第二十六章 二次函数——图象与系数的关系 专项训练 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与系数关系，通过符号判断、图象特征推理及综合应用，构建“图象→系数→结论”的系统解题体系，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判断|12题|符号判断法（a、b、c符号）|系数意义→图象基本特征| |综合结论分析|10题|图象特征综合推理（对称轴、特殊点、最值）|图象性质→多结论推导| |应用拓展|2题|代数建模与分类讨论|知识迁移→实际问题解决|

第二十六章 二次函数——图象与系数的关系 提优训练 一、单选题 1．二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 2．已知二次函数的图象开口向上，对称轴在轴右侧，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 4．如图，已知二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴为直线，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 6．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．如图是二次函数图象的一部分，其对称轴为，且过点下列说法：①；②；③；④为任意实数；⑤若，是抛物线上两点，则其中说法正确的个数是（     ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，随的增大而增大；⑤（为任意实数），其中正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A．②④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 10．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为，且图象经过点．下列说法：①；②；③若，是抛物线上的两点，则；④（其中）；⑤．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．①③⑤ C．②④⑤ D．①②④ 二、填空题 11．如图所示，在直角坐标系中，根据抛物线的位置判断a，b，c的正负，则a___0，b___0，c___0．（选用“”“”及“”号填写） 12．二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象不经过第______象限． 13．如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论： ①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________． 14．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号有________． 15．二次函数的部分图象如图所示，已知图象过点，对称轴为直线，有下列结论：①，，；②；③；④若点、点、点在该函数图象上，则．其中正确的结论有______个． 16．已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而增大； ③； ④； ⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 17．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；（5）（为常数）．其中正确的结论有______个 18．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题 19．二次函数的部分图象如图所示．根据图象填空： (1)该函数图象的对称轴是______； (2)二次函数图象与x轴的交点坐标为_______； (3)b_____0，c____0， ____0；（填>、<或=） (4)当时，x的取值范围是______ 20．已知二次函数． (1)求函数图象的对称轴； (2)若，当时，函数的最大值为8，求实数的值； (3)若，当时，，当时，总有，求实数的取值范围． 21．定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，是“三倍点”． (1)判断下列函数中存在三倍点的是______（填入序号）． ①；②；③；④． (2)已知二次函数（c为常数）．若该函数经过点， ①求出该图象上的“三倍点”坐标； ②当时，求出该函数的最小值； (3)在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 2．C 【分析】根据题干分析出、、的符号，再判断各选项即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在轴右侧， ∴， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A错误； 对于B与D，由已知条件无法判断代数式的符号； ∵，， ∴，故C正确． 3．C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 4．D 【分析】开口向下，则，与轴正半轴相交，则，再根据对称轴为直线，得到，则可得到，通过时y大于0得到含有a、b、c的不等式，再替换掉b，得到a、c之间的关系，由对称轴为直线可知，当时，y取得最大值，则可判断D选项的正误． 【详解】解：根据题意可得，， ， ， ，， A选项错误； ∵对称轴为直线， ∴当和时，函数值相等， 当时，， ∴当时，，即，故选项B错误； ∴即，故选项C错误； 对称轴为直线， ， D选项正确． 5．C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 6．A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 7．C 【分析】根据抛物线开口方向判断的符号，根据对称轴判断与的关系，根据抛物线与轴交点判断的符号，从而判断①②；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，结合开口方向判断时的函数值符号，从而判断③；根据抛物线在处取得最小值判断④；根据点离对称轴的远近判断函数值的大小，从而判断⑤． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴为直线， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； ， ，所以②正确； 对称轴为，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， 当时，， 当时，，所以③错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，有最小值， 对于任意实数，都有， ， ，所以④正确； 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向上， ，所以⑤正确； 综上所述，说法正确的有①②④⑤，共4个． 8．B 【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵抛物线与x轴交于点和点， ∴抛物线对称轴为直线，故②正确； ∴， ∴， ∴，故①错误； 由函数图象可知，当时，抛物线在x轴上方， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误； ∵抛物线对称轴为直线且开口向下， ∴当时，抛物线有最大值， ∴， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有②③⑤，共个． 9．B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 10．D 【分析】抛物线开口向下，且交轴于正半轴及对称轴为，推导出，，以及与之间的关系：，即可判断①；根据二次函数图象经过点，及对称轴为，可得出抛物线经过，再把点代入解析式，结合即可判断②⑤；再由二次函数的对称性，当时，距离对称轴越远所对应的越小，即可判断③；由抛物线开口向下，对称轴是直线，可知当时，有最大值，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵抛物线与轴的交点在轴的上方， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ∵抛物线经过，对称轴为直线， ∴抛物线经过， 即，故②正确，⑤不正确； ∵，且开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故③不正确，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， 当时，抛物线取得最大值， 当时，，且， ∴，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的结论是①②④． 11． 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置求解． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴． 12．二 【分析】根据二次函数的图象开口方向判断的正负，根据对称轴的“左同右异”判断的正负，根据的图象与轴的交点判断的正负，从而可以判断一次函数的图象经过哪几个象限，进而可得答案． 【详解】解：由二次函数的图象可得， ，，， ∴， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 13．①③④ 【分析】由二次函数开口向下，对称轴，交y轴于正半轴可得，，，从而，故①正确；由顶点的坐标为可得对于任意实数，都有，即，故②不正确；由二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间得，又，故，即，故③正确；由点和点关于对称和点位于和之间可得点的横坐标位于3和4之间，故④正确． 【详解】解：二次函数开口向下， ， 二次函数对称轴， ， 二次函数交y轴于正半轴， ， ，故①正确； 顶点的坐标为， 当时，y最大为， 对于任意实数，都有，即，故②不正确； 二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间， 当时，， ，即， ，即，故③正确； 若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点和点关于对称， 点位于和之间，，， 点的横坐标位于3和4之间，故④正确； 综上所述，①③④正确． 14．①③④ 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴上方， ∴， ∴， ∴结论①正确； ∵当时，， ∴， ∴， ∴结论②错误； ∵当时，， ∴由对称轴知：当时，， ∴， ∴结论③正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论④正确． 综上，可得正确的结论有：①③④． 15．3 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与各系数符号，理解二次函数的图象和性质是解答关键． ①根据二次函数图象的开口方向，与轴的正半轴的交点和对称轴来求解；②根据图象过点得，再结合对称轴得来求解；③利用当时，来求解；④利用A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1进行判定求解． 【详解】解：①由二次函数的部分图象可知，抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵对称轴为直线， ∴，故结论①正确； ②∵对称轴为直线， 即， ∴，故结论②正确； ③∵图象过点，对称轴为直线， ∴当时，， 即，故结论③错误； ④∵点，点、点在该函数图象上，对称轴为直线， ∴A、B、C到对称轴的距离分别为4，0，1， ，故结论斯正确． 综上所述，正确的结论共3个． 故答案为：3． 16．①③⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， ∵抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又∵抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， ∵抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②错误； ③设抛物线的交点式为，展开得： ， 当时，， 即， ∵， ， 解得：，故③正确； ④是时的函数值， ∵，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④错误； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ∵，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①③⑤． 17． 【分析】根据抛物线的开口方向、与轴交点的位置、对称轴，可知、、，可得：；由函数图象可知当时，，所以可得：；由抛物线经过点，因为抛物线的对称轴是，可知，可得：，所以；根据二次函数的对称性可知点关于的对称点为，根据二次函数的性质可知；根据抛物线的对称轴为直线，可得：，所以成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴的正半轴， 对称轴为直线， ， ， ， 故（1）正确； 由二次函数的图象可知，当时，， ， ， 故（2）错误； ， ， 图象过点， ， ， ， 故（3）正确； 点关于的对称点为，， ， 故（4）错误； 抛物线的对称轴为直线， 二次函数的最大值为， 当时， 可得：， ， 故（5）正确； 综上所述，正确的结论有个． 18．①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 19．(1)直线 (2) (3)，， (4) 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，与坐标轴的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据函数图象，得出对称轴是直线； （2）结合对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为，即可作答． （3）观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线，则，把代入，得，即可作答． （4）观察函数图象，得出开口方向向上，由（2）得函数与x轴的交点坐标为，得当时，x的取值范围是，即可作答． 【详解】（1）解：观察函数图象，得出该函数图象的对称轴是直线， 故答案为：直线； （2）解：观察函数图象，对称轴是直线，二次函数图象与x轴的一个交点坐标为 则 ∴得出该函数图象与x轴的另一个交点坐标为； 即二次函数图象与x轴的交点坐标为， 故答案为：； （3）解：观察函数图象，得出开口方向向上，对称轴为直线， ∴，， 即 观察函数图象，得出抛物线与轴的交点坐标在负半轴， 即； 把代入，得， 故答案为：，，； （4）解：观察函数图象，得出开口方向向上， 由（2）得函数与x轴的交点坐标为， ∴当时，x的取值范围是， 故答案为：． 20．(1) (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数的图像和性质即可得出答案． （1）根据对称轴公式求解即可． （2）由得出抛物线开口向上，根据抛物线对称直线为，结合二次函数的图像和性质可得出时，函数取最大值即可得出关于m的一元二次方程求解并舍去的值即可． （3）把代入抛物线得出，再得出仅当时，即时，此时最小值为，最大值为时，即， 进而结合二次函数图像即可求出实数的取值范围． 【详解】（1）解：对称轴直线为： （2）解：∵， ∴抛物线开口向上， ∵抛物线对称直线为， ∴当时，当时，函数取最小值，时，函数取最大值， 即， 解得：，负值舍去 （3）解：当时，则，顶点坐标为： 当时， ， 则在时，最小值为， 即， 解得：，或（舍去）， ∴仅当时，即时，此时最小值为， 最大值为时，即， ∵当时，总有， ∴当时，即时，， 令， 解得：，， ∴． 21．(1)①④ (2)①；②当时，；当时， (3) 【分析】（1）利用“三倍点”的定义逐项判断； （2）①把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； ②由①可知，分为当，即时；当，即时两种情况，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【详解】（1）解：设三倍点坐标为， ①将代入，得，解得，，可知中存在三倍点； ②将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ③将代入，得，无解，可知中不存在三倍点； ④将代入，得，解得，可知中存在三倍点； 故答案为：①④； （2）解：①∵函数经过点， ∴，解得：， ∴该函数解析式为． 设点P是函数图象上的“三倍点”，则， ∴，解得：， ∴． ②由（1）可知，配方得， ∴抛物线的对称轴为直线． 当，即时，； 当，即时，； 综上，当时，， 当时，． （3）解：由题意，得“三倍点”所在的直线为． 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和的图象至少有一个交点， 令，整理得：， 则， 解得：． 把代入，得， 代入，得，则， 解得：． 把代入，得， 代入，得， 则，解得：． 综上，c的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数与一元二次方程的关系等，理解“三倍点”是的定义是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $