2026年秋七升八暑假收心数学作业02（范围：第八章 实数）人教版七年级数学下册

**基本信息** 2026年秋七升八暑假收心数学单元卷（第八章实数），通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合浮力实验、编码规则等现实情境与新定义运算，适配暑假复习衔接，培养抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|无理数判断、相反数、实数比较、估算|浮力实验估算正方体棱长（第4题）、“开方密码”应用（第7题）| |填空题|6|平方根立方根性质、数轴化简、新定义运算|“非负有理数转换器”（第16题）、“取最小整数操作”（第15题）| |解答题|8|实数计算、规律探究、综合实践|“2阶魔方”边长与数轴表示（第18题）、长方形拼正方形面积推理（第24题）|

2026年秋七升八暑假收心数学作业02 （第八章 实数） 一、选择题 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C．3.1415926 D． 2．的相反数是（     ） A．6 B． C． D． 3．下列各实数中，最小的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在做浮力实验时，某学生用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一个量筒量得溢出的水的体积（溢出水的体积即为正方体的体积，忽略浸入水中的细线的体积）为，由此可估计该正方体铁块的棱长位于（     ）两个相邻的整数之间 A．3和4 B．4和5 C．5和6 D．6和7 5．下列结论中，正确的是（     ） A．的立方根是 B．没有平方根 C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D． 6．下列计算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．某种编码规则为“开方密码”：一个数的算术平方根是其对应的密码．例如：数对应的密码是，数对应的密码是．已知数对应的密码约为，数对应的密码约为，则数对应的密码约为（     ） A． B． C． D． 8．如果，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．如图，直径为单位1的圆上一点与数轴上表示的点重合．将该圆向右滚动一周后，点落在数轴上的点处，则点表示的实数是（     ） A． B． C． D． 10．对于3个互不相等的实数，，，选取最小的两个作差取绝对值，将这个绝对值记为．例如三个互不相等的实数：，，，选取最小的两个数为，，计算得．现有下列判断：①对于三个实数：，，，计算得；②对于三个实数：，，，若，则或5；③对于三个实数：4，，，则计算的结果有3个．其中正确的个数有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题 11．比较大小：________．（填“”、“”或“”） 12．已知，则________． 13．若n为正整数，且满足，则________． 14．如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的结果为________． 15．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如：，，现在对进行如下操作：，即对只需进行次操作后变为．类比上述操作：对只需进行________次操作后变为． 16．一个数值转换器，如图所示： 其中为非负有理数．例如当输入的为3或9时，输出的的值都是．若输入有理数的值后，始终输不出的值，则的值可能是______________（请写出所有可能的结果）． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，由8个同样大小的正方体组成一个“2阶魔方”，整个魔方的体积为8． (1)求这个魔方的棱长； (2)图①中阴影部分是一个正方形，它的面积是魔方侧面面积的一半，求正方形的边长． (3)把正方形放到数轴上，如图②，使得点D与重合，那么点A在数轴上表示的数为 ． 19．解答下列各题 (1)若两个数，满足，则________，________； (2)若与互为相反数，求的值． 20．阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． 21．学习《实数》之后，在数学活动课上，黄老师呈现了一组有规律的算式．阅读观察下列算式，探求规律：，，，… (1)按照此规律： ①计算：________； ②第n个式子是________；（用含n的式子表示，且n为正整数） (2)直接写出结果：________． 22．已知和是某正数的两个不同的平方根，的立方根为2． (1)求、的值； (2)求的算术平方根． 23．如图，将面积分别为10和5的正方形的一条边落在数轴上，一个顶点与原点重合，其另一个顶点分别在数轴上的点和点处． (1)点表示的数为________________；点表示的数为________________． (2)请你阅读以下材料，并完成作答： 的整数部分为2，小数部分为 根据以上材料可得点所表示数的整数部分为________，小数部分为________________． (3)已知是整数，，且，求的值． 24．综合与实践 (1)【问题发现】如图1，把两个边长为1的小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就可以得到一个大正方形，所得到的大正方形的面积为__________，大正方形的边长为__________，这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线，因此，可得小正方形的对角线长为__________． (2)【知识迁移】爱钻研的小思同学受到启发，尝试用两个同样大小的长方形拼出一个正方形．如图2，将两个长和宽分别为5和3的长方形沿对角线剪开，将所得到的4个直角三角形拼出了一个中间有一个镂空小正方形的大正方形，所得到的小正方形的边长为__________；大正方形的面积为__________；长方形的对角线长为__________． (3)【拓展延伸】小明同学想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为．小思同学思考了一下说：“这可办不到哦！”小明反驳说：“用面积大的纸片，肯定能裁出面积小的纸片！”请通过计算说明他们谁说得对． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年秋七升八暑假收心数学作业02（答案及解析） （第八章 实数） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A D C B B C B 1．D 【分析】根据无理数的定义，无限不循环小数是无理数，化简各选项后即可判断． 【详解】解：A．，2是整数，属于有理数，故本选项不符合题意； B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意； C．是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意； D．是开方开不尽的数，为无限不循环小数，属于无理数，故本选项符合题意． 2．B 【分析】只有符号不同的两个数互为相反数，根据定义直接求解即可； 【详解】解：的相反数是． 3．A 【分析】先化简各选项中的根式，再比较实数大小． 【详解】解：，， 又， 最小的是． 4．A 【分析】利用正方体的体积公式结合题目条件得出该正方体铁块的棱长，确定被开立方数的值在哪两个相邻整数的立方之间即可得到解． 【详解】解：正方体的体积为棱长的三次方， 该正方体铁块的棱长为， ，，， 该正方体铁块的棱长位于3和4之间． 5．D 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根的定义，根据相关定义逐一判断各选项即可得到结果． 【详解】选项A：， 的立方根是， 选项A错误，不符合题意； 选项B：正数都有平方根，， 有平方根， 选项B错误，不符合题意； 选项C：负数没有算术平方根，是负数， 算术平方根等于它本身的数只有和， 选项C错误，不符合题意； 选项D：， ， 选项D正确，符合题意． 6．C 【详解】解：A．表示的算术平方根，结果为非负数，，∴A错误； B．对任意实数，都有，，∴B错误； C．，C计算正确； D．表示的平方根，，∴D错误． 7．B 【分析】根据算术平方根的性质，被开方数缩小为原来的，它的算术平方根缩小为原来的，利用该性质结合已知条件即可求解． 【详解】解：∵一个数的算术平方根是其对应的密码， ∴数对应的密码为， ∵数对应的密码约为， ∴， ∴． 8．B 【分析】先找出与26相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，再推导的取值范围即可. 【详解】解：∵ ， ∴ ，即 ， 不等式各边同时减1，得 ，即 . 9．C 【分析】由题意得到圆滚动一周即求出圆的周长，即可得到答案． 【详解】解：圆的周长为：， 圆上一点与数轴上表示的点重合， 点表示的实数是． 6．B 【分析】先明确Q的定义为三个互不相等实数中最小的两个数的差的绝对值，再逐一验证三个判断的正确性． 【详解】解：①将，，从小到大排序为，最小的两个数为和，则，故①错误； ②对三个数，，分情况讨论： 当，即时，最小的两个数为和， 则，解得或（不符合，舍去）； 当，即时，最小的两个数为和， 则，解得或（不符合，舍去）； 当，即时，最小的两个数为和， 则，不合题意， 综上，或，故②正确； ③对于给定的三个互不相等的实数，，，是唯一确定的值，计算结果只有个，故③错误； 综上所述，正确的个数有1个． 11． 【分析】将两个数分别与比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵， ∴， ． 12． 【分析】几个非负数的和为时，每个非负数均为，据此分别求出和的值，再计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ∴，， ∴． 13．2 【分析】估算的取值范围，确定介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 14． 【分析】首先由数轴得到，，然后化简求解即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴，， ∴ ． 15． 【分析】理解题目给出的新定义，用表示不小于的最小整数，按照操作规则逐步计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意，对36逐步进行操作： ∵ ， ∴ 可得第一次操作结果； ∵，， ∴ ，可得第二次操作结果； ∵， ∴，可得第三次操作结果． 16．0或1 【分析】根据数值转换器的规则，分析始终输不出值的情况即可得解． 【详解】解：在非负有理数中，当时，，无论开多少次平方，结果始终是， 故始终输不出的值． 当时，，同样无论开多少次平方，结果始终是， 也始终输不出的值． 综上，的值可能是0或1． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可； （2）根据棱长，可求出侧面面积为4，阴影部分正方形面积为2，由此求出边长即可得解； （3）用点表示的数加上边长即可得解． 【详解】（1）解：设魔方的棱长为， 则， 解得； ∴这个魔方的棱长为2； （2）解：∵棱长为2， ∴每个小立方体的边长都是1， ∴正方形的面积为：，即, ∴正方形的边长； （3）∵正方形的边长为，点与重合， ∴点在数轴上表示的数为：． 19．(1)0，0； (2) 【分析】（1）根据平方的非负性，即可得出结果； （2）根据两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数，得到，求出的值，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：根据题意得， 解得， . 20． 【分析】仿照材料给出的方法，将原等式拆分为有理数部分和含的无理数部分，利用有理数和无理数的性质，令两部分分别等于0，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，都是有理数， ，都是有理数 ， 是无理数， ， 解得或， 当，时，， 当，时， ， 综上所述，的值为． 21．(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，可以发现答案的分母为根式内分母的算术平方根，答案的分子比分母少1，从而得出答案； ②总结前几个式子的规律求解即可； （2）结合（1），将式子化简，然后再计算有理数的乘法即可． 【详解】（1）解：①； ②第1个式子为：， 第2个式子为：， 第3个式子为：， 第4个式子为：， … ∴第个式子是； （2）解： ． 22．(1)a的值为1，b的值为5 (2)3 【分析】（1）根据“一个正数的两个平方根互为相反数”得，根据立方根的定义得，继而得到关于的二元一次方程组，求解后可得答案； （2）根据（1）的结论可得的值，再根据算术平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：和是某正数m的两个不同的平方根，的立方根为2， ， 解得：， a的值为1，b的值为5． （2）解：根据（1）知， 则， 9的算术平方根为3， 的算术平方根为3． 23．(1)，； (2)，； (3) 【分析】（1）理解题意，且结合数轴，得点A表示的数为，点B表示的数为，即可作答． （2）模仿题干过程，得，即点所表示数的整数部分为2，小数部分； （3）先得，因为是整数，，故，，再分别代入进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，面积为10的正方形的边长是，面积为5的正方形的边长是， 观察数轴，点A在原点的左边， 依题意，得点A表示的数为， 观察数轴，点B在原点的右边， 依题意，得点B表示的数为， （2）解：由（1）得点B表示的数为， ∵ ∴， ∴的整数部分为2，小数部分为． 即点所表示数的整数部分为2，小数部分为． （3）解：∵， ∴， ∵是整数，，且， ∴，， ∴． 24．(1)2，， (2)2，34， (3)小思说得对，小明说得不对；理由如下： 设裁出的长方形纸片的长为，宽为， 则，解得（负值舍去）， ∴裁出的长方形纸片的长为． 面积为的正方形纸片的边长为， ∵， ∴不能用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为． 【分析】（1）根据大正方形的面积2个小正方形的面积和，即可得解； （2）根据大正方形的面积4个直角三角形的面积小正方形的面积即可解答； （3）设裁出的长方形纸片的长为，宽为，根据长方形纸片的面积为，计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：所得到的大正方形面积为2，则边长为； 这个大正方形的边长就是原先边长为1的小正方形的对角线长，因此可得小正方形的对角线长为． （2）解：由题意得：所得到的小正方形的边长为：； 大正方形的面积为：； 则大正方形的边长为； ∴长方形的对角线长为． （3）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $