第26章 二次函数——待定系数法求二次函数的解析式 题集 2026--2027学年人教版九年级数学上册

1. 已知二次函数，当时，函数值是，当时，函数值是，则此二次函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 2. 将配方后得到的结果是（ ）． A. B. C. D. 3. 二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，且经过点，则该二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）． A. B. C. D. 5. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，则它的函数关系式是 ． 6. 已知二次函数的图象的最低点在轴上，那么 ，此时函数的解析式为 ． 7. 已知关于的二次函数同时满足下列两个条件：①函数的图象过原点；②顶点在第一象限，你认为符合要求的二次函数的解析式可以是： （写出一个即可）． 8. 已知二次函数的图象经过点， 和，则这二次函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 ． 10. 已知某抛物线的顶点坐标为，且与轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 ． 11. 二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 12. 对称轴为，顶点在轴上，并与轴交于点的抛物线解析式为 ． 13. 已知抛物线经过，，，则该抛物线的解析式为 ． 14. 已知抛物线 ，它与轴的两个交点间的距离为（ ）． A. B. C. D. 15. 已知一抛物线和抛物线的形状及开口方向完全相同，且经过点，求此抛物线解析式． 16. 根据条件求二次函数的解析式 （ 1 ）抛物线过， ，三点． （ 2 ）抛物线的顶点坐标为，且与轴交点的纵坐标为． 17. 已知二次函数的图象过，，和四点．求这个函数的解析式及的值． 18. 已知抛物线经过点，． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）求抛物线的顶点坐标． 19. 已知抛物线经过点， ， 三点，求抛物线解析式． 20. 已知：抛物线经过、两点，顶点为． （ 1 ）抛物线的表达式． （ 2 ）顶点的坐标． 21. 二次函数的图象经过两点． （ 1 ）求该二次函数的解析式． （ 2 ）求该二次函数图象与轴交点的坐标． 22. 已知二次函数的图象经过和两点．求这个二次函数的表达式． 23. 已知抛物线的顶点坐标是 ，与轴的交点是 ，求这个二次函数的解析式． $ 1. 拋物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为 ． ∵拋物线的顶点为 ∴设这个二次函数的解析式 ∵拋物线与 轴交于点 ， ， ， ∴ ， 解得： ， 则这个二次函数的解析式 ． 【知识点】二次函数顶点式 2. 若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为 ． 【知识点】二次函数顶点式 3. 已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式为 ． 将 根据图象设抛物线解析式为 代入解析式得： ， ，即 ， 则抛物线解析式为 ． 故答案为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】二次函数双根式（交点式） 4. 将二次函数化为交点式，则 ，与轴交于点 . ; ， ，与 轴交于 ， ． 【知识点】二次函数解析式间转化 5. 与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是 ． 根据题意得： 故答案为： ， ． 【知识点】二次函数顶点式 6. 二次函数的顶点为 ，且过点 ，则二次函数的解析式为 ． 把 设抛物线解析式为 代入得 ， ，解得 ． ， 所以抛物线解析式为 【知识点】二次函数顶点式 7. 一个二次函数的图象经过，，三点，该函数的表达式是 ． 方法一：由题意设 将点 代入得： ， ，解得： ， ∴二次函数表达式为 ． 方法二：设二次函数解析式为 ， 将 ， ， 三点代入得： ． 解得 ． ∴该二次函数表达式为 ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 8. 把函数写成的形式为 ，当 时，． ; 或 略 【知识点】二次函数解析式间转化 9. 已知二次函数的图象经过，，三点，这个函数的关系式为： ． 把 设抛物线的解析式为 代入得 ， ，解得 所以这个二次函数的解析式为 ， ，即 ． 【知识点】二次函数对称点式 10. 二次函数与轴交于、两点，且，则 ． 而 ∴ ∵抛物线的对称轴为直线 ． ， ， ． ∴抛物线解析式为 ，即 ． ∴ ． 【知识点】二次函数与坐标轴交点 11. 写一个经过点和的抛物线的解析式为 ． ． 【知识点】二次函数对称点式 12. 已知抛物线经过点，点和点，则该抛物线的解析式为 ． 将 解得 ∴ 设抛物线的解析式为 代入解析式，得 ， ， ． ， ， 【知识点】二次函数双根式（交点式） 13. 抛物线的与轴交点的坐标是 ． ， 当 所以抛物线 时， ，解得 的与 轴交点的坐标是 ， ， ， ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 14. 已知图象经过点 ， ， ，抛物线解析式是 ． 设 ， 把 把 ∴ ， 代入 代入，得 ， ，得 解得 ， ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 15. 若抛物线与轴交于， ，则和的值为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， B ∵ ∴ ， ， ， 故 正确． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 16. 顶点为，且开口方向、开口大小与函数 的图象相同的抛物线是（ ）． A. B. C. D. C ∵开口方向、开口大小与 ， 相同， ∴ 又∵顶点 ， ． 故选 ． 【知识点】二次函数顶点式 17. 若二次函数图象的对称轴方程是，并且图象经过，，函数的解析式为 ． ∵二次函数图象的对称轴方程是 ， ∴此二次函数图象上点 关于对称轴 的对称点设此二次函数的解析式为 的坐标为： ， ； 代入 ∴ 得， ， ， 故二次函数解析式为： ，即 ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 18. 若二次函数图象经过点 ， ， 三点，求该二次函数解析式． ． 设二次函数解析式为 ， 把 解得： 代入得： ， ， 则二次函数解析式为 ． 【能力】运算能力 【知识点】二次函数双根式（交点式） 【知识点】二次函数一般式 19. 已知二次函数的图象经过点 ，顶点为 ． （ 1 ）求这个二次函数的解析式． （ 2 ）求图象与轴的交点坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ， ． （ 1 ）设 把 ， 代入得 ， 解得 ∴ （ 2 ）令 解得 ， ． ，则 ， ， ， ∴二次函数图象与 轴的交点坐标是 ， ． 【知识点】二次函数顶点式 20. 已知二次函数图象经过，，三点，求该抛物线解析式． ． ∵ ， ， ∴设抛物线解析式为 ， 把 代入得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为 ，即 ． 【能力】运算能力 【知识点】二次函数一般式 【知识点】二次函数双根式（交点式） 21. 已知抛物线经过、、 ，求此抛物线的解析式． ． 设交点式求解，解析式为： ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 22. 二次函数的图象经过点 ， ，且最大值是，求此二次函数的解析式． ． 设抛物线的解析式为 以所求抛物线的解析式为 ，且点 ． 在抛物线上，代入得 ，所 【知识点】二次函数双根式（交点式） 23. 解答下列问题． （ 1 ）已知二次函数与轴交于点， 两点，且过点，求二次函数解析式． （ 2 ）已知抛物线的图象经过，，，求其解析式． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）设二次函数解析式为 , ∵函数图象过点 ∴ ∴抛物线解析式为即 ， ，解得 ， ， ． （ 2 ）设二次函数解析式为 ∵函数图象过点 ∴ ∴抛物线解析式为即 , ， ，解得 ， ， ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 24. 已知抛物线过点 ， ，对称轴为直线，求此二次函数的解析式． ． 对称轴 ， 抛物线与 轴的另一个交点为 设抛物线的解析式为 ， ， 点 在抛物线上，代入得 ， 所以所求抛物线的解析式为 ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） $ 1. 已知二次函数，当时，函数值是，当时，函数值是，则此二次函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. A 将代入 ， 代入 得： ， 将 ∴ ∴ 得： ， ， ． 【知识点】二次函数一般式 2. 将 配方后得到的结果是（ ）． A. B. C. D. B ， 故选： ． 【知识点】二次函数解析式间转化 3. 二次函数的图象与的图象形状相同，开口方向相反，且经过点，则该二次函数的解析式为（ ）． A. B. C. D. D 由题意 过 ，则 代入，得 ， ， 则 ． 故选 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 【知识点】二次函数一般式 4. 如图，是一条抛物线的图象，则其解析式为（ ）． A. B. C. D. B 由图象可知，抛物线过设抛物线解析式为 ， ， 三点， ， 将 ， ， 三点代入解析式， 得 ， 解得 ， 所以抛物线解析式为 ． 【知识点】二次函数双根式（交点式） 5. 如果一条抛物线的形状与的形状相同，且顶点坐标是，则它的函数关系式是 ． ， ∵一条抛物线的形状与 ， 的形状相同， ∴ 设抛物线的顶点式为 ∵顶点坐标是 ∴抛物线的顶点式为 故答案为： ， ， ． ， ． 【知识点】二次函数顶点式 6. 已知二次函数的图象的最低点在轴上，那么 ，此时函数的解析式为 ． ; 由题意得，整理得， 且 ， 解得 ， 且 ， （舍去）， 时，函数解析式为 故答案为 ； ． ． 【能力】运算能力 【方法】待定系数法 【知识点】二次函数一般式 7. 已知关于的二次函数同时满足下列两个条件：①函数的图象过原点；②顶点在第一象限，你认为符合要求的二次函数的解析式可以是： （写出一个即可）． （答案不唯一） ∵顶点在第一象限， ∴设顶点坐标为 ， ∵经过原点， ∴开口向下，且常数项为 ， ∴二次函数可以为： （答案不唯一）．故答案为： （答案不唯一）． 【能力】运算能力 【知识点】二次函数一般式 8. 已知二次函数的图象经过点， 和，则这二次函数的表达式为（ ）． A. B. C. D. 3 学科网（北京）股份有限公司 D 设所求函数的解析式为 ， 把 ， ， 分别代入， 得： ， 解得 ． 故所求的函数的解析式为 故选 ． ． 【知识点】二次函数一般式 9. 已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是 ． ∵ ∴代入得： ， 是抛物线 ， 上两点， 解得： ∴ 顶点坐标为 ， ， ， ． 【知识点】二次函数顶点式 10. 已知某抛物线的顶点坐标为，且与轴相交于点，这个抛物线所表示的二次函数的表达式是 ． 把 设抛物线解析式为 代入得： ， ，即 则抛物线解析式为 故答案为： ， ． ． 【知识点】二次函数顶点式 10 学科网（北京）股份有限公司 11. 二次函数的图象如图，则它的解析式正确的是（ ）． A. B. C. D. D 根据图象得：抛物线的顶点坐标为 代入解析式得： ，解得： ． ，设抛物线解析式为 ，则抛物线解析式为 ，将 故选 ． 【知识点】二次函数顶点式 12. 对称轴为，顶点在轴上，并与轴交于点的抛物线解析式为 ． 设抛物线解析式为 ， 把 代入可得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为 ， 故答案为： ． 【知识点】二次函数顶点式 13. 已知抛物线经过 ， ， ，则该抛物线的解析式为 ． 把 设抛物线解析式为 代入得 ，解得 ， ， 所以抛物线解析式为 故答案为 ，即 ． ． 【能力】运算能力 【知识点】二次函数一般式 【知识点】二次函数双根式（交点式） 14. 已知抛物线 ，它与轴的两个交点间的距离为（ ）． A. B. C. D. C 当 解得 ， 时， ， ， 则抛物线与 轴的两交点坐标为 ， ， 所以抛物线与 轴的两个交点间的距离为 ． 【知识点】二次函数与坐标轴交点 15. 已知一抛物线和抛物线的形状及开口方向完全相同，且经过点，求此抛物线解析式． ． 【能力】运算能力 【能力】推理论证能力 【思想】函数思想 【知识点】二次函数一般式 16. 根据条件求二次函数的解析式 （ 1 ）抛物线过， ，三点． （ 2 ）抛物线的顶点坐标为 ，且与 轴交点的纵坐标为． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）设出抛物线的解析式为 ，将点 ， ， ， 代入解析式得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为： （ 2 ）∵抛物线的顶点坐标为 ∴设抛物线的解析式为： ∵抛物线与 轴交点的纵坐标为 ． ， ， ， ∴ ， 解得 ． ∴抛物线的解析式是 ， 即 ． 【能力】运算能力 【方法】待定系数法 【知识点】二次函数一般式 17. 已知二次函数的图象过，，和四点．求这个函数的解析式及的值． ， ． ∵二次函数 ， （ ）的图像过 ， ， ∴代入得： ， 解得 ， ， ， 即这个函数的解析式为 ， 把 代入得 ． 【知识点】二次函数一般式 18. 已知抛物线经过点，． （ 1 ）求抛物线的解析式． （ 2 ）求抛物线的顶点坐标． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）将 由②得 将③代入①得 ， 代入抛物线的解析式得 ② ①， ③， ， 解得 所以 ， ， 故抛物线的解析式为 （ 2 ）将解析式化为顶点式为 ． ， 所以顶点坐标为 ． 【能力】运算能力 【方法】待定系数法 【知识点】二次函数一般式 19. 已知抛物线经过点 ， ， 三点，求抛物线解析式． ． 设抛物线解析式为 ， 根据题意得 ，解得 ， 所以抛物线解析式为 ． 【知识点】二次函数一般式 20. 已知：抛物线经过 、 两点，顶点为． （ 1 ）抛物线的表达式． （ 2 ）顶点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）把 解得 、 代入 得 ， ． 故抛物线的解析式为 ． （ 2 ） ， ， ， 所以顶点 的坐标为 ． 【方法】配方法 【方法】待定系数法 【知识点】二次函数一般式 【能力】运算能力 21. 二次函数的图象经过 两点． （ 1 ）求该二次函数的解析式． （ 2 ）求该二次函数图象与轴交点的坐标． （ 1 ） （ 2 ） ． ． （ 1 ）∵二次函数 ∴ 的图象经过 两点． ， 解得： ， ∴抛物线的解析式是 ． （ 2 ）令 ，则 ， ∴该二次函数图象与 轴交点的坐标为 ． 【知识点】二次函数与坐标轴交点 22. 已知二次函数的图象经过 和 两点．求这个二次函数的表达式． ． 把 ， 代入 中， ． 解得： ． 所以，二次函数的表达式为 ． 【知识点】二次函数一般式 【能力】运算能力 【方法】待定系数法 23. 已知抛物线的顶点坐标是 ，与轴的交点是 ，求这个二次函数的解析式． ． 设抛物线解析式为 代入解析式可解得 ， 把点 ∴抛物线解析式为 ， ． 【知识点】二次函数顶点式 $ 1. 拋物线的顶点为，与轴交于点，则该抛物线的解析式为 ． 2. 若抛物线的顶点是，且经过点，则抛物线的函数关系式为 ． 3. 已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式为 ． 4. 将二次函数化为交点式，则 ，与轴交于点 . 5. 与抛物线的形状相同，开口方向不同，且顶点坐标为的抛物线解析式是 ． 6. 二次函数的顶点为，且过点，则二次函数的解析式为 ． 7. 一个二次函数的图象经过，，三点，该函数的表达式是 ． 8. 把函数写成的形式为 ，当 时，． 9. 已知二次函数的图象经过，，三点，这个函数的关系式为： ． 10. 二次函数与轴交于、两点，且，则 ． 11. 写一个经过点和的抛物线的解析式为 ． 12. 已知抛物线经过点，点和点，则该抛物线的解析式为 ． 13. 抛物线的与轴交点的坐标是 ． 14. 已知图象经过点，，，抛物线解析式是 ． 15. 若抛物线与轴交于， ，则和的值为（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 16. 顶点为 ，且开口方向、开口大小与函数 的图象相同的抛物线是（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. B. C. D. 17. 若二次函数图象的对称轴方程是，并且图象经过，，函数的解析式为 ． 18. 若二次函数图象经过点，，三点，求该二次函数解析式． 19. 已知二次函数的图象经过点，顶点为． （ 1 ）求这个二次函数的解析式． （ 2 ）求图象与轴的交点坐标． 20. 已知二次函数图象经过，，三点，求该抛物线解析式． 21. 已知抛物线经过、、 ，求此抛物线的解析式． 22. 二次函数的图象经过点，，且最大值是，求此二次函数的解析式． 23. 解答下列问题． （ 1 ）已知二次函数与轴交于点， 两点，且过点，求二次函数解析式． （ 2 ）已知抛物线的图象经过，，，求其解析式． 24. 已知抛物线过点 ， ，对称轴为直线，求此二次函数的解析式． $