第26章 二次函数——抛物线与存在性（5）菱形1 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数与几何综合，以多题三问结构实现从基础到综合的知识递进，培养几何直观与推理能力 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与菱形存在性综合|多题三问结构|基础解析式求解+几何图形存在性探究|从二次函数概念到几何综合应用的递进，体现模型意识与推理能力的培养|

1. 如图，抛物线的图象经过点，点，点，与轴交于点，作直线，连接，． 备用图 （ 1 ）求抛物线的函数表达式． （ 2 ）是抛物线上的点，求满足的点的坐标． （ 3 ）点 在轴上且位于点上方，点在直线上，点为第一象限内抛物线上一点，若以点 ， ，，为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 2. 已知抛物线的图象经过坐标原点，且与轴另一交点为． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）如图，直线 与抛物线相交于点和点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）． （ 3 ）在（）中，若 ，设点是点关于原点的对称点，如图． 1 学科网（北京）股份有限公司 判断的形状，并说明理由．1 平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．2 3. 已知平面直角坐标系，一次函数 的图象与轴交于点，点 在正比例函数的图象上，且 ，二次函数的图象经过点、 ． （ 1 ）求线段的长． （ 2 ）求这个二次函数的解析式． （ 3 ）如果点在轴上，且位于点的下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数 的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标． 4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （ 1 ）求这个二次函数的表达式． （ 2 ）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标．若不存在，请说明理由． 5. 已知，如图，在平面直角坐标系中，点、、分别为坐标轴上的三个点，且， ，． （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的解析式及顶点坐标． （ 2 ）在抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 3 ）在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以点、、、为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过，，三点，且 ． （ 1 ）求，的值； （ 2 ）在抛物线上求一点，使得四边形是以为对角线的菱形； （ 3 ）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． $ 1. 如图，直线与轴、轴分别交于、两点，抛物线 经过、两点，与轴的另一个交点为，连接． 备用图 （ 1 ）求抛物线的解析式及点的坐标． （ 2 ）点 在抛物线上，连接 ，当时，求点 的坐标． （ 3 ）点从点出发，沿线段由向运动，同时点从点出发，沿线段由向运动， 、的运动速度都是每秒个单位长度，当点到达点时，、同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点，使、运动过程中的某一时刻，以、、、为顶点的四边形为 菱形？若存在，直接写出点的坐标．若不存在，说明理由． 2. 如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，且 ，点是抛物线上的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，连接 ． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）当点在抛物线上运动时，将沿直线翻折，点的对应点位点，试问四边形 是否能成为菱形．如果能，请求出此时点的坐标，如果不能，请说明理由． 3. 如图，已知抛物线经过原点和轴上一点，抛物线顶点为，它的对称轴与轴交于点．直线 经过抛物线上一点 且与 轴交于点，与抛物线的对称轴交于点． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求的值及该抛物线对应的解析式． （ 2 ） 是抛物线上的一点，若，求出所有符合条件的点的坐标． （ 3 ）点是平面内任意一点，点 从点出发，沿对称轴向上以每秒个单位长度的速度匀速运动，设点 的运动时间为秒，是否能使以、、、 四点为顶点的四边形是菱形．若能，请直接写出点 的运动时间的值；若不能，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 （其中、 为常数， ）经过点 和点 ，且与轴交于点，点 为对称轴与直线 的交点． 备用图 （ 1 ）求该抛物线的表达式． （ 2 ）抛物线上存在点，使得，求点的坐标． （ 3 ）若点为点关于直线的对称点，点 为直线上一点，点为坐标平面内一点，是否存在这样的点 和点，使得以、、 、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点 ，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，点在轴的右侧．y x O （ 1 ）求的值及点，的坐标． （ 2 ）当直线将四边形分为面积比为的两部分时，求直线的函数表达式． （ 3 ）当点位于第二象限时，设的中点为 ，点在抛物线上，则以为对角线的四边形 能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 6. 抛物线 经过，两点，与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线交抛物线于，两点，其中点位于第二象限，点在轴的右侧． P A H O B Q C D （ 1 ）求点的坐标． （ 2 ）若 ，求点坐标． （ 3 ）设的中点为 ，点在抛物线上，则以为对角线的四边形能否为菱形？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． $ 1. 如图，抛物线的图象经过点，点，点，与轴交于点，作直线，连接，． 备用图 （ 1 ）求抛物线的函数表达式． （ 2 ）是抛物线上的点，求满足的点的坐标． （ 3 ）点 在轴上且位于点上方，点在直线上，点为第一象限内抛物线上一点，若以点 ， ，，为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． （ 1 ） （ 2 ）点 的坐标为 ． 或 ． （ 3 ）菱形的边长为 ． （ 1 ）∵抛物线 ∴设抛物线的函数表达式为 的图象经过点 ， ，点 ，点 ， 把 解得： 代入得： ， ， ∴抛物线的函数表达式为 （ 2 ）如图， ． ①点 在直线 上方的抛物线上，记为 连接 ，过 作 由（ ）知， ， ， ，垂足为 ， ， 10 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 设线段 ，则 ， ∴点 ， ∵点 在抛物线上， ∴ ， 解得 （舍）， ， ∴ ． ②点 在直线 下方的抛物线上，记为 ，同①的方法得， ． 综上所述，点 的坐标为 或 ． （ 3 ）① 为菱形的边，如图， 在第一象限内抛物线上取点 ，过点 作 轴，交 于 ，过点 作 ， 交 轴于 ， ∴四边形 是平行四边形． ∵四边形 是菱形， ∴ ． 过点 作 轴，垂足为 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ． 设点 ， 在 中， ， ， ∵ ， ， ∴直线 的解析式为 ． ∵ 轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 解得 （舍）或 ， 菱形 的边长为 ． ② 为菱形的对角线，如图， 在第一象限内抛物线上取点，过点作 ，交轴于点 ，连接，过点 作 ，交于， ∴四边形是平行四边形，连接 交 于点． ∵四边形是菱形， ∴， ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 设点 ． ， ∴ ， ， ∴ ， 解得 （舍）， ∴此种情况不存在． ∴菱形的边长为 ． 【知识点】二次函数与角度问题 2. 已知抛物线的图象经过坐标原点，且与轴另一交点为 ． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）如图，直线 与抛物线相交于点和点（点在第二象限），求的值（用含的式子表示）． （ 3 ）在（）中，若 ，设点是点关于原点的对称点，如图． 判断的形状，并说明理由． 平面内是否存在点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．1 2 （ 1 ） ． （ 2 ） （ 3 ）1 ． 为等边三角形，证明见解析． 2 存在， 、 和 ． （ 1 ）∵抛物线 的图象经过点 和 ， ∴ ，解得： ， ∴抛物线 （ 2 ）将 的解析式为 ． 代入 ，得： ， 解得： ， ， ∴ ， ， ∴ ． （ 3 ）1 2 ∵ ， ∴点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵点 是点 关于原点 的对称点， ∴点 的坐标为 ． 为等边三角形，理由如下： ∵ ， ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形． ∵ 为等边三角形， ∴存在符合题意的点 ，且以点 、 、 、 为顶点的菱形分三种情况，设点 的坐标为 ． （i） 当 为对角线时，有 ， 解得： ， ∴点 的坐标为 ． （ii） 当 为对角线时，有 ， 解得： ， ∴点 的坐标为 ． （iii） 当 对角线时，有 ，解得： ， ∴点 的坐标为和 ． 综上所述：平面内存在点 ． ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形是菱形，点 的 坐标为 、 和 ． 【知识点】二次函数与动点问题 3. 已知平面直角坐标系，一次函数 的图象与轴交于点，点 在正比例函数的图象上，且 ，二次函数 的图象经过点、 ． （ 1 ）求线段的长． （ 2 ）求这个二次函数的解析式． （ 3 ）如果点在轴上，且位于点的下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标． （ 1 ）线段 的长为 ． （ 2 ）二次函数的解析式为 ． （ 3 ）点 的坐标为 ． （ 1 ）依题可知： ， ∵ ∴ 故 在线段 ， 的垂直平分线上， 纵坐标为 ， 又∵点 令 在正比例函数 ，则 的图象上， ， ． 即线段 的长为 ． （ 2 ）二次函数 的图象经过点 、 ， ， ， ， 即二次函数的解析式为 ． （ 3 ）设 ， ，点到 轴距离为 ，则菱形的边长为 ， ， 整理得： ， 解得： （舍）， ． ∴当 时， 即点 的坐标为 ． 【知识点】二次函数与平行四边形 4. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，点在原点的左侧，点的坐标为，与轴交于点，点是直线下方的抛物线上一动点． （ 1 ）求这个二次函数的表达式． （ 2 ）连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标．若不存在，请说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ） 点的坐标为 ． （ 1 ）将 、 两点的坐标代入得 ， 解得： ． 所以二次函数的表达式为： （ 2 ）方法一：存在点 设 点坐标为若四边形 ，使四边形 ． 为菱形． ， 是菱形，则有 交 于 ． 连接 ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ，则 ， ， 于 ， ， ． ． ． 解得 ， （不合题意，舍去）， ∴ 点的坐标为 ． 方法二：依题意得 ， ∴ 在 垂直平分线上， ∵ 中点坐标为 ， ∴ ， ∴ ，解得： ， （舍）， ∴ ． 【知识点】二次函数与动点问题 5. 已知，如图，在平面直角坐标系中，点、、分别为坐标轴上的三个点，且， ，． （ 1 ）求经过、、三点的抛物线的解析式及顶点坐标． （ 2 ）在抛物线上是否存在一点，使的面积等于的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （ 3 ）在平面直角坐标系 中是否存在一点，使得以点、、 、 为顶点的四边形为菱形？ 若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （ 1 ） ；顶点坐标是 ． （ 2 ） 的坐标为 或 或 或 ． （ 3 ）点 的坐标为 ． （ 1 ）设抛物线的解析式为 ， ∵ ∴将 ， 、 ， ， 、 ． ， ， 代入函数解析式，得 ∴ ， 解得： ， ， ， ∴经过 、 、 三点的抛物线的解析式为 ； ∵ ， ∴抛物线的顶点坐标是 ． （ 2 ）在抛物线上存在一点 ，使 的面积等于 的面积，理由为：设点 的坐标为 ， ∵ ， ， ∴ ， ， ∴当 时， ，解得 ， 即 或 ， 当 时， ，解得 ， ，即 ， ， 综上所述： 的坐标为 或 或 或 ． （ 3 ）在平面直角坐标系 中存在一点 ，使得以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形，理由为： ∵ ， ， ， ∴ ， 当 平行且等于 时，四边形 为菱形， ∴ ， ∵ ， ∴点 到 轴的距离等于 ， ∴点 的坐标为 ， 当点 在第二、三象限时，以点 、 、 、 为顶点的四边形只能是平行四边形，不是菱形， 则当点 的坐标为 时，以点 、 、 、 为顶点的四边形为菱形． 【知识点】二次函数与面积 6. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，经过，，三点，且 ． （ 1 ）求，的值； （ 2 ）在抛物线上求一点，使得四边形是以为对角线的菱形； （ 3 ）在抛物线上是否存在一点，使得四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出点的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ）在抛物线上存在一点 ， ； ，使得四边形 是以 为对角线的菱形，四 边形 是 不能成为正方形，因为如果四边形 ，但这一点不在抛物线上． 为正方形，点 的坐标只能 （ 1 ）∵抛物线 ，经过 ， ∴ ， 由题意可知， ∴ 由已知，得 ∴ ∴ 解得： ， ， 是方程 的两个根， ， ， ， ，即 ， ， 当 ∴ 时，抛物线与 轴的交点在 轴的正半轴上，不合题意，舍去， ； （ 2 ）∵若四边形 上，又∵ ∴抛物线的顶点 （ 3 ） 是以 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点 必在抛物线的对称轴 ， 即为所求的点 ； 若四边形 必是直线 ∴当 是以 为对角线的菱形，点 ，使得四边形 的坐标为 的交点， ， 是以 ，根据菱形的性质，点 与抛物线 时， ∴在抛物线上存在一点 为对角线的菱形，四边形 不能成为正方形，因为如果四边形 为正方形，点 的坐标只能是 ，但这一点不在抛物线上． 【知识点】二次函数与平行四边形 $抛物线与存在性(5)菱形【题集B】 如图，直倒=2-4与抽分别交于AB两点，抛物=5+c+经过A俩点， 与c轴的另一个交点为C,连接BC B 备用图 (1)求抛物线的解析式及点C的坐标， (2)点M在抛物线上，连接MB,当∠MBA+∠CBO=45时，求点M的坐标 (3)点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P 的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标 平面内是否存在点D,使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为 菱形？若存在，直接写出点D的坐标.若不存在，说明理由. 1 【答案】(1)y= 32、 32-4,C(-3,0). (2) 1325 (3)存在满足条件的点D,点坐标为 0)-2减(29) - 【解析】（1)直线解析式y=x一4， 令x=0,得y=-4 令y=0,得x=4. ∴A(4,0)B(0,-4· :点A、B在抛物线测= /16 32+bm+c上， +4b+c=0 4 1 解得 劬物m解析式为：一3之2、了 32、4 令=32 32-4=0 解得：亚=一3或0=4 .C(-3,0) (2)'∠MBA+∠CBO=45° 设M(c,, ①当BMLBCE时，如图1所示. B 图1 ∠AB0=45 ∠MBA十∠CB0三45故点M满足条件 过点， 作 M1ME⊥y 轴于点E则 'ME=OE=-y BE=4+y tan∠MiBE=tan∠BCO= 3 4' 直线y的解析式为： 3 联立BM 与 y=4-4 3 1 1 得：=4-4= 12 52-8-4 3 31 解得4”一4 32 34 1 x1=0T2= 4 5 h=-4次=16 () 轴对称时，如图所示 BM BC 2 E 一2 ∠ABO=∠MBA+∠MBO=45'∠MBO=∠CBO 故食M瑞定解B0=45 过点M作 轴于点 则Ma MELy .·M2E=xOE=y .BE=4+y tan∠M2BE=tan /CB0=三 3 释。一曼解析武为： 联立BM2 与 y= 30-4得： 解得= 30上4g= 30-4 1 3-4= - 30-4 x1〧0c2=5 8 h=-4欢=3 形净条科的点 的坐标为 或 (3)设 ,则 25 M 13, P 16 5,2 假设存在满足条件的点，设菱形的对角鞋交于点， 运动时间为 @0形对揹鼹，图； n5 c0s0= 5 此时 菱形边梗 E CQ BQ=t =t F P 2 图 B 1 CE= 2cQ- 26-) 3 在Rt△PCE中，cos0= CE 6- 3 CP 解得t= 25 11 .CQ=5-t= 30 11 过点Q作QFL轴手点F 则QF=CQ.sin0= 24 CF=CQ·cos0= 18 11 ‘0F=3-CF= 5 11 15 24 马焉橘标相差个单位， D1 Q 40 24 ®器女1为角线， 如图· 此时PQ,菱形边长 2 BQ=t =t D B 图 BQ=CQ=t' t= 5,点为 中点 Q BC Q 、3 点触标相送个单位， D2 Q 器以，一为菱形对角线，如图， 此时CP,菱形边长 3. BQ=t =5-t D B 图 4 CE 号t 在Rt△CEQ中，cos0= cQ 5-t 5 解得t= 30 11 0E=3-CE=3- 118 ot= 11 5 30 D3E=QE=CQ·sin0= = 20 11 5 ( 1820 综上所述，存在满足条件的点D,点唑标为 想)-2() 【标注】【知识点】二次函数与动点问题 2如图，抛物线划=ax2+bmc+c(a卡0)与x轴交于点A(-1,0),B(4,0)两点，与轴交于点C,且 OC=3OA,点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥轴于点E,交直线BC于点D,连接PC 图1 (1)求抛物线的解析式， (2)当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点位点Q,试问四边形 CDPQ是否能成为菱形.如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由. 9 【答案】(1)y=- 2+40+3 (2）存在这样的点Q 25 使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标是 36 或 1725 3-3 【解析】(1)由0C=30A,得C(0,3). 将A(-1,0),B(4,0),C(0,3)代入y=ax2+bc+c中， a-6+c=0 a=一4 得： 16a+4b+c=0,解得 b= 9. B c=3 4 E =3 2 3 9 故抛物线解析式为：y=一 图1 x十3. 4 (2)存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，如图1 当点Q落在轴上时，四边形CDPQ是菱形，理由是，由轴 对称的性质知：CD=CQ,PQ=PD, ∠PCD=∠PCQ B 当点Q落在，轴上时， CQ//PD LPCQ=LCPDLPCD=∠CPD 图1 DC罩P=PQ=Qc CDPQ轴于点，设 过点作 G P(n-4 9 在DDC 而Rt△CGD DG 5 CD= COS CBO pm=(++9（-+- 3 9 n2+3n .PD=CD ①或 ② 解6得3n= (不条倍n舍去” 解方程②得：n= 或=0（不符合条件，舍去）· 当 时，n= n=如图 3 当n= 7 25 如图 36 综厅存在辩的，点5伸得四边乎 是菱形，此时点 的坐标 3 Q CDPQ 725 17 25 36 3- 3 E 【知识点】二次函数与动点问题 图2 3. 已知抛物线经过原点O和z轴上一点A(4,0),抛物线顶点为E,它的对称轴与轴交于点D 直线划=-2-1经过抛物线上一点B(-2,m)且与轴交于点C,与抛物线的对称轴交于点F. 6 (1)求m的值及该抛物线对应的解析式 (2)P(x,)是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC,求出所有符合条件的点P的坐标. (3)点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速疫匀速运 动，设点的运动时间为秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形.若 能，请直接写出点的运动时间t的值；若不能，请说明理由 【答案】(1)m=3,抛物线的解折式为y=子女2-. (2)点P的坐标为乃(2+2W2,1),P2(2-2V2,1),P(2,-1). (3)存在 【解析】(1)点B(-2,m)在直线y=-2z-1上， ∴m=-2×(-2)-1=4-1=3, 所以，点B(-2,3) 又.抛物线经过原点0， ∵设抛物线的解析式为y=ax2+bc， 点B(-2,3),A(4,0)在抛物线上， 4a-26=3 116a+46=0 解得： 1b=-1 抛物线的解新式为=女-红 (2)P(,)是抛物线上的一点 Pe2-. 若SAADP=S△ADC 1 SAADO 2AD.OC SAADP= 2AD1刨 C y=-2a-1y 又C电，是真线 与轴交点， .00=1, 1 ]22 2-=1 4 即 2=工 x1=2+2W2x2=2-2W2 解得： x3=c4=2 P B(2+2W2,1)P2(2-2w2,1) 图 ·点的坐标为 P3(2,-1) （3）花物生解折式力y=女2- J顶点(2，-1)对称轴为公=2 点是直线y=一2x-与对称轴x=的交 Ma 03 点，F(2,-5)DF=5 M3 又：A(4,0) 0(92) M A(4,0) D AE=5 E(2,-1) 如图示，在点的运动过程中， 依次出现四 个菱形： 21 ①菱形 M 24 此时 AEMQ1 图2 1F2,-5) EM=AE=V5 ..MF=DF.-DE-DM =4-5 ②赞形4-V5 .此时AEOM2 DM=DE=1 .M2F=DF+DM2=6 ③菱6 .此时AEM3Q3 EM3=AE=√5 DM EMs-DE=5-1 ®E=DM+DF=(5-1)+5=4+V6 此静=菱的对线， 设对角线与 交于点，则 AMEQ4 AE AE MQ H AE⊥M4Q4 8 .易知△AED△M4EH, ME EH AE DE 即4e 2 1， 得M4E=2.5, 5 :DM4=M4E-DE=2.5-1=1.5 ∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5, t4=6.5 综上所述，存在点M、点Q,使得以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形；时间的 值为：t1=4-√5，t2=6,t3=4+√5，t4=6.5. 【标注】 【知识点】二次函数与相似三角形结合 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线划=ax2+加十√3（其中a、内常数，卡0）经过点A(-1,0) 和点B(3,0),且与，轴交于点C,点D为对称轴与直线BC的交点. 备用图 (1)求该抛物线的表达式， (2)抛物线上存在点P,使得△DPB∽△ACB,求点P的坐标. (3)若点Q为点O关于直线BC的对称点，点M伪直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否 存在这样的点M和点N,使得以Q、B、MN为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写 出点N的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-52+2y5, 3x+3 (2)(2,V③) (3) 点V的坐标为 3+333w3-3) 3-3V33W3+3 2 2 2 或(0,0)或 (3,√③) 9 【解析】（1)将A(-1,0)B(3,0)代入y=ax2+bm+V3中， 得 a-b+V3=0,解得 a-、3 Γ3 9a+3b+V3=0 2W3 b= 3 ·该抛物线的表达式为 =-32+ 2W3 3+V3 (2)当时 x=0y=V3 C(0,V3 A(-1,0) B(3,0) ..AB=4 AC=2 BC=2V3 .AB2=AC2+BC2 ∴.∠ACB为确三角形，且 设直线C的解析式为 ∠ABC=30° 将点BC代入 y=kx中V3 得B(3,0) y解很+√ 线3k的解式为k=一V3 当 B时 y女、 V 3+V3 x=1 y= 2v3 3 设识 如图p过点作m 2 3m+V3 PPE⊥OEE -2 则 在 m2+2 BE=3-m PB=-V3 3m+v3 Rt△ABC △DPBM△ACB 10 ∴∠ABC=∠DBP=30° ∴∠PBE=60°， 贸 2W3 则tan∠PBE= PE 3m+V3 =3 BE 3-m 解得m=2或m=3(舍)， 点p的坐标为2，V) (3）如图，由题藏得，直线0重直平分0Q且k0=-5, 3 'koQ =3 3 则直线0Q的解析武为y=√3x,点g的坐标为(a,√3a) 则0Q的中点的坐标为 将点。代入直生BC的解析武为 30+V3 得 +v3=3, -a 解得63， 2 02 则 2 3 、2 BQ= 3 +0- 3W3 =3 ①当 是四形 的边时，2 ,四 绿形M BQN ∴.NQ/BC NQ=BQ 3 ·菇=解折式为 ,即 NQ x v3 2 g、V3 +2√3 3 11 N 3m+2V3 NQ=BQ NQ2=BQ2 由 3)2 即 2v3 2 √3 得（m- m+2v3- =9 3 2 3±3W3 解得m= 2 3+3W3 3W3- 3-3W33W3+3 此时点N的坐标为 2 2 2 2 若MQ/BN,且BN=BQ, 根据菱形的性质可知BM垂直平分NQ, 点N与点O重合，即N(0,0): ②当BQ为四边形BMQW的对角线时， 四边形BMQN是菱形， BQ与M互相垂直平分 由B3,0 33v3 可得 212 BQ =-V3x+3V3 的中点的坐标为/ BQ H 933 44 KMN= 则 3 3/.9 3W3V3 UMN= 3 2- 4 2 由( 可得点 y= 3W3 3 M 设束y的坐标翻+3√ 22 由N 的中点m,n) 可得 MN H 93V3 44 2 +m 9 ,解得 2 4 m=3 v3 ln=√3 中点2的型标边3V3 2 综上N点 的坐梅丸3) 或 或 ·N 3+3w3 3W3-3 3-3V33V3+3 (0,0) 2 2 (3,树职点】二次函数与平行四边形 【标注】 12 5.如图，在平面直角坐标桑柔0y中，抛物线划=α(c+1)2-3与轴交于A,B两点（点A在点B的左 侧，与校于点C0,-令).顶点为D,对称随与c植交于点H,过点H的直线交地物线P,Q 两点，点Q在轴的右侧. （1)求a的值及点A,B的坐标. D (2)当直线将四边形ABCD分为面积比为3：7的两部分时，求直线的函数表达式. (3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形 DMPN能否为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由， 【答案】(1)a=3,A(-4,0),B(2,0). (2)g=a+=亭-台 (3)N的坐标为(-2V3-1,1) 【解折】(1)地物线与抽交于点c0,-骨) 0-3=8嗣：4- 1 =3+12-3. 当=0时，有e+1yP-3=0 x1=2,x2=-4 A(-4,0),B(2,0) （2）A-40.B2,0.c0,-9.D-1,-3). 0=aAm+a0a+S0=x8x3+x(g+8到x1+×2xg-10 从面积分析知，直线只能与边AD或BC相交，所以有两种情况： 3 ①当直线边AD相交与点M时，则SAAM=0×10=3, 13 2×3×(-M)=3. M=-2,点M1(-2,-2),过点H(-1,0和M(-2,-2)的直线的解析式为 y=2x+21 ②当直线边Bc相交与点M时，同理可得点（分，-2y过点-1,0和6（分，-2）的 直线，的解析式为 =-42-4 综上所述：直线的函数表达式 或 44. y=2x+2y= 一一 (3)方法一：设 且过点 的直鞋的解析式为 (1,）Q(c2,2】 H(-1,0) PQ =ka+b -k+b=0 b=k 的二+ y=kc十k 2 8 y=2+37 2+得-28 2 -k=0 :京+段2的来点h十欢=kc1+k+k2+k=3k2 由点坐标的点 假设存在这样的 鼎鞋，）· N DN//PQ O/B 设直线 的解析式为 由 DN y=ka+k-3 (y=x+k-3 28 32-3 x1=-12÷3k-1 鸭联1,3是茅形， DMPN 整理得： DN=DM 脚+=（学+g0+9 3k4-k2-4=0 14 .2+1>0 3-4=0, 解得k= 2v3 3 k<0 吊=-23 3 P(-3V3-1,6)'M(-V3-1,2)'N(-2W3-1,1)1 PM DN=2V7 DN 是平行四边形 PN 形DN为菱形， DMPN 以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(-2W3-1,1) 方法二：能，如右图 设PQ为y=k(x+1)=kz+k, (y=ka+k 则由题意得 1 y=3e+1)2-3 e+驴-3e+k x2+(2-3k)x-8-3k=0 设p(e1,h】Qg2,2) 则由韦达定理，得 1+x2=3k-2′x1x2=-8-3k1 1+=kc1+k+k2+k=k(c1+x2)+2k=3k (2判 又（ PM//DNDN:y=k(a+1)-3=ka+k-3 y=kc+k-3,得1， g=名e+P-33e=e+为 ,得 x2+(2-3k)x+1-3k=01=-12=3k-1 15 .N(3k-1,32-3) ta时P( 代入抛物线， 1(9k-1+1 2 4 32 -3=92得2= 6=± 3, 又P在第二象限， Q在6=-25M-2v5-, 方法三：此时，DM=DN, y(。1++(+v+ 22+ 9k+9k2+9=9k2+9k4 3k4-k2-4=0(2+1)3k2-4)=0, = k2=-1(舍)， 6= 3,又P在第二象限， Q在轴右侧， k 2v5 3， N(-2W3-1,1). 【标注】 【知识点】二次函数与平行四边形 心，二。2+m+c经过A-4,0B2,0两点，与y轴交于点C,顶点为D,对称轴与？ 于点H,过点H的直线交抛物线于P,Q两点，其中点P位于第二象限，点Q在轴的右侧. B (1)求D点的坐标. 1 (2)若∠PBA=2 ∠OBC 求P点坐标 (3)设PQ的中点为M,点N在抛物线上，则以DP为对角线的四边形DMPN能否为菱形？若 能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由 【答案】(1)(-1，-3). (2) 1115 2,4 (3)（-2W3-1,1 16 【解析】（1)抛物线划= 2+e+过A(-40,Bg0两点 y=e+4e-2到=(e+2a-到=e+-3 D(-1,-3) D (2)在，轴上点E-2,0y连接cB并延长CE产PB于点r过点n作FGL轴垂足为g 凉点关于轴对称， ∠OBC=∠OEC ..L0BC=LGEF 1 ∠PBA=2∠0BC .·∠PBA=∠EFB .EF=EB=4 d .0E=200= 00= 3 10 ·GF/OC ·△FGEM△COE ,即 ，解得： FG EG FG EG 4 16 12 .0C OE .EC P EG= 2 10 FG= 5 3 3 设 （腾 ,将点和点的坐标代入得： 5 解绲P 2k+b=0 y=ka+b F B 22 16 5 k+b= 5 b=1 17 :直线BP的解折式为y一2”十1 1 1 2 将2平+1写到白32+30 联立解得：2=-号2=2（舍去）， 11 3 15 y= 4 1115 P-24) (3）设p(,h)Q(2, )日过点H-1,0的直线P0的解折武为 y=ka+b -k+b=01 b=k y=k十k 由(y=k+k u= 2 323 8-k=0 解得+工2=-2，+3kh+2=k1+k+kc2+k=3k2 ,点线段1昀中点3k-1 由点坐标公绿的点 假设存在这样的 点如樾 设直线 的解析式为 由 N 解得N/PQ (舍弃)DN =kx十k-3 (y=k+k-3 2+ 2」 8 x1=-1 x2=3k-1 13= 一一 ·四边形3 是菱形 日3k-1,3k2- DMPN DN -DM +-(》+（层+） 整理得： 34,k2-4=0 辑+1>0 .3k2-4=0 =士90 k<0 2W5 3 P33-'1,6MY3-1,2w(-2v3-1,1 四边形 是平行四边形， PM-DN=2V7 PM//DN DMPN DM=DN 18 '四边形DMPN为菱形， ,以DP为对角线的四边形DMPN能成为形，此时点N的坐标为(-2W3-1,) M H GN D. 【标注】 【知识点】二次函数与平行四边形 19