精品解析：四川省德阳市什邡市北师大什邡附属外国语中学2021-2022学年八年级上学期 期中数学试题

2020级初二数学上期期中考试试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（ ） A. △ABF的面积大 B. 四边形CEFD的面积大 C. 面积一样大 D. 无法确定 3. 如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A. ∠B＝∠E B. AC＝DF C. ∠ACD＝∠BFE D. BC＝EF 4. 已知，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ ） A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3 5. 的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A. B. C. D. 6. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 三角形的三条中线都在三角形的内部 B. 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称 8. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 1或 10. 如图，中，，边上的中线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 12. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若点P(m-1，5)与点Q(3，2+n)关于y轴对称，则m+n的值是______． 14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CF是AB边上的高，AD、CF交于点E，若AB＝CE，CD＝5，BD＝2，则线段AE的长度为___． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为______． 16. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 18. 如图，CA1是等腰Rt△ABC斜边AB上的高，以CA1为直角边构造等腰Rt△CA1B1（点C，A1，B1按顺时针方向排列），∠A1CB1＝90°，称为第一次构造；CA2是Rt△CA1B1斜边上的高，再以CA2为直角边构造等腰Rt△CA2B2（点C，A2，B2按顺时针方向排列），∠A2CB2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，构造停止，若S△ABC＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为_____． 三、解答题（本题共7个小题，共78分） 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）计算△ABC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 20. 如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝ FC ，求证：∠D＝∠B 21. 如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF． （1）请说明CD＝BD； （2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积． 22. 如图，是等边三角形，D、E分别是、边上的点，且、相交于点P，． （1）求的度数． （2）过点B作于Q，若，，求的长． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 24. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD． (1)求证AB+CF=BF； (2)若∠ABC=70°，求∠DAE的度数． 25. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． （1）如图1，若，则点C的坐标为_______； （2）如图2，若，点D为延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，求证：； （3）如图3，以B为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰，连接，交y轴于点P，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2020级初二数学上期期中考试试题 一、单选题（每题4分，共48分） 1. 下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A项，不是轴对称图形，故本选项错误； B项，不是轴对称图形，故本选项错误； C项，是轴对称图形，故本选项正确； D项，不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形． 2. 如图，△ABC的中线AD、BE相交于点F，△ABF与四边形CEFD的面积的大小关系为（ ） A. △ABF的面积大 B. 四边形CEFD的面积大 C. 面积一样大 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等可知三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，然后表示出S△ABE=S△ACD=S△ABC，再表示出S△ABF与S四边形CEFD，即可得解． 【详解】∵AD、BE是△ABC的中线， ∴S△ABE=S△ACD=S△ABC， ∵S△ABF=S△ABE-S△AEF，S四边形CEFD=S△ACD-S△AEF， ∴S△ABF=S四边形CEFD， 即，△ABF与四边形CEFD的面积相等． 故选C. 【点睛】本题考查了三角形的面积，熟记三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形是解题的关键． 3. 如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（　　） A. ∠B＝∠E B. AC＝DF C. ∠ACD＝∠BFE D. BC＝EF 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断． 【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE， ∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF； 当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF； 当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等． 4. 已知，△ABC的三边AB，BC，AC的长分别是40，50，60，△ABC三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=（ ） A. 2：3：4 B. 4：5：6 C. 3：4：5 D. 1：2：3 【答案】B 【解析】 【分析】如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， 根据角平分线的性质定理可得OD=OE=OF，即可得S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC，由此即可求解. 【详解】如图，过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F， ∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线， ∴OD=OE=OF， ∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60， ∴S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6． 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，根据三角形的面积公式及角平分线的性质定理得到S△ABO：S△BCO：S△CAO =（ AB•OD）：（ BC•OF）：（AC•OE）=AB：BC：AC是解决问题的关键. 5. 的平分线上一点P到的距离为5，Q是射线上任一点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点P作于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：如图，过点P作于E， ∵是的平分线， ∴， ∵Q是上任一点， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键，作出辅助线更形象直观． 6. 如图所示的是一块三角形草坪 ，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条角平分线的交点处 C. 三条高所在直线的交点处 D. 三边的垂直平分线的交点处 【答案】B 【解析】 【详解】解：由角平分线上的点到角两边距离相等，可知凉亭应该在三角形三个内角的角平分线上，因为三角形三条角平分线交于一点，故此点即为凉亭的位置． 7. 下列命题是假命题的是（　　） A. 三角形的三条中线都在三角形的内部 B. 等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等 C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 D. 全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的中线的概念、等腰三角形的性质、等边三角形的判定定理、轴对称的概念判断． 【详解】解：A、三角形的三条中线都在三角形的内部，本选项说法是真命题； B、等腰三角形底边的中点也在顶角的角平分线上,故到两腰的距离相等，本选项说法是真命题； C、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，本选项说法是真命题； D、全等的两个三角形不一定关于某直线成轴对称，本选项说法是假命题； 故选：D． 【点睛】此题考查的是三角形的中线的特征、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和轴对称的识别，掌握三角形的中线的概念、三线合一、等边三角形的判定定理和轴对称的概念是解决此题的关键. 8. 如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若∠BAC＝100°，则∠EAG的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求出∠C＋∠B，根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B，同理，∠GAC＝∠C，计算即可． 【详解】解：∵∠BAC＝100°， ∴∠C＋∠B＝180°−100°＝80°， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∴∠EAB＝∠B， 同理∠GAC＝∠C， ∴∠EAB＋∠GAC＝∠C＋∠B＝80°， ∴∠EAG＝100°−80°＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 9. 如图，，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，设运动时间为，当与全等时，则点Q的运动速度为（ ）． A. B. 1 C. 或 D. 1或 【答案】D 【解析】 【分析】首先得到点P到达点B的时间为，，然后分两种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：根据题意得，点P到达点B的时间为，， 当时，，， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 当时，，， ∵， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度为； 综上所述，点Q的运动速度为1或． 10. 如图，中，，边上的中线，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长AD至点E，使AD=DE，利用中线的性质得到，继而证明，由全等三角形对应边相等解得，最后利用三角形三边关系解题即可． 【详解】解：如图，延长AD至点E，使AD=DE 是的中线， 中， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中线的性质等知识，是重要考点，准确作出辅助线是解题关键． 11. 如图，直角坐标系中，点、，点P在x轴上，且为等腰三角形，则满足条件的点P共有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义分三种情况求解判断即可． 【详解】解：∵为等腰三角形， ∴当时，此时点P为的垂直平分线和x轴的交点，有1个； 当时，以点A为圆心，为半径画弧，与x轴有两个交点，故此时点P有2个； 当时，以点B为圆心，为半径画弧，与x轴有两个交点，其中一个交点与A，B共线，围不成三角形，应舍去，故此时点P有1个； 综上所述，满足条件的点P共有4个． 12. 如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连结．以下六个结论：①；②；③；④；⑤是等边三角形；⑥平分．其中正确的结论有（ ） A. ①②④⑤ B. ①②⑤⑥ C. ③④⑤⑥ D. ①②④⑥ 【答案】A 【解析】 【分析】对于①，证明即可判断； 对于②，由，得到，进一步得出，即可得到结论； 对于③，先证明，得到，再证明，即得结论； 对于④，连接，在上取点M，使得，连接，先证明是等边三角形，再证明，可得，即得结论； 对于⑤，由③知，可得，即可得到结论； 对于⑥，先证明，，再根据题中没有给出这一条件，所以不能成立，所以也不能成立，即可判断结论． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， ， 故①正确； 由①知，， ， ， ， ， 故②正确； ， ， ， ， ， ， ， ， 点Q在上，是等边三角形， ， ， 故③错误； 连接，在上取点M，使得，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 由③知，， ， ， 是等边三角形， 故⑤正确； ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 由于题中没有给出这一条件， 所以不能成立， 所以也不能成立， 故⑥错误； 所以正确的结论有①②④⑤． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 若点P(m-1，5)与点Q(3，2+n)关于y轴对称，则m+n的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．据此可得m，n的值． 【详解】解：∵点P(m-1，5)与点Q(3，2+n)关于y轴对称， ∴，解得：， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了关于y轴的对称点的坐标特点，即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（-x，y）． 14. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CF是AB边上的高，AD、CF交于点E，若AB＝CE，CD＝5，BD＝2，则线段AE的长度为___． 【答案】3 【解析】 【分析】先证明，可得AD=CD＝5，DE=BD＝2，进而即可求解． 【详解】解：∵AD是BC边上的高，CF是AB边上的高， ∴∠ADB=∠CDE= ∠CFB=90° ∴∠BAD+∠B=∠DCE+∠B=90°， ∴∠BAD=∠DCE， ∵AB＝CE， ∴（AAS）， ∴AD=CD＝5，DE=BD＝2， ∴AE=AD-DE=5-2=3. 故答案是：3． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握AAS判定两个三角形全等． 15. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的一个底角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①若；②若；先求出顶角，即可求出底角的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： ①若，如图1所示： ， ， ， ， ， ； ②若，如图2所示： 同①可得：， ， ， ； 综上所述：这个等腰三角形的一个底角的度数为或． 16. 如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA2＝4，则△AnBnAn+1的边长为_____． 【答案】2n． 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝8，A4B4＝8B1A2＝16，A5B5＝16B1A2…进而得出答案． 【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形， ∴A1B1＝A2B1， ∵∠MON＝30°， ∵OA2＝4， ∴OA1＝A1B1＝2， ∴A2B1＝2， ∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形， ∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3， ∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3， ∴A3B3＝4B1A2＝8， A4B4＝8B1A2＝16， A5B5＝16B1A2＝32， 以此类推△AnBnAn+1的边长为 2n． 故答案为：2n． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，由条件得到OA5=2OA4=4OA3=8OA2=16OA1是解题的关键． 17. 如图，在中，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ________． 【答案】 【解析】 【分析】由等腰三角形的三线合一可得出垂直平分，过点B作于点Q，交于点P，则此时取最小值，最小值为的长，在中，利用面积法可求出的长度，此题得解．本题考查了垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的三线合一，等面积法，垂线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：∵是的平分线， ∴垂直平分， ∴． 过点B作于点Q，交于点P，如图所示． 则此时取最小值，最小值为的长， ∵ ∴． 故答案为：9.6． 18. 如图，CA1是等腰Rt△ABC斜边AB上的高，以CA1为直角边构造等腰Rt△CA1B1（点C，A1，B1按顺时针方向排列），∠A1CB1＝90°，称为第一次构造；CA2是Rt△CA1B1斜边上的高，再以CA2为直角边构造等腰Rt△CA2B2（点C，A2，B2按顺时针方向排列），∠A2CB2＝90°，称为第二次构造…，以此类推，当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，构造停止，若S△ABC＝1，则构造出的最后一个三角形的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】依据规律可得，第n次构造后，S△AnCBn＝ ，根据当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，n＝ ＝16，即可得到构造出的最后一个三角形的面积为 ． 【详解】解：由题可得，CA1＝ CA， ∴第一次构造后， ， 第二次构造后， ， 第三次构造后， ＝， 以此类推，第n次构造后， ＝ ， 又∵每构造1次，CBn绕点C顺时针旋转45°， ∴当第n次构造的Rt△CAnBn的边CBn与△ABC的边CB第二次重合时，n＝＝16， ∴构造出的最后一个三角形的面积为 ， 故答案为． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解决问题的关键是找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题． 三、解答题（本题共7个小题，共78分） 19. 如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的长方形中，点A，B，C在小正方形的顶点上． （1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′； （2）计算△ABC的面积； （3）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】 （1）△AB′C′如图所示； （2）5.5； （3）点P如图所示． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点B、C关于直线l的对称点B′、C′的位置，然后与点A顺次连接即可； （2）利用△ABC所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，列式计算即可得解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接B′C与直线l的交点即为所求点P． 【详解】解：（1）略 （2）△ABC的面积＝3×4﹣×2×3﹣×1×4﹣×1×3， ＝12﹣3﹣2﹣1.5， ＝12﹣6.5， ＝5.5； （3）略 【点睛】本题考查了利用轴对称确定最短路线问题，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 20. 如图，已知AD∥BC，AD＝CB，AE＝ FC ，求证：∠D＝∠B 【答案】 证明：∵AD∥BC， ∴∠A＝∠C． ∵AE＝CF， ∴AF＝CE． 在△ADF和△CBE中， AD＝CB，∠A＝∠C，AF＝CE， ∴△DAF≌△BCE（SAS）． ∴∠D＝∠B． 【解析】 【分析】由平行线的性质可得∠A＝∠C，已知AD＝BC，根据等式的性质得AF＝CE，从而可根据SAS判定△DAF≌△BCE，根据全等三角形的对应角相等即可求证． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角边相等的性质，本题中证明△DAF≌△BCE是解题的关键． 21. 如图，BE⊥AE，CF⊥AE，垂足分别为E、F，D是EF的中点，CF＝AF． （1）请说明CD＝BD； （2）若BE＝6，DE＝3，请直接写出△ACD的面积． 【答案】（1）见解析；（2）27． 【解析】 【分析】（1）由BE⊥AE，CF⊥AE可得∠BED＝∠CFD，再由D是EF的中点可得ED＝FD，然后根据ASA可证△BED≌△CFD，最后运用全等三角形的性质即可证明； （2）由全等三角形的性质可得CF＝EB＝6，然后可得DF＝3，再计算出AD的长，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：（1）∵BE⊥AE，CF⊥AE， ∴∠BED＝∠CFD， ∵D是EF的中点， ∴ED＝FD， 在△BED与△CFD中， ， ∴△BED≌△CFD（ASA）， ∴CD＝BD； （2）由（1）得：CF＝EB＝6， ∵AF＝CF， ∴AF＝6， ∵D是EF的中点， ∴DF＝DE＝3， ∴AD＝9， ∴△ACD的面积：AD•CF＝×9×6＝27． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形面积计算等知识点，灵活运用全等三角形的判定与性质定理成为解答本题的关键． 22. 如图，是等边三角形，D、E分别是、边上的点，且、相交于点P，． （1）求的度数． （2）过点B作于Q，若，，求的长． 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得，，又根据，进而求得，即可得出答案； （2）根据题意求得，再根据直角三角形中的角的性质求出的长度，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由是等边三角形可得，， ∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵于Q， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 23. 如图，在中，，的平分线交于点，过作，垂足为，延长交于点． （1）求证：为等腰三角形； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）9 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和求出，即可得出结论； （2）连接，证明垂直平分，得到，证明，得到，根据，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角，角平分线，中垂线的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用等角对等边，证明三角形是等腰三角形，是解题的关键． 24. 如图，△ABC中，AC的垂直平分线DE交AC于点E，交∠ABC的平分线于点D，DF⊥BC于点F，连接AD． (1)求证AB+CF=BF； (2)若∠ABC=70°，求∠DAE的度数． 【答案】（1）见解析；（2）35° 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质，过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD即可证明； （2）先求出∠ADC的度数，再利用DE垂直平分AC求出∠ADE即可求出∠DAE的度数． 【详解】（1）过D作AB的垂线交AB的延长线于点G，连接CD， ∵BD平分∠ABC，DG⊥AB，DF⊥BC， ∴DG=DF， ∵DE垂直平分AC， ∴DA=DC， 在Rt△ADG和Rt△CDF中 ∴Rt△ADG≌Rt△CDF（HL）； ∴AG=CF， ∵DG⊥AB，DF⊥BC ∴∠BGD=∠BFD=90° ∵BD平分∠ABC， ∴∠GBD=∠FBD 在△BDG和△BDF中 ∴△BDG≌△BDF（AAS） ∴BG=BF， ∴AB+CF=BF （2）∵四边形BFDG的内角和为360° ∴∠FDG=180°-∠ABF=180°-70°=110° 由（1）知Rt△ADG≌Rt△CDF ∴∠GDA=∠CDF ∴∠FDG=∠ADC=110° 又∵DA=DC，DE⊥AC， ∴∠ADE=∠CDE=55° ∴∠DAE=35° 【点睛】本题考查角平分线的性质和垂直平分线的性质，熟记性质并能根据性质作出辅助线是解题的关键. 25. 在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴正半轴上的一个动点，以B为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰． （1）如图1，若，则点C的坐标为_______； （2）如图2，若，点D为延长线上一点，以D为直角顶点，为直角边在第一象限作等腰，求证：； （3）如图3，以B为直角顶点，为直角边在第三象限作等腰，连接，交y轴于点P，求线段的长． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）4 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定： （1）过点C作轴于点H，证明，得到，就，进而求出，据此可得答案； （2）如图所示，过点E作轴于F，同理可证，得到，证明，得到，再证明，得到，推出，由平角的定义可得，即； （3）过点C作轴于点H，同理可证，则，，再证明，可得． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作轴于点H， ∴， ∴， ∴， 在和， ， ∴， ∵点A的坐标为， ∴， ∴ ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：如图所示，过点E作轴于F， 同理可证， ∴ ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点C作轴于点H， 同理可证 ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $