25.3 第2课时 传播问题与平均变化率问题（课件）2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的传播问题与平均变化率问题，通过“一人患流感两轮传染后121人患病”的实际情境导入，借助表格分析传染源及各轮传染人数，构建(1+x)^n模型，为平均变化率的a(1±x)^n=b模型提供学习支架，衔接知识脉络。 其亮点是以真实问题驱动教学，通过合作探究、典例精析培养学生数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理方程求解）和数学语言（模型表达）。如流感传染问题引导发现规律，成本下降率计算强化推理，总结公式助学生用数学语言表达变化规律。学生提升应用意识，教师获得结构化资源，便于实施探究式教学。

人教版九年级（上） 25.3 实际问题与一元二次方程 第2课时 传播问题与平均变化率问题 第二十五章 一元二次方程 1 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如何解决这一问题呢？ 导入新课 传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数 1 1 + x = (1 + x)1 1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2 x1 = ，x2 = 解方程，得 答：平均一个人传染了_____个人. 10 −12 (不合题意,舍去). 10 解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. (1 + x)2 = 121. 列方程 知识点1：传播问题与一元二次方程 探究新知 (1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感? 第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数 (1 + x)1 (1 + x)2 (1 + x)3 分析 3 轮传染后的人数是: (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人). (2) n 轮传染后有多少人患流感? (1 + x) + … + x(1 + x)n=(1 + x)n人 合作探究 x1 = 11， x2 = −12 (不合题意，舍去). 例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支? 主干 支干 支干 …… 小分支 小分支 …… 小分支 小分支 …… …… x x x 1 解：设每个支干长出 x 个小分支， 则 1 + x + x2 = 133， 即 x2 + x −132 = 0. 解得 答：每个支干长出 11 个小分支. 典例精析 【合作探究】 两年前生产 1 t 甲种食品的成本是 10 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 12 000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1 t 甲种食品的成本是 6 000 元，生产 1 t 乙种食品的成本是 7 200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？ 知识点2：平均变化率与一元二次方程 问题1 甲种、乙种食品年平均下降额分别是多少？ 甲：(10 000 - 6000)÷2＝2000 (元)； 乙：(12 000 - 7200)÷2＝2400 (元). 问题2 甲种、乙种食品年平均下降率分别是多少？它们和下降率相同吗？ 下降率 = 下降前的量−下降后的量 下降前的量 ×100% 设甲种食品成本的年平均下降率为 x，则一年启甲种食品成本为 10000(1－x)元，两年后甲种食品成本为 10000(1－x²) 元，于是有 10000(1－x²)＝6000 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. 请计算乙种食品成本的年平均下降率，并比较两种食品成本的年平均下降率。 设乙种食品成本的年平均下降率为 y，则一年后乙种食品成本为 12 000(1 − y) 元，两年后乙种食品成本为 12 000(1 − y)2 元，于是有 解方程，得 根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为 22.5%. y1≈0.225， y2≈1.775. 12 000(1 − y)2＝7 200 问题3 经过计算，你能得出什么结论呢? 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率___________，应比较_________________. 不一定较大 降前及降后的价格 一般下降率不可为负，且不大于 1. 例2 某市政府工作报告：某年全市生产总值为 1585亿元，经过连续两年增长后，预计两年后达到 2180 亿元，求某市的平均每年增长率. 解：设某市的平均每年增长率为 x. 由题意，得 1585(1 + x)2 = 2180 解得 x1≈0.172 ，x2≈-2.172 (不符合题意，舍). 答：某市的平均每年增长率约为 17.2%. 总结：年均增长率需要考虑实际情况取值. 总结 平均变化率： 平均增长(或降低)百分率为 x 增长(或降低) n 次前的量是 a 增长(或降低) n 次后的量是 b 1.随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是 5000 元，现在生产一吨药的成本是 4050 元.设生产成本的年平均下降率为 x，下面所列方程正确的是 ( ) A.5000(1 + x2) = 4050 B.4050(1 + x2) = 5000 C.5000(1 - x2) = 4050 D.4050(1 - x2) = 5000 C 练一练 传播、平均变化率问题 传播问题：(1＋x)n 平均变化率问题：a(1±x)n＝b 课后小结 1. 某厂今年一月份的总产量为 500 吨，三月份的总产量为 720 吨，平均每月的增长率是 x，则可列方程( ) A. 500(1 + 2x) = 720 B. 500(1 + x)2 = 720 C. 500(1 + x2) = 720 D. 720(1 + x)2 = 500 2. 某校去年对实验器材的投资为 2 万元，预计今、明两年的投资总额为 8 万元．若设该校今、明两年在实验器材投资上的年平均增长率是 x，则可列方程为 .(不用化简) B 2(1 + x) + 2(1 + x)2 = 8 当堂练习 3. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？ 解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x −1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得 解得 x1＝5，x2＝−4(舍去)．∴ x＝5. 答：共有 5 个人参加聚会． 4.“杂交水稻之父”——袁隆平先生所率领的科研团队在增产攻坚第一阶段实现水稻亩产量 700 kg 的目标，第三阶段实现水稻亩产量 1008 kg 的目标. (1)如果第二阶段、第三阶段亩产量的增长率相同，求亩产量的平均增长率； (2)按照 (1) 中亩产量增长率，科研团队期望第四阶段水稻亩产达到 1200 kg，请通过计算说明他们的目标是否能实现. 解：(1) 设亩产量的平均增长率为 x， 依题意得 700(1 + x)² = 1008， 解得 x1 = 0.2 ，x2 = -2.2(不合题意，舍去). 答：亩产量的平均增长率为 20%. (2)1008×(1+20%) = 1209.6(kg). ∵ 1209.6 > 1200 ∴他们的目标能实现. $