1.2.3 直线与平面的夹角（高效培优讲义）高二数学人教B版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦“直线与平面的夹角”核心知识点，前承空间向量的坐标与空间直角坐标系，系统梳理线面角的定义、范围、最小角定理，以及向量法求解的步骤，构建从几何概念到向量应用的学习支架。 资料以知识点讲解为基础，搭配即学即练、典例变式及综合题型，通过长方体线面角计算、四棱锥参数求解等实例，培养数学眼光（抽象几何关系）、数学思维（推理向量公式）、数学语言（符号表达规律）。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，强化应用能力。

1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 教学目标 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角。 2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题。 教学重难点 1.重点 向量法求解线面角。 2.难点 能利用几何关系确定斜线的射影以及公式中各角的含义。 知识点01 直线与平面所成的角 1.定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. 2.范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α. 3.最小角定理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1cos θ2.  平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【注意】 (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式. (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 【即学即练】 （2025秋•上海校级期末）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 知识点02 用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量. θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|. 【注意】用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cos〈a，n〉|＝；(6)回归几何问题. 【即学即练】 1.（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 题型01 空间向量求线面角 【典例1】（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【变式3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【变式4】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型02 根据线面角的大小求解其他问题 【典例1】（2026·山东聊城·三模）在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 【变式1】32．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 【变式2】（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . (1)求证： 为的中点； (2)若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【变式3】（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 1.（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 4.（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 5.（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 6.（25-26高二下·贵州黔南·期末）如图，已知在直四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，其中，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 7.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 8．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 3．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 4．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 5．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 6．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 7．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 8．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.3 空间向量的坐标与空间直角坐标系 教学目标 1.能用向量语言表述直线与平面的夹角。 2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题。 教学重难点 1.重点 向量法求解线面角。 2.难点 能利用几何关系确定斜线的射影以及公式中各角的含义。 知识点01 直线与平面所成的角 1.定义：如图，如果直线AB是平面α的一条斜线，B为斜足，A'B是直线AB在平面α内的射影，则∠ABA'就是直线AB与平面α所成的角. 2.范围：直线与平面α所成的角θ的范围是0°≤θ≤90°. 当θ＝0°，AB∥α或AB⊂α； 当θ＝90°，AB⊥α. 3.最小角定理 如图，AB⊥α，则图中θ，θ1，θ2之间的关系是cos θ＝cos θ1cos θ2.  平面的斜线与平面所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角. 【注意】 (1)辅助记忆：这三个角中，θ是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积，其中θ，θ1，θ2分别称为斜角、立角、平角，它们之间的余弦关系式又称为斜立平公式. (2)从空间一点O引出的三条射线OA，OB，OM满足cos∠AOM＝cos∠AOB·cos∠BOM，则平面AOB⊥平面BOM. 【即学即练】 （2025秋•上海校级期末）已知是锐角，则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要条件 【分析】由“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”，由“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”，由此可确定选项． 【解答】解：充分性：若直线与平面内一条直线所成角的大小为， 则直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线平行， 所以直线与平面所成角的大小不一定为， 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”不能推出“直线与平面所成角的大小为”， 即“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的非充分条件； 必要性： 若直线与平面所成角的大小为，则直线与它在平面上的射影所成的角为，直线与平面内无数条直线所成角的大小为，这无数条直线与射影平行， 故“直线与平面所成角的大小为”能推出“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”， 故“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要条件， 总上“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的必要非充分条件． 故选：． 知识点02 用空间向量求直线与平面的夹角 如图所示，v为直线l的一个方向向量，n为平面α的一个法向量. θ＝－〈v，n〉或θ＝〈v，n〉－， 特别地，cos θ＝sin〈v，n〉，sin θ＝|cos〈v，n〉|. 【注意】用向量法求线面角的解题步骤：(1)建系；(2)写相关点的坐标；(3)写出直线的方向向量a；(4)求出平面的法向量n；(5)代入公式sin θ＝|cos〈a，n〉|＝；(6)回归几何问题. 【即学即练】 1.（2026高三·全国·专题练习）如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系后结合线面角的公式计算即可． 【详解】如图，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，所以，，所以， 因为，所以,， 设平面的法向量为， 所以，所以，取，所以平面的一个法向量为， 设与平面所成角为，所以. 2.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 题型01 空间向量求线面角 【典例1】（25-26高二下·安徽阜阳·期末）若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量法求线面角即可. 【详解】设直线与平面所成的角为， 则. 【变式1】（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形， ，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线 与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【详解】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 【变式2】（25-26高二下·甘肃白银·期末）在空间直角坐标系中，直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成的角为_________．（用弧度表示） 【答案】/ 【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小. 【详解】设直线l与平面所成的角为， 依题意，可得，所以， 即直线l与平面所成的角为. 【变式3】（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    【变式4】（25-26高二下·江苏宿迁·期末）如图，在直三棱柱中，，，点，分别为，的中点．    (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)解法1：连接，， 因为在直三棱柱中，四边形为平行四边形， 所以M为中点，又N为的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面．    解法2：证明：取中点P，连结，，由M，N分别是与的中点， 所以, 又因为平面，平面， 所以平面． 同理，平面． 又，平面， 所以面面． 而平面，所以平面． (2)． 【分析】（1）方法1，通过线面平行判定定理证明，方法2，通过面面平行证明线面平行； （2）利用空间向量法求解线面角的正弦值. 【详解】（1）略. （2）以为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系，    设，则． 则，，，，，， 所以，，． 设平面MNC的一个法向量为， 则，． 即 ，令，则． 所以平面的一个法向量为． 设直线与平面所成角为，又， 则． 所以直线与平面所成角的正弦值为． 题型02 根据线面角的大小求解其他问题 【典例1】（2026·山东聊城·三模）在三棱柱中，为等腰直角三角形，且，，若直线与平面所成的角为60°，则的最小值为________． 【答案】8 【分析】可通过空间向量分解和线面角性质来求解，核心是利用线面角的约束条件，将向量正交分解，转化为平面向量求最值即可. 【详解】， 即， 因为直线与平面所成的角为60°，故在平面内的投影满足：， 即投影点在底面以为圆心，半径为的圆上，故的竖直分量垂直于平面， 因此，等价于投影向量，其中，， 根据向量性质，， 当且仅当与同向时取得最大值24， 故. 【变式1】32．（25-26高二上·安徽淮北·期末）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，是分别以为斜边的等腰直角三角形，是棱上的动点. (1)证明：； (2)若与平面所成角的大小为，求的值. 【答案】(1) 证明：因为，是分别以，为斜边的等腰直角三角形， 所以，，且平面，平面，， 所以平面，所以. 因为四边形是菱形，所以. 因为平面，，所以平面，所以. (2)2 【分析】（1）要证明线线垂直，转化为先证明线面垂直，即先证明平面； （2）根据几何关系，建立坐标系，代入线面角的向量公式，求得的值. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知平面，且，所以和是等边三角形， 取棱的中点，连接，易证两两垂直， 故以A为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 设，，，则，，，， 则，，， 所以. 设平面的法向量为，则 令x=，得. 所以==， 整理得，解得或(舍去)，所以=2. 【变式2】（2026·北京丰台·二模）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，直线交平面于点 . (1)求证： 为的中点； (2)若 是棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明：因为平面平面，且平面平面，平面平面， 则，且，可得， 又因为为的中点，所以 为的中点. (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质可得，进而可得，即可得结果； （2）建系并标点的坐标，设，，求平面的法向量，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 则，整理可得，解得 ， 所以. 【变式3】（2026·河南周口·三模）如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，四边形为等腰梯形，，，，为的中点. (1)若，证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求的长度. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）作辅助线，可证，平面，建系并标点，求平面的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）由（1）可得，平面的法向量为，根据线面夹角列式求解即可. 【详解】（1）取，的中点分别为，， 因为为等边三角形，四边形为等腰梯形，则，， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，且，则，， 则，，，，，， 若，即，则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 因为，则， 且平面，所以平面. （2）由（1）可知：，平面的法向量为， 若直线与平面所成的角为， 则， 整理可得，解得， 所以. 1.（25-26高一下·山东烟台·期末）已知三棱柱中，，，，点在底面内的射影为的外心，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题以三棱柱为背景，利用空间向量法求线面角.关键在于由底面直角三角形确定外心位置，再根据侧棱长相等求出棱柱的高，进而得到点和的坐标.最后，直线的方向向量与平面的法向量（即竖轴方向）的夹角余弦的绝对值即为所求线面角的正弦值. 【详解】以为原点，方向为轴，方向为轴，垂直于底面的方向为轴建立空间直角坐标系. 则，，，斜边的中点为的外心. 由在底面的射影为，设，则. 侧棱长， 故 解得，取. 于是. 平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则      , 故选A. 2.（2026高三·全国·专题练习）在长方体中，．若E，F分别为线段，的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解. 【详解】在长方体中，以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，，， 平面平面，而平面的一个法向量为， 因此平面的法向量为，设直线与平面所成的角， 则，， 所以直线与平面所成角的余弦值为. 3.（25-26高二下·陕西咸阳·期末）在棱长为2的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值为_______________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点，分别以、、所在直线为、、轴， 建立空间直角坐标系，则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则令，解得，， 所以是平面的一个法向量，， 设直线与平面所成角为， 则.    4.（25-26高二下·江西南昌·期末）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，E为的中点． (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)底面为矩形，，又平面，平面， ，又，，平面，平面，又平面， 可知平面平面； (2) 【分析】（1）由线面垂直证明面面垂直即可； （2）建立空间直角坐标系，由线面角的向量公式求解． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，，两两垂直，以A为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 则，令，可得，，可得， ； 因此直线与平面所成角的正弦值为，即余弦值为． 5.（25-26高二下·广东潮州·期末）四棱锥中，底面，，，且，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)取中点，连接，， 因为，，所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以， 因为，为的中点，所以， 由勾股定理可得，同理可得， 所以，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面． (2) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质及勾股定理逆定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为平面，， 如图，以点为原点，以，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为． 6.（25-26高二下·贵州黔南·期末）如图，已知在直四棱柱中，底面ABCD是平行四边形，其中，，. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)因为四棱柱是直四棱柱， 所以平面，平面，则， 又因为，，，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以平面，所以平面； (2) 【分析】（1）应用直四棱柱得出，进而应用余弦定理证明，即可证明平面； （2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解直线BD与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2） 如图，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴， 建立如图所示的坐标系， 所以，，， 设平面的法向量为，可得， 即，令，则，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 7.（2026·辽宁铁岭·模拟预测）如图，在四棱锥中，四边形是矩形，，，平面平面． (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明：由，，，、平面 可得平面，又平面，故， 由平面平面ABCD，平面平面，且平面， 故平面； (2)或 【分析】（1）借助线面垂直判定定理可得平面，则可得，再由面面垂直性质定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，求出直线的方向向量与平面的法向量后，利用空间向量夹角公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向， 的方向为z轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系， 不妨设，， 则，，，， ，，， 记平面的法向量为，，即， 令，则，，即可取， 设直线与平面所成角为， 则， 即，， 解得或（负值舍去），故或． 8．（25-26高二上·北京西城·期末）如图，在边长为2的正方体中，是棱上的点，平面交棱于点.    (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度. 【答案】(1) 证明：由正方体性质可知，因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以. (2)1 【分析】（1）先证明线面平行，利用线面平行的性质定理可证结论； （2）建立坐标系，求出平面法向量，利用线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）略 （2）以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设的长为， 则, ； 设平面的一个法向量为，则， 令，可得； 设直线与平面所成角为，则， 解得，即线段的长度为1.    1．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 2．（25-26高一下·广东深圳·期末）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)求直线EC与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明：由，得， 又，在中， 由余弦定理得， 所以，则，即， 又因为在平面ABCD中，，得， 又因为平面，平面，所以平面； (2)证明：由（1）知，翻折后， 连接，由，则， 在中，因，得，则，                又平面，所以平面 (3) 【分析】（1）先由余弦定理求，证明，得，再由线面平行的判定定理得证； （2）易得，由勾股定理证明，再由线面垂直的判定定理即得证； （3）由条件建系，求出相关点与向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得平面，又平面，所以，则两两垂直， 建立如图空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 所以， 设直线EC平面PCD所成角为，则， 即直线EC与平面PCD所成角的正弦值为.　 3．（25-26高二下·贵州贵阳·期末）如图，已知三棱锥与都是边长为2的等边三角形，是中点. (1)证明:平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)由题意，是边长为2的等边三角形， 过点作于点，连接， 则，又，则，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）作，证明，从而证明平面，再根据面面垂直的判定，证明两平面垂直； （2）在第（1）问的基础上，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，两两互相垂直， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则. 4．（25-26高二下·北京·阶段检测）如图，在四棱锥中，，，，，，．E是棱上一点，平面． (1)求证：E为的中点； (2)若直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明：如图在中，过点作交于点，连接. 因为，所以.所以，，，四点共面. 因为平面，平面，平面平面， 所以. 所以四边形是平行四边形. 所以. 所以为的中点. (2) 【分析】（1）在中，过点作交于点，利用平面证明即可. （2）取中点，以为原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，利用直线与平面所成的角为即可求解点的坐标，从而可计算四棱锥的体积． 【详解】（1）略 （2）取中点，连接. 因为，所以. 因为，，所以四边形为正方形. 所以，. 因为，所以. 又因为，平面，平面， 所以平面.因为平面，所以. 如图，以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ，，，， 设，. ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 直线与平面所成角为， 所以. 解得. 所以. 所以四棱锥的体积为. 5．（2026·山东聊城·二模）如图，在六面体中，底面是边长为2的菱形，，平面，是的中点. (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长. 【答案】(1)取的中点，连接，. 因为分别为的中点， 所以，且. 又，所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以. 又平面平面，所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，结合中点性质和线面平行的判定定理即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）略 （2）连接， 因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点， 所以，即, 又平面， 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设， 则由题意知，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则令， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为， 则， 解得，所以. 6．（25-26高二下·江苏南通·期末）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面； (3)点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【答案】(1)取的中点F，连接， 因为E为的中点，故， 又为的中点，,得, 故四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. (2)以点B为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故，即， 故平面； (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的法向量，利用向量法即可证明； （3）取的中点G，连接，确定P点在上，设，根据直线与平面所成角的正弦值为，求出m的值，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）略 （3）取的中点G，连接，则,且， 结合题意可知四边形为矩形，此时， 即得上任一点到的距离均为，故P点在上， 设，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则， 直线与平面所成角的正弦值为， 则，解得，（舍去）， 故. 7．（2026·安徽滁州·三模）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，侧面为等边三角形，且平面平面，为的中点． (1)证明:; (2)点在棱上（含端点），且直线与平面所成角的正弦值为，求出所有满足条件的点，指出其位置． 【答案】(1)如下图，连接，因为为等边三角形，为的中点， 所以．连接，， 因为四边形是菱形，所以，又， 所以为等边三角形，则．             因为，所以平面． 又因为平面，所以． (2)满足条件的点Q只有一个，即与点P重合 【分析】（1）要证明线线垂直，则需要通过证明线面垂直得到线线垂直，即证明  平面 ; （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标和的坐标，根据线面角的正弦值计算结果即可. 【详解】（1）略 （2）因为，平面平面，平面平面，所以平面． 如图，以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系． 由已知可得，，，，，，．             设平面的法向量为， 由，得，取．     ，，设，， 则．        （10分） 设直线与平面所成的角为， 则， 由题意得，整理得 ，因为，所以， 即满足条件的点Q只有一个，即与点P重合. 8．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，且． (1)证明：平面． (2)若，直线与平面所成角的正弦值为，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用全等三角形来证明垂直，再利用线线垂直证明线面垂直即可； （2）利用空间向量法来求线面角，然后解一元二次方程即可. 【详解】（1）设，因为， 所以，所以． 在与中，因为， 所以，从而， 又，所以，即． 因为平面平面，所以， 又，平面，所以平面． （2）以（1）中的为坐标原点，所在的直线分别为轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则． 设，因为， 所以，则， 所以． 设平面的法向量为， 则令，则． 设直线与平面所成的角为， 则， 化简得，解得或（舍去）， 故． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $