3.2.2 圆心角定理的推论 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦圆心角定理的推论，通过回顾上节课圆心角相等则弧、弦、弦心距相等的三个命题，引导学生思考逆命题真假，搭建旧知到新知的学习支架，梳理知识脉络。 以探究活动为主线，学生通过画图讨论逆命题、归纳推论，培养几何直观与推理意识。结合等边三角形内接圆等实例，例题与测评由易到难，提升应用意识，助力学生掌握知识，也为教师提供清晰教学流程。

第2课时　圆心角定理的推论 　　　　　　　　　　　 课题 第2课时　圆心角定理的推论 授课人 教 学 目 标 1.经历探索圆心角定理推论的过程. 2.掌握“在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等”. 3.会利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的数量关系解决简单的几何问题. 4.感悟定理研究的一般思路和方法. 教学 重点 利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的数量关系解决简单的几何问题. 教学 难点 利用圆心角、弧、弦、弦心距之间的数量关系解决简单的几何问题. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 回忆上节课学习的内容,并分成以下三个命题: (1)在同圆或等圆中,若圆心角相等,则圆心角所对的弧相等. (2)在同圆或等圆中,若圆心角相等,则圆心角所对的弦相等. (3)在同圆或等圆中,若圆心角相等,则圆心角所对的弦的弦心距相等. 同时给出如下图示: 图3-2-25 提问:上述三个命题的逆命题是什么?它们是真命题还是假命题? 　　通过对上节知识的回顾,加深学生对圆心角定理的理解,同时将语言描述以命题形式呈现,便于在学习圆心角定理的推论之后,进行比较,让学生明确感知两个课时内容之间的关联.另外给出图示,让学生有更直观的感受. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 圆心角定理的推论 请同学们在草稿纸上画图,并相互讨论,最后请同学发言: 在同圆或等圆中,如果弧相等,那么它们所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,如果弦相等,那么它们所对的圆心角相等. 在同圆或等圆中,如果弦心距相等,那么它们所对的圆心角相等. 教师提示:再结合已学的圆心角定理,会有什么结论呢? 归纳:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等,那么它们所对应的其余各对量都相等. 【探究2】 利用圆心角定理的推论判断四边形的形状 如图3-2-26,等边三角形ABC内接于☉O,连结OA,OB,OC,延长AO,分别交BC于点P,交于点D.连结BD,CD.判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形,并给出证明. 图3-2-26 解:四边形BDCO是菱形.证明如下: 因为AB=BC=CA, 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°, 得∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°. 又因为OB=OD,所以△BOD是等边三角形. 同理,△COD是等边三角形. 所以OB=OC=BD=CD,即四边形BDCO是菱形. 【探究3】 利用圆心角定理的推论证明 已知:如图3-2-27,△ABC为等边三角形,以AB为直径的☉O分别交AC,BC于点D,E.求证:==. 图3-2-27 证明:如图3-2-28,连结OD,OE. 图3-2-28 在等边三角形ABC中,∠A=60°. 因为OA=OD,所以△AOD是等边三角形, 得∠AOD=60°. 同理,∠BOE=60°. 所以∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°, 可得∠AOD=∠DOE=∠BOE, 所以==. 　　在确定命题的正确性之后,需要再次审视三组互逆命题,让学生对这六句话有一个整体的认识,为后续的教学内容做铺垫.再结合教师给出的提示,尽可能让更多的学生直接说出所归纳的内容. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图3-2-29,在☉O中,AB=AC,∠ACB=60°. 求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC. 图3-2-29 证明:因为AB=AC,∠ACB=60°, 所以△ABC是等边三角形, 所以AB=BC=AC, 所以∠AOB=∠BOC=∠AOC. 处理方式:此环节可以先让学生在自己的练习本上完成解答,随后选择两名学生上台板书解题过程. 　　先让学生自主解题,再展示标准的解题过程,让学生熟练应用知识的同时,规范书写步骤. 【拓展提升】 例2　如图3-2-30,已知O是∠EPF的平分线上一点,以点O为圆心的圆与∠EPF的两边分别相交于点A,B和点C,D,且点P在圆外. 求证:AB=CD. 图3-2-30 证明:如图3-2-31,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N. 图3-2-31 又因为PO平分∠EPF, 所以OM=ON,所以AB=CD. 　　通过例题,让学生灵活运用圆心角定理的推论. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图3-2-32,AD,BC是☉O的两条弦,且AD=BC. 求证:AB=CD. 图3-2-32 证明:因为AD=BC,所以=, 所以+=+, 即=,所以AB=CD. 2.已知:如图3-2-33,在☉O中,弦AB=CD,E,F分别是AB,CD的中点.求证:∠AEF=∠DFE. 图3-2-33 证明:连结OE,OF,OA,OD,OB,OC,如图3-2-34. 图3-2-34 因为OA=OB=OC=OD,E,F分别是AB,CD的中点, 所以OE⊥AB,OF⊥CD, 所以∠AEO=∠DFO=90°. 又因为AB=CD,所以OE=OF, 所以∠OEF=∠OFE, 所以∠AEO-∠OEF=∠DFO-∠OFE,即∠AEF=∠DFE. 处理方式:学生在练习本上完成后,教师出示答案,指导学生校对,并统计学生答题情况.学生根据答案进行纠错. 　　在题目的设计上,尽量地遵循由易到难、层次分明的原则.通过这两个题目的练习,达到落实新知的目的,又将知识进一步延伸,拓广学生的思维. 活动 三: 课堂 总结 反思 【课堂小结】 活动内容:通过这节课的学习,你有哪些收获?有何感想?学会了哪些方法?先想一想,再分享给大家. 处理方式:学生畅谈自己的收获! 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 第2课时　圆心角定理的推论 圆心角定理的推论: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 让学生在探究过程中,将圆心角定理及其逆命题互联互通,融会贯通,最终得出圆心角定理的推论. ②[讲授效果反思] 关于逆命题正确性的讨论,学生可能没有明确的方式方法,教师需要给出适当的提示,也可以在课堂上示范,能够让学生的交流更高效. ③[师生互动反思] 在探究活动中,学生对问题的思考、分析、交流、展示做得比较充分,教师引导分析比较及时,但是在问题思考中的单独指导还要适当加强. ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $