第四单元 圆-思维拓展（导图知识卡片+知识梳理+17个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题）2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三单元复习培优讲义

该小学数学讲义通过思维导图系统构建“圆”单元知识体系，知识梳理涵盖圆的认识、周长、面积及扇形等核心知识点，以要点归纳和解题技巧呈现知识脉络，清晰标注重难点分布与内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，17个考点讲练包含“方中圆面积计算”等高频题型，13个奥数拓展如“鲁洛克斯三角形周长”培养几何直观与推理意识，真题分层演练助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供系统支持。

2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+17个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 9 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 12 高频考点四 画扇形 14 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 15 高频考点六 圆的周长 16 高频考点七 半圆的周长 17 高频考点八 圆的周长的应用 18 高频考点九 含圆的组合图形的周长 19 高频考点十 圆的面积 21 高频考点十一 圆的面积的应用 22 高频考点十二 圆环的面积 24 高频考点十三 求最大面积 25 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 27 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 29 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 30 高频考点十七 扇形的周长和面积 32 难点突破 奥数拓展 33 奥数拓展一 圆和扇形的认识 33 奥数拓展二 圆的周长 35 奥数拓展三 半圆的周长 36 奥数拓展四 圆的周长的应用 38 奥数拓展五 含圆的组合图形的周长 39 奥数拓展六 圆的面积 41 奥数拓展七 圆的面积的应用 42 奥数拓展八 圆环的面积 44 奥数拓展九 求最大面积 45 奥数拓展十 含圆的组合图形的面积 47 奥数拓展十一 方中圆和圆中方的面积问题 49 奥数拓展十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 51 奥数拓展十三 扇形的周长和面积 53 优选真题 实战演练 55 【基础通关】 55 【能力提升】 62 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级下·河北衡水·期末）按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长是1cm） （1）以点A为圆心画一个半径是3cm的圆。 （2）画一个三角形BCD，使三个顶点的位置分别为、、，由图可知，按角分，三角形BCD是（    ）三角形。 （3）画出三角形BCD绕点C逆时针旋转90°后的图形。 （4）画出三角形BCD按放大后的图形。 【答案】（1） （2）；直角 （3） （4） 【思路引导】（1）在方格纸中，以A点为圆心，根据圆的半径定义，选取距离A点3个小方格边长的长度为半径，作图即可； （2）根据数对的表示方法，数对中第一个数表示列，第二个数表示行，表示第10列第7行、表示第12列第9行、表示第8列第9行，在方格纸中找到对应的位置，依次连接三点形成三角形，从到，向右走2格，向下走2格，从到，向左走2格，向下走2格，观察两条线段的倾斜关系：一条是右下倾斜，一条是左下倾斜，水平底边上方两条斜线段对称，形成的夹角刚好是90°，因此三角形BCD是直角三角形； （3）根据图形旋转的特征，绕点旋转时，该点的位置不动，其余各点（边）均绕此点按相同方向旋转相同的角度。以C点为旋转中心，将三角形BCD的各边逆时针旋转90°，确定旋转后各顶点的位置，再依次连接形成旋转后的图形； （4）根据图形放大的特征，按一定比放大图形时，各边均按此比放大。三角形BCD按2∶1放大，即各边长度扩大为原来的2倍，确定放大后各顶点的位置，依次连接形成放大后的三角形。 【规范解答】（1）图略 （2）图略，根据分析可知三角形BCD是直角三角形。 （3）图略 （4）放大后三角形的底为4×2＝8（厘米） 高为2×2＝4（厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·广东广州·期末）按要求在方格纸上画图形。 (1)画三角形AOB向右平移13格后的图形。 (2)画三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画以点B为圆心，BO为半径的圆。 (4)画出三角形AOB按1∶2缩小后的图形。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）根据平移的特征，把三角形AOB的各顶点分别向右平移13格，依次连接即可得到平移后的图形。 （2）根据旋转的特征，三角形AOB绕点O顺时针旋转90°，点O的位置不动，找出构成图形的关键边，按一定的方向和角度分别找出各关键边的对应边，最后依次连接组成封闭图形，即可画出旋转后的图形。 （3）根据画圆时“圆心定位置，半径定大小”，以点B为圆心，OB的长度为半径，据此画圆。 （4）直角三角形两直角边即可确定其形状，根据图形缩小的意义，把这个三角形两直角边均缩小到原来的后依次连接即可，所得到的图形就是原图形按1∶2缩小后的图形。 【规范解答】（1）略 （2）略 （3）略 （4）缩小后的底和高： 略 高频考点二 画圆 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽亳州·期末）下图中每个小正方形的边长都代表1cm，请根据要求画图。 ()以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 ()画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 ()画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 ()以点O为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 【答案】() () () () 【思路引导】（）补全轴对称图形的方法：找出图形的关键点，依据对称轴画出关键点的对称点，再依据图形的形状顺次连接各点，画出最终的轴对称图形。 （）作旋转一定角度后的图形步骤：根据题目要求，确定旋转中心、旋转方向和旋转角；分析所作图形，找出构成图形的关键点；找出关键点的对应点：按一定的方向和角度分别作出各关键点的对应点；作出新图形，顺次连接作出的各点即可。 （）作平移后的图形步骤找出构成图形的关键点；确定平移方向和平移距离；过关键点沿平移方向画出平行线;由平移的距离确定关键点平移后的对应点的位置,连接对应点。 （）标出离O点cm处的所有的点就是画一个半径cm的圆。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【规范解答】（）（）（）（）画图略； 【变式训练】（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，三个圆的半径都是2cm，三角形的顶点分别是三个圆的圆心，图中涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【思路引导】涂色部分是三个圆心角分别等于三角形三个内角的扇形，且三个扇形半径都是2cm。 因为三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角之和为180°。 根据，就能计算出涂色部分的面积。 【规范解答】 （cm2） 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆 B．甲数比乙数少，甲数与乙数的比是5∶4 C．除以一个真分数，商一定比大 D．种了115棵爬墙玫瑰都成活了，成活率为115% 【答案】C 【思路引导】因为拼成圆的扇形需要半径相等，所以先判断4个扇形的半径是否一致，再结合圆心角条件判断能否拼成圆； 因为甲数比乙数少，可将乙数设为单位“1”，平均分成4份，甲数占3份，据此求出甲乙两数的比； 因为真分数小于1，根据分数除法的规律，一个数（不为0）除以小于1的数，商大于原数； 因为成活率＝成活数÷总数×100%即可判断。 【规范解答】A．4个圆心角为90°的扇形，只有半径都相等时才能拼成一个圆，原说法没有说明半径相等，因此说法错误。 B．把乙数看作单位“1”，平均分成4份，甲数比乙数少1份，即甲数占3份，甲数与乙数的比是3∶4，不是5∶4，因此说法错误。 C．真分数是小于1的分数，除以一个真分数，商一定比大，说法正确。 D．成活率最高为100%，115棵全部成活时，成活率是100%，不可能超过100%，因此说法错误。 【变式训练】（25-26六年级下·广东东莞·期末）下面方格纸中每格都代表1平方厘米。 (1)以数对（5，3）所表示的点为圆心，画一个半径是的圆，并在圆中画一个圆心角是150°的扇形。 (2)画出下面三角形绕点B逆时针旋转90°的图形。 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）数对的表示规则：先列后行，即数对的第一个数表示在第几列，第二个数表示在第几行。（5，3）表示这个圆的圆心在第5列第3行。已知方格纸中每格都代表1平方厘米，所以每个小方格的边长都是1厘米，要求画一个半径是的圆，先根据数对确定圆心，再确定2格的长度为半径，用圆规画圆。在圆中画一个圆心角是150°的扇形时，先画一条水平的半径，再以水平的半径为起点，用量角器画一个150°的角，画出圆心角的另一条边，最后在扇形中标注角度。 （2） 如上图，先将AB绕点B逆时针旋转90°到红色线段的位置，再确定红色线段的中点，将中点向左平移3格，最后将平移后的点与红色线段的两个端点连接起来得到旋转后的图形。 【规范解答】（1）图略。 （2）图略。 高频考点四 画扇形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南永州·阶段检测）（1）将下面的圆按2∶1放大，再向右平移6格，画出平移后的圆。 （2）再放大的圆内画一个圆心角是90度的扇形。 【答案】（1） （2）（画法不唯一） 【思路引导】（1）先确定原圆半径与圆心位置，按2∶1把半径扩大到原来2倍画出放大后的圆，再将放大圆的圆心向右平移6格，以新圆心、放大后的半径画出最终的圆。 （2）在放大后的圆里，以圆心为端点画出两条互相垂直的半径，两条半径和圆弧围成的部分就是圆心角90°的扇形。 【变式训练】（25-26六年级下·湖南怀化·期末）下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的图形完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，折痕所在的直线就是对称轴。据此解答。 【规范解答】 A．如图：，每条高所在的直线都是它的对称轴，等边三角形有3条对称轴。 B．如图：，有3条对称轴。 C．如图：，有4条对称轴。 D．圆有无数条对称轴，任意一条经过圆心的直线都是它的对称轴。 所以对称轴最多的是D选项。 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北随州·期末）剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 【答案】D 【思路引导】一个图形沿一条直线对折，直线两边能完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线叫对称轴。分别找出等腰直角三角形、半圆、长方形和正六边形的对称轴条数，然后进行比较即可得出答案。 【规范解答】A．等腰直角三角形是轴对称图形，只有1条对称轴； B．半圆是轴对称图形，只有1条对称轴； C．长方形是轴对称图形，有2条对称轴； D．正六边形是轴对称图形，有6条对称轴。 6＞2＞1，所以对称轴数量最多的是正六边形。 【变式训练】（25-26六年级下·辽宁鞍山·期末）有大小不同的两个圆，它们的直径分别增加了2厘米，和原来相比，哪个圆的周长增加得多？（    ） A．大圆 B．小圆 C．一样多 D．无法比较 【答案】C 【思路引导】圆的周长公式为，当直径增加时，周长增加的量等于圆周率乘直径增加的量。两个圆的直径增加的长度相等，所以周长增加的长度也相等。 【规范解答】设原来大圆的直径为，小圆的直径为。原来大圆的周长为，小圆的周长为。直径增加厘米后，大圆的直径变为，小圆的直径变为。 现在大圆的周长为：，现在小圆的周长为：， 大圆周长增加（厘米），小圆周长增加（厘米）， 两个圆的周长增加得一样多。 高频考点六 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北黄冈·期末）如下图，在将圆转化成面积相等的近似长方形的过程中，周长增加了10cm，那么原来圆的周长是( )cm，面积是( )。（π取3.14） 【答案】 31.4 78.5 【思路引导】增加的长度等于圆的两条半径的和，用增加的长度÷2，求出圆的半径，再根据圆的周长＝2πr，圆的面积＝πr2，据此解答。 【规范解答】10÷2＝5（cm） 2×3.14×5 ＝6.28×5 ＝31.4（cm） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（cm2） 【变式训练】（25-26六年级下·甘肃平凉·期末）动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 【答案】41.12米 【思路引导】防护栏长度是半圆形活动区的周长，包含半圆弧长度和一条直径，先利用圆周长公式C＝2πr，π取3.14，求出圆的周长，再除以2求出半圆弧长，再加上直径长度求出总长度。 【规范解答】半圆弧长：2×3.14×8÷2 ＝6.28×8÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（米） 直径：8×2＝16（米） 总长：25.12＋16＝41.12（米） 答：防护栏长度是41.12米。 高频考点七 半圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，这个半圆的周长是20.56分米，它的半径是多少分米？ 【答案】4分米 【思路引导】半圆的周长等于圆周长的一半加上2条半径的长度。设半径为r分米，根据圆周长的一半＋2条半径＝半圆的周长列方程求解。 【规范解答】解：设半径为r分米。 2×3.14×r÷2＋2r＝20.56 3.14r＋2r＝20.56 5.14r＝20.56 5.14r÷5.14＝20.56÷5.14 r＝4 答：它的半径是4分米。 【变式训练】（25-26六年级下·浙江温州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（    ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 【答案】C 【思路引导】圆心走过的路径长度分成4段，首先圆心走过线段AB，然后圆心从B点的正上方到B点的正右方，走过半径是2cm的圆周长的（圆周长＝2πr），再走过一段（BC－2）距离，最后圆心到D点，经过（DC－2）距离。 【规范解答】8＋×2π×2＋（8－2）＋（8－2） ＝8＋π＋6＋6 ＝（20＋π）cm 圆心走过的路径长度是（20＋π）cm。 高频考点八 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南省直辖县级单位·期末）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、扫地机器人、钻头等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么请你算一算这个鲁洛克斯三角形的周长。（π取3.14。） 【答案】15.7分米 【思路引导】鲁洛克斯三角形的周长由3段相等的圆弧组成：每段圆弧以等边三角形的顶点为圆心，半径等于等边三角形的边长5分米，圆心角等于等边三角形的内角，即60°，每段圆弧的长度为半径为5分米的圆的周长的，再用每段圆弧的长度乘3即可求解。 【规范解答】 2×5×3.14××3 ＝31.4××3 ＝15.7（分米） 答：这个鲁洛克斯三角形的周长为15.7分米。 【变式训练】（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）求下面图形中涂色部分的周长。 【答案】34.26分米 【思路引导】由图可知，涂色部分周长包含半径为6分米的半圆弧长、直径为6分米的半圆弧长，以及长度为6分米的直边三部分。圆的周长C＝2πr＝πd，分别代入对应半径、直径数值计算两个半圆弧的长度；将两部分弧长与直边长度相加，即可得到涂色部分总周长。 【规范解答】大半圆弧长：2×3.14×6÷2 ＝6.28×6÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（分米） 小半圆弧长：3.14×6÷2 ＝18.84÷2 ＝9.42（分米） 涂色部分的周长：18.84＋9.42＋6 ＝28.26＋6 ＝34.26（分米） 高频考点九 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）求阴影部分的周长和面积。 【答案】周长：20.56厘米；面积：3.44平方厘米 【思路引导】阴影部分的周长等于直径为4厘米的圆的周长加上正方形的两个边长；阴影部分的面积等于正方形的面积减去直径是4厘米的圆的面积。根据圆的周长＝π×直径；圆的面积＝π×半径2，正方形面积＝边长×边长，据此解答。 【规范解答】3.14×4＋4×2 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 4×4－3.14×（4÷2）2 ＝16－3.14×22 ＝16－3.14×4 ＝16－12.56 ＝3.44（平方厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）求图①阴影部分面积（3分，取3.14） （2）图②中有两个等腰三角形，已知阴影部分的面积是，求环形的面积。（取3.14） 【答案】（1）15.44cm2；（2）157cm2 【思路引导】（1）图①阴影部分的面积＝平行四边形的面积－圆的面积；平行四边形的面积＝底×高，圆的面积＝πr2。 （2）图中，大三角形的底是大圆的直径，高是大圆的半径；小三角形的底是小圆的直径，高是小圆的半径；阴影部分的面积是大三角形的面积减去小三角形的面积；环形的面积＝π×（R2－r2）。 【规范解答】（1）4÷2＝2（cm） 7×4－3.14×22 ＝7×4－3.14×4 ＝28－12.56 ＝15.44（cm2） 图①阴影部分的面积是15.44cm2。 （2）设大圆的半径是R，小圆的半径是r。 2×R×R÷2－2×r×r÷2＝R2－r2＝50（cm2） 环形的面积：3.14×50＝157（cm2） 高频考点十 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南洛阳·期末）如下图，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【答案】18.84 【思路引导】正方形的边长刚好等于圆的半径。我们知道正方形面积公式是，圆的面积公式是。题目中给出了正方形面积，我们可以通过正方形面积与圆半径的关系，进而求出圆的面积。 【规范解答】正方形面积是6平方厘米，所以： （平方厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·江苏徐州·期末）将绕点A逆时针旋转90°。 (1)画出旋转后的图形； (2)用圆规画出点C运动的路线； (3)线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为( )； (4)若点C的位置用数对表示，则它旋转后的位置用数对( )表示。 【答案】(1) (2) (3)7.065 (4)（，） 【思路引导】绕点A逆时针旋转时点A固定不动，其余各部分围绕点A逆时针旋转90°； 圆规针尖固定在点A处，两脚张开3厘米（3格），从点C开始，旋转圆的，到达旋转后点C的位置； 圆规旋转半径是3厘米（3格），旋转范围是圆的，利用“”算出圆的面积后乘； 观察旋转后的图，旋转后点C的位置在原来点C往右3列（从左往右数），往上3行（从下往上数），所以旋转后点C的位置在原来表示点C位置的列与行上各加3即可。 【规范解答】（1）图略。 （2）圆规针尖固定在点A处，两脚张开3厘米（3格），从点C开始，旋转圆的，到达旋转后点C的位置。图略。 （3）扇形面积是半径为3厘米，圆面积。 （cm2） （4）原来点C的位置用数对表示，旋转后的位置在原来列与行上分别加3，即（，）。 高频考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北咸宁·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】31.4cm2 【思路引导】由图可知，小半圆直径是8cm，半径为8÷2＝4cm，大半圆半径为4＋2＝6cm，圆的面积，再除以2分别求出大半圆和小半圆的面积，最后用大半圆的面积减去小半圆的面积即可求出阴影部分的面积。 【规范解答】8÷2＝4（cm） 4＋2＝6（cm） 3.14×62÷2－3.14×42÷2 ＝3.14×36÷2－3.14×16÷2 ＝113.04÷2－50.24÷2 ＝56.52－25.12 ＝31.4（cm2） 阴影部分的面积是31.4cm2。 【变式训练】（24-25六年级下·四川成都·期末）为响应环保，双流某小区用废旧轮胎做花坛（如右图），废旧轮胎内圈直径为1m，外圈直径为1.2m。废旧轮胎的占地面积是（    ）。 A．0.36π B．0.25π C．0.71π D．0.11π 【答案】D 【思路引导】废旧轮胎的占地面积是圆环的面积，圆环面积公式为：S＝π（−），其中R是外圆半径，r是内圆半径。 【规范解答】根据分析： R＝1.2÷2＝0.6（m） r＝1÷2＝0.5（m） π×（－） ＝π×（0.36－0.25） ＝0.11π（） 废旧轮胎的占地面积是（0.11π） 高频考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河北张家口·期末）看图按要求计算。求下面图形中涂色部分的面积。 【答案】 【思路引导】涂色部分的面积＝大圆的面积－小圆的面积，圆的面积公式为 【规范解答】 ＝3.14×25－3.14×9 ＝3.14×（25－9） ＝3.14×16 ＝50.24（） 【变式训练】（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） （1）在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 【答案】（1）见详解 （2）12.56平方厘米；图见详解 【思路引导】（1）长方形的周长C＝2（a＋b），20÷2＝10（厘米），长、宽之和是10厘米，用10厘米除以（3＋2）份，求出1份是多少厘米。再用乘法分别求出3份（长方形长）、2份（长方形宽）各是多少厘米，然后即可画出此长方形。 （2）在长方形内画的最大圆的直径等于长方形的宽，根据圆的面积S＝πr2，代入求出圆的面积。 【规范解答】（1）20÷2＝10（厘米） 10÷（3＋2） ＝10÷5 ＝2（厘米） 2×3＝6（厘米） 2×2＝4（厘米） 如图： （2）4÷2＝2（厘米） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 答：这个圆的面积是12.56平方厘米。 如下： 高频考点十三 求最大面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】； 方案一；方案一的圆形鱼池的面积是28.26平方米，方案二的半圆形鱼池的面积是25.12平方米。28.26＞25.12，建议李叔叔选择方案一。 【思路引导】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【规范解答】图略 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 【变式训练】（24-25六年级下·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。 【答案】15.48cm2 【思路引导】从图中可知阴影部分面积是长方形面积减去两个圆的面积，长方形的长是12cm，等于两个圆的直径，宽等于圆的直径是（cm），用“”算出长方形面积、用“”算出一个圆的面积，最后用长方形面积减去两个圆的面积即可。 【规范解答】（cm） （cm2） （cm2） （cm2） 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·贵州毕节·期末）计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】28.5平方厘米 【思路引导】 如图：，利用割补法，整体阴影面积等于半径10的圆面积减去直角边长10的等腰直角三角形面积，根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，正方形面积公式S＝a2，分别求出两块图形面积再相减即可解答。 【规范解答】3.14×102÷4－10×10÷2 ＝3.14×100÷4－100÷2 ＝314÷4－50 ＝78.5－50 ＝28.5（平方厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 【答案】 28.26 16 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2＝π（d÷2）2，三角形的面积＝底×高÷2； （1）外面正方形的边长等于内圆的直径，根据36＝6×6可知外面正方形的边长是6dm，则内圆的面积等于直径是6dm的圆的面积； （2）圆内正方形的对角线等于外圆的直径，对角线可以把正方形分成2个底等于外圆的直径（2r），高等于外圆的半径（r）的三角形，则正方形的面积＝2r×r÷2×2＝2r2，先用外圆的面积除以π求出r2，再把r2代入2r2中计算即可。 【规范解答】36＝6×6 3.14×（6÷2）2 ＝3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（dm2） 25.12÷3.14＝8 2×8＝16（dm2） 如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是28.26dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是16dm2。 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·四川成都·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 【答案】D 【规范解答】假设正方形的边长是6，则甲图形圆的半径是6÷3÷2＝1，乙图形的圆的半径是6÷2÷2＝1.5，丙图形圆的半径是6÷2＝3，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积S＝πr2，用正方形的面积减去圆的面积和或圆的面积求出剩下的面积，再进行比较即可解答。 【解答】设正方形的边长是6。 甲：6÷3÷2＝1 6×6－3.14×12×9 ＝6×6－3.14×1×9 ＝36－28.26 ＝7.74 乙：6÷2÷2＝1.5 6×6－3.14×1.52×4 ＝6×6－3.14×2.25×4 ＝36－28.26 ＝7.74 丙：6÷2＝3 6×6－3.14×32 ＝6×6－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74 7.74＝7.74＝7.74 所以白铁皮剩下的废料一样多。 【变式训练】（25-26六年级下·山西晋城·期末）求阴影部分的面积。 【答案】6.28平方厘米 【思路引导】如图空白小半圆的直径是2厘米，把下方的小半圆补到上方的空白小半圆处，阴影部分就转化成了一个半径为2厘米的半圆。半圆的面积公式：S＝πr2÷2代入r＝2计算解答。 【规范解答】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 所以阴影部分的面积是6.28平方厘米。 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·福建厦门·期中）如图用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】转化思想是核心的数学思想方法之一：将待解决的陌生、复杂、未知的问题，通过适当的变换、处理，归结为熟悉、简单、已经解决/容易解决的问题，从而使原问题得到解决的思想方法，据此分析各个选项即可。 【规范解答】①探究多边形的内角和，从多边形的一个顶点出发，向和它不相邻的顶点连线，把这个多边形变成若干个三角形，也就是把多边形的内角和转化成若干个三角形的内角和，这是运用了“转化”的思想； ②小数乘法的计算时，先不看小数点，按照整数乘法的计算方法求出结果，再根据小数的位数点上小数点，这是把小数乘法转化成了整数乘法，是运用了“转化”的思想； ③探究平行四边形的面积公式时，先把平行四边形沿着高剪开，然后拼成一个长方形，拼成的长方形与平行四边形面积不变，而且长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，根据长方形的面积＝长×宽，得出平行四边形的面积＝底×高；是运用了“转化”的思想； ④圆柱体积的推导过程：把圆柱底面分成若干份相等的扇形（如分成16等份），沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，可以得到大小相等的16块，把16块圆柱的底面拼成一个近似长方形，则圆柱体就接近长方体，长方体的底面积就是圆柱的底面积，长方体的高是圆柱的高，长方体的体积＝底面积×高，那么圆柱的体积＝底面积×高，是运用了“转化”的思想。 用了转化思想的有①②③④。 【变式训练】（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 【答案】20.52 【思路引导】把正方形沿对角线切开，将整个阴影部分平均分成两份；根据圆的面积 （取3.14，为半径，即正方形边长）求得圆的面积；再根据扇形面积圆的面积，三角形面积底高2，每一份阴影面积扇形面积减去直角边都为6的直角三角形面积，每一份阴影面积乘2即可求出整个阴影部分的面积。 【规范解答】根据题干信息及分析可知：正方形边长为6； 圆的面积： （） 扇形面积为：（）； 三角形面积为： （）； 每一份阴影面积为：（）； 所以整个阴影面积为：（） 高频考点十七 扇形的周长和面积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北十堰·期末）如图，请求出图中阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm） 【答案】7.44cm2 【思路引导】阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积－直角三角形的面积，长方形面积＝长×宽，圆的面积＝圆周率×半径的平方×，三角形面积＝底×高÷2。 【规范解答】6×4－3.14×42×－4×（6－4）÷2 ＝24－3.14×16×－4×2÷2 ＝24－3.14×（16×）－4 ＝24－3.14×4－4 ＝24－12.56－4 ＝7.44（cm2） 【变式训练】（25-26六年级下·江苏无锡·期末）北京大学计划建造一台名为“成长型通用光学望远镜”的设备，简称EAST。该望远镜采用了镜面拼接技术，其主镜由一些大小相同的正六边形子镜拼接构成。第一期主镜直径为6米，由18块子镜组成；第二期主镜增加了18块子镜，直径扩展至8米。如果EAST的直径从8米扩展到10米，还要增加( )块子镜；如果直径最终扩展至12米，其主镜将由( )块子镜构成。 【答案】 24 90 【思路引导】直径6米时子镜总数量为18块，直径8米时比6米增加18块，总数为18＋18＝36块；根据正六边形拼接的环形特征：每向外扩展1层正六边形，新增的子镜数量依次为18，24，30……，符合相邻量每次加6的规律。 用18＋6，求出直径扩展到8米时增加子镜的数量；直径扩展到10米，需要子镜的数量＝直径是8米总量＋（18＋6），据此解答。 【规范解答】直径6米：子镜总数量：18块 直径8米：增加18块；子镜总数量：18＋18＝36（块） 直径10米：增加：18＋6＝24（块）；子镜总数量：36＋24＝60（块） 直径12米：增加：24＋6＝30（块）；子镜总数量：60＋30＝90（块） 奥数拓展一 圆和扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）下面的方格纸中每个□的面积代表1平方厘米。 (1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。 (2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。 【答案】(1)见详解 (2)18.24平方厘米 【思路引导】（1）圆的面积＝πr2（r为半径）。先求出所画圆的半径；再画圆：将圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；将有针尖的一端固定在一个点上（即圆心）；将装有铅笔尖的一只脚旋转一周，即可画出所需要的圆。 （2）圆所能覆盖的最大正方形的两条对角线是圆的直径，正方形被两条对角线平均分成4个直角三角形且三角形的底和高均为圆的半径。根据三角形的面积＝底×高÷2计算每一个三角形的面积，正方形的面积＝三角形的面积×4；圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积＝圆的面积－正方形的面积。 【规范解答】（1） 因为4×4＝16，所以所画圆的半径是4厘米，如下图所示（圆的位置不唯一）： （2）圆所能覆盖的最大正方形的两条对角线是圆的直径，正方形被两条对角线分成4个直角三角形，如下图所示： 圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是： （平方厘米） 【变式训练】（25-26六年级下·山东济南·期末）求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 【答案】周长：49.12厘米 面积：13.76平方厘米 【思路引导】观察图形可知，正方形的边长为8厘米，圆直径为8厘米，涂色部分的周长等于正方形三条边的长度与圆的周长之和；涂色部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积； 圆的周长＝圆周率×直径，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝圆周率×。 【规范解答】周长： 8×3＋3.14×8 ＝24＋25.12 ＝49.12（厘米） 面积： 8×8－3.14× ＝8×8－3.14×16 ＝64－50.24 ＝13.76（平方厘米） 奥数拓展二 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【答案】C 【思路引导】在400米环形跑道上进行200米的比赛，只需要跑一个弯道，所以相邻两跑道之差等于跑道的宽×圆周率，据此解答即可。 【规范解答】1.22×π＝1.22π（米） 所以第一和第二道起跑线相差1.22π米。 故答案为：C 【变式训练】（25-26六年级上·山东临沂·期末）用一根长10.28米的绳子围成一个封闭的半圆，这个半圆的半径是( )米。 【答案】2 【思路引导】解答这道题需明确：半圆的周长等于圆的周长的一半加直径，即。题目中已知用一根长10.28米的绳子围成一个封闭的半圆，则半圆的周长为10.28米，可以将半圆的半径设为米，根据半圆的周长公式这个等量关系，列出方程求解即可。 【规范解答】根据分析： 解：设半圆的半径为米。 所以，这个半圆的半径是2米。 【考点剖析】这道题的关键是熟知半圆的周长等于圆的周长的一半加直径，即。 奥数拓展三 半圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【答案】51.4米 【思路引导】如图，在长方形中画一个最大的半圆，半圆的直径相当于长方形的长，为20米，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，即半圆的弧长，再加上一条直径的长度求出半圆的周长，即为篱笆的长度。 【规范解答】3.14×20÷2＋20 ＝62.8÷2＋20 ＝31.4＋20 ＝51.4（米） 答：需要51.4米的篱笆。 【考点剖析】在长20米、宽15米的长方形里，最大半圆的直径只能取20米（若取宽15米为直径，半圆会更小），且半径10米小于宽15米，满足半圆完全在长方形内的条件；篱笆是封闭半圆区域的边界，包含半圆弧长和直径两部分。 【变式训练】（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 【答案】17.14 【思路引导】如图，把游戏币从A点滚动到现在位置圆心走过的路径分为3段：沿AB滚动时，圆心走过的路径长度等于AB的长度；在B点直角转弯，圆心走过的路径长度相当于圆的周长； 沿BC向下滚动，圆心走过的路径长度等于BC的长度减去游戏币的半径长度；最后将3段路径长度相加即可。 【规范解答】3.14×4÷4 ＝12.56÷4 ＝3.14（厘米） 8－4÷2 ＝8－2 ＝6（厘米） 8＋3.14＋6 ＝11.14＋6 ＝17.14（厘米） 奥数拓展四 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江金华·期末）如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【答案】（5π＋20n）/（20n＋5π） 【思路引导】第①组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（1×4）；第②组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（2×4）；第③组需要的绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（3×4）……由此可知，绳子长度＝1个圆的周长＋1个圆的直径×（第几组就用几×4）。圆的周长＝圆周率×直径。 【规范解答】π×5＋5×（n×4）＝（5π＋20n）cm 【变式训练】（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    【答案】35.12厘米 【思路引导】由题图可知阴影部分的周长为大圆周长的一半＋小圆周长的一半＋大圆的直径－小圆的半径＋小圆的半径，根据圆的周长公式分别求出大圆、小圆的周长的一半，代入计算即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×3÷2＋5×2－3＋3 ＝15.7＋9.42＋10 ＝35.12（厘米） 阴影部分的周长是35.12厘米。 奥数拓展五 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【答案】（1）6.28米 （2）57692.16元 【思路引导】（1）先求出笑笑和淘气两个人所在跑道的周长，分别是两个半圆的周长合一起即一个圆的周长（圆的周长公式：C＝2πr），圆的半径分别是32米和33米，再加上中间的两个100米，据此求出两个跑道的周长再求出差值，从而得到笑笑和淘气的起跑线应相差多少米。 （2）先求出空白部分面积，即两个半圆的面积合起来是一个圆的面积（圆的面积公式：S＝πr2），再加上中间长方形的面积。再根据每平方米造价6元，从而求得一共需要多少元。 【规范解答】（1）由图可知，跑道的左右两个半圆可以合成一个圆。所以解答如下： 笑笑：2×3.14×32 ＝6.28×32 ＝200.96（米） 淘气：32＋1＝33（米） 2×3.14×33 ＝6.28×33 ＝207.24（米） 207.24－200.96＝6.28（米） 答：笑笑和淘气的起跑线应相差6.28米。 （2）3.14×322 ＝3.14×1024 ＝3215.36（平方米） 32×2×100 ＝64×100 ＝6400（平方米） 3215.36＋6400＝9615.36（平方米） 9615.36×6＝57692.16（元） 答：一共需要57692.16元。 【考点剖析】（1）熟练掌握圆的周长的计算方法； （2）熟练掌握圆的面积的计算方法。 【变式训练】（24-25六年级下·福建厦门·期末）如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 【答案】33.12 【思路引导】连接BP，涂色部分的面积＝正方形的面积＋半圆的面积－三角形ABP的面积－三角形PQB的面积。根据正方形的面积＝边长×边长，半圆的面积＝πr2÷2，三角形的面积＝底×高÷2，列式计算即可。 【规范解答】连接BP，并分别以AB、BQ为底，作高。如图： 8÷2＝4（cm） 8×8＋3.14×4÷2 ＝64＋3.14×16÷2 ＝64＋50.24÷2 ＝64＋25.12 ＝89.12（cm2） 8×（8＋4）÷2 ＝8×12÷2 ＝96÷2 ＝48（cm2） 4×4÷2 ＝16÷2 ＝8（cm2） 89.12－48－8＝33.12（cm2） 奥数拓展六 圆的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·广西梧州·期中）在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 【答案】A 【思路引导】根据圆的面积＝πr2（r为半径）求出外圆半径；外圆直径＝外圆半径×2。正方形对角线的长度等于外圆的直径，将正方形看作两个完全一样、底是外圆直径、高是外圆半径的直角三角形，正方形的面积＝三角形的面积×2＝底×高÷2×2；正方形的边长是内圆的直径，根据正方形的面积＝边长×边长求出内圆半径的平方；再代入圆的面积公式求出内圆面积。 【规范解答】113.04÷3.14＝36（cm2） 因为6×6＝36，所以外圆半径是6cm。 外圆直径是：6×2＝12（cm） 正方形的面积是： 12×6÷2×2 ＝72÷2×2 ＝36×2 ＝72（cm2） 设内圆的半径是cm。内圆的直径是正方形的边长，所以： 内圆面积是：3.14×18＝56.52（cm2） 正方形内的圆的面积是56.52cm2。 【变式训练】（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 【答案】 31.4 2∶1 【思路引导】根据图看出小圆半径＝小正方形边长，再根据圆的面积＝3.14×半径2，进而求出小圆的面积；再根据大正方形和小正方形的面积关系，求出大正方形面积，根据等面积，大正方形的面积＝三角形面积×2＝底×高÷2×2＝大圆直径×大圆半径÷2×2，据此求出大圆面积，再根据比的意义，用小圆面积∶大圆面积，即可解答。 【规范解答】小圆面积：（cm2） 大正方形面积：（cm2） 大正方形的面积＝（大圆半径×2）×大圆半径÷2×2＝40 大圆的半径2＝40÷2＝20 大圆的面积＝3.14×大圆的半径2＝3.14×20＝62.8（cm2） 62.8∶31.4＝2∶1 正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是31.4cm2；大圆的面积和小圆的面积比是2∶1。 奥数拓展七 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）一块涂着黑白两色的长方形木板（如图）挂在墙上，小明向这块木板掷一支飞镖，飞镖落在阴影部分的可能性是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据图示，设圆的半径是1厘米，那么长方形的长是2厘米，宽是1厘米，圆的面积公式：半径×半径×π，长方形面积公式：长×宽，据此结合题意分析解答即可。 【规范解答】解：设圆的半径是1厘米，那么长方形的长是2厘米，宽是1厘米。 阴影部分的面积为平方厘米， 长方形面积为平方厘米， 飞镖落在阴影部分的可能性是， 答：飞镖落在阴影部分的可能性是。 【考点剖析】先求出半圆面积，再算长方形面积，用半圆面积长方形面积即可求得可能性。 【变式训练】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 【答案】15.7 【思路引导】阴影部分的面积是两个正方形面积之差，如图也就是大圆半径²－小圆半径²＝5cm²。 圆面积＝πr²。 圆环面积＝大圆面积－小圆面积 ＝π大圆半径²－π小圆半径² 根据乘法分配律可将算式变成π×（大圆半径²－小圆半径²），代入大圆半径²－小圆半径²之差即可算出圆环面积。 【规范解答】大圆半径²－小圆半径²＝5cm² 圆环面积＝π大圆半径²－π小圆半径² ＝π×（大圆半径²－小圆半径²） ＝π×5 ＝3.14×5 ＝15.7（cm²） 所以圆环的面积是15.7 cm²。 【考点剖析】本题考查了圆环面积以及正方形面积的灵活运用，不直接计算出大圆和小圆的半径，而是通过把阴影部分的面积看成两个半径的平方差，从而算出圆环面积。 奥数拓展八 圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】将圆剪拼成一个近似的梯形，梯形的上底和下底的和是圆周长的一半，两条腰等于4条圆的半径，由此求出圆的半径，圆周长＝2πr，求出圆的周长，根据圆的面积＝πr2，求出面积。 【规范解答】解：设圆的半径为r 2×3.14r÷2＋4r＝42.84 3.14r＋4r＝42.84 7.14r＝42.84 7.14r÷7.14＝42.84÷7.14 r＝6 3.14×6×2＝37.68（cm） 3.14×62 ＝3.14×6×6 ＝3.14×36 ＝113.04（cm2） 圆的周长是37.68cm，圆的面积是113.04cm2。 【考点剖析】根据梯形的周长是圆周长的一半加上4条半径的和，求出圆的半径是解题关键。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 【答案】图见详解 【思路引导】通过观察图形可知，这只羊能吃到草的面积等于半径为4米的圆面积的加上半径为2米的圆面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式解答。 【规范解答】3.14×42×＋3.14×22× ＝3.14×16×＋3.14×4× ＝50.24×＋12.56× ＝25.12＋3.14 ＝28.26（平方米） 这只小羊吃草的面积是28.26平方米。 作图如下： 【考点剖析】此题主要考查圆的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 奥数拓展九 求最大面积 【典例精讲】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【答案】小羊A吃到草的面积大一些，相差3π平方米。 【思路引导】观察图形可知，小羊A能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的，小羊B能吃到草的面积等于半径是4米的圆的面积的一半加上半径是（4－2）米的圆的面积的，根据圆的面积公式：S＝πr2，分别求出小羊A和小羊B的面积，据此进行计算即可。 【规范解答】 ＝ ＝12π（平方米） ＝ ＝ ＝9π（平方米） 12π平方米＞9π平方米 12π—9π＝3π（平方米） 答：小羊A吃到菜的面积大一些，相差3π平方米。 【考点剖析】本题考查圆的面积，明确小羊A和小羊B吃草的范围是解题的关键。 【变式训练】（25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】50 【思路引导】由图把阴影部分分为两部分：上半圆内的阴影、下半三角形内的阴影，上半圆内的阴影面积＝上半圆面积 −空白等腰三角形面积；下半三角形内的阴影面积＝三角形面积 − 下半圆面积－空白等腰三角形面积。 【规范解答】上半圆内的阴影面积：π×－×10×5 ＝×3.14×25－5×5 ＝1.57×25－25 ＝（1.57－1）×25 ＝0.57×25 ＝14.25（） 下半三角形内的阴影面积：×20×10－π×－×10×5 ＝10×10－×3.14×25－5×5 ＝100－1.57×25－25 ＝100－39.25－25 ＝60.75－25 ＝35.75（） 阴影部分的面积：14.25＋35.75＝50（） 阴影部分的面积是50。 奥数拓展十 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】50.24平方厘米 【思路引导】正方形的面积＝边长×边长；直角扇形面积；三角形的面积＝底×高÷2。用正方形的面积减去直角扇形的面积求出左下角空白部分面积，再用大直角三角形的面积减去左下角空白部分面积求解。 【规范解答】（平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是50.24平方厘米。 【变式训练】（25-26六年级上·四川达州·期末）为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4dm、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是( )，剩余铁皮的面积是( )。 【答案】 200.96 151.04 【思路引导】 读题可知，这个长方体的上下两个面是正方形，展开后如图，裁出的最大圆形铁皮直径是（4×4）dm，根据圆的面积＝圆周率×半径的平方，计算出裁下的这个圆形铁皮的面积；剩余铁皮的面积＝长方体表面积－圆形铁皮的面积，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式计算。 【规范解答】4×4＝16（dm） 16÷2＝8（dm） 3.14× ＝3.14×64 ＝200.96（） （4×4＋4×20＋4×20）×2－200.96 ＝（16＋80＋80）×2－200.96 ＝176×2－200.96 ＝352－200.96 ＝151.04（） 王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是200.96，剩余铁皮的面积是151.04。 【考点剖析】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用圆和长方形的面积公式。 奥数拓展十一 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 【答案】(1) (2) (3) (4)8平方厘米 【思路引导】（1）根据按比分配，用周长除以2，求出长与宽的和，再除以长和宽占的份数和，求出一份长，然后分别乘长与宽占的份数，求出长与宽，再画图即可； （2）在长方形内画一个面积最大的圆，以长方形的宽为圆的直径，即是最大的圆，再画圆即可； （3）可过圆心画一条水平的直径和一条竖直的直径，即为两条互相垂直的直径，依次连接4个端点，形成正方形； （4）正方形可以看作4个底和高都是2厘米的直角三角形，求出一个直角三角形的面积，再乘4即可求出正方形的面积。 【规范解答】（1）18÷2＝9（厘米） 9÷（5＋4） ＝9÷9 ＝1（厘米） 长：5×1＝5（厘米） 宽：4×1＝4（厘米） 画图略。 （2）根据分析可知，圆的半径为：4÷2＝2（厘米），以长方形中心为圆心，半径2厘米画圆。画图略。 （3）画图略。 （4）直角边等于圆的半径，即2厘米， 2×2÷2×4 ＝4÷2×4 ＝2×4 ＝8（平方厘米） 答：正方形的面积是8平方厘米。 【考点剖析】此题考查画圆形、正方形及其面积的计算。 【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期末）如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（    ）cm2。 A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 【答案】A 【思路引导】已知大正方形周长是12cm，正方形周长公式：周长＝边长×4，所以大正方形边长：12÷4＝3cm。由图可知：大正方形的边长＝圆的直径＝小正方形的对角线长度，即小正方形对角线为3cm。正方形的面积可以用对角线乘积的一半计算，求出小正方形的面积。 【规范解答】12÷4＝3（cm） 3×3÷2 ＝9÷2 ＝4.5（cm2） 所以小正方形的面积是4.5cm2。 故答案为：A 【考点剖析】本题的关键在于：大正方形的边长等于圆的直径，而圆的直径又恰好是小正方形的对角线，因此我们可以通过大正方形的周长先求出边长，再利用对角线与正方形面积的关系算出小正方形的面积。 奥数拓展十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东湛江·期中）如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB＝10厘米，阴影部分的面积是( )。 【答案】27.44平方厘米/27.44cm2 【思路引导】由BC＝AO＝OD，可将实线BC移到虚线OD的位置，实线部分的周长减去AB和OC的长（即2AB的长），即可求得圆的周长的，用其除以，可得圆的周长。根据圆的周长＝2πr，即可求得r。再由阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积×，即可求得阴影部分的面积。 【规范解答】圆的周长的： 38.84－10×2 ＝38.84－20 ＝18.84（厘米） 圆的周长： 18.84÷ ＝18.84× ＝25.12（厘米） 圆的半径： 25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（厘米） 阴影部分面积： 10×4－3.14×42 ＝40－3.14×4 ＝40－12.56 ＝27.44（平方厘米） 【考点剖析】实线部分的周长，需要将实线BC移到虚线OD的位置，实线部分的周长减去AB和OC的长（即2AB的长），即可求得圆的周长的，进而求得圆的半径，用长方形的面积减去圆的面积，即可求得阴影部分的面积。 【变式训练】（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】6.28 【思路引导】 由图可知，长方形被分成四个部分，其中②和④的面积相等，还知①和②、②和③的面积正好都为一个四分之一圆的面积，那么①和④也为一个四分之一圆的面积，这样①和④、②和③正好是两个四分之一圆的面积，也就是一个半径为2厘米半圆的面积，所以长方形的面积＝半圆的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，代入数据求解即可。 【规范解答】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 长方形的面积是6.28平方厘米。 【考点剖析】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是明确长方形的面积＝半圆的面积。 奥数拓展十三 扇形的周长和面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津河西·期末）把一个圆剪拼成一个近似梯形（如图）。如果这个近似梯形的周长是，下面哪种说法是错误的？（    ） A．梯形的高是 B．圆的半径是 C．梯形的上底与下底的和为 D．圆的面积为 【答案】C 【思路引导】圆被平均分成16个小扇形，所有小扇形的弧长之和是圆的周长，小扇形的半径就是圆的半径，剪拼成近似梯形后，梯形的高和腰是由两个小扇形的半径r组成，即高和腰的长度都是2r；梯形的上底与下底之和是8个小扇形的弧长，即16个弧长的小扇形弧长的一半，即圆周长的一半。根据“8个小扇形的弧长＋4条半径的长度＝梯形的周长”的等量关系，设圆的半径为r，列出关于r的方程，然后逐项分析四个选项即可。 【规范解答】解：设这个圆的半径为。 A．梯形的高是：2×2＝4（cm），说法正确； B．圆的半径是r＝2cm；说法正确； C．梯形的上底与下底的和为： （厘米） ＝ ＝ ＝（厘米） 所以，说法错误 D．圆的面积为：＝＝12.56（平方厘米），说法正确； 故答案为： 【考点剖析】关键点是明确圆剪拼成近似梯形后，各部分与圆的半径、周长的对应关系。 【变式训练】（24-25六年级上·天津河西·期末）如图，正方形的边长是6厘米，以点为圆心，6厘米为半径画四分之一圆，再以点为圆心，4厘米为半径画四分之一圆。则甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是( )平方厘米。 【答案】4.82 【思路引导】仔细观察图形可知：把以点为圆心，6厘米为半径的扇形叫大扇形，把以点为圆心，4厘米为半径的扇形叫小扇形，则正方形的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－甲的面积＋乙的面积，即正方形的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－（甲的面积－乙的面积），由此得出甲的面积－乙的面积＝大扇形的面积＋小扇形的面积－正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝÷4，代入数据计算即可解答。 【规范解答】3.14×÷4＋3.14×÷4－6×6 ＝3.14×36÷4＋3.14×16÷4－36 ＝3.14×（36÷4＋16÷4）－36 ＝3.14×（9＋4）－36 ＝3.14×13－36 ＝40.82－36 ＝4.82（平方厘米） 所以甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是4.82平方厘米。 【考点剖析】明确大扇形的面积加上小扇形的面积等于加了两次甲的面积是解题的关键。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·江苏盐城·期末）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②所对应的图形分别是（    ）。 A．平行四边形、长方形 B．三角形、平行四边形 C．平行四边形、三角形 D．三角形、长方形 【答案】C 【思路引导】平面图形面积推导体系中，长方形面积公式可推导出平行四边形面积公式，平行四边形面积公式可进一步推导出三角形、梯形的面积公式，因此①对应平行四边形，②对应三角形，据此解答。 【规范解答】根据分析可知：①为平行四边形，②是三角形。 2．（24-25六年级下·四川德阳·期末）如图，直角三角形的面积是12，则空白部分的面积是（    ）。 A．75.36 B．63.36 C．37.68 D．25.68 【答案】B 【思路引导】（）观察图形可知阴影为等腰直角三角形，因为三角形面积公式：，即两条直角边等于圆的半径：底高 ，三角形的面积：，结合已知三角形面积求出的值。 （）利用圆的面积公式：，代入已得值计算出整个圆的面积。 （）因为空白部分面积等于圆的面积减去阴影三角形的面积，所以用圆的面积减去即可得到结果。 【规范解答】 （） （） 空白部分的面积是。 3．（24-25六年级下·河南郑州·期末）王珂要想计算右图阴影部分图形的面积，你认为至少他要测量（    ）条线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【思路引导】要求阴影部分的面积，用梯形的面积－半圆的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，半圆的面积＝÷2（r是半径）。判断需要测量的线段长度有几条。 【规范解答】要求梯形的面积，AB是上底，DC是下底，BC是高，要求半圆的面积，BC是半径，先测出BC的长度即可知到AB的长度，∠D是45°，DC的长度用AB的长度加BC的长度，因此，至少他要测量1条线段的长度。 4．（25-26六年级下·山西晋中·期末）小明家装修客厅，需要沙子6吨。工程队卸了一堆沙子，近似为圆锥形，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这堆沙子有( )立方米；已知每立方米沙子约重1.4吨。这堆沙子够不够小明家使用？( ) 【答案】 6.28 够 【思路引导】根据底面周长求得底面半径：r＝C÷π÷2，代入圆锥体积公式：，体积×每立方米沙子质量＝沙子总质量，将总质量与所需沙子质量比较即可。 【规范解答】12.56÷3.14÷2＝2（米） ×3.14×22×1.5 ＝×3.14×4×1.5 ＝6.28（立方米） 6.28×1.4＝8.792（吨） 8.792＞6 这堆沙子够小明家使用。 5．（25-26六年级下·湖北咸宁·期末）如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 【答案】25.7 【思路引导】半圆的半径为长方形长的一半，半圆的周长＝直径＋圆周长的一半（πr）。 【规范解答】半圆的周长＝10＋3.14×（10÷2） ＝10＋3.14×5 ＝10＋15.7 ＝25.7（cm） 6．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是27厘米。( ) 【答案】√ 【思路引导】设半圆的直径是x厘米，根据上下两部分长度相等列方程计算，完成判断即可。 【规范解答】解：设半圆的直径是x厘米。 12＋x＋24＝2x＋9 x＋36＝2x＋9 x＝27 所以半圆的直径是27厘米，原题说法正确。 故答案为：√ 7．（24-25六年级下·江西吉安·期末）求下面图形中阴影部分的面积。 【答案】7.74cm2 【思路引导】观察图形，两个空白的半圆可以拼成一个直径是6cm的整圆。 圆的面积公式S＝πr2； 阴影部分的面积＝正方形的面积－圆的面积。 【规范解答】阴影部分的面积： 6×6－3.14×（6÷2）2 ＝6×6－3.14×32 ＝36－3.14×9 ＝36－28.26 ＝7.74（cm2） 8．（25-26六年级下·湖北黄冈·期末）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，它从第3秒到第4秒扩散的面积是多少平方米？（π取3.14） 【答案】21.98平方米 【思路引导】根据题意，当水滴滴入水中3秒后，形成一个半径是3米的圆；当水滴滴入水中4秒后，形成一个半径是4米的圆；根据圆的面积S＝πr2，算出两个圆的面积，求出它们的差即可。 【规范解答】1×3＝3（米） 1×4＝4（米） 3.14×42－3.14×32 ＝3.14×16－3.14×9 ＝50.24－28.26 ＝21.98（平方米） 答：它从第3秒到第4秒扩散的面积是21.98平方米。 9．（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，存在安全隐患，为此在某些路段设置标线标示了“右转危险区”（如图中阴影部分）。四边形MBAE是正方形，图中CD是以F为圆心所画四分之一圆的圆弧，BE是以A为圆心所画四分之一圆的圆弧。请解答下面问题。（π值取3） (1)正方形MBAE中，左上角空白区（如图，用①表示）的面积是多少？ (2)请计算“右转危险区”（阴影部分）的面积。 【答案】(1)4平方米 (2) 21平方米 【思路引导】（1）①的面积等于正方形CFDM的面积减去以F为圆心，CF为半径的小扇形的面积，小扇形的面积等于以F为圆心，半径为4米圆面积的； （2）②的面积等于以A为圆心，半径为10米圆面积的，“右转危险区”的面积＝正方形ABME的面积－①的面积－②的面积，据此解答。 【规范解答】（1） （平方米） 答：正方形MBAE中，左上角空白区（如图，用①表示）的面积是4平方米。 （2） （平方米） （平方米） 答：“右转危险区”（阴影部分）的面积为21平方米。 10．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）“运河文化路线”是拱墅区骑行的精华路线，全长约5千米。周六，乐乐与聪聪不约而同地去这条路线骑行，骑行的时间与路程如下图。 (1)乐乐一直匀速前进。从图中的信息可知，他的骑行速度是( )米/分。 (2)聪聪用下图的自行车骑行，车轮直径约70厘米。他一分钟可以蹬60圈，他的骑行速度是多少？（π取3） (3)聪聪从京杭大运河博物馆出发后，速度不变，大约在几时几分追上乐乐？ 【答案】(1) (2)米/分 (3)时分 【思路引导】（）由图可知，从起点出发，到达米的位置，一共经过了分钟，路程÷时间＝速度； （）先根据，算出车轮一圈前进（厘米），又因为前轮齿轮有个，后轮有个，，所以蹬圈自行车前进的距离是个车轮周长。（厘米）分钟蹬圈，算出分钟总共前进（厘米），把单位换算成米，得到骑行速度是米/分。 （）先梳理两人的时间线，乐乐在就从米的位置重新出发，聪聪才从米的位置出发，所以聪聪出发时，乐乐已经向前走了分钟。先算出乐乐领先的路程，再算出每分钟聪聪比乐乐多走的距离，用领先的总路程除以每分钟比乐乐多足的距离，得到追上需要的时间，最后加上聪聪的出发时间，就得到追上的时刻。求大约在几时几分追上乐乐？追上时间用四舍五入法取整分钟。 【规范解答】（1）9：45－9：30＝15（分钟） 2100÷15＝140（米/分） 所以他的骑行速度是米/分。 （2）（厘米） （厘米） （厘米） 厘米米 答：他的骑行速度是米/分。 （3）10：10－10：05＝5（分钟） （米） （米） （分钟）≈6（分钟） 时分＋分钟时分 答：大约在时分追上乐乐。 【能力提升】 1．（25-26六年级下·陕西西安·期末）从一张长是10cm，宽是8cm的长方形纸上裁下一个最大的圆。剩下部分的面积是（    ）。 A．50.24 B．1.5 C．17.2 D．29.76 【答案】D 【思路引导】长方形中裁下的最大圆的直径等于长方形的宽，剩下部分的面积等于长方形面积减去圆的面积，代入对应面积公式计算即可。 【规范解答】长方形面积：（） 圆的半径：（cm） 圆的面积：（） 剩下部分面积：（） 剩下部分的面积是29.76。 2．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】阴影部分的面积是甲、乙两圆的公共部分，所以可以先通过它求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 【规范解答】设阴影部分的面积为S。 因为，所以 又因为，所以 ∶＝∶＝16∶9 因为， 所以，周长比为4∶3 【考点剖析】关键是先利用公共部分求出两圆的面积比，再根据“周长比等于半径比，而面积比是半径比的平方”求出周长比。 3．（24-25六年级下·辽宁沈阳·期末）从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 【答案】 37.68 113.04 【思路引导】根据题意，最大圆的直径等于正方形的边长，圆的周长＝πd，圆的面积＝πr2，由此代入数据即可解答。 【规范解答】3.14×12＝37.68（分米） 12÷2＝6（分米） 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 4．（25-26六年级下·广东佛山·期末）江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 【答案】 785 157 【思路引导】已知圆的半径，根据公式C＝2πr可求出周长（即防护林带总长）。在封闭路线上植树，棵数等于间隔数，用总长除以间隔长度即可求出棵数。 【规范解答】防护林带的总长： 2×3.14×125 ＝6.28×125 ＝785（米） 一共能栽松树的棵数： 785÷5＝157（棵） 5．（24-25六年级下·山东济宁·期末）求阴影部分的面积。 【答案】（1）37平方厘米 （2）41.12平方厘米 【思路引导】（1）由图中数据可知，分别计算出边长为8厘米和5厘米的正方形面积相加后减去高为8厘米底为13厘米的三角形面积就是阴影部分面积。 （2）由图可知阴影部分面积可以看作是4个直径为4厘米的圆的面积加边长为4厘米的正方形面积，再减去8个直径为4厘米的圆的面积，也就是减去两个直径为4厘米的圆的面积。（）依此计算。 【规范解答】（1）图中三角形的高是大正方形的边长即8厘米，底是两个正方形边长之和：8＋5＝13（厘米） 三角形面积：8×13÷2＝52（平方厘米） 阴影部分面积：8×8＋5×5－52 ＝64＋25－52 ＝37（平方厘米） （2）图中两圆的直径之和是8厘米，一个圆的直径就是8÷2＝4（厘米），半径就是4÷2＝2（厘米） 正方形边长是两个圆的半径之和也就是一个圆的直径即4厘米。 4个空白的的圆可以组成一个圆，由分析可知4个直径为4厘米的圆的面积加边长为4厘米的正方形面积，多加了两次4个空白的的圆的面积即两个圆的面积，所以把多出的减去。 阴影部分面积： （平方厘米） 6．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 【答案】135.02厘米 【思路引导】 如图：通过观察可知，点A经过的路径＝一个半径是5厘米的圆周长的一半＋一个半径是13厘米的圆周长＋一个半径是12厘米的圆周长的一半，根据圆周长公式：C＝2πr，代入数据分别求出每部分的长度，再相加即可。 【规范解答】2×3.14×5÷2＋2×3.14×13＋2×3.14×12÷2 ＝15.7＋81.64＋37.68 ＝135.02（厘米） 答：点A经过的路径长135.02厘米。 7．（25-26六年级上·浙江金华·期末）公园里有两个圆形大花坛，共占地163.28平方米，已知两个花坛的直径之比是3∶2，那么绕着较大花坛的边缘走一周，至少要走几米？ 【答案】米 【思路引导】两个圆的面积比等于两个圆的直径平方比，用两个圆的面积和除以总份数，求出1份是多少，进而求出大圆的面积；再根据圆的面积＝π×半径2，求出大圆半径，再根据圆的周长＝π×半径×2，据此解答。 【规范解答】两个圆的面积比是32∶22＝9∶4 大圆面积： 163.28÷（9＋4）×9 ＝163.28÷13×9 ＝12.56×9 ＝113.04（平方米） 113.04÷3.14＝36（平方米） 6×6＝36，所以大圆半径是6米。 3.14×6×2 ＝18.84×2 ＝37.68（米） 答：至少要走37.68米。 8．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）小丽按照下面的步骤绘制平行四边形ABCD。 步骤 第①步 第②步 第③步 画法 先画长度为5厘米的底边BC 以B为顶点作出大小为65°的角，画出长度为3厘米的相邻的边AB 用圆规确定顶点D的位置。以A为圆心，5厘米为半径画出圆弧。 示例 (1)第④步：以C为圆心，( )厘米为半径画出圆弧。圆弧和圆弧的交点就是顶点D，连接AD和DC得到平行四边形ABCD。 (2)请根据上述步骤画出平行四边形ABCD。（保留作图的痕迹） 【答案】(1)3 (2) 【思路引导】（1）根据平行四边形对边平行且相等的特点，要确定顶点D的位置，应使AD＝BC＝5厘米，CD＝AB＝3厘米，所以，先以顶点A为圆心，以BC边的长5厘米为半径画弧（即第③步），再以顶点C为圆心，以AB边的长3厘米为半径画弧（即第④步），两条弧的交点即是顶点D的位置；再连接AD和DC，即可得到平行四边形ABCD。 （2）根据各步骤画出平行四边形ABCD即可。 【规范解答】（1）根据分析可知： 第④步：以C为圆心，3厘米为半径画出圆弧。圆弧和圆弧的交点就是顶点D，连接AD和DC得到平行四边形ABCD。 （2）画图略。 9．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图小方格的边长表示100米，请根据描述完成作图和计算。 城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右（如图）。具体设施包括大型商超、医院、学校、公园和地铁站等。 （1）某新区规划把学校和社区医院设计在10分钟圈上，请画出这个以社区A为中心的“圈”，标注10min。 （2）求出10－15分钟环间的面积是多少平方米？ （3）在大商场露天平台看社区A在西偏北40°800米处，请画出大商场位置用点C表示。（请标注相关数据） 【答案】（1） （2）981250平方米； （3） 【思路引导】（1）根据题意“城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右”，用750÷15可计算“1分钟生活圈”的服务半径为多少米，然后再用结果×10，即为计算“10分钟生活圈”的服务半径为多少米，再计算对应的图上距离（小方格的边长表示100米），用计算出来的服务半径÷100，看图上距离为几格，由此作图； （2）利用圆的面积公式计算10－15分钟圆环间的面积，用大圆的面积减去小圆的面积； （3）利用平面图上方向规定：上北下南左西右东，依据题意结合图示去解答。 【规范解答】（1）750÷15×10＝500（米） 500÷100＝5（格），图略。 （2）3.14×750²－3.14×500² ＝3.14×（750²－500²） ＝3.14×（750×750－500×500） ＝3.14×（562500－250000） ＝3.14×312500 ＝981250（平方米） 答：10－15分钟环间的面积是981250平方米。 （3）800÷100＝8（格），图略。 【考点剖析】本题考查圆的绘制、圆环面积计算、方位表示，结合方格图解决作图与计算问题。 10．（2026·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【思路引导】已知三角形的底是圆的直径，长度固定。根据三角形面积公式，要使面积最大，高必须最大。当三角形的顶点在圆周上运动时，顶点到底边（直径）的最大距离等于圆的半径。据此求出最大高，再计算面积即可。 【规范解答】三角形的底等于圆的直径，即底为。 要使三角形面积最大，高应最大。 当顶点位于垂直于直径的半径端点时，高最大，最大高等于圆的半径。 圆的半径： 三角形最大面积： 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 第四单元 圆『举一反三知识讲练』（思维拓展版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+17个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练 共80题） 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展篇：优选重难点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5. 优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人教版六上新教材内容制作，与课本内容配套），学习效率更高哦！ 知识梳理 温故知新 3 知识点一 圆的认识 3 知识点二 圆的周长 4 知识点三 圆的面积 4 知识点四 扇形 5 考点讲练 真题汇总 5 高频考点一 圆的概念及特点 5 高频考点二 画圆 6 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 7 高频考点四 画扇形 7 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 7 高频考点六 圆的周长 8 高频考点七 半圆的周长 8 高频考点八 圆的周长的应用 9 高频考点九 含圆的组合图形的周长 9 高频考点十 圆的面积 10 高频考点十一 圆的面积的应用 10 高频考点十二 圆环的面积 11 高频考点十三 求最大面积 12 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 12 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 13 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 13 高频考点十七 扇形的周长和面积 14 难点突破 奥数拓展 15 奥数拓展一 圆和扇形的认识 15 奥数拓展二 圆的周长 15 奥数拓展三 半圆的周长 16 奥数拓展四 圆的周长的应用 16 奥数拓展五 含圆的组合图形的周长 17 奥数拓展六 圆的面积 17 奥数拓展七 圆的面积的应用 18 奥数拓展八 圆环的面积 18 奥数拓展九 求最大面积 19 奥数拓展十 含圆的组合图形的面积 19 奥数拓展十一 方中圆和圆中方的面积问题 20 奥数拓展十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 20 奥数拓展十三 扇形的周长和面积 21 优选真题 实战演练 22 【基础通关】 22 【能力提升】 25 知识点一 圆的认识 1． 圆的定义:一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2．圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母O表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3．半径:连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径:通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴:直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二 圆的周长 1．圆的周长:围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2．圆周率:圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，π一般取3.14，世界上第一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3．圆的周长公式。 或 圆周长=π×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三 圆的面积 1. 圆的面积:圆所占面积的大小叫圆的面积。 2．圆的面积公式:或者或者 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r，它的面积是 或。（其中R＝r＋环的宽度） 6．半圆周长＝圆的周长的一半＋半径×2 公式为： 半圆面积＝圆的面积÷2 公式为： 7．在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小以上倍数的平方倍。 8．当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9．当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四 扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆周长的几分之几。 高频考点一 圆的概念及特点 【典例精讲】（25-26六年级下·河北衡水·期末）按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长是1cm） （1）以点A为圆心画一个半径是3cm的圆。 （2）画一个三角形BCD，使三个顶点的位置分别为、、，由图可知，按角分，三角形BCD是（    ）三角形。 （3）画出三角形BCD绕点C逆时针旋转90°后的图形。 （4）画出三角形BCD按放大后的图形。 【变式训练】（24-25六年级下·广东广州·期末）按要求在方格纸上画图形。 (1)画三角形AOB向右平移13格后的图形。 (2)画三角形AOB绕点O按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画以点B为圆心，BO为半径的圆。 (4)画出三角形AOB按1∶2缩小后的图形。 高频考点二 画圆 【典例精讲】（24-25六年级下·安徽亳州·期末）下图中每个小正方形的边长都代表1cm，请根据要求画图。 ()以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 ()画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 ()画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 ()以点O为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 【变式训练】（24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，三个圆的半径都是2cm，三角形的顶点分别是三个圆的圆心，图中涂色部分的面积是( )cm2。 高频考点三 弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆 B．甲数比乙数少，甲数与乙数的比是5∶4 C．除以一个真分数，商一定比大 D．种了115棵爬墙玫瑰都成活了，成活率为115% 【变式训练】（25-26六年级下·广东东莞·期末）下面方格纸中每格都代表1平方厘米。 (1)以数对（5，3）所表示的点为圆心，画一个半径是的圆，并在圆中画一个圆心角是150°的扇形。 (2)画出下面三角形绕点B逆时针旋转90°的图形。 高频考点四 画扇形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖南永州·阶段检测）（1）将下面的圆按2∶1放大，再向右平移6格，画出平移后的圆。 （2）再放大的圆内画一个圆心角是90度的扇形。 【变式训练】（25-26六年级下·湖南怀化·期末）下列图形中，对称轴最多的是（    ）。 A． B． C． D． 高频考点五 与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北随州·期末）剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种剪纸图案中，对称轴数量最多的是（    ）。 A．等腰直角三角形 B．半圆 C．长方形 D．正六边形 【变式训练】（25-26六年级下·辽宁鞍山·期末）有大小不同的两个圆，它们的直径分别增加了2厘米，和原来相比，哪个圆的周长增加得多？（    ） A．大圆 B．小圆 C．一样多 D．无法比较 高频考点六 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北黄冈·期末）如下图，在将圆转化成面积相等的近似长方形的过程中，周长增加了10cm，那么原来圆的周长是( )cm，面积是( )。（π取3.14） 【变式训练】（25-26六年级下·甘肃平凉·期末）动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 高频考点七 半圆的周长 【典例精讲】（26-27六年级上·全国·课后作业）如图，这个半圆的周长是20.56分米，它的半径是多少分米？ 【变式训练】（25-26六年级下·浙江温州·期末）如图，AB＝BC＝CD＝8cm，∠B和∠C都是直角。一个半径为2cm的圆片从点A出发，沿A－B－C－D的路径平滑地滚动到点D，圆心走过的路径长度是（    ）cm。 A．24 B．24＋π C．20＋π D．18＋π 高频考点八 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·河南省直辖县级单位·期末）鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、扫地机器人、钻头等方面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么请你算一算这个鲁洛克斯三角形的周长。（π取3.14。） 【变式训练】（24-25五年级下·江苏宿迁·期末）求下面图形中涂色部分的周长。 高频考点九 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（24-25五年级下·江苏南京·期末）求阴影部分的周长和面积。 【变式训练】（25-26六年级下·湖北省直辖县级单位·期末）（1）求图①阴影部分面积（3分，取3.14） （2）图②中有两个等腰三角形，已知阴影部分的面积是，求环形的面积。（取3.14） 高频考点十 圆的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河南洛阳·期末）如下图，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是( )平方厘米。 【变式训练】（24-25六年级下·江苏徐州·期末）将绕点A逆时针旋转90°。 (1)画出旋转后的图形； (2)用圆规画出点C运动的路线； (3)线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为( )； (4)若点C的位置用数对表示，则它旋转后的位置用数对( )表示。 高频考点十一 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级下·湖北咸宁·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：cm） 【变式训练】（24-25六年级下·四川成都·期末）为响应环保，双流某小区用废旧轮胎做花坛（如右图），废旧轮胎内圈直径为1m，外圈直径为1.2m。废旧轮胎的占地面积是（    ）。 A．0.36π B．0.25π C．0.71π D．0.11π 高频考点十二 圆环的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·河北张家口·期末）看图按要求计算。求下面图形中涂色部分的面积。 【变式训练】（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） （1）在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3∶2的长方形。 （2）在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 高频考点十三 求最大面积 【典例精讲】（24-25六年级上·河南郑州·期末）李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【变式训练】（24-25六年级下·河南漯河·期末）求阴影部分的面积。 高频考点十四 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级下·贵州毕节·期末）计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（24-25六年级下·河南洛阳·期末）“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图（1）中外面正方形的面积是36dm2，则内圆的面积是__________dm2，如果图（2）中外圆的面积是25.12dm2，则圆内大正方形的面积是_______dm2。 高频考点十五 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·四川成都·期末）用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比（    ）。 A．甲剩的多 B．乙剩的多 C．丙剩的多 D．剩的一样多 【变式训练】（25-26六年级下·山西晋城·期末）求阴影部分的面积。 高频考点十六 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（25-26六年级下·福建厦门·期中）如图用了转化思想的有（    ）。 A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【变式训练】（25-26六年级下·陕西宝鸡·期末）计算下面阴影部分的面积（单位：cm）。 高频考点十七 扇形的周长和面积 【典例精讲】（24-25六年级下·湖北十堰·期末）如图，请求出图中阴影部分的面积。（π取3.14，单位：cm） 【变式训练】（25-26六年级下·江苏无锡·期末）北京大学计划建造一台名为“成长型通用光学望远镜”的设备，简称EAST。该望远镜采用了镜面拼接技术，其主镜由一些大小相同的正六边形子镜拼接构成。第一期主镜直径为6米，由18块子镜组成；第二期主镜增加了18块子镜，直径扩展至8米。如果EAST的直径从8米扩展到10米，还要增加( )块子镜；如果直径最终扩展至12米，其主镜将由( )块子镜构成。 奥数拓展一 圆和扇形的认识 【典例精讲】（25-26六年级上·湖北武汉·期末）下面的方格纸中每个□的面积代表1平方厘米。 (1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。 (2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。 【变式训练】（25-26六年级下·山东济南·期末）求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 奥数拓展二 圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）杭州奥体中心体育场——“大莲花”的内部配有标准的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差（    ）米。 A．4.88π B．2.44π C．1.22π D．3.66π 【变式训练】（25-26六年级上·山东临沂·期末）用一根长10.28米的绳子围成一个封闭的半圆，这个半圆的半径是( )米。 奥数拓展三 半圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末）在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 【变式训练】（2026·四川成都·小升初真题）如图，AB＝BC＝8厘米，∠ABC＝∠BCD＝90°，一枚直径为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程中圆心走过的路径长______厘米。 奥数拓展四 圆的周长的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江金华·期末）如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留） 【变式训练】（2025六年级上·全国·专题练习）求图中阴影部分的周长。（单位：厘米）    奥数拓展五 含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测）2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图），两端是半圆形，中间是长方形。 （1）笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ （2）现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【变式训练】（24-25六年级下·福建厦门·期末）如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )。 奥数拓展六 圆的面积 【典例精讲】（24-25六年级下·广西梧州·期中）在一个面积是113.04cm2的圆内画一个最大的正方形，继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是（    ）cm2。 A．56.52 B．36 C．28.26 D．14.13 【变式训练】（25-26六年级上·福建泉州·期末）如图，正方形ABCD的面积是10cm2，那么小圆的面积是( )cm2，大圆的面积和小圆的面积比是( )。 奥数拓展七 圆的面积的应用 【典例精讲】（25-26六年级上·浙江杭州·期末）一块涂着黑白两色的长方形木板（如图）挂在墙上，小明向这块木板掷一支飞镖，飞镖落在阴影部分的可能性是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练】（25-26六年级上·天津南开·期末）下图中阴影部分的面积是，圆环的面积是( )。 奥数拓展八 圆环的面积 【典例精讲】（24-25六年级上·重庆·期末）如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm，面积是( )。 【变式训练】（24-25六年级上·全国·单元测试）如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m，墙外是一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m，请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 奥数拓展九 求最大面积 【典例精讲】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 【变式训练】（25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 奥数拓展十 含圆的组合图形的面积 【典例精讲】（25-26六年级上·河北邢台·期末）求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 【变式训练】（25-26六年级上·四川达州·期末）为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4dm、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个圆形铁皮的面积是( )，剩余铁皮的面积是( )。 奥数拓展十一 方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】（25-26六年级上·山东青岛·期末）按要求完成下列各题。 （图中1小格的边长代表1厘米） (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5∶4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出（3）中所画正方形的面积。 【变式训练】（25-26六年级上·福建厦门·期末）如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。已知大正方形的周长是12cm，那么小正方形的面积是（    ）cm2。 A．4.5 B．6 C．7.5 D．9 奥数拓展十二 用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】（24-25六年级上·广东湛江·期中）如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB＝10厘米，阴影部分的面积是( )。 【变式训练】（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 奥数拓展十三 扇形的周长和面积 【典例精讲】（25-26六年级上·天津河西·期末）把一个圆剪拼成一个近似梯形（如图）。如果这个近似梯形的周长是，下面哪种说法是错误的？（    ） A．梯形的高是 B．圆的半径是 C．梯形的上底与下底的和为 D．圆的面积为 【变式训练】（24-25六年级上·天津河西·期末）如图，正方形的边长是6厘米，以点为圆心，6厘米为半径画四分之一圆，再以点为圆心，4厘米为半径画四分之一圆。则甲阴影部分与乙阴影部分面积的差是( )平方厘米。 【基础通关】 1．（24-25六年级下·江苏盐城·期末）同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程进行整理（如图），①②所对应的图形分别是（    ）。 A．平行四边形、长方形 B．三角形、平行四边形 C．平行四边形、三角形 D．三角形、长方形 2．（24-25六年级下·四川德阳·期末）如图，直角三角形的面积是12，则空白部分的面积是（    ）。 A．75.36 B．63.36 C．37.68 D．25.68 3．（24-25六年级下·河南郑州·期末）王珂要想计算右图阴影部分图形的面积，你认为至少他要测量（    ）条线段的长度。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26六年级下·山西晋中·期末）小明家装修客厅，需要沙子6吨。工程队卸了一堆沙子，近似为圆锥形，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这堆沙子有( )立方米；已知每立方米沙子约重1.4吨。这堆沙子够不够小明家使用？( ) 5．（25-26六年级下·湖北咸宁·期末）如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方形的长为10cm，半圆的周长是( )cm。 6．（24-25六年级下·浙江宁波·期末）如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是27厘米。( )（判断对错） 7．（24-25六年级下·江西吉安·期末）求下面图形中阴影部分的面积。 8．（25-26六年级下·湖北黄冈·期末）水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒1米的速度向四周扩散，它从第3秒到第4秒扩散的面积是多少平方米？（π取3.14） 9．（25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题）卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都会产生视觉盲区，存在安全隐患，为此在某些路段设置标线标示了“右转危险区”（如图中阴影部分）。四边形MBAE是正方形，图中CD是以F为圆心所画四分之一圆的圆弧，BE是以A为圆心所画四分之一圆的圆弧。请解答下面问题。（π值取3） (1)正方形MBAE中，左上角空白区（如图，用①表示）的面积是多少？ (2)请计算“右转危险区”（阴影部分）的面积。 10．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）“运河文化路线”是拱墅区骑行的精华路线，全长约5千米。周六，乐乐与聪聪不约而同地去这条路线骑行，骑行的时间与路程如下图。 (1)乐乐一直匀速前进。从图中的信息可知，他的骑行速度是( )米/分。 (2)聪聪用下图的自行车骑行，车轮直径约70厘米。他一分钟可以蹬60圈，他的骑行速度是多少？（π取3） (3)聪聪从京杭大运河博物馆出发后，速度不变，大约在几时几分追上乐乐？ 【能力提升】 1．（25-26六年级下·陕西西安·期末）从一张长是10cm，宽是8cm的长方形纸上裁下一个最大的圆。剩下部分的面积是（    ）。 A．50.24 B．1.5 C．17.2 D．29.76 2．（24-25六年级下·福建厦门·期中）如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的，相当于乙圆面积的，那么甲乙两个圆的周长比是（    ）。 A． B． C． D． 3．（24-25六年级下·辽宁沈阳·期末）从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周长是( )分米，面积是( )平方分米。 4．（25-26六年级下·广东佛山·期末）江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14） 5．（24-25六年级下·山东济宁·期末）求阴影部分的面积。 6．（24-25六年级下·山东临沂·期末）如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？（π取3.14） 7．（25-26六年级上·浙江金华·期末）公园里有两个圆形大花坛，共占地163.28平方米，已知两个花坛的直径之比是3∶2，那么绕着较大花坛的边缘走一周，至少要走几米？ 8．（25-26六年级下·浙江杭州·期末）小丽按照下面的步骤绘制平行四边形ABCD。 步骤 第①步 第②步 第③步 画法 先画长度为5厘米的底边BC 以B为顶点作出大小为65°的角，画出长度为3厘米的相邻的边AB 用圆规确定顶点D的位置。以A为圆心，5厘米为半径画出圆弧。 示例 (1)第④步：以C为圆心，( )厘米为半径画出圆弧。圆弧和圆弧的交点就是顶点D，连接AD和DC得到平行四边形ABCD。 (2)请根据上述步骤画出平行四边形ABCD。（保留作图的痕迹） 9．（24-25六年级上·浙江杭州·期末）如图小方格的边长表示100米，请根据描述完成作图和计算。 城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右（如图）。具体设施包括大型商超、医院、学校、公园和地铁站等。 （1）某新区规划把学校和社区医院设计在10分钟圈上，请画出这个以社区A为中心的“圈”，标注10min。 （2）求出10－15分钟环间的面积是多少平方米？ （3）在大商场露天平台看社区A在西偏北40°800米处，请画出大商场位置用点C表示。（请标注相关数据） 10．（2026·辽宁沈阳·小升初真题）一个圆的直径是6cm，以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在圆周上运动，这个三角形的面积最大是（    ）cm2。 A．3 B．6 C．9 D．12 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 第四单元圆『举一反三知识讲练』 (思维拓展版) 【原卷版】 (思维导图+知识梳理+17个考点讲练+13个奥数拓展+真题难度分层演练共80题) 讲义简介内容梳理 同学你好，该份讲义用于人教版新教材六年级上册内容单元复习举一反三知识讲练使用，全套 内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1.导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2.知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3.优选题考点讲练：优选高频期中期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压 轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4.奥数拓展篇：优选重难，点考点，能力提升训练，题目难度偏大，初等奥数题型。适合成绩 中上的学生，冲刺满分必备习题！ 5.优选期中期末真题集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，强化学 生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 友情提醒：本套讲义单元复习内容建议结合思维导图和知识卡片内容学习（导图和卡片结合人 教版六上新教材内容制作，与课本内容配套)，学习效率更高哦！ 目录指引内容知晓 知识梳理温故知新..·· 心 知识点一圆的认识.… .3 知识点二圆的周长..... ….4 知识点三圆的面积……… 知识点四扇形… …5 考点讲练真题汇总· 5 高频考点一圆的概念及特点……… 高频考点二画圆… 高频考点三孤、圆心角、扇形的认识..... .7 高频考点四画扇形7 第1页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点五与圆相关的轴对称图形. 高频考点六圆的周长. 高频考点七半圆的周长… 8 高频考点八圆的周长的应用.· ….9 高频考点九含圆的组合图形的周长..· 9 高频考点十圆的面积.…… 10 高频考点十一圆的面积的应用. 10 高频考点十二圆环的面积，...， 11 高频考点十三求最大面积… 12 高频考点十四含圆的组合图形的面积.· 12 高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题 13 高频考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积..13 高频考点十七扇形的周长和面积.… 14 难点突破奥数拓展.…...... 15 奥数拓展一圆和扇形的认识.... 15 奥数拓展二圆的周长。 15 奥数拓展三半圆的周长. 16 奥数拓展四圆的周长的应用. 16 奥数拓展五含圆的组合图形的周长·。 17 奥数拓展六圆的面积...，. 17 奥数拓展七圆的面积的应用...·.. 18 奥数拓展八圆环的面积 18 奥数拓展九求最大面积.... 19 奥数拓展十含圆的组合图形的面积...· 19 奥数拓展十一方中圆和圆中方的面积问题… 20 奥数拓展十二用转化法求圆的组合图形的周长与面积..· 20 奥数拓展十三扇形的周长和面积.. 21 优选真题实战演练.…… 22 【基础通关】 22 【能力提升】.25 第2页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 导图指引梳理脉络 人教版六年级数学上册第四单元《圆》知识点思维导图 1.圆的认识 5,圆的绘图与设计 圆的要点 ·国心定位置，半径定大小 画图 用阅规面出指定半径的 圆的认识 要素 ·直径是半径的2值： 关系：d=2rr-号 ·周长与直径成比例： ,面积与半径平方成正比 设计图案 利用脚的对称性。半径和直径的关系。 设计精美的图案。 特征图是轴对称图形。有无数条对称轴。 $覆③ 画图用盟规画圆：确定圆心一确定半径一棱转一周。 绘图 针尖因定在圆心，铅笔芯旋转一属所画出的图形就是圆。 与应用 实践应用 井盖、车轮、摩天轮、建筑装饰等朝与圆有关。 2图的周长 意义围成圈的曲线的长。 圆的周长 公式C=d或C=2r 探索在同一个图里，周长除以直径的商是一个固定的数， 我们把它叫件圆周率，用字母x表示， 圆 6.解决问题 元年3.1415926+ 解决问题 类型 应用 车轮行驶距离、钟表指针转动、滚动问题等。 解愿思路 理解意一找到已知条件和所求问题→ 选择公式或方法一列式计算→检验答数 钟表所什 3.圆的面积 常用公式 C=d=2rd=gr=号 公式 4.圆与组合图形 5-nSg=(R2-P）Sm=r2×360 推导思路 想圆平坞分成若干份，典成近组长方志 ·组合图形的面积=大图形面积一小图形面彩 ·分制。拼合、平移，旋转等方法帮助分析。 单位换算1m■100cm 1km=1000m 应用 求涂色部分面积，圆环面积，扇形面豚等。 圈环积：S(R2-) 图少 典型例题（附答案） 一辆汽车的轮子直径是75cm, ⑤求图中涂色部分的面积。（单位：cm) 车轮转1圆。汽车前进多少米7 星多少 解：大半面积一小半面到 制1C=2r=2×314×5 解：r=号=g=4(cm) 解：C■d■3.14x75 解：S=R(R-)） ”开×102-2#×5日 m314(cm) 5=2=3.14×4 =235.5(cm)=2.355(m =3.14×(5-3 =50m-12,5m=37.5 =314×(25-g3 =3.14×16=50.24(cm2】 m117.75(cm2) 答它的周长是31.4cm 答：它的面积是50.24cm2 答：汽车前进2.355m =3.14×16=50.24(cm2) 答：图环的面积是50,24cm 答：涂色部分的面积是117.75cm 知识梳理温故知新 知识点一圆的认识 1.圆的定义：一条线段绕一个端点旋转360度，另一个端点形成的图形叫圆。 2.圆心 将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。 圆心一般用字母0表示。它到圆上任意一点的距离都相等。 3.半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。 第3页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 半径一般用字母r表示，如图中的线段OA。 把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。 4.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。 5.直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。直径一般用字母d表示。如图中的线段BC。 6.轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形。折痕所在的 这条直线叫做对称轴。 7.圆的对称轴：直径所在的直线是圆的对称轴。圆有无数条对称轴。 知识点二圆的周长 1.圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率：圆的周长总是直径的3倍多一些，这个比值是一个固定的数，我们把圆的周长和直径的比 值叫做圆周率，用字母π表示，圆周率是一个无限不循环小数。在计算时，几一般取3.14，世界上第 一个把圆周率算到小数点后第七位的人是我国的数学家祖冲之。 3.圆的周长公式 C=πd或C=2r 圆周长=n×直径，圆周长=π×半径×2 知识点三圆的面积 1.圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。 2.圆的面积公式：S=πr2或者S=π(d÷2)2或者S=π(C÷π÷2)2 3.在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。 4.在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。 5.一个环形，外圆的半径是R,内圆的半径是r,它的面积是S=πR-r2 或S=π(R-r)。(其中R=r十环的宽度) 6.半圆周长=圆的周长的一半+半径×2 公式为：C=r+2r 半圆面积=圆的面积÷2 公式为：S=r2÷2 7.在同一个圆里，半径扩大或缩小多少倍，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小 第4页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 以上倍数的平方倍。 8.当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆的面积最大，长方形的面积最小。 9.当一个圆的半径增加a厘米时，它的周长就增加2πa厘米； 当一个圆的直径增加a厘米时，它的周长就增加πa厘米。 知识点四扇形 在同一圆中，圆心角占圆周角的几分之几，它所在扇形面积就占圆面积的几分之几；所对的弧就占圆 周长的几分之几。 自考点讲练真题汇总 高频考点一圆的概念及特点 【典例精讲】(25-26六年级下·河北衡水·期末)按要求画一画，填一填。（每个小方格的边长是1cm) 0 8 7 6 A 2 0 12345678910111213141516171819 (1)以点A为圆心画一个半径是3cm的圆。 (2)画一个三角形BCD,使三个顶点的位置分别为B(10,7)、C(12,9)、D(8,9),由图可知，按角分，三角形 BCD是( )三角形。 (3)画出三角形BCD绕点C逆时针旋转90°后的图形。 (4)画出三角形BCD按2：1放大后的图形。 【变式训练】(24-25六年级下·广东广州·期末)按要求在方格纸上画图形。 第5页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 (1)画三角形A0B向右平移13格后的图形。 (2)画三角形A0B绕点0按顺时针方向旋转90°后的图形。 (3)画以点B为圆心，B0为半径的圆。 (4)画出三角形A0B按1：2缩小后的图形。 高频考点二画圆 【典例精讲】(24-25六年级下·安徽毫州·期末)下图中每个小正方形的边长都代表1cm,请根据要求画 图。 B (1)以直线a为对称轴，画出图①的轴对称图形，标上“②”。 (2)画出图形①绕点A逆时针旋转90°后的图形，标上“③”。 (3)画出图形①先向右平移6格，再向上平移5格后的图形，并标上“④”。 (4④以点0为圆心，画半径为3cm的圆，并标上“⑤”。 【变式训练】(24-25六年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)如图，三个圆的半径都是2cm,三角形的顶点分 别是三个圆的圆心，图中涂色部分的面积是( ）cm。 第6页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点三弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】(25-26六年级上·河北邢台·期末)下列说法正确的是( A.用4个圆心角都是90°的扇形，一定可以拼成一个圆 B.甲数比乙数少子甲数与乙数的比是5：4 C.除以一个真分数，商一定比大 D.种了115棵爬墙玫瑰都成活了，成活率为115% 【变式训练】(25-26六年级下·广东东莞·期末)下面方格纸中每格都代表1平方厘米。 01234567891011121314151617181920 (1)以数对(5,3)所表示的点为圆心，画一个半径是2cm的圆，并在圆中画一个圆心角是150°的扇形。 (2)画出下面三角形绕点B逆时针旋转90°的图形。 高频考点四画扇形 【典例精讲】(25-26六年级下·湖南永州·阶段检测)(1)将下面的圆按2：1放大，再向右平移6格， 画出平移后的圆。 (2)再放大的圆内画一个圆心角是90度的扇形。 【变式训练】(25-26六年级下·湖南怀化·期末)下列图形中，对称轴最多的是()。 高频考点五与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】(25-26六年级下·湖北随州·期末)剪纸是我国国家级非物质文化遗产，民间艺人分别剪 第7页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 出四种基础纹样：①等腰直角三角形窗花、②半圆花边纹样、③长方形边框、④正六边形团花。下面四种 剪纸图案中，对称轴数量最多的是( )。 A.等腰直角三角形 B.半圆 C.长方形D.正六边形 【变式训练】(25-26六年级下·辽宁鞍山·期末)有大小不同的两个圆，它们的直径分别增加了2厘米， 和原来相比，哪个圆的周长增加得多？( A.大圆 B.小圆 C.一样多 D.无法比较 高频考点六圆的周长 【典例精讲】(25-26六年级下·湖北黄冈·期末)如下图，在将圆转化成面积相等的近似长方形的过程 中，周长增加了10cm,那么原来圆的周长是( )cm,面积是( )cm2。(π取3.14) 【变式训练】(25-26六年级下·甘肃平凉·期末)动物园要修一个半圆形的孔雀活动区（不靠墙），活 动区半径为8米，在活动区外侧安装一圈防护栏。防护栏的长度是多少米？ 高频考点七半圆的周长 【典例精讲】(26-27六年级上·全国·课后作业)如图，这个半圆的周长是20.56分米，它的半径是多 少分米？ 【变式训练】(25-26六年级下·浙江温州·期末)如图，AB=BC=CD=8Cm,∠B和∠C都是直角。一个 半径为2Cm的圆片从点A出发，沿A一B一C一D的路径平滑地滚动到点D,圆心走过的路径长度是( cmo A.24 B.24+T C.20+π D.18+π 第8页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点八圆的周长的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·河南省直辖县级单位·期末)鲁洛克斯三角形是一种特殊三角形，它是 分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为鲁洛 克斯三角形。它的特点是在任何方向上都有相同的宽度，在自行车的车轮、井盖、扫地机器人、钻头等方 面有应用。如果一个等边三角形的边长是5分米，那么请你算一算这个鲁洛克斯三角形的周长。（π取3.14。） 【变式训练】(24-25五年级下·江苏宿迁·期末)求下面图形中涂色部分的周长。 6分米 6分米 高频考点九含圆的组合图形的周长 【典例精讲】(24-25五年级下·江苏南京·期末)求阴影部分的周长和面积。 4cm 第9页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·湖北省直辖县级单位·期末)(1)求图①阴影部分面积(3分，π取3.14) 4cm 6cm 7cm 图① 图② (2)图②中有两个等腰三角形，已知阴影部分的面积是50cm2,求环形的面积。（π取3.14） 高频考点十圆的面积 【典例精讲】(25-26六年级下河南洛阳·期末)如下图，正方形的面积是6平方厘米，圆的面积是( 平方厘米。 【变式训练】(24-25六年级下·江苏徐州·期末)将△ABC绕点A逆时针旋转90°。 1cm 1cm (1)画出△ABC旋转后的图形： (2)用圆规画出点C运动的路线： (3)线段AC在旋转过程中扫过的图形面积为( ）cm2; (4)若点C的位置用数对(a,b)表示，则它旋转后的位置用数对( )表示。 高频考点十一圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级下·湖北咸宁·期末)求下图阴影部分的面积。（单位：cm) 第10页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 8 【变式训练】(24-25六年级下·四川成都·期末)为响应环保，双流某小区用废旧轮胎做花坛（如右图）， 废旧轮胎内圈直径为1m,外圈直径为1.2m。废旧轮胎的占地面积是( )m2。 1.2m 1m 实物图 示意图 A.0.36T B.0.25T C.0.71 D.0.11 高频考点十二圆环的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·河北张家口·期末)看图按要求计算。求下面图形中涂色部分的面积。 【变式训练】(25-26六年级上·湖北黄冈·期末)按要求作答。（方格图中小方格边长为1厘米） (1)在方格图中画一个周长是20厘米，长和宽的比是3：2的长方形。 (2)在所画的长方形内再画一个最大的圆，并求出这个圆的面积。 第11页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 高频考点十三求最大面积 【典例精讲】(24-25六年级上·河南郑州·期末)李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆 形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择 哪个方案，为什么？ 方案一：圆形鱼池 方案二：半圆形鱼池 8米 8米 6米 6米 【变式训练】(24-25六年级下·河南漯河·期末)求阴影部分的面积。 12cm 高频考点十四含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26六年级下·贵州毕节·期末)计算图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 10 10 第12页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级下·河南洛阳·期末)“外方内圆”与“外圆内方”是我国古代建筑中常见 的设计，也蕴含了为人处世的朴素道理。如果图(1)中外面正方形的面积是36m',则内圆的面积是 dn,如果图(2)中外圆的面积是25.12dn,则圆内大正方形的面积是dm。 (1) (2) 高频考点十五方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(25-26六年级上·四川成都·期末)用三张同样大小的正方形白铁皮，分别按如图三种方 式剪出不同规格的圆片，白铁皮剩下的废料相比( )。 甲 丙 A.甲剩的多 B.乙剩的多 C.丙剩的多 D.剩的一样多 【变式训练】(25-26六年级下·山西晋城·期末)求阴影部分的面积。 2 cm 高频考点十六用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(25-26六年级下·福建厦门·期中)如图用了转化思想的有( )。 ×() ① ②()1000 求内角和 小数乘法 高 ③h 求面积 求体积 A.①② B.①②③ C.②③④ D.①②③④ 第13页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级下·陕西宝鸡·期末)计算下面阴影部分的面积（单位：cm)。 6cm 高频考点十七扇形的周长和面积 【典例精讲】(24-25六年级下·湖北十堰·期末)如图，请求出图中阴影部分的面积。（π取3.14，单 位：cm) 0 【变式训练】(25-26六年级下·江苏无锡·期末)北京大学计划建造一台名为“成长型通用光学望远镜” 的设备，简称EAST。该望远镜采用了镜面拼接技术，其主镜由一些大小相同的正六边形子镜拼接构成。第 期主镜直径为6米，由18块子镜组成；第二期主镜增加了18块子镜，直径扩展至8米。如果EAST的直 径从8米扩展到10米，还要增加( )块子镜：如果直径最终扩展至12米，其主镜将由( 块子镜构成。 8米 第一期 第二期 第14页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 难点突破奥数拓展 奥数拓展一圆和扇形的认识 【典例精讲】(25-26六年级上·湖北武汉·期末)下面的方格纸中每个口的面积代表1平方厘米。 (1)用圆规在方格纸上画一个面积为16π平方厘米的圆。 (2)算一算这个圆比它所能覆盖的最大正方形多出来部分的面积是多少。 【变式训练】(25-26六年级下·山东济南·期末)求下图涂色部分的周长和面积。（单位：厘米） 奥数拓展二圆的周长 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)杭州奥体中心体育场一一“大莲花”的内部配有标准 的400米田径场，两端是半圆形，半径为36.5米，中间是长方形，直道长85.39米，道宽1.22米。如果 在这个田径场组织200米田径比赛，第一和第二道起跑线相差( ）米。 A.4.88π B.2.44π C.1.22π D.3.66π 第15页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级上·山东临沂·期末)用一根长10.28米的绳子围成一个封闭的半圆，这个 半圆的半径是( )米。 奥数拓展三半圆的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·安徽阜阳·期末)在校园环境优化讨论环节，同学们对一块长20米、宽 15米的长方形空地进行了景观设计。计划在空地内画一个最大的半圆，在半圆内种月季，其余空地种牡丹。 如果后期用篱笆把种月季的区域围起来，需要用多少米的篱笆？ 15米 20米 【变式训练】(2026·四川成都·小升初真题)如图，AB=BC=8厘米，∠ABC=∠BCD=90°，一枚直径 为4厘米的游戏币从A点出发，沿A→B→C→D的路径无滑动地滚动。游戏币从A点滚动到现在位置的过程 中圆心走过的路径长 厘米。 B 现在位置 D 奥数拓展四圆的周长的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江金华·期末)如下图，有一种酒瓶的直径是5cm,大小相同的酒瓶捆 扎在一起（接头处不计），第n组至少需要( )cm长的绳子。（结果保留π） 第①组 第②组 第③组 【变式训练】(2025六年级上·全国·专题练习)求图中阴影部分的周长。（单位：厘米） 5 第16页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 奥数拓展五含圆的组合图形的周长 【典例精讲】（25-26六年级上·广东佛山·阶段检测)2025年初，国家卫生健康委员会发布了《2025年 全民健康体重管理行动计划》，明确提出将体重管理作为年度重点健康工作之一。有一个运动场（如图）， 两端是半圆形，中间是长方形。 100m 32m 终点线B (1)笑笑和淘气进行跑步比赛，他们分别从A、B两点出发，沿各自跑道的内边缘逆时针跑一圈，最后都 到达终点线。为了比赛公平，笑笑和淘气的起跑线应相差多少米？ (2)现给这个运动场跑道内（空白部分）铺上草皮，如每平方米造价6元，一共需要多少元？ 【变式训练】(24-25六年级下·福建厦门·期末)如图，这是一个正方形和一个半圆所组成的图形，其 中P为半圆周的中点，Q为正方形一边上的中点，那么涂色部分的面积为( )cm2。 8cm D B 奥数拓展六圆的面积 【典例精讲】(24-25六年级下·广西梧州·期中)在一个面积是113.04cm的圆内画一个最大的正方形， 继续在这个正方形内画一个最大的圆，正方形内的圆的面积是( )cm。 A.56.52 B.36 C.28.26 D.14.13 【变式训练】(25-26六年级上·福建泉州·期末)如图，正方形ABcD的面积是10cm,那么小圆的面积 是( )cm',大圆的面积和小圆的面积比是( ）。 第17页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 B 奥数拓展七圆的面积的应用 【典例精讲】(25-26六年级上·浙江杭州·期末)一块涂着黑白两色的长方形木板（如图）挂在墙上， 小明向这块木板掷一支飞镖，飞镖落在阴影部分的可能性是( ）。 A子 B.是 c. D. 【变式训练】(25-26六年级上·天津南开·期末)下图中阴影部分的面积是5cm2,圆环的面积是 ( ）cm2。 奥数拓展八圆环的面积 【典例精讲】(24-25六年级上·重庆·期末)如图，把一个圆剪拼成一个近似的梯形，这个梯形的周长 大约是42.84cm。则圆的周长是( )cm,面积是( )cm2。 第18页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(24-25六年级上·全国·单元测试)如图所示，院子两堵墙的长度分别为5m和8m,墙外是 一片草地。如果将小羊拴在围墙边上的点A处，绳长4m,请画出这只小羊吃草的范围，标出相关数据。 5m 院子 8m A 2m 奥数拓展九求最大面积 【典例精讲】如图，院子的两堵墙分别为5米和8米，墙外是一片草地，墙上拴着一只小羊，绳长4米如 果将小羊A和小羊B分别拴在图1，图2中的位置，哪只小羊吃到草的面积更大一些？相差多少？请用算式 或其他方法说明。（结果可用含有π的式子表示） 5m 8m 8m 2m 小羊A 小羊B 图1 图2 【变式训练】(25-26六年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末)下图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影 部分的面积是( )cm。(π取3.14) 20cm 奥数拓展十含圆的组合图形的面积 【典例精讲】(25-26六年级上·河北邢台·期末)求图中阴影部分的面积。（单位：厘米） 第19页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 【变式训练】(25-26六年级上·四川达州·期末)为实现废旧物资的充分利用，王师傅需要从一个长方 体铁皮箱中得到一块最大的圆形铁皮。他将一个长4dm、宽4m、高20dm的长方体铁皮箱沿棱切开并展开 为一块平面铁皮（铁皮厚度及衔接处忽略不计），然后从中裁出一块最大的圆形铁皮。王师傅裁下的这个 圆形铁皮的面积是( )dm2,剩余铁皮的面积是( )dm2。 奥数拓展十一方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】(25-26六年级上·山东青岛·期末)按要求完成下列各题。 1cm (图中1小格的边长代表1厘米) (1)画一个周长是18厘米的长方形，长和宽的比是5：4。 (2)在长方形内画一个面积最大的圆。 (3)在圆内画两条互相垂直的直径，依次连接这两条直径的4个端点，画出一个正方形。 (4)求出(3)中所画正方形的面积。 【变式训练】(25-26六年级上·福建厦门·期末)如图是结合“外方内圆”和“外圆内方”的图形设计。 已知大正方形的周长是12Cm,那么小正方形的面积是( )cm。 A.45 B.6 C.7.5 D.9 奥数拓展十二用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】(24-25六年级上·广东湛江·期中)如图，实线部分的周长是38.84厘米，其中AB=10厘 米，阴影部分的面积是( )。 第20页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 A B D 【变式训练】(2024·江苏常州·小升初真题)长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2 厘米为半径画两段圆弧相交于点M,图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 D 2厘米 奥数拓展十三扇形的周长和面积 【典例精讲】(25-26六年级上·天津河西·期末)把一个圆剪拼成一个近似梯形（如图）。如果这个近 似梯形的周长是14.28cm,下面哪种说法是错误的？( A.梯形的高是4cm B.圆的半径是2cm C.梯形的上底与下底的和为12.56cm D.圆的面积为12.56cm2 【变式训川练】(24-25六年级上·天津河西·期末)如图，正方形ABCD的边长是6厘米，以点B为圆心， 6厘米为半径画四分之一圆，再以点C为圆心，4厘米为半径画四分之一圆。则甲阴影部分与乙阴影部分面 积的差是( )平方厘米。 D 第21页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 优选真题 实战演练 【基础通关】 1.(24-25六年级下·江苏盐城·期末)同学们已经学过平面图形的面积公式，根据这些公式的推导过程 进行整理（如图），①②所对应的图形分别是( )。 a 2 A.平行四边形、长方形 B.三角形、平行四边形 C,平行四边形、三角形 D.三角形、长方形 2.（24-25六年级下·四川德阳·期末)如图，直角三角形的面积是12cm2,则空白部分的面积是( cm2。 A.75.36 B.63.36 C.37.68 D.25.68 3.(24-25六年级下·河南郑州·期末)王珂要想计算右图阴影部分图形的面积，你认为至少他要测量 )条线段的长度。 B D145o A.1 B.2 C.3 D.4 4.(25-26六年级下·山西晋中·期末)小明家装修客厅，需要沙子6吨。工程队卸了一堆沙子，近似为 圆锥形，测得底面周长是12.56米，高1.5米。这堆沙子有( )立方米；己知每立方米沙子约重1.4 吨。这堆沙子够不够小明家使用？() 第22页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 5.(25-26六年级下·湖北咸宁·期末)如下图，在这个长方形中正好可以画一个最大的半圆，已知长方 形的长为10cm,半圆的周长是( ）cm。 6.(24-25六年级下·浙江宁波·期末)如图有3个相同的半圆，并已知一些线段的长度，半圆的直径是 27厘米。( )(判断对错) 9cm 12cm 24cm 7.(24-25六年级下·江西吉安·期末)求下面图形中阴影部分的面积。 6cm 6cm 8.(25-26六年级下·湖北黄冈·期末)水滴滴入水中，平静的水面会产生圆形的波纹。如果波纹以每秒 1米的速度向四周扩散，它从第3秒到第4秒扩散的面积是多少平方米？（π取3.14) 9.(25-26六年级下·湖北孝感·学业考试真题)卡车、货车等车身较长的大型车辆在转弯时，驾驶员都 会产生视觉盲区，存在安全隐患，为此在某些路段设置标线标示了“右转危险区”（如图中阴影部分）。 四边形MBAE是正方形，图中CD是以F为圆心所画四分之一圆的圆弧，BE是以A为圆心所画四分之一圆的 圆弧。请解答下面问题。（π值取3） 第23页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 (1)正方形MBAE中，左上角空白区（如图，用①表示）的面积是多少？ (2)请计算“右转危险区”（阴影部分）的面积。 右转G D 6米 E 危险区 米 F 4米 10米 ② 6米 B A 10米 设计图 10.(25-26六年级下·浙江杭州·期末)“运河文化路线”是拱墅区骑行的精华路线，全长约5千米。周 六，乐乐与聪聪不约而同地去这条路线骑行，骑行的时间与路程如下图。 路程 (m) 富义仓 遗址公园 5000 乐乐 4000 聪聪 3000 京杭大运2100 河博物馆2000 1000 运河音 0 乐公园9：309：409：5010：0010：1010：20 时间 (1)乐乐一直匀速前进。从图中的信息可知，他的骑行速度是( )米/分。 (2)聪聪用下图的自行车骑行，车轮直径约70厘米。他一分钟可以蹬60圈，他的骑行速度是多少？（π取 3) 脚踏板、 24个齿 爸48个齿 (3)聪聪从京杭大运河博物馆出发后，速度不变，大约在几时几分追上乐乐？ 第24页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三进义思维拓展 【能力提升】 1.(25-26六年级下·陕西西安·期末)从一张长是10cm,宽是8cm的长方形纸上裁下一个最大的圆。剩 下部分的面积是( )cm2. A.50.24 B.1.5 C.17.2 D.29.76 2.(2425六年级下·福建厦门·期中)如图，阴影部分的面积相当于甲圆面积的好相当于乙圆面积的号， 那么甲乙两个圆的周长比是( )。 甲 A.16:9 B.9:16 C.4:3 D.3:4 3.(24-25六年级下·辽宁沈阳·期末)从一个边长是12分米的正方形纸里剪一个最大的圆，这个圆的周 长是( )分米，面积是( )平方分米。 4.(25-26六年级下·广东佛山·期末)江海区郊外修建半径为125m圆形生态防护林带，圆形防护林带的 总长是( )米，沿边缘每隔5米栽一棵松树，一共能栽( )棵。（π取3.14) 5.(24-25六年级下·山东济宁·期末)求阴影部分的面积。 8cm (1) (2) 5cm 人 8dm→ 6.(24-25六年级下·山东临沂·期末)如图，长方形木片长12厘米、宽5厘米，长方形的对角线长13 厘米（即线段AC、线段BD都为13厘米），正方形木桩边长为17厘米。木片从图1的位置开始，沿木桩的 边缘滚动，滚动过程如图2、图3所示。木片滚动一周后回到原位置，那么点A经过的路径长多少厘米？( 取3.14) 12cm B D 13cm 5cm 17cm 17cm 图1 图2 图3 第25页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 7.(25-26六年级上·浙江金华·期末)公园里有两个圆形大花坛，共占地163.28平方米，已知两个花坛 的直径之比是3：2，那么绕着较大花坛的边缘走一周，至少要走几米？ 8.(25-26六年级下·浙江杭州·期末)小丽按照下面的步骤绘制平行四边形ABCD。 步骤 第①步 第②步 第③步 以B为顶点作出大小为65 用圆规确定顶点D的位置。 先画长度为5厘米 画法 的角，画出长度为3厘米的 以A为圆心，5厘米为半径 的底边BC 相邻的边AB 画出圆弧1 示例 3 cm 人65 B (1)第④步：以C为圆心，（ )厘米为半径画出圆弧2。圆弧1和圆弧2的交点就是顶点D,连接AD 和DC得到平行四边形ABCD。 (2)请根据上述步聚画出平行四边形ABCD。(保留作图的痕迹) 9.(24-25六年级上·浙江杭州·期末)如图小方格的边长表示100米，请根据描述完成作图和计算。 15min 社区A 第26页共27页 2026-2027学年人教版新教材数学六年级上册举一反三讲义思维拓展 城市“15分钟生活圈”的服务半径一般为750米左右（如图）。具体设施包括大型商超、医院、学校、公 园和地铁站等。 (1)某新区规划把学校和社区医院设计在10分钟圈上，请画出这个以社区A为中心的“圈”，标注10min。 (2)求出10一15分钟环间的面积是多少平方米？ (3)在大商场露天平台看社区A在西偏北40°800米处，请画出大商场位置用点C表示。（请标注相关数 据) 10.(2026·辽宁沈阳·小升初真题)一个圆的直径是6Cm,以该圆的直径为三角形的底，三角形的顶点在 圆周上运动，这个三角形的面积最大是()cm'。 A.3 B.6 C.9 D.12 第27页共27页null