第十章 二元一次方程组（暑假巩固作业01）2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组核心知识，通过基础巩固、综合应用、创新拓展三层设计，构建从概念理解到实践创新的递进式巩固路径，培养抽象能力、运算能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|方程概念、解的定义、基本消元法|选择题1-5考查概念辨析，解答题17训练代入/加减消元，夯实运算能力| |中档|几何情境应用、参数问题、实际建模|选择题6-8结合图形列方程，解答题18-19解决购物/配比问题，发展几何直观与推理意识| |提升|新定义运算、综合实践、纠错分析|解答题20-22涉及共轭方程、预算规划等，培养创新意识与模型观念，适配暑假能力提升需求|

第十章 二元一次方程组（暑假巩固作业01） 一、选择题 1．在二元一次方程中，用含有x的代数式表示y，得（     ） A． B． C． D． 2．下列方程中：①；②；③；④；⑤；二元一次方程有（ ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．已知是方程的一个解，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．若关于的二元一次方程组的解为，则多项式可能是（   ） A． B． C． D． 5．用加减消元法解方程组，两式相加消去y ，得到的方程是（     ） A． B． C． D． 6．在一块长方形广场上有3个大小完全相同的长方形花坛，如图中阴影部分即为花坛，已知长方形广场的长为，宽为，则每个花坛面积为（   ） A． B． C． D． 7．规定，如．如果同时满足，那么的值分别为（   ） A． B． C．4，5 D．5，4 8．将长方形和长方形按如图所示摆放，由图中信息可知，“？”的值为（   ） A．6.75 B．6.5 C．6.25 D．6 9．若方程组的解为，则被“★”、“■”遮住的两个数分别是（     ） A．3，9 B．9，3 C．9， D．3， 10．2026年5月24日，神舟二十三号载人飞船顺利发射．为弘扬航天精神，某校航天社团拟采购一批航天纪念徽章和纪念摆件．已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜4元，购买5枚徽章和3个摆件，一共需要108元．设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，则所列方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．写一个以字母、为未知数的二元一次方程，使得是它的一个解：______． 12．若关于，的方程组的解是，则________，________． 13．已知，则______． 14．某研究所开展科技助农强农行动，推进乡村产业振兴．在研究人员的指导下，张大伯想要配制营养液来提高土壤肥力．已知某种营养液由甲、乙两种原料配制而成，这两种原料中的营养元素钾的含量及原料价格如下表所示： 甲种原料 乙种原料 营养元素钾的含量 500 200 原料价格（元/L） 6 8 若该种营养液含的钾，且张大伯购买原料共花费82元，则张大伯购买了甲种原料________L，乙种原料________L． 15．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：已知，满足，且，则的值为______________． 16．已知关于，的二元一次方程组的解是．若，满足，则的值为________． 三、解答题 17．解方程组． (1) (2) 18．4月16日至24日，2026年山西省全民阅读大会暨全民阅读活动周在晋城举办．某校举办“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动，计划给图书馆添置书籍，已知购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元，求《论语》和《诗经》的单价分别是多少． 19．若方程组的解互为相反数，求的值． 20．定义：我们把关于的两个二元一次方程与（为常数，且）叫作互为共轭二元一次方程，二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组． (1)的共轭二元一次方程是______．（填选项字母） A．　B．　C．　D． (2)若关于的方程组是共轭二元一次方程组，求的平方根． 21．下面是小强同学解二元一次方程组的过程，请阅读并完成下列问题． 解：由①得，③    （1） 把③代入②，得，    （2） 解得        （3） 把代入③，得，    （4） 所以方程组的解是．    （5） 以上过程中从第_______步开始出现错误，小强解方程组的方法为______（填“代入消元法”或“加减消元法”），请写出正确的解答过程． 22． 综合与实践 问题情境 为弘扬“数学家之乡”的优良文化传统，某校开展数学节活动，并购买如图所示的九连环和鲁班锁两种活动道具． 素材1 1个鲁班锁和2个九连环共52元；3个鲁班锁和4个九连环共120元． 素材2 学校计划购买鲁班锁、九连环共50个，预算825元． 问题解决 任务1 （1）求每个鲁班锁和每个九连环的单价． 任务2 （2）学校能否恰好用完预算？请用方程组的知识阐明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第十章 二元一次方程组（暑假巩固作业01） 参考答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B B C A C A 1．D 【详解】解：在二元一次方程中，用含的代数式表示，得． 2．A 【分析】二元一次方程需要满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都是1，据此逐个判断即可． 【详解】解：根据二元一次方程的定义逐个判断： ①，只含有1个未知数，不是二元一次方程； ②，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； ③，分母含有未知数，不是整式方程，不是二元一次方程； ④，的次数为2，不满足一次的要求，不是二元一次方程； ⑤，满足二元一次方程的定义，是二元一次方程； 综上，共有2个二元一次方程． 3．B 【详解】解：是方程的一个解， ， 解得， 故选：B． 4．B 【分析】根据二元一次方程组解的定义，方程组的解满足所有方程，因此将已知解代入多项式，结果为的即为正确选项. 【详解】解：∵是方程组的解， ∴将，代入各选项验证： 选项A，，不符合题意； 选项B，，符合题意； 选项C，，不符合题意； 选项D，，不符合题意. 5．B 【分析】本题考查加减消元法的应用，只需将两个方程左右两边分别相加，合并同类项即可得到结果． 【详解】记方程组为 ， ∵题目要求两式相加消去，将可得： 化简得 ． 6．B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设每个花坛的长为，宽为，根据题意，列出方程组，求出a，b的值，即可求解． 【详解】解：设每个花坛的长为，宽为，根据题意得： ， 解得：， 即每个花坛的长为，宽为， ∴每个花坛面积为． 故选：B 7．C 【分析】本题考查了二元一次方程组，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 由新定义得：，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：由新定义，得 ①-②，得 解得： 把代入②，得 解得： ∴方程组的解为 故选： C． 8．A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为，根据图中的摆放方式及高度，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设长方形A的长为x，宽为y，则长方形B的长为x，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴． 故选：A． 9．C 【分析】根据方程组解的定义，方程组的解满足每个方程，先将已知的代入第二个方程求出，即被遮住的数，再计算得到被遮住的数，即可得到答案. 【详解】解：∵方程组的解满足方程，且 ∴将代入 得 解得 ，即 ∵ ∴ 因此被遮住的两个数分别是和. 10．A 【分析】根据题目给出的两个等量关系，分别列出方程即可得到正确方程组． 【详解】解：∵设每枚航天纪念徽章为元，每个航天摆件为元，已知每枚航天纪念徽章比每个纪念摆件便宜元， ∴； ∵购买枚徽章和个摆件一共需要元， ∴总花费满足； 因此所列方程组为． 11．（答案不唯一） 【分析】根据二元一次方程的定义构造方程，把代入后满足方程左右两边相等即可． 【详解】解：∵以字母、为未知数的二元一次方程的解为， ∴构造的方程可以为， 将代入方程左边得，右边， ∴满足二元一次方程的解的定义，符合题意． 12． 【分析】把代入原方程组中得到关于m，n的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵若关于，的方程组的解是， ∴， ∴． 13．3 【详解】解： 得， ∴． 14． 7 5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系，列出方程组，是解题的关键．设甲种原料购买了，乙种原料购买了，根据该种营养液含的钾，购买原料共花费82元，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设甲种原料购买了，乙种原料购买了， 根据题意得：， 解得：， 即甲种原料购买了，乙种原料购买了． 故答案为：7；5． 15．4 【分析】本题考查了解二元一次方程组，以及二元一次方程组的解求参数，先理解题意，整理得，运用加减消元法进行解出，，再把，分别代入，求出的值，即可作答． 【详解】解：∵已知，满足，且， ∴， ，得， ∴， 把代入，得， 解得， 把，分别代入， 得 ∴ ∴， 故答案为：4 16． 【分析】利用整体思想，对比已知方程组与所求方程组的结构，得到关于，的等式，将求得的，值代入计算即可． 【详解】解：关于，的二元一次方程组的解是． 若令，则方程组的解与方程组的解相同， 则，解得， ． 17．(1) (2) 【详解】（1）解： 将①代入②得： 解得 将代入①得： ∴方程组的解为； （2）解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为． 18．《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元 【分析】设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元，根据“购买4本《论语》和购买5本《诗经》的费用相同，购买2本《论语》比购买3本《诗经》少8元”列二元一次方程组求解． 【详解】解：设《论语》的单价为元，《诗经》的单价为元． 根据题意，得 解得 答：《论语》的单价为20元，《诗经》的单价为16元． 19． 【分析】先解二元一次方程组，根据方程组的解互为相反数，得出，解一元一次方程，即可求解． 【详解】解：由可得 互为相反数， ， 解得， ∴当时，方程组的解互为相反数． 20．(1)C； (2)的平方根是 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，平方根 ． （1）由定义直接可求； （2）根据定义得到计算得到，再求平方根即可 【详解】（1）解：的共轭二元一次方程是， 故答案为：C． （2）解：由题意可得整理得， ②－①，得，即． 的平方根是， 的平方根是． 21． （2）；代入消元法； 解：由①得③ ， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 所以方程组的解是． 【分析】根据解方程组步骤的特点判断和分析；按照解二元一次方程组的步骤求解即可. 【详解】解：根据解答步骤可得：解方程组的方法是代入消元法，在第（2）步代入时没有添括号，出现错误； 正确的解答过程略. 22．（1）每个鲁班锁的单价为16元，每个九连环的单价为18元；（2）学校不能恰好用完预算，理由见详解 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设每个鲁班锁的单价为x元，每个九连环的单价为y元，由题意可得方程组，进而求解即可； （2）设学校计划购买鲁班锁m个，九连环n个，由题意得，然后进行求解即可． 【详解】解：（1）设每个鲁班锁的单价为x元，每个九连环的单价为y元，由题意得： ， 解得：； 答：每个鲁班锁的单价为16元，每个九连环的单价为18元． （2）设学校计划购买鲁班锁m个，九连环n个，由题意得： ， 解得：， ∵m、n是正整数， ∴学校不能恰好用完预算． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $