第26章 二次函数——抛物线与存在性（3）等腰直角三角形 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

1. 已知，抛物线 交轴正半轴于点，交轴于点，点为的中点，以为边向右作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，动点为直线上一点，动点在轴上，当为等腰直角三角形时，求的长度．． 2. 如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，连结， （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）点是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形面积关于的函数表达式及的最大值． （ 3 ）若 为抛物线的顶点，点在直线上，点在直线上，， ，三点构成以 为底边的等腰直角三角形，求点的坐标． 3. 已知抛物线与轴交于点，与轴相交于点．如图，为抛物线的顶点，在轴上是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．y x O 1 学科网（北京）股份有限公司 4. 如图，抛物线与直线 交于、两点，其中点在轴上，点坐标为 ，点为直线下方抛物线上一动点．y x O （ 1 ）求抛物线的解析式 ． （ 2 ）过点作，垂足为 ，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． 5. 抛物线 与轴相交于点、（在左边），与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点 ．是抛物线在轴上方的一个动点（点、 、不在同一条直线上）．分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接点． 、 （ 1 ）求点，的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形． （ 2 ） 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由． （ 3 ）若将“是抛物线在轴上方的一个动点（点、 、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． $ 1. 如图，是抛物线对称轴上的一个动点，在对称轴左边的直线平行于轴，分别与直线、抛物线交于点、．若是以点或点为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的值，则 ． 2. 如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为 的等腰直角三角板 放在第二象限，且斜靠在两 坐标轴上，直角顶点的坐标为 ，点 在抛物线 上． （ 1 ）点的坐标为 ，点的坐标为 ． （ 2 ）抛物线的解析式为 ． （ 3 ）设（）中抛物线的顶点为，求的面积． （ 4 ）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标．若不存在，请说明理由． 3. 已知直线与二次函数 的图象交于点，点，二次函数图象的顶点为，当是等腰直角三角形时，则的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在 点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐 标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 5. 已知抛物线的图象如图所示，点为抛物线的顶点，直线上有两个动点和，且满足，在直线下方的抛物线上存在点 ，使为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． 6. 已知抛物线的顶点为 ，点为正半轴上一动点，点为第四象限抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，且，求点的坐标．y x O $ 1. 已知，抛物线 交轴正半轴于点，交轴于点，点为的中点，以为边向右作正方形，将正方形绕点逆时针旋转得到正方形，动点为直线上一点，动点在轴上，当为等腰直角三角形时，求的长度． ； ， 时， ，则 时，（如图 、 ）， ≌ ， , ， ， ∵ ∴ ∴ ①当可证 ②当 于 ， 于 ， 作 使 是等腰直角三角形，理由如下： 过 在直线 与直线 上存在点 和点 ， , , ． 10 学科网（北京）股份有限公司 图 图 可证 ∴ ∴或 ③当 ∵ ∴ ∴ 综上， ≌ ， ， ， ， ； 时， ， 与 不可能全等， ，∴不成立， , , ． 【知识点】二次函数与动点问题 2. 如图，在平面直角坐标系中．直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴负半轴交于点，连结，． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）点是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形面积关于的函数表达式及的最大值． （ 3 ）若 为抛物线的顶点，点在直线上，点在直线上，， ，三点构成以 为底边的等腰直角三角形，求点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ， 的最大值是 ． （ 3 ）点 的坐标为 或 ． （ 1 ）当 时， ， ∴ ， ∴ ， 当 时， ， ， ∴ ， ∵ ， 设抛物线的解析式为： ，把 代入得： ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）如图 ，过 作 轴于 ， ∵ ， ∴ ， ， ， 图 梯形 （ 3 ） ， ∵ ， ∴ ， 当 时， 有最大值是 ． ， ∴ ， 设直线 的解析式为： ， 把 ， 代入得： ，解得： ， ∴直线 的解析式为： ， 设 ， ， 分两种情况： ①当 在射线 上时，如图 ， 过 作 轴，分别过 、 作 轴的平行线，交 于 、 ， ∵ 是等腰直角三角形， ∴ ， ， ∴ ， 图 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， 解得： ， 当 时， ， ∴ ， ②当 在射线 上时，如图 ， 同理作辅助线，得 ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 图 综上所述，点 的坐标为 或 ． 【知识点】二次函数与全等三角形结合 3. 已知抛物线与轴交于点，与轴相交于点．如图，为抛物线的顶点，在轴上是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． y x O 存在； ． 易得 ，过点 作 轴于点 ，则 ， 轴于点 ， ， ①以 ②以则 ∴ ③以 为斜边，此情况不存在； 为斜边，过 作 交 轴于点 ， ， ，∴ 为斜边，过点 作 ≌ ． 交 轴于点 ， 同理可得 ，此时 ，故不存在等腰直角三角形 ， ∴综上可知，点 的坐标为 y ． x O 【知识点】二次函数与等腰直角三角形结合；等腰直角三角形的存在性 4. 如图，抛物线与直线 交于、两点，其中点在轴上，点坐标为 ，点为直线下方抛物线上一动点． y x O （ 1 ）求抛物线的解析式 ． （ 2 ）过点作，垂足为 ，连接使为等腰直角三角形，请直接写出此时点的坐标． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵抛物线 与直线 交于 、 两点，其中点 在 轴上， ∴ ， ∵ ， ∴ ∴ ， ∴抛物线解析式为： ，故答案为： ． （ 2 ）∵ 为等腰直角三角形， ∴ ， ∵直线 可以看做是直线 绕点 逆时针旋转 所得，设直线 解析式为 ， ∵直线 解析式为 ， ∴ ， ∴直线 解析式为 ，联立： ， ∴ （舍）， ， 当 时， ， ∴ ， ， 故答案为： ． 【知识点】二次函数一般式 【知识点】二次函数与等腰三角形结合 【知识点】二次函数与直角三角形结合 5. 抛物线 与轴相交于点、（在左边），与轴相交于点，抛物线的对称轴与轴相交于点 ．是抛物线在轴上方的一个动点（点、 、不在同一条直线上）．分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、，连接点． 、 （ 1 ）求点，的坐标（直接写出结果），并证明是等腰三角形． （ 2 ） 能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标；若不能，说明理由． （ 3 ）若将“是抛物线在轴上方的一个动点（点、 、不在同一条直线上）”改为“是抛物线在轴下方的一个动点”，其他条件不变，能否为等腰直角三角形？若能，求此时点的坐标（直接写出结果）；若不能，说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）能． （ 3 ）能． （ 1 ）抛物线解析式为 即 ，解得 或 ，令 ， ， ∴ ， ． 如答图 所示，分别延长 与 ，交于点 ． 答图 ∵ ， ，∴ ，∴ ．在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ，即点 为 斜边 的中点， ∴ ，即 是等腰三角形． （ 2 ）抛物线解析式为 ， ∴对称轴是直线 ， ； 令 ，得 ，∴ ． 为等腰直角三角形，有 种可能的情形： ①若 ， 由 ，可知点 、 、 在一条直线上，而点 、 在 轴上，因此点 必然在 轴上， 由 ，可知点 只能与点 重合，即直线 与 轴重合，不符合题意，故此种情况不存在； ②若 ，与①同理可知，此种情况不存在； ③若 ，如答图 所示： 答图 设直线 与对称轴交于点 ， ∵ ， ，∴ ． 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． 抛物线解析式为 ，故对称轴是直线 ， ∴ ， ， ∴ ． 设直线 解析式为 ，∵点 ， 在抛物线上， ∴ ，解得 ， ，∴ ． 将 代入抛物线解析式得： ，解得： 或 ， 当 时，交点为点 ；当 时， ． ∴ ． 综上所述， 能成为等腰直角三角形，此时点 坐标为 ． （ 3 ）如答题 所示，设对称轴与直线 交于点 ． 答图 与⑵同理，可知若 为等腰直角三角形，直角顶点只能是点 ． ∵ ， ，∴ ． 在 与 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ． ∴ ． 设直线 解析式为 ，∵点 ， 在抛物线上， ∴ ，解得 ， ，∴ ． ． 能成为等腰直角三角形，此时点 坐标为 综上所述， ． 时， 时，交点为点 ；当 ． ， 或 ， 代入抛物线解析式得： 将 解得：当 ∴ 【知识点】二次函数与全等三角形结合 $ 1. 如图，是抛物线对称轴上的一个动点，在对称轴左边的直线平行于轴，分别与直线、抛物线交于点、．若是以点或点为直角顶点的等腰直角三角形，求满足条件的的值，则 ． 或 根据题意，点 的坐标为 所以， ∵ ∴对称轴为直线 时，点 的坐标为 ， ， ， ， ， ∵点 ∴点 ∵ ∴ ∴ 是抛物线 到直线 是以点 的距离为 对称轴上的一个动点， ， 或点 为直角顶点的等腰直角三角形， ，或 整理得， 解方程①得 解方程②得， ①或 ， ， ， ②， ， ， ∵直线 在对称轴左边， ∴ 的值为 或 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】二次函数与直角三角形结合；二次函数与等腰三角形结合 2. 如图，在平面直角坐标系中，将一块腰长为的等腰直角三角板放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点的坐标为，点在抛物线上． （ 1 ）点的坐标为 ，点的坐标为 ． （ 2 ）抛物线的解析式为 ． （ 3 ）设（）中抛物线的顶点为，求的面积． （ 4 ）在抛物线上是否还存在点（点除外），使仍然是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标．若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ） ; ． 的坐标为 与 ． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ， ∴ ． 过点 作 轴，垂足为 ， ∵ ， ， ，在 与 中， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 的坐标为 ， 故答案为： ， ． （ 2 ）∵把 代入 得： ， 解得 ， ∴抛物线解析式为： ． （ 3 ）由（ ）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点 ，设直线 的关系式为 ，将点 、 的坐标代入得： ， 解得 ． ∴ 的关系式为 ． 设直线 和 轴交点为 ，则点 ， ． ∴ ． （ 4 ）假设存在点 ，使得 仍然是以 为直角边的等腰直角三角形： ①若以点 为直角顶点． 则延长 至点 ，使得 ，得到等腰直角三角形 ， 过点 作 轴， ∵ ， ， ， ∴ ≌ ． ∴ ， ， ∴ ． ②若以点 为直角顶点．则过点 ， 作 ，且使得 ，得到等腰直角三角形 过点 ∴ ∴ 作 轴，同理可证 ， ≌ ， ， ， 经检验，点 与点 故点 的坐标为 与 都在抛物线 ． 上， 【知识点】二次函数与全等三角形结合 3. 已知直线与二次函数 的图象交于点，点，二次函数图象的顶点为，当是等腰直角三角形时，则的值为（ ）． A. B. C. D. A ，联立直线与抛物线， ， ， ， ∵ 且 ∴ ∴ 为等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得 （舍负）， ∴ ． 【知识点】二次函数与等腰直角三角形结合 4. 如图，已知抛物线的图象经过点、，其对称轴为直线，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在 点使成为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 点 的坐标是： 或 ， 或 ， 或 ． 易求：抛物线的解析式； ；如图 ，过 作 轴，交 轴于 ，交 于 ， ∵ 是等腰直角三角形，且 ，易得 ≌ ， ∴ ， ∵ ， 则 ， 解得： 或 ， ∴ 的坐标为 或 ； 如图 ，过 作 轴于 ，过 作 于 ，同理得 ≌ ， ∴ ， 则 ， 解得： 或 ； 的坐标为 或 ； 综上所述，点 的坐标是： 或 ， 或 ， 或 ． 图 图 【知识点】二次函数与全等三角形结合 5. 已知抛物线的图象如图所示，点为抛物线的顶点，直线上有两个动点和，且满足，在直线下方的抛物线上存在点 ，使为等腰直角三角形，则点的坐标为 ． ， ， 或 ∵抛物线 ，点 为抛物线的顶点， ∴ ∴直线 的解析式为， ， ∵直线 上有两个动点 和 ，且满足 为等腰直角三角形，为斜边时：如图 ， ，在直线 下方的抛物线上存在点 ，使 ①以 设 ∵ ∴ 把 ， ， 代入 ， ， ， ，解得 ， ∴ ②以设 ∵ ∴ ∴把 ∴ ， 为直角边时，如图 ， ， ， ． ， ， ， ， 代入 ，或 ，解得 或 ， ． 综上所述：点 的坐标为： ， ， ，或 ． 【知识点】二次函数与等腰直角三角形结合 6. 已知抛物线的顶点为 ，点为正半轴上一动点，点为第四象限抛物线上一动点，若为等腰直角三角形，且，求点的坐标．y x O ． 易得 则分别过点 ，设 、 作 ， 轴于点 ∴ ∴ ，∴ ， ， ， 轴于点 ， ≌ ，∴ ． y x O 【知识点】二次函数与直角三角形结合 $