第三单元 第03课时 除数是整数的小数除法（循环小数）（教学设计）数学人教版五年级上册（新教材）

该小学数学教学设计聚焦“除数是整数的小数除法（循环小数）”，涵盖循环小数概念、循环节及简便写法，有限与无限小数分类。通过复习四舍五入和商的近似数制造“除不尽”冲突，搭建旧知到新知的学习支架，衔接前两课时有限小数除法。 此资料以算理驱动概念探究，借助400÷75跑步情境让学生自主发现余数重复与商循环的关系，发展推理意识。分层练习（简写、竖式计算、规律探究）强化运算能力，循环节圆点标记培养符号意识。帮助学生构建完整小数认知体系，为教师提供清晰教学路径，提升课堂效率。

第三单元 第3课时 除数是整数的小数除法（循环小数） 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 三 小数除法 课 题 第3课时 除数是整数的小数除法（循环小数） 一、教材内容分析 （一）知识内涵 1.地位和作用 本课时是小数除法单元拓展课时，承接前两课时除数是整数的小数除法（整数够商 1、整数部分不够商 1 补 0 占位、末尾有余数补 0 续除）全部计算法则，是有限小数除法向无限小数认知拓展的关键内容。 前两课时学生计算均可除尽、商为有限小数，本课聚焦除不尽、余数循环、商无限重复新场景，完善小数完整分类体系（有限小数、无限小数，循环小数属于无限小数）；为本单元除数是小数的除法、商的近似数，以及后续分数与小数互化、无限小数、有理数概念学习提供认知支撑，在小数运算与数概念拓展知识链中起到延伸、完善、承上启下核心作用。 学生已熟练掌握小数除法竖式规范、验算方法，但缺少 “无限小数、循环重复” 运算观察经验，本节课补齐小数除法计算的全部场景，构建完整小数运算与小数分类逻辑。 2. 内容呈现 教材以生活跑步情境例题 3（400m 用时 75 秒，求每秒速度）为核心载体，通过竖式计算制造认知冲突：学生持续计算发现余数固定重复 25、商小数部分不断重复数字 3，抛出疑问 “一直除不完怎么办？”；配套 “试一试” 两道算式 28÷18、78.6÷11，分层呈现单数字循环、多数字循环两类循环小数；教材 27 页系统梳理循环小数定义、循环节、简便圆点写法，清晰划分有限小数、无限小数；课后 “做一做” 设置三层习题：循环小数简写、竖式计算并用循环小数表示商 + 求近似数、1÷7 规律探究，全覆盖概念识别、计算应用、规律探究三类题型，分层巩固新知。 3. 编排特点与意图 整体严格遵循旧知回顾→生活情境制造除不尽冲突→竖式计算自主探究余数、商规律→具象观察抽象概念定义→符号化简便写法→小数分类归纳→分层巩固应用逻辑线索，和前一课时教学编排结构完全统一。 以小数除法计算实操驱动概念探究，依托竖式直观观察余数与商的关联，解释 “余数重复→商循环” 底层算理；通过循环点符号教学渗透符号简洁思想；对比有限、无限小数完成数概念结构化；习题由易到难、新旧计算题型对比，强化小数除法算法迁移，同步区分有限、无限两种商的结果。全程依托竖式运算具象感知抽象的 “无限、循环” 特征，渗透转化、分类、归纳数学思想，贴合五年级学生 “计算感知→抽象概括→应用巩固” 认知规律，同步落实运算、推理、符号、应用四大素养。 （二）素养内涵 本课承载运算能力、推理意识、符号意识、应用意识、数感五大核心数学素养，具体落地路径： 运算能力：熟练运用已学小数除法竖式完整计算除不尽算式，能准确识别循环特征；掌握循环小数两种表示方式（省略号、循环节圆点简写），会结合四舍五入取循环小数近似数，规范竖式书写，规避漏写省略号、循环点标错数位、混淆有限 / 无限小数等典型错误，兼顾计算准确率与书写规范。 推理意识：围绕 “为什么余数重复，商就会不断重复？” 小组讨论，建立余数与商的逻辑关联；对比多道除不尽算式自主归纳循环小数定义；通过 1÷7 系列算式观察循环节轮换规律，完整经历 “计算观察 — 对比分析 — 归纳通用结论” 推理过程；结合有限、无限小数特征完成分类推理。 符号意识：理解循环节上方圆点符号的数学意义，掌握单数字、多数字循环节的简便标记方法，感受数学符号简化无限重复书写的简洁价值，规范使用循环符号记录结果。 应用意识：结合跑步速度、步行路程等分生活情境，用循环小数表示无法除尽的实际结果，结合生活需求合理取近似值，体会循环小数在生活计算中的实用价值。 数感：通过竖式持续计算直观感知 “小数位数无限延伸”，区分有限小数、无限小数数值特征，深化对小数数位、小数取值范围的完整理解。 教学目标： 知识能力： 1.完整经历小数除法除不尽的计算探究全过程，理解循环小数产生的底层逻辑（余数重复导致商小数部分依次不断重复）；掌握完整通用操作方法：①熟练使用小数除法竖式计算除不尽算式；②识别循环节，掌握循环小数两种书写形式（省略号、首尾圆点简便写法）；③能区分有限小数、无限小数，明确循环小数属于无限小数；规范竖式计算，准确标记循环符号。 2.结合前两课时有限小数除法、本课无限循环小数除法对比，自主完成小数分类归纳；能结合四舍五入法对循环小数保留指定小数位数求近似数，巩固小数除法验算习惯。 3.能综合运用循环小数知识解决行程、均分物品等生活实际问题，规范列竖式、正确用循环小数记录结果，结合现实场景合理取舍近似数，养成计算观察、规范标记、主动检验的严谨计算习惯。 素养能力： 在旧知笔算回顾、小组竖式探究、多题对比归纳、分层练习、规律辨析中，同步发展运算能力、推理意识、符号意识、应用意识与数感；积累分类、归纳、符号化数学思想运用经验，整合三课时小数除法全部计算场景，构建 “有限 — 无限” 完整小数认知体系，建立严谨规范的运算与概念思维。 三、教学重点、难点： 重点：理解循环小数定义、认识循环节并掌握其简便圆点写法，熟练完成除不尽的小数除法计算，分清有限与无限小数，会用循环小数表示商并借助四舍五入求近似数。 难点：掌握余数重复致使商循环的内在算理、体会循环小数无限延伸的特点，准确找出多位循环节并规范标注首尾圆点，理清有限小数、无限小数以及循环小数之间的从属逻辑。 教学流程 一、复习导入 【设计意图】依托课件中原有的近似数、积与商的近似数对比习题搭建新旧知识桥梁，巩固四舍五入取值方法，为本课循环小数简写、循环小数求近似数做好方法储备；借助除法竖式 “永远除不尽” 形成认知冲突，自然引出循环小数概念，同时初步渗透 “余数不断重复，商持续循环” 的核心算理，贴合本节课重难点。 教师活动 一、复习旧知，唤醒经验 教师引导提问：谁能说一说求近似数使用什么方法？取近似值关键观察哪一位？ 学生回顾总结：运用四舍五入法，精确到哪一位，只需观察它后一位数字进行取舍。师生共同核对表格答案，夯实基础。 按“四舍五入”法求出下列各数的近似数。 2.学生独立计算 3.81÷7、2.83×0.9，得数保留两位小数。 抛出核心思考问题：求积的近似数和商的近似数，相同点与不同点是什么？ 预设交流结论： 相同点：都遵循四舍五入法； 不同点：积的近似数需要算出完整乘积再取舍；求商的近似数不必除尽，只要除到保留位数的下一位即可停止计算。 二、制造冲突，引出新课教师顺势追问：如果我们继续往下除 \(3.81÷7\)，一直除下去，能不能除到没有余数？当小数除法怎么除都除不尽，商的数字不断重复出现时，这样的小数是什么小数？它又该怎样书写、怎样求近似数？今天我们就一起来探究循环小数。板书课题：循环小数 二、探究新知 学习任务一：探究除不尽算式的余数、商循环规律 【设计意图】依托教材跑步例题创设计算冲突，让学生自主发现 “持续除不尽” 全新计算场景；通过独立竖式演算、小组交流、多题对比三重方式理解循环产生的算理；完整板书规范竖式，直观呈现 “余数重复→商数字重复、无限延续” 逻辑，突破本课核心难点，同步落地运算能力、推理意识、数感素养。 活动 1：出示教材例题，自主演算，发现认知冲突 教师活动 出示教材例题情境算式：400÷75，搭配跑步情境插图，布置探究任务：独立列竖式完整计算，说一说持续计算时遇到了什么困难。巡视收集学生典型困惑：不断补 0、余数始终不变、商重复出现数字。 抛出核心探究问题：竖式计算时，余数出现了什么固定特点？商的小数部分又有什么规律？为什么会一直除不完？ 组织 4 人小组交流计算发现，结合竖式讨论规律。 学生活动 独立列竖式演算，持续补 0 计算，发现余数固定为 25、商小数部分不断出现数字 3，无法算出终点，产生困惑；小组交流思路，小组代表上台展示竖式，分享余数、商的重复特征。 活动 2：完成 “试一试” 两道算式，验证循环规律，区分单、多数字循环 教师活动 板书两道试一试算式：28÷18、78.6÷11，要求全体学生独立竖式计算，小组对比三道例题（400÷75、28÷18、78.6÷11）的相同点与不同点。 递进提问： 三道算式都能除尽吗？ 每道算式重复出现的数字分别是几个？ 余数重复和商重复存在什么联系？ 小结梳理：只要竖式计算中余数重复出现，后续商的数字就会跟着依次重复，除法永远无法除尽，商的小数部分会无限写下去。 学生活动 独立竖式计算两道算式，得出 1.555…、7.14545…；小组对比三道竖式，汇报发现：有的只重复 1 个数字，有的重复 2 个数字，但都存在余数、商同步循环的特点；口头复述 “余数重复，商就循环” 的规律。 学习任务二：归纳循环小数、循环节概念，学习简便写法与小数分类 【设计意图：】对比三道循环小数竖式，引导学生自主抽象循环小数定义，系统认识循环节；教学循环圆点简便符号写法，落实符号意识；对比有限小数、无限小数完成概念分类，打通新旧小数认知，配套即时计算练习巩固循环小数表示方法，强化运算准确性。 活动 1：归纳循环小数完整定义教师活动 板书三道循环小数结果：5.333…、1.555…、7.14545…，抛出核心讨论问题：这几个小数有什么共同特征？怎样的小数叫做循环小数？ 根据学生发言整理标准定义：一个数的小数部分，从某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫做循环小数。 追问关键词：定义里 “依次不断重复” 是什么意思？省略号代表什么？学生活动 小组观察对比小数特征，分组汇报，共同梳理循环小数定义，标注定义核心关键词；举例说出自己知道的循环小数，理解省略号表示无限延续。 活动 2：认识循环节，掌握循环小数简便圆点写法教师活动 讲解循环节概念：循环小数中，依次不断重复出现的数字，就是这个循环小数的循环节。 结合三道例题示范简写规则：只写出第一个完整循环节，在循环节首位、末位数字上方各标记一个小圆点；单数字循环只在这个数字上方打点。 板书示范： 5.333… = 5. 1.555… = 1. 7.14545… = 7.1 即时出示三道简写练习：1.746746…、0.105353…、6.9258258…，指名上台简写，纠正圆点标错数位的错误。学生活动 找出三道例题的循环节，跟读记忆简写规则；独立完成即时简写练习，同桌互相检查圆点标注位置，口头说明每道题的循环节。 活动 3：区分有限小数、无限小数，理清小数从属关系教师活动 出示两类小数对比：有限小数 0.9375、0.2125；无限小数 5.333…、0.428571… 抛出核心问题：两类小数最本质的区别是什么？循环小数属于哪一类？ 梳理定义： ① 有限小数：小数部分的位数是有限的，可以完全除尽； ② 无限小数：小数部分的位数是无限的，无法除尽； ③ 从属关系：所有循环小数都属于无限小数，但无限小数不一定是循环小数。学生活动 对比两类小数小数部分长短，总结分类依据；判断前面计算的商属于有限还是无限小数，记录小数分类框架。 活动 4：即时巩固：循环小数求近似数，复习验算教师活动 设问：如果实际计算不需要无限小数，如何取循环小数近似值？回顾四舍五入求近似数方法。 出示两道计算题：15÷7、2.29÷9，要求：竖式计算→用循环小数简写记录商→保留两位小数写近似数，计算完成后用乘法验算。 板书示范完整计算、简写、求近似、验算全过程。学生活动 口述循环小数取近似数方法；独立完成两道习题完整流程，全班汇报计算、简写、取近似、验算全过程，纠正循环符号、近似数取值相关错误。 三、课堂练习 【设计意图】同步课件分层达标练习体系，分为错题辨析、竖式计算并验算、基础单价应用题、总量均分应用题、等量代换综合题、多步混合生活题六大题型，由浅入深、层层递进；错题辨析直击 “不够商 1 漏写 0” 高频易错点，计算类习题强化竖式规范与验算习惯，应用题融合生活真实场景，兼顾运算训练与应用意识培养，当堂检测学生算理、算法掌握情况，即时纠错辅导。 达标练习 1：基础巩固 —— 用简便形式写出循环小数 1.555… 、1.746746…、0.105353… 达标练习 2：综合计算 —— 竖式计算，除不尽先用循环小数表示商，再保留两位小数写近似数 题目：15.3÷72、15÷7、2.29÷9 达标练习 3：规律探究 —— 观察\(1÷7\)系列算式，总结循环节规律 达标练习 4：拓展提升 —— 循环小数大小比较 四、课堂总结 【设计意图】串联三课时完整小数除法知识脉络，整合有限 / 无限小数、循环小数算理、循环节简写、近似数、验算方法，提炼归纳、分类、符号化数学思想，梳理本课高频易错点，将零散习题、例题整合为完整小数概念框架，培养学生归纳梳理能力，固化规范计算、规范标记符号的学习习惯。 教师递进提问 今天学习的 400÷75 和上节课 5.6÷7 计算最大区别是什么？为什么这道题永远除不完？ 什么是循环小数、循环节？单数字、多数字循环小数简便写法分别怎么标记圆点？ 有限小数和无限小数划分依据是什么？循环小数和无限小数是什么关系？ 循环小数取近似数使用什么方法？小数除法通用验算依据是什么？ 本节课用到了哪些数学思想？竖式、符号书写有哪些高频易错点？计算时要养成什么好习惯？ 学生活动 结合课堂例题、分层练习独立思考，举手分享本节课新知收获、计算与符号书写易错点，同学之间互相补充完善，复述循环小数完整概念与小数分类框架。 教师完整总结 本节课我们拓展完善了小数除法的全部计算场景，同时构建完整小数概念体系： 计算层面：小数除法分两种结果，一种除尽，商为有限小数；一种除不尽，余数持续重复，商小数部分数字依次不断重复，形成循环小数；前两课时学习全部有限小数除法，本课解决无限循环小数除法。 概念法则 ① 循环小数：小数部分从某一位起，一个 / 几个数字依次不断重复；重复数字是循环节；简写在循环节首尾打点； ② 小数分类：按小数位数是否有限分为有限小数、无限小数；循环小数属于无限小数； ③ 计算拓展：除不尽时先用循环符号记录完整商，再根据需求四舍五入保留小数位数；验算依旧使用商 × 除数 = 被除数。 核心思想：全程使用归纳思想（从多道算式总结循环规律）、分类思想（划分有限、无限小数）、符号化思想（用圆点简化无限重复书写）。 课后完成分层作业，计算时主动观察余数判断是否循环，规范标记循环圆点，养成计算后验算、规范书写符号的习惯。 五、板书设计 第 3 课时 循环小数例题：400÷75=5.333…=5. 竖式核心逻辑：余数重复 25 → 商小数部分重复 3，永远除不完一、核心概念 循环小数：小数部分从某一位起，一个 / 几个数字依次不断重复出现 例：5.333…、1.555…、7.14545… 循环节：依次不断重复的数字 5.循环节：3；7.1 循环节：45 简便写法：写第一个循环节，首尾数字上方打圆点 二、小数分类 有限小数：小数位数有限，能除尽 例：0.2125、0.9375 无限小数：小数位数无限，除不尽 包含：循环小数、无限不循环小数 关键结论：循环小数一定是无限小数 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $