专题05 二次函数中的特殊三角形存在性问题（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形存在性的系统训练，通过分类题型构建“几何性质+代数运算”的解题逻辑，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|3题|已知抛物线及顶点/动点，判断等腰三角形存在性|二次函数图像性质与等腰三角形“两边相等”判定融合，渗透分类讨论| |直角三角形存在性|3题|结合抛物线对称轴/动点，探究直角三角形存在条件|勾股定理或斜率关系与二次函数坐标表示结合，强化代数推理| |等腰直角三角形存在性|3题|以抛物线为背景，综合等腰与直角双重性质|兼具等腰与直角三角形判定，深化数形结合与方程思想|

专题05 二次函数中的特殊三角形存在性问题 常考题型·精准突破 题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题（难） 题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题（难） 题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二次函数中的等腰三角形存在性问题 1．（2026·安徽宿州·三模）已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． (1)当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； (2)已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】(1)；； (2)（i）或；（ii）或或或． 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； （2）解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 2．（25-26九年级下·河南周口·期中）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，D是其对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式． (2)在抛物线的对称轴上有一点M，使得的值最小，求点M的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P点坐标为或或或 【分析】（1）把两点的坐标代入，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点与点关于对称轴对称，所以与抛物线对称轴的交点为，此时最小，即最小值等于线段长，求出直线与抛物线对称轴交点坐标即可； （3）分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①，②，设出点 P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可；ii）当是以为底的等腰三角形时，点 P 在的垂直平分线上，，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：由抛物线的对称性可知点与点关于抛物线的对称轴对称， 设与抛物线对称轴的交点为，连接，此时最小，即最小值，如图， ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点与点关于抛物线的对称轴对称， ， 设直线解析式为， 则，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ． （3）解：∵， ∴对称轴为直线， ， 设点的坐标为， ， ， 分两种情况讨论：i）当是以为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若，则，解得（舍弃）或 6 ， 所以点的坐标为； ②若，则，解得， 所以点 P 的坐标为或； ii）当是以为底的等腰三角形时，， 则，解得：， 所以点的坐标为； 综上所述，点的坐标，分别是或或或． 3．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． ◆题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题 4．（25-26九年级上·江西上饶·期末）如图，已知抛物线经过，两点． (1)求的值． (2)若点为抛物线上一动点，的面积为8时，求点的坐标． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使为直角三角形的点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或或； (3)点的坐标为或或或 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到直角三角形的性质、面积的计算，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）求得，由三角形面积求出，解方程，即可求解； （3）分别以点B、P、C为直角顶点，三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把，代入中得： ， 解得，； （2）解：由（1）知，， 设点， ∵，， ， 的面积为8， ， 当时，，即， 解得， ∴点的坐标为； 当时，，即， 解得，，， ∴点的坐标为或， 综上，点的坐标为或或； （3）解：抛物线解析式为， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴, 设， ， ，， ， 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为或； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 当时，则， ， 解得：， 点的坐标为； 综上所述，存在这样的点，使得为直角三角形，点的坐标为或或或． 5．（25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)若直线经过，两点，求抛物线和直线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点，求点的坐标，使面积最大． (3)设点为抛物线的对称轴上的一个动点，是否存在点，使为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为；直线的解析式为， (2) (3)或或或． 【分析】（1）将已知点坐标代入解析式，结合已知对称轴构建三元一次方程组求解；将点B，C坐标代入直线解析求解得参数值，进而得解析式； （2）设点的坐标为，连接，然后表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． （3）首先利用勾股定理求得，，的长，然后分别从点为直角顶点、点为直角顶点、点为直角顶点去分析求解即可求得答案． 【详解】（1）解：根据题意，得 ，解得， ∴抛物线解析式为； 令，解得， ∴． 由直线经过两点，得 ，解得， ∴直线解析式为． （2）解：设点的坐标为，连接， 因为对称轴为，， 所以，故， 因为，故， ， ∴当时，的面积最大，此时点的坐标为； （3）解：设， 又，， ，，， ①若点为直角顶点，则， 即：，解得：； ②若点为直角顶点，则， 即：，解得：， ③若点为直角顶点，则， 即：， 解得： ， ； 综上所述的坐标为或或或． 6．（2026·广东广州·一模）如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． ◆题型3 二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 7．（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）如图，抛物线经过点、，与直线交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P位于直线下方时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)的面积的最大值为8， (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作轴，交于点E，先表示，，得出，故，再利用二次函数的性质求解即可； （3）因为，且是等腰直角三角形，得，由（2）知，所以，，则，再解出方程，即可作答． 【详解】（1）解：抛物线经过点、， ， 解得   抛物线的解析式为， （2）解：抛物线的解析式为与直线交于B、D两点． ， 解得，， 把代入，得， 点D的坐标为， 如图1，过点P作轴，交于点E， 则，， ， 点B的坐标是 ， 当时，的面积的最大值为8， 此时． （3）解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H， 轴于H， ， 是等腰直角三角形， ， 由（2）知， 点H的坐标为， 由（1）可知， ，， ， 或， 即或， 当时， 解得或（舍去）， 此时； 当时， 解得或（舍去）， 此时， 综上，点P的坐标为或． 8．（25-26九年级下·山东烟台·期中）如图，二次函数的图象与直线交于点和点，对称轴是直线，过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C．M是抛物线上任意一点，其横坐标是m． (1)求抛物线的函数关系式； (2)当点M在直线上方时，若，求m的值； (3)设N是直线上的点，是否存在点M和点N的位置，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请求所有m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，，，． 【分析】（1）先求出点B的坐标，再用待定系数法求解即可； （2）在A点上方的y轴取点D，连接，求出使得的点D的坐标，求出过点D且平行的直线的解析式，再运用求交点横坐标的方法求解m即可； （3）作于点E，于点F，根据题意可知当，时，是以为斜边的等腰直角三角形，从而根据列出m的方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得： ∴点B坐标为 由题意，， 解得，， ∴抛物线的函数关系式是． （2）当时，， ∴， ∵点B坐标为，抛物线对称轴为直线， ∴点C坐标为， 由题意， 在A点上方的y轴取点D，连接，设，则，即， 解得， 过点D作的平行线交抛物线于点M， 由题意，该直线函数关系式为 令 解得，， 或 （3）存在．，，，． 作于点E，于点F ， 当，时，， ， ， ∴， ∴当，时，是以为斜边的等腰直角三角形． ， 解得，，，，． 9．（25-26九年级下·黑龙江绥化·开学考试）综合与探究 如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线经过B、C两点，若点，，点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点P作直线轴于点D，交直线于点E，当时，求P点坐标； (3)若点F是直线上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P，使是以为斜边的等腰直角三角形．若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在，P点坐标为或或 【分析】（1）把，代入，解方程组，求出a，b的值，即得； （2）求出，直线的解析式，设，则，分，， 和 ，四种情况解答； （3）过点F，P作轴于G，轴于H，得，根据等腰直角三角形．得，得，得，得，设，分和两种情况解答． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴于，两点， ∴， 解得， ∴； （2）解：∵中，当时，， ∴， ∴设直线的解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 当时，如图： ，， ∵， ∴， 解得（舍去），（舍去）， ∴点P不存在； 当时，如图： ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图： ，点P不存在； 当时，如图： ，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， 故点坐标为，； （3）解： 过点F，P作轴于G，轴于H，则， ∵是以为斜边的等腰直角三角形． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，， 当时，， 当时，， ∴P坐标为或； 当时，如图， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴, 解得，（舍去）， 此时， ∴P坐标为； 故P坐标为或或． 综合攻坚·知能拔高 1．（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的表达式为，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设，则，，可得到用m表示的长，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）先求出，分类讨论：①当时，②当时，③当时， 【详解】（1）解：把点代入，得： ， 解得： 抛物线的表达式为； 设直线解析式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 答：抛物线的表达式为，直线的解析式为． （2）解：如图 设，则， ∵抛物线与轴相交于点， ∴． ∵， ∴； ∴当时，取得最大值； （3）解：由（2），得 ，， ∴． ①当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴． ②当时，如图 ∵， ∴由勾股定理，得 ． 即， 整理，得 ， ， ， 解得或（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）， ∴． ③当时，如图， ∵轴于点M， ∴， ∴， 即， ∴当时，不符合题意，舍去． 综上，存在满足条件的点M，其坐标为或． 2．（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，已知抛物线经过两点，与轴交于点，连接，．是线段上一动点，过点作轴，交抛物线于点，交线段于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当时，求出点和点的坐标； (3)连接，当是等腰三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数的表达式，等腰三角形的定义，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出，则可求出直线的函数表达式为，设，则，则可得到，解方程即可得到答案； （3）设，则，分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在中，当时，， ∴； 设直线的函数表达式为，则， ∴， ∴直线的函数表达式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知，直线的函数表达式为， 设，则， ∵， ∴， ， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去） ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或． 3．（25-26九年级上·四川德阳·期末）如图，已知抛物线与轴交于点，与轴交于，，点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，分别与直线和抛物线交于、两点，连接、． (1)求抛物线的解析式； (2)求出当的面积为3时，的值； (3)在轴上有一个点，恰好是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)的值为 (3)或或或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，三角形面积求解问题等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点、的坐标代入即可； （2）利用点、的坐标求出直线的解析式，推出点纵坐标，再由点纵坐标得到长度，根据，即可推出答案； （3）设点的坐标为，由，可知，，，，根据题意，分类讨论：①当时， ②当时， ③当时，三种情况分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：将，代入中， ， 解得：，， 抛物线的解析式为：； （2）解：对，令，则， ∴； 如图 设直线的解析式为：，将，代入，得 ， 解得：，， 直线的解析式为：， ，，点、分别是抛物线和直线上的点， 点坐标为，点坐标为， ， ，， ， 解得：，， ，，符合点是线段上的一个动点， 的值为． （3）解：设点的坐标为：， 由，可知， ，，， 若是等腰三角形，则 ①当时，即，得，解得：，， ∴点的坐标为或； 如图 或 ②当时，即，得，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为； 如图 ③当时，即，得，解得：， ∴点的坐标为； 如图 综上，恰好是等腰三角形时，点的坐标为或或或． 4．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为、、或 【分析】（1）代入两点坐标求解二次函数表达式； （2）通过设点坐标，结合直线方程表示线段长度，利用二次函数配方法求面积最大值； （3）分，，三种情况讨论，当，时，结合全等三角形与设直线方程求解；，时，利用等腰直角三角形的判定与性质求解． 【详解】（1）解：将、代入，得 ，解得， 故二次函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为． 将，代入， 得，解得， ∴直线的解析式为． 设点的坐标为，过作轴的垂线，交直线于点，则的横坐标为，则， ∴， ∴的面积． ∵， ∴函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值． （3）解：①如图，当，点在直线上方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， ∵， ∴． 又∵，且， ∴． 在和中： ∴， ∴，． ∴． ∵， ∴设直线的函数解析式为， 将、代入得： 对两个方程进行整理： 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去负值)． ②如图，当，点在直线下方时，对称轴与轴交点为，在轴上截取，过点作轴垂线交于点，设，则， 同理，． ∴． 设直线的函数解析式为， 将、代入得：， 由方程②，得，将其代入方程①： 展开并整理得到：， ∴(舍去正值)． ③如图，当时，对称轴与轴交点为， ∵，且， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∴． ④如图，当时，过点作轴，易得． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 综上，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数表达式、二次函数与几何图形的面积问题以及特殊三角形存在性问题，涵盖代数运算、函数性质、几何图形判定与计算三大模块．第（1）小题很好解决，第（2）小题中需要用铅垂高法求的最大面积，第（3）小题需要分三种情况结合几何图形性质求解． 5．（25-26九年级上·山东济南·期末）综合与探究，如图，抛物线与y轴交于点，对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知在x轴上存在一点D，使得的周长最小，则点D的坐标为　 ； (3)若点P在直线上，直线将的面积分成两部分，求点P坐标． (4)点Q在直线上，在抛物线上是否存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)P的坐标为或 (4)在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【分析】（1）由对称轴直线，以及A点坐标确定出b与c的值，即可求出抛物线解析式； （2）如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则，此时取得最小值，则此时的周长最小，再求出直线解析式，即可求解； （3）求出直线解析式为，设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则，可得，然后根据直线将的面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）设点Q的坐标为，设交y轴于点K，则，分四种情况，通过证明三角形全等，求出M的坐标，再代入即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点，对称轴为直线， 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）对称轴为直线，， 点B横坐标为，C横坐标为1． 把代入抛物线解析式得：， ． 如图1，作点关于x轴的对称点为点，连接交x轴于点D，则， 此时取得最小值，则此时的周长最小， 设直线解析式为，将点B的坐标代入得：， 解得：， 直线解析式为， 当时，， 解得：， 点D的坐标为， 故答案为：； （3）解：由（2）得：， 设直线解析式为， ，解得：， 直线解析式为， 设直线l与交于点P，如图2，过P作轴，垂足为H，设与y轴交于点S，则，则， ， ， 直线将的面积分成两部分， 或， 或， ， 或， 或， 点P的横坐标为或， 把代入得：， 此时； 把代入得：， 此时， 综上所述，点P的坐标为或； （4）在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或，理由如下： 设点Q的坐标为， 设交y轴于点K，则， 根据题意得：， 如图3，过点M作于点N，则，此时, ， ， 在和中 ， ， , ， 点， 把点代入得：， 解得：（不合题意，舍去）或0， 此时点Q的坐标为； 如图4，过点Q作轴于点Q，过点M作于点G，过点A作于点E，此时，, 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或（不合题意舍去）， ； 如图5，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得： （不合题意舍去）或， ； 如图6，过点Q作轴于点Q，过点M作于点N，过点A作于点E，此时， 同理， ， ， 点， 把点代入得：， 解得：或0（不合题意，舍去）， 点； 综上所述，在抛物线上存在点M，使是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为或或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式，二次函数性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，分类讨论是解答本题的关键． 6．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于点A，B，C三点，点，点，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)求面积的最大值； (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合题、等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）过点P作x轴的垂线，交于点D，求得直线的解析式为，设，，则，进而得到，当时，有最大值，最大值为； （3）延长交x轴于点H，若为等腰直角三角形，则，由（2）知，根据抛物线的对称轴为得到或，据此列方程解答即可． 【详解】（1）解：将点，点代入得： 解得 因此，抛物线的解析式为； （2）解：过点P作x轴的垂线，交于点D， 将代入得， 则点， 设直线的解析式为， 将、代入得 ， 解得， 则直线的解析式为， 设，， 则， 因此， 当时，有最大值，最大值为； （3）解：存在点P使为等腰直角三角形，理由如下： 延长交x轴于点H，如图： ， ， ， ， ， 轴、轴， ， 若为等腰直角三角形，则， 由（2）知，设，，且，则， 抛物线的对称轴为直线， 或， 或， 解得或（不合题意舍去）或或（不合题意舍去）， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 7．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）如图，已知抛物线与轴交于点、，顶点为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线上方的一个动点，设的面积为，求出的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)存在，或或或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）将点A、B的坐标代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得a、b的值即可；利用配方法将函数解析式转化为顶点式，即可得到点M的坐标； （2）利用待定系数法确定直线解析式，由函数图象上点的坐标特征求得点E、F的坐标，然后根据两点间的距离公式求得长度，结合三角形的面积公式列出函数式，根据二次函数最值的求法求得点E的横坐标，易得其纵坐标，则点E的坐标可得； （3）需要分类讨论：点A、P、C分别为直角顶点，利用勾股定理求得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点、， ，解得， ，则； （2）解：如图，作轴交于点 ，， 直线解析式为：， 设，则， ， ， 当时，， 此时，点的坐标是； （3）解：设，、， ，，， 当时，，即解得； 当时，，即解得； 当时，，即解得或． 综上所述，存在，符合条件的点的坐标是或或或． 8．（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 【答案】(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 9．（25-26九年级上·广东汕头·期末）已知抛物线的图象经过点，与轴交于点，其对称轴为直线，过点作轴交抛物线于点，的角平分线交线段于点，点是抛物线上的一个动点，设其横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若动点在直线下方的抛物线上，连接、，当为何值时？四边形面积最大，并求出其最大值； (3)如图2，是抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在点使为以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，有最大值是 (3)，，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，二次函数的图象和性质，利用二次函数解决最值问题，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解一元二次方程，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． （1）利用点的坐标和对称轴求出的值即可； （2）作轴，交于点，根据角平分线的性质得出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，则，然后根据图形面积列出二次函数解析式，根据顶点式求出最值即可； （3）分两种情况进行讨论，根据一线三垂直的模型，证明三角形全等，得出相等边，根据坐标表示出线段的长度，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 由对称轴为直线得，， ∴， ∴， 解得， 则， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图2，作轴，交于点， 假设， ∵平分，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：, 则直线 的解析式为：， ∴， ∴， ∴ ， ∵ ∴当时，有最大值是； （3）解：如图3，过点作轴，交轴于点，交对称轴于点， ∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 如图4，过点作轴于点，过点作于点，连接， 同理得， ∴， 则， 解得或， ∴点的坐标为或； 综上所述，点的坐标为，，，． 10．（25-26九年级上·吉林松原·期末）如图，已知抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点．设点为抛物线上的一点，其横坐标为． (1)直接写出坐标：点__________，点______________； (2)当点与点关于抛物线对称轴对称时，求的值； (3)若抛物线上点与点之间（包含点和点）的部分的图象记为图象，图象的最高点和最低点纵坐标的差记为． ①当和时，分别求的值； ②当时，直接写出的取值范围； (4)点是线段上异于、的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点，当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)； (3)①当时，；当时，；②或； (4)或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． （1）令，求出x的值，即可求解； （2）根据题意可得抛物线的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （3）根据题意可得该函数最高点为，分别求出当和时，点P的坐标，即可求解； （4）分两种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：当时，， 解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与轴相交于点， ∴当时，， ， ∵点与点关于抛物线对称轴直线对称， ， 即； （3）解：①， ∴抛物线的顶点为， ， ∴抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为， 当时，， ， 此时； 当时，， ， ∵该抛物线最高点坐标为， 此时； ②当时，图象G的最高点为， 此时满足； 当点A为最高点时， ∵， ∴点P的纵坐标为， 此时， 解得：， 当时，（不合题意舍去）， ∴当或时，； 综上所述，m的取值范围为或； （4）解：点M的坐标为或，理由如下： 如图，当时，则轴， ∴点C和点M关于对称轴对称， ∵点C的坐标为，抛物线的对称轴为直线， ∴点M的坐标为； 如图，当时，则轴于点F， ， ， ， ， 设，则， ∴点M的坐标为， 把代入，则， 解得：（不合题意，舍去）， ∴当时，， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数中的特殊三角形存在性问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题（难） 题型2二次函数中的直角三角形存在性问题（难） 题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题 1. 【答案】（①）y=x2-6x+5:A(1,0):B(5,0) (②)（①）a=0或a=4:()(14+2)或0,4-v2)或L,-2)或(1，-3). 【详解】(1)解：当a=3时，抛物线解析式为y=x2-6x+5, 当y=0,则x2-6x+5=0,解得x=1或x=5, .A1,0),B(5,0): (2)解：(i):点M(2,ym)在该抛物线上， .yw=4-4a+a2-4=a2-4a, 当yM=0,则a2-4a=0, 解得a=0或a=4: (i)当a=1时，抛物线解析式为y=x2-2x+1-4=(x-1)-4, ∴顶点P(1,-4),w=(2-1)2-4=-3, M(2,-3), .PM=V(2-I2+(-3+4)}=V2, 设点(1y). 1/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△PM0是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形-：Pg=PM=V2, P0=y-(-4=y+4=2, ∴y=-4±V2 .1,-4+2)或1,4-2)： 情形二：Mg=PM=V2, .M0=V1-2}+(y+3)2=V1+(y+3)}=2, .1+(0y+3)2=2, .y+3=+1 .y=-2或y=-4, 当y=-2时，Q1,-2), 当y=-4时，Q(1,-4),与顶点P重合，舍去： 情形三：Pp=Mg, y+4=V1+(y+3},即(y+4)2=1+(0y+3), 解得=-3，此时(1，-3)： 综上所述，满足条件的点Q的坐标为1,4+V2)或1-4-2)或L,-2)或（仙，-3）。 2. 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2(1,2) ③作在.P点坐标为0或(o或(o)或1 【详解】(1)解：把A(-1,0),C(0,3)代入y=-x2+bx+c, -1-b+c=0 得：1c=3 [b=2 解得：c=3’ 抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3; 2/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称， 设BC与抛物线对称轴的交点为M,连接AM,此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC,如图， M D :y=-x2+2x+3=-(x-1)+4 ∴，抛物线的对称轴为直线x=1, :A(-1,0),点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴.B3,0) 设直线BC解析式为y=kar+m, 3k+m=0 k=-1 则m=3 ，解得m=3 ∴.直线BC解析式为y=-x+3 当x=1时，y=2, .M(1,2) (3)解：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, .对称轴为直线x=1, ∴.D1,0) 设点P的坐标为(L,), C(0,3), .CD2=12+32=10, 分两种情况讨论：)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若PC=CD,则1P+-3)2=10,解得1=0（舍弃）或6， 所以点P的坐标为(L,6): ②若PD=CD,则t2=10,解得t=±10 所以点P的坐标为1,0)或1，-V0): i)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD, 3146 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则1+-3}=中，解得：1= 31 所以点p的坐标为。 综上所述，点p的坐标，分别是6或1o》或(-而)或1到 3 【答案】(1)y=-x2+2x+3 3)存在，点P的坐标为PL,0)或P,v6)或P,-V6)或P1,1) 【详解】(1)解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c得， -1-b+c=0∫b=2 -9+3b+c=0:解得1c=3, ∴抛物线的解析式为y=-x+2x+3」 (2)解：设D(,-+21+30<1<3),过点D作DH⊥x轴于点H, 由抛物线的解析式y=-x2+2x+3, 令x=0时，y=3 .C(0,3), .0C=3, B(3,0),D(,-+21+3),且点D在第一象限， .OB=3,OH=t,DH=-2+2t+3,BH=3-t, S,BCn=S梯形ocDH+S,BHD-S,Boc 小849y 4/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f+2r+6-3+a+9f-2-3-) =3+则) 3 2 <0 27 “当=2时，ABCD的面积的最大值为 (3)解：设P(1,m), ①当AC=CP时，如图， B .A(-1,0),C(0,3), .AC=V2+32=V10, ∴.CP=V+(m-3)2=1o, 解得m1=0,m2=6。 .P(1,0)或P1,6), 设直线AC的解析式为y=a+n, -k+n=0 把A(-1,0)C(0,3)代入得n=3 [k=3 解得1n=3' ∴直线AC的解析式为y=3x+3, 当x=1时，y=3×1+3=6」 .P(L,6)在直线AC上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， .P1,0): 5/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当AC=AP时，如图， P 由①可知AC=√0 ∴.AP=V1+1}+m2=10, 解得m=±V6, p,6)或P1,-6): ③当AP=CP时，如图， A(1,0),C(0,3),P(1,m), .V1+1)+m2=V2+(m-32, 解得m=1, .P(1,); 综上所述，点p的坐标为P1,0)或P1,6)或P(1,-6)或P1,1). ◆题型2二次函数中的直角三角形存在性问题 4. 【答案】(1)a=-1,b=-2 (2)点D的坐标为(-1,4)或-1+22，-4)或(-1-22,4)： 6/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：把A(,0),B(-3,0)代入y=ar2+br+3(a≠0)中得： [a+b+3=0 9a-3b+3=0’ a=-1 解得，1b=-2 (2)解：由(1)知，y=-x2-2x+3, 设点D(xy), A1,0,B(-3,0), .AB=4, △ABD的面积为8， y=4, 当y=4时，-x2-2x+3=4,即x2+2x+1=0, 解得x=-1, ∴点D的坐标为(1,4)： 当y=-4时，-x2-2x+3=-4,即x2+2x-7=0, 解得，x=-1+2V2,为2=-1-22， ∴点D的坐标为(1+22,4或-1-22,4)， 综上，点D的坐标为(-1,4)或(1+22，-4)或(-1-22,4)： (3)解：抛物线解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)}+4, :抛物线y=-(x+1)+4的对称轴为直线x=-1, 当x=0时，y=3, .C(0,3), 设P(-1,m), B(-3,0),C(0,3). .Bp2=[-3-(（-1]+(0-m}=4+m2,Cp2=(1-0}+(m-3}=m2-6m+10, 7146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18, 当∠BPC=90°时，则BP2+CP2=BC2, ∴.4+m2+m2-6m+10=18, 解得：m=3tv17 2 点。的坐标为 当∠BCP=90°时，则BC2+CP2=BP2, .18+m2-6m+10=4+m2, 解得：m=4, ∴点P的坐标为(-1,4)； 当∠PBC=90°时，则BC2+BP2=Cp2, ∴.18+4+m2=m2-6m+10, 解得：m=-2, 点P的坐标为(1，-2)： 绿L达行在这样的点p使新℃为直箱三布形，点。的壁标为(1利丙“：)皮 △BPC 或(-1，-2) 5. 【答案】()抛物线的解析式为y=-x-2x+3;直线BC的解析式为y=x+3, 回》 【详解】(1)解：根据题意，得 b 2a -1 a+b+c=0,解得a=-1, b=-2 c=3 c=3 8/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3: 令-x2-2x+3=0,解得x=1,x3=-3, ∴B(-3,0) 由直线y=mx+n经过B(-3,0,C(0,3)两点，得 -3m+n=0 m=1 n=3 ,解得n=3' ∴.直线BC解析式为y=x+3 (2)解：设点M的坐标为m,-m-2m+3),连接OM, M B O 4 因为对称轴为x=-1,A(1,0). 所以B(-3,0),故0B=3, 因为C(0,3),故0C=3, S&BCM=SBOM+S&COM-SBOC *3x(-2m+3x-m3x 33227 =- 2+ 8 315 当m= 2时，△BCM的面积最大，此时点M的坐标为24)： (3)解：设P(1,), 又B(-3,0).C(0,3). .BC2=18,PB2=(-1+3)2+t2=4+t2,PC2=(1)2+t-3)2=t2-6t+10, ①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2, 即：18+4+=-6t+10,解得：t=-2: ②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB, 即：18+-6t+10=4+2,解得：t=4, 9146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2, 即：4+2+t2-6t+10=18, 项，4 解得：6=3+v7 2 6. 【答案】(1)y=-x2+2x+3,E(1,4) a号 3)存在，(1，-2)或1,4) 【详解】(1)解：将点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c, 0=a-b+c a=-1 得0=9a+3b+c,解得 b=2」 3=c c=3 故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 2 对称轴为直线=一 =1 2×(-1), 当x=1时，y=-()+2×1+3=4, 故点E的坐标为(1,4)」 (2)解：假设平移后的函数表达式为y=-x2+2x+3-m, 假设直线BC所在的函数表达式为yc=kacx+bc, 将点B(3,0),C(O,3)代入yac=kacx+bac, ∫0=3kc+bc∫kc=-1 得3=bc ，解得1bc=3' 故直线BC所在的函数表达式为yc=-x+3 由于平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点， 即方程-x2+2x+3-m=-x+3仅有一个实数解， 整理得x2-3x+m=0, 故b2-4ac=(-3)2-4m=0, 101/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 解得m Γ4· (3)解：假设点P的坐标为(1，n), .P(1,n).B(3,0).C(0,3). :BC=V③+(3)}=3W2,BP=V3-1+(}=Vm+4,CP=V+(n-3=Vm2-6m+10, 当PB为直角△PBC的斜边时， BP2 BC2 +CP2, 即n2+4=18+n2-6n+10, 解得n=4； 当PC为直角△PBC的斜边时， PC2 =BC2+BP2, 即n2-6n+10=18+n2+4, 解得n=-2; 故点P的坐标为(1，-2)或(1,4). ◆题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 7. 【答案】(1)y=x2-x-6 (2)ABDP的面积的最大值为8，P(1,-6) 3)(4,6)或(2，-4) 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,-6), 「9+3b-6=0 c=-6 [b=-1 解得c=-6 ∴.抛物线的解析式为y=x2-x-6, (2)解：：抛物线的解析式为y=x2-x-6与直线y=r-3交于B、D两点. ∴.x-3=x2-x-6, 11/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x=-1,x2=3, ∴把x=-1代入y=x-3,得y=-4, ∴点D的坐标为-山，-4)， 如图1，过点P作PE‖y轴，交BD于点E, AOEB C 则P(,-1-6),E,t-3), .PE=t-3-(t2-t-6)=-2+2t+3, ·点B的坐标是(3,0) ∴.S△BDP=SADPE+S△BPE =号PE-(-o)+PE(,-) -E-() =2(-t+21+3) =-2(t-1)2+8, ∴.当t=1时，△BDP的面积的最大值为8， 此时P(1,-6)」 (3)解：如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点H, 12/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A 轴于H, C 图2 PH⊥x ∴.∠PHA=90°， :△AHP是等腰直角三角形， .AH=PH, 由(2)知P%,2-t-6), 点H的坐标为(，0)， 由(1)可知A(-2,0), AH=t-(（-2=t+2,PH=-t-6, ∴+2=2-1-6， :1+2=2-t-6或1+2=-(-1-6)， 即t2-2t-8=0或t-4=0, 当2-2t-8=0时， 解得1=4或t=-2(舍去)， 此时P(4,6): 当t2-4=0时， 解得1=2或1=-2（舍去）， 此时P(2,-4), 综上，点P的坐标为(4,6)或(2，-4) 8. 【答10女-2 (2)2+V0或2-V10 13/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3)存在，m=2V2,m=-22,m=2+2W5,m4=2-25 【详解】(1)解：将B(4,m)代入y=x-2得，4=n-2 解得：n=2 ∴点B坐标为(4,2) [16a+4b+c=2 由题意， b 2a c=-2 a=} 2 解得， b=-1 c=-2 ∴抛物线的函数关系式是y= r-2 1 (2)当x=0时，y=2x-x-2=-2, 2 A(0,-2), :点B坐标为(4,2)，抛物线对称轴为直线x=1, ∴点C坐标为(-2,2)， .BC=6 wc- 2×6×4=12 白题高，S侧一底=6 在4点上方的抽取点D.适接0：设5=6，则4D-,=6,即时04=6， 解得AD=3, D(0,1) 过点D作AB的平行线交抛物线于点M, 14/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B A 由题意，该直线函数关系式为y=x+1 令7x-x=2=x+ 解得，x=2+V0,x2=2-√10 .m=2+V10或2-V10 (3)存在.m=2V2,m2=-2V2,m=2+25,m4=2-25. 作ME⊥BC于点E,AF⊥ME于点F NE ∴.∠MEN=∠F=90°∠NME+∠MNE=90° 当AF=ME,∠AMN=90°时，∠AMF+∠NME=90 ∴.∠AMF=∠MNE】 .△EMN≌△FAM, .AM MN, ·当AF=ME,∠AMN=90°时，△AMN是以AN为斜边的等腰直角三角形. p--m-2, 解得，m=2√2，m,=-2V2,m=2+23,m,=2-25. 15/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)y=x2+4x-5 (2)R(-3,-8).E(3,16) (3)存在，P点坐标为(-1，-8)或(-2，-9)或(2,7) 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-5交x轴于A(1,0),B(-5,0)两点， a+b-5=0 .125a-5b-5=0 「a=1 解得1b=4’ .y=x2+4x-5: (2)解：y=x2+4x-5中，当x=0时，y=-5, C(0,-5), ∴设直线BC的解析式为y=cr-5, B(-5,0), .-5k-5=0 k=-1, y=-x-5, 设P(x,x2+4x-5), 则E(x,-x-5)」 当x<-5时，如图： V D A PE=x2+4x-5-(-x-5)=x2+5xDE=-x-5 PE=3ED. .x2+5x=3(-x-5), 解得x=3(舍去)，七=5（舍去）， ∴点P不存在； 16/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当-5<x<0时，如图： B o E P PE=-x-5-(x2+4x-5=-x2-5x,DE=x+5 -x2-5x=3(x+5), 解得=-3，或=-5（舍去）， x2+4x-5=-8, R(-3,-8): 当0<x<1时，如图： B ,点P不存在； PE<CE 当x>1时，如图： B OA PE=x2+4x-5-(（-x-5)=x2+5xDE=x+5 r2+5x=3(x+5), 解得5=3，。=-5（舍去）， 17/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .x2+4x-5=16, B(3,16), 故P点坐标为R(-3,-8),B(3,16): (3)解：过点F,P作FG⊥x轴于G,PH⊥x轴于H,则∠AGF=∠AHP=90°， ,△AFP是以PF为斜边的等腰直角三角形. .AF=AP,∠PAF=90°， ∴.∠FAG+∠PAH=∠APH+∠PAH=90°， .∠FAG=∠APH, .△AFG≌aPAH(AAS). .AH=FG,PH=AG, 设P(m,m2+4m-5）, 当-5<m<1时，如图， AH=1-m,PH=-m2-4m+5 .FG=1-m, .-x-5=1-m, .x=m-6, .F(m-6,1-m), .AG=1-(m-6)=7-m .-m2-4m+5=7-m, 解得m=-1,m,=-2, 当m=-1时，m2+4m-5=-8, 当m=-2时，m2+4m-5=-9, .P坐标为(1，-8)或(-2，-9)： 当m>1时，如图， 18/46 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AH =m-1,PH =m2+4m-5 .FG=m-1, ∴.-x-5=m-1, ∴.x=-m-4, .F(-m-4,m-1). AG=1-(-m-4)=m+5, ∴.m2+4m-5=m+5, 解得m=2,m=-5(舍去)， 此时m2+4m-5=7, P坐标为(2,7)； 故P坐标为(-山，-8)或(-2，-9)或(2,7) 综合攻坚知能拔高 1. 【答案】()抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3 好 3)(1,0)或(2,0) 【详解】(1)解：把点A(-l,0),B(3,0)代入y=ar2+bx+3,得： 19/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+3=0 9a+3b+3=0? a=-1 解得：1b=2 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+2x+3: 设直线BC解析式为y=c+b, 直线BC经过点B,C, 3k+b=0 b=3 「k=-1 解得b=3· ∴直线BC的解析式为y=-x+3 答：抛物线的表达式为y=-x2+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3. (2)解：如图 M 设M(m,0),则E(m,-m2+2m+3),F(m,-m+3) :抛物线y=-x2+2x+3与y轴相交于点C, .C(0,3). E(m,-m2+2m+3), .EF=(m2+2m+3）-(-m+3)=-m2+3m=- 3 9 ∴当m=2时，EF取得最大值4： (3)解：由(2)，得 M(m,0),E(m,-m2+2m+3),F(m,-m+3),C(0,3), 201/46 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.EF=-m2+3m,CF=Vm2+m2 =m2,CE=m2+(-m2+2m)2. ①当ECF=90°时，如图 F B .∠ECF=90° 由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2 即m2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2. m2(m-1)=0, 解得m=1或m=0(不符合题意，舍去)， .M(1,0) ②当LCEF=90°时，如图 :∠CEF=90°， 由勾股定理，得 CE2+EF2=CF2 即m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m)}2=2m2, 整理，得 m2(m2-4m+4）+m2(m2-6m+9)-m2=0, m2(m2-5m+6）=0. 21/46 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 m2(m-2)(m-3)=0, 解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)或m=3(不符合题意，舍去)， .M(2,0) ③当∠CFE=90°时，如图， .EM⊥x轴于点M, .∠EMB=90°， ∴.∠MFB<90° 即∠CFE<90°， 当∠CFE=90°时，不符合题意，舍去， 综上，存在满足条件的点M,其坐标为(1,0)或(2,0)」 2. 【答案】(1)y=x2-x-6 (2)M(2,-4),(2,-2) a0x.或[0 【详解】(1)解：：抛物线y=ax2+bx-6经过A(-l,-4),B(3,0)两点， a-b-6=-4 .19a+3b-6=0' a=1 解得1b=1' .抛物线的函数表达式为y=x2-x-6； (2)解：在y=x2-x-6中，当x=0时，y=6, .C(0,6): 22/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 「3k+b=0 设直线BC的函数表达式为y=c+b(k≠0)：则b=6, 「k=2 .b=6' ∴直线BC的函数表达式为y=2x-6, 设P(p,0)(0≤p≤3)，则N(p,2p-6),M(p,p2-p-6) .PN=-(2p-6)=-2p+6. PN-0C,OC-6' .PN=2, -2p+6=2, p=2. .2p-6=2×2-6=-2,p2-p-6=22-2-6=-4, .M(2,-4),N(2,-2): (3)解：由(2)可知，直线BC的函数表达式为y=2x-6, 设P(n,0)(0≤n≤3)，则N(n,2n-6), :A(-1,-4),C(0,-6), Aw2=(-1-m}'+[-4-(2n-6)]=5m2-6n+5, AC2=(-1-0)}+[-4-(-6)]=5, Cw2=(0-m}+[-6-(2n-6)]=5n2, 当AW=AC时，则AN2=AC2, 5n2-6n+5=5, 6 解得n=5或m=0（舍去)， 点P坐标为含0 当AW=CN时，则AW2=CW2, .5n2-6n+5=5n2, 5 解得n=6, 23/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点P的标为[0： 当AC=CN时，则AC2=CN2, .5=5n2, 解得n=1或n=-1(舍去) ∴点P的坐标为，0)： 综上所述，点P的坐标为 3. 9 【答案】(1)y= 3x2_ x+3 4 4 (2)m的值为-2±V2 9Lo0g0或a0支0】 【详解】(1)解：将A(-4,0),C(1,0)代入y=ar2+bx+3中， 16a-4b+3=0 a+b+3=0, 解得：a=- 4’ b=、9 4’ :抛物线的解析式为：y=_9 44x+3: (2)解：对y= _32_9 44+3,令x=0,则y=3, .B(0,3). 如图 设直线AB的解析式为：y=+d(k≠0)，将A(-4,0),B(0,3)代入，得 24/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [-4k+d=0 d=3 解得：3 ’d=3: :直线AB的解析式为：+3， :M(m,O),EM⊥AO,点E、D分别是抛物线和直线AB上的点， 3 D点坐标为m,m+3 E点坐标为m,一4m 2m+3 ED=-3 4m+3-3 3 m+3=- 3m2-3m, 4 4 4 4 (ED.AM+ED-MO)-ED-AO,0 2 解得：m=-2-V2,m,=-2+2, :-4≤-2-V2≤0，-4≤-2+V2≤0，符合点M(m,0)是线段0A上的一个动点， ∴.m的值为-2±√2 (3)解：设点F的坐标为：(，0)， 由A(-4,0),B0,3)可知， AB2=25,AF2=(+4),BF2=2+9, 若△ABF是等腰三角形，则 ①当AB=AF时，即AB2=AF2,得+4)=25，解得：4=1,52=-9， ∴点F的坐标为(1,0)或(-9,0)： 如图 VA 或 ②当AB=BF时，即AB2=BF2,得P+9=25,解得：4=4，=-4（舍去）， 25/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点F的坐标为(4,0)： 如图 @当4=BF时，即AF2=2,得r+9=+4,解得：1= 8 7。 ∴点F的坐标为80月 如图 综上·△1Bp恰好是等腰三角形时，点F的坐标为亿0)或(9,0)或4.0)或名0 4. 【答案】(1)y=x2+2x-3 7 ②8 (3)存在， 点g%e (-1,2)或Q(-1,-4) 【详解】(1)解：将A(-3,0、B(1,0)代入y=ar2+bx-3,得 9a-3b-3=0a=1 a+b-3=0,解得1b=2: 故二次函数表达式为y=x2+2x-3； 26/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设直线AC的解析式为y=r+b(k≠0)， 将A(-3,0),C(0,-3)代入y=+b, 「-3k+b=0 k=-1 得1b=-3 ,解得b=-3 ·直线AC的解析式为y=-x-3 设点P的坐标为(：，子+21-3)-3<1<0)，过P作x轴的垂线，交直线4C于点Q,则Q的横坐标为t,则 0(6,-t-3), VA .P0=（-t-3)-(t2+2t-3=-2-3t PC的面5-号0k动小-刘3-是=引+ 函数图象开口向下， 当1s3 27 时，s取得最大值8· (3)解：①如图，当∠AQC=90°，点2在直线AC上方时，对称轴与x轴交点为M(-l,0),在y轴上截 取CN=AM=2,过点N作y轴垂线交CQ于点P,设Q(-l,m)(m>0),则AM=2,QM=m. ∠AQC=90° 27/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AQM+∠CQM=90° 又：∠CQM=∠PCN,且∠PCN+∠CPN=90°， .∠AQM=∠CPN 「∠AQM=∠CPN 在 和 中： ∠AMQ=∠CNP=90° △AMO ACPN AM=CN .△AMQ≥aCNP(AAS), .PN=OM=m,CN=AM=2. .P(-m,-I). C(0,-3), ∴.设直线C的函数解析式为y=pr-3, -pm-3=-1 将P(←m,-)Q(-1,m)代入得： -p-3=m pm=-2① 对两个方程进行整理： p+m=-3② 由方程②，得p=-3-m,将其代入方程①：（-3-m)小m=-2 展开并整理得到：m2+3m-2=0, ∴.m= 3+3-4x1×(-②_-3+7（合去负值. 2×1 2 ②如图，当∠AQC=90°，点Q在直线AC下方时，对称轴与x轴交点为M(-1,0),在y轴上截取 CN=AM=2,过点N作y轴垂线交CQ于点P,设(-l,m)(m<0),则AM=2,QM=-m. V p2---1-N 同理PN=QM=-m,CN=AM=2. .P(m,-5). 28146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线CO的函数解析式为y=px-3, pm-3=-5 将p(m,-5)Q(-1,m)代入得： -p-3=m? 由方程②，得p=-3-m,将其代入方程①：（-3-m)m=-2 展开并整理得到：m2+3m-2=0, 3--4x1x(-2_3-7(合去正值). .∴.m= 2×1 2 ③如图，当∠0AC=90°时，对称轴与x轴交点为M(-1,0) M OB :0A=0C=3,且∠A0C=90°， :.△OAC是等腰直角三角形， .∠0AC=45° .∠0AM=∠QAC-∠OAC=90°-45°=45° ∴△QAM是等腰直角三角形， .OM=AM=2 0(-12)」 ④如图，当∠ACQ=90°时，过点2作QH1y轴，易得∠AC0=45°. H .∠ACQ=90° 29/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠QCH=180°-∠ACQ-∠AC0=180°-90°-45°=45°， “△QCH为等腰直角三角形， ..CH=OH=1 .Q(-1,-4) 5. 【答案】(1)y=x2+4x+2 (3)P的坐标为(-2,4)或(-3,5) (④在抛物线上存在点M,使△A0M是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为(0,7)或 -15+v65 -15-V65 2 或(1,7） 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对称轴为直线x=-2, b =-2 2 将点A的坐标代入，结合对称轴公式得： c-2 b=4 解得： c=2’ ∴.抛物线的解析式为y=x2+4x+2: (2)·对称轴为直线x=-2,BC=6, ∴点B横坐标为-5，C横坐标为1. 把x=1代入抛物线解析式y=x2+4x+2得：y=7, B(-5,7),C(1,7) 如图1，作点A(0,2)关于x轴的对称点为点A,连接AD,AB,AB交x轴于点D,则AD=AD,A'(0,-2), 301/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 此时AD+BD取得最小值，则此时△ABD的周长最小， 设直线AB解析式为y=-2,将点B的坐标代入得：7=-5k-2, 新行：长=号 :直线4B解析式为y= 5x-2, 9 当y=0时， -x-2=0 10 解得：x=一9， 10。 点D的坐标为 g0 故答案为： (3)解：由(2)得：A(0,2)B(-5,7), 设直线AB解析式为y=kx+2 ·7=-5k+2,解得：k=-1, 直线AB解析式为y=-x+2, 设直线I与AB交于点P,如图2，过P作PH⊥y轴，垂足为H,设BC与y轴交于点S,则PH∥BC,则 BS=5, 31/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图2 :,△APH∽△ABS .PH AP BS AB' :直线CP将△ABC的面积分成2：3两部分， .AP:PB=2:3 AP:PB=3:2, .AP:AB=2:5 AP:AB=3:5, BS=5, .PH 2 PH 3 5=5或5=5， ∴.PH=2或PH=3, ·点P的横坐标为-2或-3， 把x=-2代入y=-x+2得：y=4, 此时P(-2,4): 把x=-3代入y=-x+2得：y=5, 此时P(-3,5), 综上所述，点P的坐标为(-2,4)或(-3,5)： (4)在抛物线上存在点M,使△AQM是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为(0,7)或 55 或(7,7) 理由如下： 设点Q的坐标为(s,7), 设BC交y轴于点K,则AK=5 根据题意得：AQ=MQ,∠AQM=90° 如图3，过点M作MN⊥BC于点N,则∠AK0=∠ONM=90°，此时OK=-S, 32/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 .∠AQK+∠KAQ=90°=∠AQK+∠MQN :∠KAQ=∠MQN, 在△AQK和△QMN中 ∠KAO=∠NOM ∠AKQ=∠QNM=90° A0=OM ∴.△AQK≌OMN(AAS)」 ..NO=AK=5,MN =OK=-s, .NK=5-s, 点M(s-57+s), 把点M(S-5,7+s)代入y=x2+4x+2得：(s-5)+4(s-5)+2=7+s, 解得：S=7(不合题意，舍去)或0， 此时点0的坐标为(0,7）： 如图4，过点Q作EG⊥y轴于点Q,过点M作MG⊥EG于点G,过点A作AELEG于点E,此时 OE=AK=5 AE=OK=-s, G 图4 33/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同理△AEO≌aQGM(AAS). ..OE=GM=5,AE=GO=-s, .EG=5-s, 点M(5+s,7-S), 把点M(5+s,7-S)代入y=x2+4x+2得：(5+s)'+4(5+s)+2=7-s, 解得：5=-15+V 5或5=-15， (不合题意舍去)， 2 2 -15+V65 2 如图5，过点O作ENLy轴于点O,过点M作MN⊥EN于点N,过点A作AE⊥EN于点E,此时 OE=AK=5,AE=OK=-s, N--M B 图5 同理△AEQ≌△QNM(AAS). ∴.QE=NM=5,AE=NQ=-S, ∴.EN=5-s, 点M(s+5,7-S), 把点M(s+5,7-S)代入y=x2+4x+2得：(s+5)}+4(s+5)+2=7-s, 解得：s=15+V65 2 (不合题意合去)或=-156厨 2 .o-1s-v5 如图6，过点O作EN1y轴于点O,过点M作MN L EN于点N,过点A作AE⊥EN于点E,此时 34/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE=AK=5.AE=OK=s M O E A 图6 同理△AEQ≌aONM(AAS), ∴.QE=NM=5,AE=Ng=s, ∴.EN=5+s, 点M(s-5,7+s), 把点M(s-5,7+s)代入y=x2+4x+2得：(s-5)+4(s-5)+2=7+s, 解得：S=7或0（不合题意，舍去）， 点(7,7）： 综上所述，在抛物线上存在点M,使△AQM是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，点Q的坐标为(0,7) -15+v65 或2 .7 或8,7)或(，7） 【答案】()y=-2 x2+2x+6 27 0 3)(4,6)或5-7,317-5) 【详解】(1)解：将点B(6,0),点C(-2,0)代入y=a2+bx+6得： 4a-2b+6=0 36a+6b+6=0 解得 b=2 35/46 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因此，抛物线的解析式为y=一 5x2+2x+6: (2)解：过点P作x轴的垂线，交AB于点D, D 将x=0代入y=方+2x+6得y=6 1 则点A(0,6), 设直线AB的解析式为y=x+n, 将B(6,0)、A(0,6)代入y=+n得 [6k+n=0 n=6 [k=-1 解得n=6’ 则直线AB的解析式为y=-x+6, 设P6-+2+6D-+6 因tse6+3-3或+、 当1=3时，SuB有最大值，最大值为2： (3)解：存在点P使△PDE为等腰直角三角形，理由如下： 延长PD交x轴于点H,如图： 36/46 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B PH⊥OB .∠DHB=∠AOB=90°， .DHII AO .OA=OB=6, ∴，∠BDH=∠BAO=45°. PE∥x轴、PD⊥x轴， ∴.∠DPE=90°， 若△PDE为等腰直角三角形，则PD=PE, 由2知.设P+2+6,D6-+6月016则Pm=+, 2 ~抛物线的对称轴为直线x=2, ∴.PE=2(2-t)或PE=2(t-2), +31=22-0或7+31=20-2)， 解得1=5-V7或t=5+V7(不合题意舍去)或1=4或t=-2(不合题意舍去)， 当，=4时，分×4+2x4+6=6, 当=5-7时.5-可+2x5-7列+6=37-5， :点P的坐标为(4,6)或(5-7,37-5)」 7. 【答案】(1)y=-(x-1)2+4,M(1,4) a.别 3)存在，【 -引支到政2 【详解】(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)、B(3,0), 37146 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+3=0 a=-1 9a+3b+3=0:解得1b=2, y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,则M(1,4): (2)解：如图，作EF‖y轴交BC于点F M B B(3,0)C(0,3) ∴直线BC解析式为：y=-x+3, 设E(m,-m2+2m+3),则F(m,-m+3), ∴.EF=(-m2+2m+3)-(-m+3)=-m2+3m, sro8-w4测7。 27 当m= 2时，S大= 8 7315Y 此时，点E的坐标是24： (3)解：设P1,n),A(-1,0)、C(0,3), AC2=10,Ap2=4+n2,CP2=1+(n-3)2=n2-6n+10, @当4C14时，4c4r-Cp,即10+4+斤=-6+10解得8= 3 8 ②当4C1Cp时，AC+Cp2=Ap2,即10+r2-6m+10=4+m.解得n 3 ③当AP⊥CP时，Ap2+Cp2=AC2,即4+n2+n2-6n+10=10.解得n=1或2. 综上所运，存在，符合条件的点p的警-)或写)）或L成2 8. 【答案】(1)y=-x2+4x+5 (2)点F的横坐标是1或4 3)满足条件的M点的坐标为(2,7)或(2，-3)或(2,6)或(2，-1) 38/46 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a-b+c=0 【详解】(1)解：将点 代入 得： 25a+5b+c=0」 A(-1,0)B(5,0)C(0,5)y=ax2+bx+c c=5 a=-1 解得b=4 c=5 ∴.抛物线的解析式为y=-x2+4x+5」 (2)解：如图，连接BD和CD, 设直线BC的解析式为y=k,x+b(k,≠O), [5k。+b=0 [k。=-1 将点B(5,0):C(0,5)代入得： b。=5 0,解得b,=5 ∴直线BC的解析式为y=-x+5, 设点D的坐标为D(,-+41+50<1<5),则点E的坐标为E(6,-1+5),点F的坐标为F么，0)， .DE=-12+41+5-(-1+5)=-2+5, B(5,0), .△BDE的DE边上的高与△CDE的DE边上的高之和为|=5， ,△CDB的面积为10 3am+5om=方x5f-f+到=10. 解得t=1或t=4, .点F的横坐标为1或4. (3)解：将二次函数y=-x2+4x+5化成顶点式为y=-(x-2)+9, ∴.抛物线的对称轴为直线x=2, ·设点M的坐标为M(2,m) B(5,0),C(0,5), 39/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC2=(5-0)}+(0-5)2=50, BM2=(5-2)2+(0-m)2=m2+9, CM2=(0-2)}2+(5-m)}2=m2-10m+29, ①如图，当∠BCM=90°时，△MBC为直角三角形， A M E B 则BC2+MC2=MB2,即50+m2-10m+29=m2+9, 解得m=7, ∴此时点M的坐标为(2,7)： ②如图，当∠CBM=90°时，△MBC为直角三角形， E F M 则BC2+MB2=MC2,即50+m2+9=m2-10m+29, 解得m=-3, ·此时点M的坐标为(2，-3)： ③如图，当∠CMB=90°时，△MBC为直角三角形， E 40/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则MB2+MC2=BC2,即m2+9+m2-10m+29=50, 解得m=6或m=-1, ∴此时点M的坐标为(2,6)或(2，-1)： 综上，点M的坐标为(2,7)或(2，-3)或(2,6)或(2，-1). 9. 【答案】(1)y=x2-4x+3 2)当m 5 2时，S边形4OPe有最大值是8 【详解】(1)解：将B(1,0)代入y=a2+bx+3得， a+b+3=0, 由对称轴为直线：x=2得，2。=2) b=-4a, ∴.a-4a+3=0. 解得a=1, 则b=-4, .抛物线的解析式为y=x2-4x+3: (2)解：如图2，作PG/y轴，交OE于点G, G 图2 假设P(m,m2-4m+3)」 :OE平分∠AOB,∠AOB=90°， .∠AOE=45°， 41/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△AOE是等腰直角三角形， .AE=OA=3. E(3,3), 设直线OE的解析式为y=x, 3=3k, 解得：k=1, 则直线OE的解析式为：y=x, .G(m,m)）, .PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3, ∴.S四边形AOPE=S△4OE+S△POE =x3x3+-PG.AE. 1 2 =9+2×3×(←m㎡2+5m-3列 221 2 <0 75 .当m= 2时，S边形4ore有最大值是8； (3)解：如图3，过点P作MN1y轴，交y轴于点M,交对称轴于点N, 图3 :△POF是等腰直角三角形，且OP=FP, .LOMP=∠OPF=∠FNP=90° .∠MOP=90°-∠OPM=∠NPF, .aOMP≌aPNF(AAS). 42/46 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.OM=PN, P(m,m2-4m+3）. 则-m2+4m-3=2-m, 解得m=5+V 或m=55 2 5+V51+5)5-51-5 六p点的坐标为 22 或2,2月 如图4，过点P作MN⊥x轴于点N,过点F作FM⊥MN于点M,连接PF, F M 图4 同理得△OWP≌△PMF, .PN=FM, 则-m2+4m-3=m-2, 解得m=3+ 5或m=3-V5 2 3+N51-V53-51+5 ∴.点的坐标为 22或22 综上所述，点的坐标为 5-5,1-5 2,2 10. 【答案】1)(-1,0)：(5,0)： (2)m=4; (3)①当m=1时，d=8;当m=3时，d=9;②2≤m≤5或m=2-3v2； (④(4,5)或(3,8)」 【详解】(1)解：当y=0时，-x2+4x+5=0, 43/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=-1,x2=5, ∴点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为(5,0)： (2)解：“y=-x2+4x+5=-(x-2)}+9, ∴抛物线的对称轴为直线x=2, :抛物线y=-x2+4x+5与y轴相交于点C, 当x=0时，y=5, .C(0,5), ,点P与点C关于抛物线对称轴直线x=2对称， P(4,5), 即m=4: (3)解：①y=-x2+4x+5=-(x-2)2+9. ∴抛物线的顶点为(2,9)， -1<0 ∴.抛物线开口向下， ∴该抛物线最高点坐标为(2,9)， 当x=m=1时，y=-12+4×1+5=8, .P(1,8) 此时d=8-0=8； 当x=m=3时，y=-32+4×3+5=8, .P(3,8) :该抛物线最高点坐标为(2,9)， 此时d=9-0=9: ②当2≤m≤5时，图象G的最高点为(2,9)， 此时满足d=9; 当点A为最高点时， d=9, .点P的纵坐标为-9， 此时-x2+4x+5=-9, 44/46 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得：x=2+32,x2=2-32」 当x=2+3√2时，d=9-(9)=18≠9（不合题意舍去）， ∴当2≤m≤5或m=2-3W2时，d=9: 综上所述，m的取值范围为2≤m≤5或m=2-3V2: (4)解：点M的坐标为(4,5)或(3,8)，理由如下： 如图，当∠CME=90°时，则CM∥x轴， M ∴点C和点M关于对称轴对称， :点C的坐标为(0,5)，抛物线的对称轴为直线x=2, ∴点M的坐标为(4,5)： 如图，当∠MCE=90°时，则MF1y轴于点F, VA B .·OB=OC=5 ∴.∠OBC=∠OCB=45° ∴.∠BEN=∠CEM=∠CME=45°，∠FCM=∠FMC=45°， ∴.CF=FM, 设FC=n,则FM=FC=n, 点M的坐标为(n,n+5), 把(m,n+5)代入y=-x2+4x+5,则-n2+4n+5=n+5, 解得：八=3，乃=0（不合题意，舍去）， 45146 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴当x=3时，y=8, ∴点M的坐标为(3,8)： 综上所述，点M的坐标为(4,5)或(3,8) 46146函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题05二次函数中的特殊三角形存在性问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题（难） 题型2二次函数中的直角三角形存在性问题（难） 题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1二次函数中的等腰三角形存在性问题 1.(2026安徽宿州三模)已知抛物线y=x2-2ax+a2-4(a为常数)，与x轴交于A,B两点(4在B 的左侧)· (1)当a=3时，求抛物线的解析式及点A,B的坐标： (②)已知点M(2,yw)在该抛物线上. (i)若yw=0,求a的值： (i)当a=1时，设抛物线的顶点为P,点Q在抛物线的对称轴上，若△PM0是等腰三角形，求点O的坐 标. 2.(25-26九年级下河南周口期中)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B两点，与y轴 交于点C(0,3),D是其对称轴与x轴的交点. D (1)求抛物线的表达式. (2)在抛物线的对称轴上有一点M,使得MA+MC的值最小，求点M的坐标. 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是等腰三角形？如果存在，请直接写出P点坐标；如果不 存在，请说明理由。 3.(2026河南周口·一模)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于 点C. B 0 (1)求抛物线的解析式： (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接CD、BD,求△BCD面积的最大值 (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P,使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存 在，请说明理由. ◆题型2二次函数中的直角三角形存在性问题 4.(25-26九年级上江西上饶期末)如图，已知抛物线y=m2+bx+3(a≠0)经过A(10),B(-30)两点. 备用图 (1)求ab的值. (2)若点D为抛物线上一动点，△ABD的面积为8时，求点D的坐标， (3)设点P为抛物线的对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形的点P的坐标. 5.(25-26九年级下·黑龙江齐齐哈尔开学考试)如图，已知抛物线y=ax+br+c(a≠0)的对称轴为直线 x=-1,且经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为B. 2/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A (I)若直线y=mx+n经过B,C两点，求抛物线和直线BC的解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上找一点M,求点M的坐标，使△BCM面积最大， (3)设点P为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，是否存在点P,使△BPC为直角三角形，直接写出点P 的坐标 6.(2026广东广州一模)如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(3,0),C(0,3). B (1)求抛物线的解析式及顶点E的坐标； (2)将抛物线沿'轴向下平移m(m>0)个单位长度，平移后的抛物线与直线BC恰好只有一个公共点.求 m的值； (3)点P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P,使得△PBC是以BC为直角边的直角三角形？若存在， 求出点P的坐标：若不存在，请说明理由， ◆题型3二次函数中的等腰直角三角形存在性问题 7.(25-26八年级下黑龙江绥化期末)如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B(3,0)、C(0,6),与直线 y=x-3交于B、D两点，点P是抛物线上一动点，记点P的横坐标为t, 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)当点P位于直线BD下方时，求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标： (3)过点P作x轴的垂线交x轴于点H,若△AHP是等腰直角三角形，求点P的坐标。 8.(25-26九年级下山东烟台期中)如图，二次函数y=ar2+br+c的图象与直线y=x-2交于点 A(O,-2)和点B(4,”),对称轴是直线x=1,过B平行于x轴的直线与抛物线的另一个交点是C.M是抛物 线上任意一点，其横坐标是m y B 备用图 (1)求抛物线的函数关系式： 因当点在直线B上方时，名S。m方c,求m的值 (3)设N是直线BC上的点，是否存在点M和点N的位置，使△AMN是以AN为斜边的等腰直角三角形？若 存在，请求所有的值：若不存在，请说明理由 9.(25-26九年级下·黑龙江绥化开学考试)综合与探究 如图，抛物线y=a2+br-5交x轴于A、B两点，交y轴于点C.直线y=c-5经过B、C两点，若点 A(1,0),B(-5,O),点P是抛物线上的一个动点（不与点A、B重合）· 4/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 备用图 (1)求抛物线的函数解析式： (2)过点P作直线PD⊥x轴于点D,交直线BC于点E,当PE=3ED时，求P点坐标； (3)若点F是直线BC上的一个动点，请判断在点B右侧的抛物线上是否存在点P,使△AFP是以PF为斜 边的等腰直角三角形.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 综合攻坚·知能拔高 1.(25-26九年级上福建漳州期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=x+br+3的图象交x轴 于A(-1,O),B(3,0)两点，交y轴于点C.点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线 于点E,交直线BC于点F. B 图1 图2 (I)求抛物线和直线BC的表达式： (2)求线段EF的最大值： (3)如图2，是否存在以点C,E,F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标：若不存 在，请说明理由 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26九年级上江西九江期末)如图，已知抛物线y=a2+bx-6经过A(-1,4),B(3,0)两点，与y 轴交于点C,连接AC,BC.P是线段OB上一动点，过点P作PM⊥x轴，交抛物线于点M,交线段BC 于点N. (1)求抛物线的函数表达式： (②)当PW=OC时，求出点M和点N的坐标， (3)连接AN,当△ACN是等腰三角形时，直接写出点P的坐标. 3.(25-26九年级上四川德阳期末)如图，已知抛物线y=ax+br+3与y轴交于点B,与x轴交于 A(-4,0),C(L,0),点M(m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线1，分别与直线AB和抛物 线交于D、E两点，连接AE、BE. B (1)求抛物线的解析式： (2)求出当△ABE的面积为3时，m的值； (3)在x轴上有一个点F,△ABF恰好是等腰三角形，请直接写出点F的坐标. 4.(25-26九年级上四川眉山期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴 交于点C,A、B两点坐标为A(-3,0)、B(1,0) 6/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (求二次函数y=ar2+bx-3的表达式： (2)点P在直线AC下方的抛物线上，连结PA、PC,求△PAC的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使Q、A、C为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由， 5.(25-26九年级上山东济南期末)综合与探究，如图，抛物线y=2+bx+c与y轴交于点A(0,2),对 称轴为直线x=-2,平行于x轴的直线与抛物线交于B、C两点，点B在对称轴左侧，BC=6. 备用图 (1)求此抛物线的解析式： (2)已知在x轴上存在一点D,使得△ABD的周长最小，则点D的坐标为： (3)若点P在直线AB上，直线CP将△ABC的面积分成2：3两部分，求点P坐标. (④点Q在直线BC上，在抛物线上是否存在点M,使△AgM是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若存 在，直接写出点Q的坐标，不存在，请说明理由 6.(25-26九年级上江苏扬州阶段检测)如图，已知抛物线y=ax+br+6与坐标轴分别交于点A,B,C 三点，点B(6,0),点C(-2,0),点P是线段AB上方抛物线上的一个动点. 7/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)求△PAB面积的最大值： (3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D,再过点P作PE∥x轴交抛物线于点E,连接DE,请问是否存 在点P,使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 7.(25-26九年级上江西宜春阶段检测)如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(-1,0)、 B(3,0),顶点为M. B (1)求抛物线的解析式和点M的坐标； (2)点E在抛物线上，且在直线BC上方的一个动点，设△BEC的面积为S,求出S的最大值，并求出此时点 E的坐标： (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得以A、P、C为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接 写出点P的坐标；若不存在，请说明理由 8.(25-26九年级上海南省直辖县级单位期末)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-1,0), B(5,0)两点，与y轴交于点C(0,5). D E 备用图 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式： (②)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C,B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC 于点E,连接BD和CD,当△CDB的面积为lO时，求点F的横坐标： (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得△MBC为直角三角形，请求出点M的坐标. 9.(25-26九年级上广东汕头期末)己知抛物线y=ax2+bx+3的图象经过点B(1,0),与y轴交于点A, 其对称轴为直线：x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的角平分线交线段AC于点E,点 P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m, B 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的解析式： (②)如图1，若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE、PO,当m为何值时？四边形AOPE面积最大， 并求出其最大值： (3)如图2，F是抛物线的对称轴'上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF为以点P为直角顶点的等 腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由 10.(25-26九年级上吉林松原期末)如图，己知抛物线y=-x2+4x+5与x轴相交于A、B两点，与y 轴相交于点C.设点P为抛物线上的一点，其横坐标为m. B AO B 备用图 (1)直接写出坐标：点A 点B (2)当点P与点C关于抛物线对称轴对称时，求m的值： (3)若抛物线上点A与点P之间（包含点A和点P)的部分的图象记为图象G,图象G的最高点和最低点纵 坐标的差记为d 9/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当m=1和m=3时，分别求d的值： ②当d=9时，直接写出m的取值范围； (4)点E是线段BC上异于B、C的动点，过点E的直线ENLx轴于点N,交抛物线于点M,当△ECM为 直角三角形时，请直接写出点M的坐标. 10/10