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）如图，等边三角形中，D是边上一点，过点C作的垂线段，垂足为点E，连接，若，则的最小值是_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查平面几何中的最值问题，将转换成圆的直径是解题的关键． 由可知，点在以为直径的圆上，故以为直径作，连接交于E，则E为所求，由此即可求出最值． 解：于点E，D为边上动点， 点E的轨迹为以的中点O为圆心，为半径的圆， 当点B，O，E共线时，最小， ∵等边三角形，， ∴， ∴， ． 故答案为：． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，一条圆弧经过格点A，B，C，现在以格点O为原点、竖直和水平方向为坐标轴建立平面直角坐标系． （1）标出该圆弧所在圆的圆心D，则圆心D的坐标为________； （2）若点E的坐标是，判断点E与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）圆心D如图所示； （2）解：点E在内部；理由： 由勾股定理得半径为：； ，而， 故点E在内部． 【分析】本题考查了圆心位置的确定，点与圆的位置关系，勾股定理等知识，熟悉这些知识是解题的关键． （1）连接，则圆心D是线段、垂直平分线的交点，根据网格特点即可确定圆心D的位置及坐标； （2）利用勾股定理求出，与求得的半径比较，即可判定位置关系． 解：（1）略 （2）略 18．（25-26九年级上·全国·课后作业）在矩形中，，． （1）若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ （2）若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是　　． 【答案】（1）点B在内，点C在外，点D在上；（2） 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 解：（1）解：如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是． 19．（23-24九年级上·辽宁大连·期中）如图，点A，B，C，D在上，连接，若，，求证：四边形是菱形．    【答案】证明：如图，连接，    ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆的性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 如图，连接，由，可得是等边三角形，则，，进而可证四边形是菱形． 解：略 20．（2025·河南濮阳·一模）如图，在中，． （1）使用无刻度的直尺和圆规作交于点（保留作图痕迹）； （2）以为直径的交于点． ①证明：点在上； ②当等于多少度时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】（1）如图所示：即为所求： （2）①证明：∵为直径， ∴点是中点， ∴， 连接，如图： ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴点在上； ②时，四边形是菱形，理由如下： 连接，如图： 在中，，， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 【分析】本题考查了尺规作图，等边三角形的判定及性质，菱形的判定，熟悉掌握判定方法是解题的关键． （1）利用尺规作图作出高即可； （2）①利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证出等于半径即可； ②连接，，利用等边三角形的判定方法判定出和为等边三角形，再利用等边三角形的性质和菱形的判定方法判定即可． 解：（1）略 （2）①略 ②略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $