暑假收心数学作业04（范围：第十章 二元一次方程组）2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 2026年秋七升八暑假收心数学单元卷（二元一次方程组），以文化传承与现实应用为情境，梯度覆盖基础概念、解法及综合应用，适配暑假衔接教学，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|二元一次方程定义、解的应用（如第2题）、加减消元法（第5题）|第10题《孙子算经》古题体现文化传承，第9题平面直角坐标系结合图形直观| |填空|6|解的性质（第11题）、错解分析（第14题）、新定义加密规则（第15题）|第13题商品价格问题培养数据意识，第16题换元法渗透推理思维| |解答|8|方程组求解（17题）、实际应用（20题环卫车清运）、综合实践（24题非遗折扇裁剪）|23题“邻好关系”新定义发展创新意识，24题结合荣昌非遗体现数学与生活联系|

2026年秋七升八暑假收心数学作业04 （第十章 二元一次方程组） 一、选择题 1．下列方程中，是二元一次方程有（     ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．若是关于x，y的方程的一个解，那么a的值是（     ） A． B．0 C．3 D．7 3．将方程写成用含的代数式表示的形式，下列表示正确的是（     ） A． B． C． D． 4．已知x，y满足方程组，则的值为（     ） A． B． C．2 D．5 5．用加减消元法解方程组，消去后得到的方程是（     ） A． B． C． D． 6．方程组的解是（     ） A． B． C． D． 7．已知关于x、y的二元一次方程组解是，则的平方根是（   ） A．25 B． C． D． 8．若关于的方程组的解满足，则的值为（    ） A． B．3 C．2 D． 9．在平面直角坐标系中，8个大小完全相同的长方形摆成如图所示的图案．若点A的坐标是，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 10．《孙子算经》中有这样一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何．意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺．设绳子长尺，木头长尺，根据题意所列方程组正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若是二元一次方程的一组解，则________． 12．若关于， 的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 13．根据如图给出的信息，则每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为________元． 14．以下是小亮解方程组的过程，其中开始出现错误的是第______步，错因是_________________． 15．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字，，游戏系统根据加密规则生成两个密文：，．若玩家收到的密文为12和18，已知，则的值是__________ 16．已知关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为_______． 三、解答题 17．解方程组： (1)； (2)． 18．若和都是方程的解，求的值． 19．已知关于，的方程组和的解相同，求的值． 20．垃圾分类有助于环境保护、资源循环利用．某区域的环卫部门每天安排10台A型车和8台B型车用于垃圾清运，一台A型车比一台B型车每次多清运7吨垃圾，该区域每天需要清运垃圾428吨，每天每台车均需清运垃圾2次恰好能完成本区域当天的垃圾清运工作．一台A型车和一台B型车每次清运垃圾的吨数分别是多少？ 21．甲、乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，试求的值． 22．下面是小华同学解方程组的过程，请你观察计算过程，回答下面问题． 解：得：③    第一步 得：        第二步 将代入②得：．    第三步 所以该方程组的解是    第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，其中第 步开始出现了错误，错误的原因是： ． (2)请你帮小华同学写出正确的解题步骤． 23．新定义：已知关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就称方程组的解x与y具有“邻好关系”．如：关于x，y的方程组的解为，因为，所以关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”． (1)判断方程组的解x与y是否具有“邻好关系”，并说明理由； (2)若关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”，求m的值． 24．综合与实践． 【问题背景】荣昌夏布和荣昌折扇（如图1）均是“荣昌四宝”非遗产品．荣昌折扇由扇骨、扇面、扇钉等部分构成（如图2），荣昌夏布常常用来制作荣昌折扇扇面，某数学学习小组到扇面制作加工点进行综合与实践探究扇面制作中的数学问题． 【数据测量】测得A，B两种型号折扇收拢时的数据（左侧为扇面部分），如图3所示． 【数学思考】将折扇全部打开是一个半圆面，显然，扇面是由一个特殊的矩形裁剪而来的，如图4所示．根据该学习小组所测量的数据结合图4，完成填空： (1)如图5，要裁剪A种型号折扇的扇面需要的矩形（称为A型矩形）长是____________，宽是____________；要裁剪B种型号折扇的扇面需要的矩形（称为B型矩形）长是____________，宽是____________． (2)【问题解决】该扇面加工点有一块长为，宽为的夏布，如图6，用这块夏布来裁剪出A型矩形和B型矩形，可以有两种分割方式裁剪：一种是横向分割成上下两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形，另一种是纵向分割成左右两部分，分别用来裁剪A型矩形和B型矩形（两种都要有）． 请计算横向分割和纵向分割，在最少浪费布料的情况下，分别能裁剪出A型矩形和B型矩形各多少块？ (3)【拓展应用】一块A型扇面销售价为80元，一块B型扇面销售价为60元． 在（2）的条件下，哪种裁剪方式获得的销售额最大？最大销售额是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年秋七升八暑假收心数学作业04（答案与解析） （第十章 二元一次方程组） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A C B A D A D A 1．B 【分析】根据二元一次方程的定义逐个判断，统计符合条件的方程个数即可得到答案，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，含有两个不同未知数，含未知数的项的次数为1． 【详解】解：①只含有1个未知数，∴①不是二元一次方程； ②整理后为，满足二元一次方程的定义，∴②是二元一次方程； ③中不是整式，方程是分式方程，∴③不是二元一次方程； ④整理后为，满足二元一次方程的定义，∴④是二元一次方程； ⑤满足二元一次方程的定义，∴⑤是二元一次方程； ⑥中项的次数为2，不满足次数为1的要求，∴⑥不是二元一次方程； 综上，二元一次方程共有3个． 2．D 【分析】将方程的解代入原方程，求解关于的一元一次方程． 【详解】解：将代入中，得 ， 解得． 3．A 【分析】只需将单独留在等式左侧，移项整理得到结果，再对应选项即可． 【详解】解：将方程写成用含的代数式表示的形式为． 4．C 【分析】观察方程组系数特点，将两方程相加后整体求解的值． 【详解】解： ，得． 两边同时除以5，得． 5．B 【分析】观察方程组中的系数互为相反数，将两个方程左右两边分别相加即可消去，合并同类项后得到结果． 【详解】解：∵ ∴得， 整理得， 即消去后得到的方程是． 6．A 【分析】利用加减消元法，消去未知数后先求出，再代入求出，即可得到结果． 【详解】解：， 由得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为． 7．D 【分析】将已知解代入原方程组求出和的值，计算后，根据平方根的定义得到最终结果． 【详解】解：∵是原方程组的解， ∴将代入原方程组得： 解得，，， ， 根据平方根的定义，的平方根是． 8．A 【分析】通过将两个方程相减得到关于的表达式，再结合已知条件列方程求解即可． 【详解】解：， 得：， 化简得：， ， ， 解得：． 9．D 【分析】设小长方形的长为，宽为，根据点的坐标列出方程组求出、，再结合图形确定点的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由图可知，点的纵坐标为，横坐标为， ∵， ∴， 解得， ∴点的纵坐标的绝对值为，横坐标的绝对值为， ∵点在第二象限， ∴点的坐标为． 10．A 【分析】根据题意梳理出两个等量关系，分别列方程即可得到正确方程组． 【详解】解：设绳子长尺，木头长尺， ∵用整绳量木头，绳子剩余尺，说明绳子长度比木头长尺， ∴可得 ， ∵将绳子对折后量木头，木头剩余尺，对折后绳长为，说明木头长度比对折后的绳子长尺， ∴可得， 因此所列方程组为， 对应选项为A． 11．1 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将解代入原方程得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：将代入方程得：， ∴ ． 12．14 【分析】将与组成一个新的二元一次方程组，解这个方程组，得到和的值，代入中，即可求出的值． 【详解】解：将与组成一个新的二元一次方程组， 得到 解得 将， 代入中， 可得． 13．， 【分析】通过理解图形可知本题存在两个等量关系，即每件T恤价格每瓶矿泉水的价格，每件T恤价格+每瓶矿泉水的价格．根据这两个等量关系可列出方程组． 【详解】解：可设每件T恤价格和每瓶矿泉水的价格分别为x元，y元， 则， 解得 ， 故答案为：18，2． 14． 一 移项没有变号 【分析】根据代入消元法的运算法则进行判断即可． 【详解】解：解方程的正确步骤为： ， 由①得：， 将③代入②得：， 解得： 代入③得：， ∴原方程组的解为． 15． 【分析】根据题意得到二元一次方程组，利用整体代入思想和加减消元法即可求解． 【详解】解：由题意可得： 由可得： 整理得 ∵ ∴ 解得． 16． 【分析】令，，可知新换元后的方程组与已知解的原方程组结构相同，由此得到关于，的二元一次方程组，求解即可得到结果． 【详解】解：在方程组中 令 ∴原方程组可化为 ∵的解为 ∴ 得 解得 把代入得 解得 故原方程组的解为 ． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：， 由①可得， 将代入②得， 解得， 将代入得， ∴方程组的解为． 18． 【详解】解：将和代入方程得 ， 解得：， ． 19． 【分析】先联立不含参数 的方程求出 的值，再代入含参数的方程求出 的值，即可求出． 【详解】解：关于，的方程组和的解相同， 联立不含参数的方程得， 将两个方程相加，得，解得． 把代入，得，解得， 即，代入， 得，解得， ． 20．一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨 【详解】解：设一台A型车每次清运垃圾x吨，一台B型车每次清运垃圾y吨， 根据题意得，， 解得， 答：一台A型车每次清运垃圾15吨，一台B型车每次清运垃圾8吨． 21． 【分析】本题考查二元一次方程组错解问题，解此类问题抓住一句话“看错谁，不用谁”，把解代入未看错方程来组建新的关于，的方程解题． 【详解】解：甲看错了方程①中的，得到方程组的解为， ， 解得：， 同理乙看错了方程②中的，得到方程组的解为， 可得：， 解得：， ． 22．(1)二，计算减法时没有把负号转变为正号 (2)解：得：③ 得：， 将代入②得： 所以该方程组的解是 【分析】（1）根据二元一次方程组的运算即可解答． （2）利用加减消元法解方程组即可． 此题考查了二元一次方程组的求解能力，关键是能熟练运用加减消元法． 【详解】（1）解：小华同学使用的是加减消元法，第一步的依据是等式的基本性质2，即等式两边同时乘以一个相同的数，等式仍然成立． 第二步出现错误，原因是计算减法时没有把负号转变为正号； （2）略 23．(1)该方程组的解与具有“邻好关系”，理由如下： ， 由得， 将代入得， 解得， ∵， ∴该方程组的解与具有“邻好关系”； (2) 【分析】（1）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义判断即可得出结果； （2）先求出方程组的解，再结合“邻好关系”的定义计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：， 由得， 解得， 将代入②得， 解得， ∵关于x，y的方程组的解x与y具有“邻好关系”， ∴， 解得． 24．(1)，，， (2)横向分割：A型矩形70块，B型矩形16块；纵向分割： A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． (3)纵向分割获得的销售额最大，最大销售额是6960元． 【分析】（1）根据图4计算即可； （2）根据要求对夏布进行分割，最少浪费布料，即两种矩形的长或宽恰好与夏布的长或宽相等，或最接近，列二元一次方程可求解； （3）根据（2）的结果进行计算即可． 【详解】（1）解：A型矩形长为，宽为， B型矩形长为，宽为 （2）解：横向分割时， 由于两种矩形的长和宽是2倍关系，故只需讨论它们的宽与夏布的宽之间的关系即可， 假设A型矩形x行，B型矩形y行， 则 解得该二元一次方程没有正整数解， 当时，与最接近，即浪费布料最少， 此时A型矩形5行，B型矩形1行， ， ， 即A型矩形70块，B型矩形16块； 纵向分割时，只需讨论它们的长与夏布的长之间的关系即可， 假设A型矩形a列，B型矩形b列， 则 解得或 ， 或， 即A型矩形24块，B型矩形84块或A型矩形60块，B型矩形35块． （3）解：横向分割时：（元） 纵向分割时：（元） 或（元） 答：纵向分割时获得的销售额最大，最大销售额是元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $