精品解析：四川省成都市新都一中实验学校2021-2022学年上学期八年级期中数学试题

2021-2022学年成都市新都一中附属八年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 2. 下列实数：，，，，，，3.010010001．．．（相邻两个1之间逐次增加一个0），无理数的个数是（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 3. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 6，8，12 B. 1，2， C. 9，12，15 D. 7，24，25 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 无理数一定是无限小数 B. 正比例函数一定是一次函数 C. 正数的平方根一定是正数 D. 负数的立方根一定是负数 8. 如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（　　　） A. 13cm B. 8cm C. 7cm D. 15cm 9. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 10. 如图，在中，，为边上一点，将沿翻折，使点落在边上点处，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 2 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 的算术平方根是_____． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是___． 13. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 14. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15. （1）； （2）； （3）． 16. 已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）在图中作出关于轴的对称图形 （2）写出点、、的坐标． （3）求的面积 18. 根据记录，从地面向上11km以内（包含11km），每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）． （1）请直接写出距地面的高度在11km以内（包含11km）y与x之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回石家庄途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km． ①求：当时这架飞机下方地面的气温； ②假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？ 19. 如图，在长方形纸片中，，将纸片折叠压平，使点与点重合，折痕为． （1）求证：． （2）求线段的长． 20. 如图1，在四边形中，，P是上一点，，． （1）求证：． （2）如图2，在四边形中，，P是上一点，，．那么，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 已知实数x，y满足，则的算术平方根为__________． 22. 已知，是两边，且满足，则第三边长是__________． 23. 如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____． 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是__________． 25. 如图，长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，再沿折叠，使点C落在点G处，连接，交于点I．在折痕上有一动点P，连接，过点P作交于H．则的最小值为__________． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 26. 某电信公司的手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通信费按0.2元/min计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）请分别写出A类收费标准每月应缴费用y1（元）与通话时间x（min）之间的关系式和B类收费标准每月应缴费用y2（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ （3）若每月平均通话时间为300min，你会选择哪类收费方式？ 27. 如图在直角坐标系中，已知三点，若满足关系式：． (1)求的值 (2)求四边形的面积 (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由 28. 已知△ABC中，AB=AC， （1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE； （2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长； （3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年成都市新都一中附属八年级上学期期中数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 4的平方根是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 的平方根是． 2. 下列实数：，，，，，，3.010010001．．．（相邻两个1之间逐次增加一个0），无理数的个数是（ ）． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案． 【详解】无理数为，，，3.010010001．．．共四个， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数，掌握知识点是解题关键． 3. 下列各曲线中表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个确定的值，函数值y都有唯一确定的值与其对应．从图象上看，就是作垂直于x轴的直线，与图象最多只有一个交点． 【详解】A．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； B．作垂直于x轴的直线，与图象可能有两个交点，即对于同一个x，有两个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； C．作垂直于x轴的直线，与图象可能有三个交点，即对于同一个x，有多个y值与之对应，故y不是x的函数，不符合题意； D．对于每一个x，都有唯一确定的y值与之对应，故y是x的函数，符合题意． 4. 下列计算正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的混合运算法则分别判断得出答案． 【详解】A选项：，错误 B选项：，错误． C选项：，错误． D选项：，正确． 故选D． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 5. 下列各组数不能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 6，8，12 B. 1，2， C. 9，12，15 D. 7，24，25 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】A选项：，不能构成直角三角形，故A符合题意． B选项：，能构成直角三角形，故B不符合题意． C选项：，能构成直角三角形，故C不符合题意． D选项：，能构成直角三角形，故D不符合题意． 故选A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握三角形的三边长满足a2+b2=c2则该三角形为直角三角形是解题的关键． 6. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得关于y轴对称点坐标为（2，3）； 【详解】关于轴对称，点的坐标为． 故选A． 【点睛】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 7. 下列说法不正确的是（ ） A. 无理数一定是无限小数 B. 正比例函数一定是一次函数 C. 正数的平方根一定是正数 D. 负数的立方根一定是负数 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数的定义，正比例函数和一次函数的定义，平方根的定义逐项分析即可． 【详解】解：A. 无理数一定是无限小数，正确； B. 正比例函数一定是一次函数，正确； C. 正数的平方根一个是正数，另一个是负数，故不正确； D. 负数的立方根一定是负数，正确； 故选C． 【点睛】本题考查了无理数的定义，正比例函数和一次函数的定义，平方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键． 8. 如图，将一根长为20cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，筷子露在杯子外面的长度为（　　　） A. 13cm B. 8cm C. 7cm D. 15cm 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出杯子内的筷子长度，即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： 杯子内的筷子长度为：=13cm， 则筷子露在杯子外面的筷子长度为：20﹣13=7（cm）． 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 9. 如图1，分别以直角三角形三边为边向外作方形，面积分别为S1，S2，S3；如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为S4，S5，S6，其中S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4，则S3+S4＝（　　） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，同理可得，代入数据计算即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 同理可得，， ∵S1＝1，S2＝3，S5＝2，S6＝4， ∴S3+S4＝（1+3）+（2+4）=10， 故选：A ． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，正确理解图形中各部分之间的关系及勾股定理的计算公式是解题的关键． 10. 如图，在中，，为边上一点，将沿翻折，使点落在边上点处，则的周长为（ ）． A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由翻折性质可知，，，可得AC=BE，故的周长等于BC，用勾股定理求出BC的长即可． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 由翻折性质可知，，， ∴AC=BE， ∴的周长= =AD+DC+EC =AC+EC =BE+EC =BC =． 故选C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，勾股定理的应用，经过等量代换得到的周长等于BC是关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 11. 的算术平方根是_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】x≥1且x≠-2 【解析】 【分析】根据使二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0；使分式有意义的条件：分母不等于0，即可求解． 【详解】解：根据使二次根式有意义，分式有意义得：， ∴ 故答案为：x≥1且x≠-2． 【点睛】本题考查使二次根式有意义的条件和使分式有意义的条件．掌握二次根式被开方数大于或等于0，分式的分母不能为0是解答本题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，点在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】直接利用非负数的性质结合点的坐标特点得出所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】， ， 点的位置在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了点的坐标，算术平方根的非负性的应用，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 14. 如图，长方形的边长为2，长为1，点A在数轴上对应的数是，以A点为圆心，对角线长为半径画弧，交数轴于点E，点E表示的实数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴与实数，涉及到勾股定理，首先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据A点表示，可得点E表示的实数． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 在，由勾股定理可得： ∴， ∵A点表示， ∴点E表示的实数是． 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共54分） 15. （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【详解】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （3）根据二次根式的混合计算法则求解即可． 解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的混合计算，二次根式的性质化简，熟知相关计算法则是解题的关键． 16. 已知：的立方根是，的算术平方根是3，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根，算术平方根，无理数的估算即可求出的值； （2）将（1）题求出的值代入，求出值之后再求出平方根． 【小问1详解】 解：由题得． ． 又， ． ． ． 【小问2详解】 当时， ， ∴的平方根是． 【点睛】本题考查了立方根，平方根，无理数的估算．正确把握相关定义是解题的关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点． （1）在图中作出关于轴的对称图形 （2）写出点、、的坐标． （3）求的面积 【答案】（1）画图见解析；（2），，；（3） 【解析】 【分析】(1)根据点关于x轴对称时横坐标不变，纵坐标互为相反数即可画出图形求解； (2)根据（1）中画出的图形即可写出坐标； (3)用矩形的面积减去三个角落面积即可求出三角形的面积． 【详解】（1） （2）点关于轴对称，则坐标变为相反数，坐标不变， 故，，． （3） ＝12－3－2－ ． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的对称，三角形面积的求法，属于基础题，熟练掌握点关于坐标轴的对称点的求法是解决本题的关键． 18. 根据记录，从地面向上11km以内（包含11km），每升高1km，气温降低6℃；又知在距离地面11km以上高空，气温几乎不变．若地面气温为m（℃），设距地面的高度为x（km）处的气温为y（℃）． （1）请直接写出距地面的高度在11km以内（包含11km）y与x之间的函数表达式； （2）上周日，小敏在乘飞机从上海飞回石家庄途中，某一时刻，她从机舱内屏幕显示的相关数据得知，飞机外气温为﹣26℃时，飞机距离地面的高度为7km． ①求：当时这架飞机下方地面的气温； ②假如飞机当时在距离地面12km的高空，飞机外的气温是多少度呢？ 【答案】（1）y与x之间的函数表达式为y=m-6x（0≤x≤11）； （2）①当时地面气温为16℃；②假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为-50℃． 【解析】 【分析】（1）根据气温等于该处的温度减去下降的温度列式即可； （2）①将x=7，y=-26代入y=m-6x即可；②将x=11代入（1）中解析式即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：y=m-6x（0≤x≤11）， ∴y与x之间的函数表达式为y=m-6x（0≤x≤11）； 【小问2详解】 解：①将x=7，y=-26代入y=m-6x， 得-26=m-42， ∴m=16， ∴当时地面气温为16℃； ②∵x=12＞11， ∴y=16-6×11=-50（℃）， 假如当时飞机距地面12km时，飞机外的气温为-50℃． 【点睛】本题考查了一次函数的应用以及函数值的求解，要注意自变量的取值范围和高于11千米时的气温几乎不再变化的说明． 19. 如图，在长方形纸片中，，将纸片折叠压平，使点与点重合，折痕为． （1）求证：． （2）求线段的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得：，，∠ABC＝∠DCB＝∠BAD＝∠ADC＝90°，根据翻折的性质和等量代换及角的和差可得: ∠BAE＝∠GAF，AB＝AG，继而由全等三角形的判定可得△ABE≌△AGF，继而即可求证结论； （2）令，则DF＝18－x，根据矩形的性质和翻折的性质可得：AG＝12，由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求得AF的值． 【详解】（1）在长方形中， ，， ， 由翻折性质可知 ， 又∵， ， 又∵， ∴， ， 在和中 故△ABE≌△AGF（ASA）， ． （2）令 ∵AD＝BC＝18， ∴DF＝18－x 又∵GF＝DF＝18－x， AG＝CD＝AB＝12， ∴中， 由勾股定理得， ， 故． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、翻折的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学知识． 20. 如图1，在四边形中，，P是上一点，，． （1）求证：． （2）如图2，在四边形中，，P是上一点，，．那么，，之间又有何数量关系？写出你的结论，并证明； （3）在（2）的条件下，若，，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：， ，， ， 又，， ， ，， ； （2）解：， 证明：过点作于，过点作于， 由（1）可知，， ，，， ，， ，，，， ， ； （3） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在等腰直角三角形中，，则， 在中，，，则， 同理可得：， ． B卷（50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 21. 已知实数x，y满足，则的算术平方根为__________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式有意义的条件，可得， 解得． 将代入， 得． 计算：． ， 的算术平方根为． 22. 已知，是两边，且满足，则第三边长是__________． 【答案】5或 【解析】 【分析】本题考查的是非负数的性质、勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据非负数的性质分别求出、，分是直角边、是斜边两种情况，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，(舍去)，， 当是直角边时，斜边， 当是斜边时，第三边长， 故答案为：5或． 23. 如图，在ABC中，AB=AC=6，∠BAC=90°，点D、E为BC边上的两点，分别沿AD、AE折叠，B、C两点重合于点F，若DE=5，则AD的长为_____． 【答案】或 【解析】 【分析】过点A作AG⊥BC，垂足为G，根据等腰直角三角形的性质可得AG=BG=CG=6，设BD=x，则DF=BD=x，EF=7-x，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，从而求得DG的长，继而可求得AD的长. 【详解】如图所示，过点A作AG⊥BC，垂足为G， ∵AB=AC=6，∠BAC=90°， ∴BC==12， ∵AB=AC，AG⊥BC， ∴AG=BG=CG=6， 设BD=x，则EC=12-DE-BD=12-5-x=7-x， 由翻折的性质可知：∠DFA=∠B=∠C=∠AFE=45°，DB=DF，EF=FC， ∴DF=x，EF=7-x， 在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即25=x2+(7-x)2， 解得：x=3或x=4， 当BD=3时，DG=3，AD=， 当BD=4时，DG=2，AD=， ∴AD的长为或， 故答案为或. 【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，正确添加辅助线，灵活运用勾股定理是解题的关键. 24. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A的坐标为，弧是以点B为圆心，为半径的圆弧；弧是以点O为圆心，为半径的圆弧；弧是以点C为圆心，为半径的圆弧；弧是以点A为圆心，为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线，称为正方形的“渐开线”，则点的坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出点到点的坐标，进而可得（n为非负整数），据此规律可得答案． 【详解】解：由题意得，，，，……， 以此类推，可知，（n为非负整数）， ∵， ∴点的坐标是，即． 25. 如图，长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，再沿折叠，使点C落在点G处，连接，交于点I．在折痕上有一动点P，连接，过点P作交于H．则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】将长方形纸片折叠，使点落在上的点处， ，， ， ， ， 沿折叠，使点落在点处， ，， 垂直平分， ，， ， ， ， 如图，连接，， ， ， 垂直平分， ， ， 当点，点，点三点共线，且时，有最小值为， 此时． 二、解答题（本大题共3小题，共30分） 26. 某电信公司的手机的A类收费标准如下：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费12元，另外，通信费按0.2元/min计．B类收费标准如下：没有月租费，但通话费按0.25元/min计． （1）请分别写出A类收费标准每月应缴费用y1（元）与通话时间x（min）之间的关系式和B类收费标准每月应缴费用y2（元）与通话时间x（min）之间的关系式． （2）每月通话多长时间，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等？ （3）若每月平均通话时间为300min，你会选择哪类收费方式？ 【答案】（1）y1=12+0.2x，y2=0.25x；（2）240分钟；（3）选择A类收费方式． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数定义，由题意直接可以写出A类收费标准每月应缴费用y1（元）与通话时间x（min）之间的关系式及B类收费标准每月应缴费用y2（元）与通话时间x（min）之间的关系式； （2）根据（1）中的函数关系式，令y1与y2的值相等，结合解一元一次方程即可解题； （3）方法一：根据（2）中结果计算解题；方法二：将x=300分别代入y1与y2中计算，得到相应的函数值，然后比较大小即可解题． 【详解】解：（1）由题意可得： y1=12+0.2x， y2=0.25x， 即A类收费标准每月应缴费用y1（元）与通话时间x（min）之间的关系式是y1=12+0.2x，B类收费标准每月应缴费用y2（元）与通话时间x（min）之间的关系式是y2=0.25x； （2）令12+0.2x=0.25x， 解得：x=240， 即每月通话240分钟时，按A、B两类收费标准缴费，所缴话费相等； （3）方法一： ∵240＜300， ∴每月平均通话时间为300min，选择A类收费方式； 方法二： 当x=300时， y1=12+0.2×300=72，y2=0.25×300=75， ∵72＜75，∴每月平均通话时间为300min，选择A类收费方式． 【点睛】本题考查一次函数的应用，涉及解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 27. 如图在直角坐标系中，已知三点，若满足关系式：． (1)求的值 (2)求四边形的面积 (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)；(2)；(3)存在（18，-9）或（-18，9） 【解析】 【分析】（1）根据，列出等式求出a、b、c的值. （2）根据直角坐标系可得四边形为直角梯形，根据梯形的面积计算公式计算即可. （3）根据（2）可得四边形AOBC的面积，根据题意列出方程求解即可. 【详解】（1）根据可得： 解得： （2）根据直角坐标系可得四边形为直角梯形 OB=3，BC=4，OA=2 （3）根据题意可得 所以可得 所以存在P点的坐标为：（18，-9）或（-18，9） 【点睛】本题主要考查直角坐标系的综合性问题，关键在于根据等式求出参数，在根据参数计算四边形的面积. 28. 已知△ABC中，AB=AC， （1）如图1，在△ADE中，若AD=AE，且∠DAE=∠BAC，求证：CD=BE； （2）如图2，在△ADE中，若∠DAE=∠BAC=60°，且CD垂直平分AE，AD=3，CD=4，求BD的长； （3）如图3，在△ADE中，当BD垂直平分AE于H，且∠BAC=2∠ADB时，试探究CD2，BD2，AH2之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2）5 （3）CD2= BD2 + 4AH2，理由见解析 【解析】 【分析】(1) 根据∠DAE=∠BAC，求出∠DAC =∠BAE， 再利用“SAS”证明△DAC和△EAB全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证； (2)连接BE，根据CD垂直平分AE，得到AD= DE，结合条件∠DAE= 60°，根据有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形，证明△ADE是等边三角形，再根据全等三角形对应边相等可得BE= CD，全等三角形对应角相等可得∠BED=∠CDA= 30°，然后求出∠BED= 90°，在Rt△BED中，再利用勾股定理列式，计算即可求出BD的长度； (3)过B作BF⊥BD，且BF= AE，连接DF，先证明四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形对边相等可得AB= EF，设∠AEF=x，∠ADE= y根据平行四边形的邻角互补，得∠BAE= 180°- x，根据等边三角形三边相等，得到∠EAD= AED= y，根据周角等于360°求出∠CAD的度数，从而得到∠CAD=∠FED，然后利用“SAS”证明△ACD和△FED全等，根据全等三角形对应边相等可得CD = DF，在Rt△BDF 中，利用勾股定理结合条件BF= AE= 2AH，列式即可得到答案． 【小问1详解】 如图1 ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAE=∠BAC+ ∠CAE， 即∠DAC=∠BAE， 在△ACD与∆ABE中， ∴△ACD≌△ABE (SAS)， ∴CD= BE； 【小问2详解】 连接BE， ∵CD垂直平分AE ∴AD= DE， ∵∠DAE=60° ∴△ADE是等边三角形． ∴DE= AD= 3 ∴∠CDA=∠ADE=°=30°， 由(1) 得△ACD≌△ABE， ∴BE= CD=4， ∵∠BEA =∠CDA = 30°， ∵∠BED=∠AED+∠BEA = 60°+ 30°= 90° ∴ BE⊥DE． 在Rt△BED中，BD= ∴BD= 5； 【小问3详解】 (3) CD2= BD2 + 4AH2，理由如下： 如图，过B作BF = AE，且BF⊥BD连接DF，EF 则四边形ABFE是平行四边形， ∴ AB= AC= EF， ∴BD垂直平分AE， ∴AD=DE 设∠AEF= x，∠AED= y， 则∠FED= x+ y， ∠BAE= 180°- x， ∠EAD=∠AED= y， ∠BAC = 2∠ADB= 180° - 2y， ∠CAD= 360°-∠BAC-∠BAE-∠EAD = 360° - (180° - 2y)-(180° -x)-y = x+y ∴∠FED=∠CAD， 在△ACD和△EFD中， ∴△ACD≌△EFD(SAS)， ∴CD= FD， 在Rt△BDF中，根据勾股定理： BD2+ BF2= DF2 ∵BF= AE= 2AH， ∴CD2= BD2 + 4AH2 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用及全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等，熟悉掌握全等三角形的判定定理以及勾股定理解直角三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $