25.3 第3课时　循环问题与其他问题（课件）--2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的循环问题与综合应用，涵盖单循环（1/2x(x-1)）、双循环（x(x-1)）公式及利润问题等，通过复习回顾单循环比赛案例导入，结合探究、例题逐步深化，构建从基础到综合的学习支架。 其特色在于以生活情境（握手、球赛、商品销售）为载体，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过方程建立与解的检验发展数学思维的推理意识，借助图表分析与规范表达强化数学语言的模型意识。实例丰富，教师使用可高效落实核心素养，助力学生掌握解题方法。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.3 第3课时　循环问题与其他问题 2026年8月3日 25.3 第3课时 循环问题与其他问题 专项练习题 知识点梳理：本节核心为一元二次方程循环类实际问题及综合应用问题。循环握手、比赛问题核心公式：$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$，适用于两两单次组合无重复场景（握手、单循环比赛、两两通话）；互送礼物、互发消息问题为双向循环，公式为$$x(x-1)$$。其余综合问题包括利润问题、人数组合问题等，解题关键是找准等量关系，列方程后检验解的实际意义，舍去负数、小数等不合题意的解。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 有$$x$$人两两握手，每两人只握一次手，总握手次数为________。 2. 班级同学互送贺卡，每人给其他同学各送一张，$$x$$人总贺卡数为________。 3. 单循环篮球比赛，共有$$x$$支队伍参赛，比赛总场数为________。 4. 若干人通话，每两人通一次电话，总通话次数21次，列方程为________。 5. 一个小组所有人互送礼物，共送出30份礼物，设小组人数为$$x$$，方程为________。 6. 单循环问题的核心特点是________，双向循环问题核心特点是相互往来、有重复。 7. 某球赛单循环赛共15场，则参赛队伍有________支。 8. 利润问题中，总利润=单件利润×________。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 8名同学两两握手，总握手次数为（） A. 16次 B. 28次 C. 32次 D. 64次 2. 一个社团内部互送名片，共送出42张名片，社团人数为（） A. 6人 B. 7人 C. 8人 D. 9人 3. 下列场景适合用$$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$列式的是（） A. 互送礼物 B. 单循环比赛 C. 互发消息 D. 两两写信 4. 有$$x$$支球队进行单循环比赛，总场数36场，方程正确的是（） A.$$x(x-1)=36$$ B.$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=36$$ C.$$x^2=36$$ D.$$x(x+1)=36$$ 5. 关于循环问题，下列说法正确的是（） A. 握手问题是双向循环 B. 互送贺卡无重复计算 C. 单循环比赛无重复场次 D. 所有循环问题公式通用 6. 某商店售卖纪念品，每件盈利10元，每天售出20件，单价每涨1元，销量少1件，设涨价$$x$$元，日利润为（） A.$$(10+x)(20-x)$$ B.$$10x(20-x)$$ C.$$(10-x)(20+x)$$ D.$$10(20-x)$$ 7. 10人两两互发消息，总消息数为（） A. 45条 B. 90条 C. 100条 D. 50条 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共12分） 1. 单循环比赛中，每两支队伍只比赛一次。（） 2. 5人互送礼物，总礼物数和握手总次数相等。（） 3. 循环问题解出的人数必须为正整数。（） 4. 两两通话问题适用单向循环公式计算总次数。（） 5. 人数越多，单循环比赛总场数增加越快。（） 6. 利润问题无需检验结果的实际意义。（） 四、基础应用题（每题5分，共20分） 列一元二次方程规范解答下列问题： 1. 某次聚会所有人两两握手，一共握手45次，求参加聚会的总人数。 2. 一个班级同学互送毕业贺卡，共送出56张贺卡，求班级人数。 3. 学校组织单循环乒乓球比赛，总比赛场次28场，求参赛选手人数。 4. 某商品每件盈利8元，日销量40件，每涨价1元销量减少2件，涨价多少元时日利润为360元？ 五、综合拓展题（10分） 某次线上研讨会结束后，参会人员两两互通一次电话，总通话次数为66次，若每人再给其他参会人员发送一条总结消息，求总共发送的消息数量。 参考答案 一、基础填空题 1. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$ 2. $$x(x-1)$$ 3. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)$$ 4. $$\dfrac{1}{2}x(x-1)=21$$ 5. $$x(x-1)=30$$ 6. 无重复、单向组合 7. 6 8. 销售数量 二、选择题 1.B 2.B 3.B 4.B 5.C 6.A 7.B 三、判断题 1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.× 四、基础应用题 1. 解：设总人数为$$x$$，$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=45$$，解得$$x_1=10，x_2=-9$$（舍去），答：共10人。 2. 解：设班级人数为$$x$$，$$x(x-1)=56$$，解得$$x_1=8，x_2=-7$$（舍去），答：共8人。 3. 解：设选手人数为$$x$$，$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=28$$，解得$$x_1=8，x_2=-7$$（舍去），答：共8人参赛。 4. 解：设涨价$$x$$元，$$(8+x)(40-2x)=360$$，解得$$x=2$$（$$x=10$$舍去），答：涨价2元。 五、综合拓展题 解：设参会人数为$$x$$，$$\dfrac{1}{2}x(x-1)=66$$，解得$$x_1=12，x_2=-11$$（舍去）。总消息数：$$12\times11=132$$条。答：总共发送132条消息。 （总字数1010字，覆盖单向、双向循环核心题型，搭配利润综合问题，贴合课时重难点，题型梯度、分值排版与本单元全套习题完全统一） 复习回顾 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行 x(x-1) 场， 所以可列得方程 x(x-1)=28. 整理并化简，得 x2-x-56=0. 解方程，得 x1​=8，x2​=−7（不合题意，舍去）. 因此，比赛组织者应邀请 8 支球队参赛. 下面再来看一种有关比赛球队数量与场数的问题. 探究 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗？为什么？ 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 如果有  支球队参赛，那么比赛的总场数为 . 假设这个人算得对，即  支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300， 那么n(n-1)=300. 解方程，得. 由于1 201不是完全平方数，所以  不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 由总场数为n(n-1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，，240，272，306，. 球赛类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 例1 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数，∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 例1 解：(2) 设原来有  人参加比赛，则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 1. 返回 问题：参加一次聚会的每两人都握了一次手，所有人共握手10次，有多少个人参加聚会？ 解题方案：设有x个人参加聚会．第1个人分别与其他______个人握手，第2个人分别与其他______个人握手……依次类推，共x个人，如此共握手________次，但此时每两人之间都是按握手两次进行计算的，因此，x个人每两人之间握一次手共握了________次，我们就得到方程：____________． (x－1) (x－1) x(x－1) 考试考法 7 返回 2. 某学校组织女子冰壶比赛，有x支队伍参加了比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则可列方程为______________． 考试考法 返回 3. 某校要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都比赛一场)，计划安排15场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛？ 解：设应该邀请x支球队参加比赛， 依题意，得 x(x－1)＝15， 解得x1＝6，x2＝－5(不符合题意，舍去)． 答：应该邀请6支球队参加比赛． 考试考法 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 降价后 (方法一：设销售单价降低x元) 分析： 60−x−40 300+20x (60−x−40)(300+20x)=6 080 60-40 300 解：方法一（间接设未知数）设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 单件利润 / 元 销售量 / 件 总利润 / 元 降价前 60−40 300 降价后 (方法二：设销售单价为x元) 分析： x−40 300+20(60−x) (x−40)[300+20(60−x)]=6 080 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 例2 解：方法二（直接设未知数）设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．今年9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件．市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1 200元，则售价应降低多少元？ 解：设售价应降低a元. 列方程，得(100-a-60)(20+2a)=1 200， 整理，得a2-30a+200=0， 解得a1=10 ， a2=20. ∵商家决定降价促销，同时尽量减少库存，∴a=20. 答：售价应降低20元． 跟踪训练 1. n个人参加聚会，每两人都握 1 次手，所有人共握手 10 次，共有多少人？ 解：设共有  人. 根据题意，得 解得  （不合题意，舍去）. 答：共有5人. 举一反三 2. 一个凸多边形共有 20 条对角线，它是几边形？是否存在有 18 条对角线的多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明理由. 解：设这个多边形是  边形. 根据题意， 解得（不合题意，舍去）. 故该多边形是八边形. 不存在有18条对角线的多边形.理由如下： 若则 . ∵ n不是正整数，∴ 不存在这样的多边形. 举一反三 返回 4. 【河北人文信息】[石家庄市城市轨道交通5号线一期工程，全长约19.9 km，站点设置依次为宫北路站－红旗南大街站－红旗桥站－…－谈固北大街站，从宫北路站到谈固北大街站一共需要设计342种往返车票，则这条线路共有站点(　　) A．17个 B．18个 C．19个 D．20个 C 考试考法 为号召学生加强锻炼，某校计划开展足球比赛活动，已知参赛球队进行双循环赛(每两队之间进行两场比赛)，总共进行110场比赛，求有多少支球队参加比赛． 返回 5. 解：设有x支球队参加比赛， 依题意，得x(x－1)＝110， 解得x1＝11，x2＝－10(不符合题意，舍去)． 答：有11支球队参加比赛． 考试考法 【新考向 传统文化】“八月十五谓中秋，民间以月饼相送，取团圆之意．”每年中秋节前是购买月饼的高峰期，某商场平均每天可销售月饼100盒，每盒可盈利20元．中秋节过后，月饼因滞销而降价，若每盒降价1元，则每天可多售出2盒．设每盒降价x元，则降价后每盒盈利_______元，每天可多售出____盒，每天一共售出_________盒，所以每天可获利________________元，若要每天盈利1 650元，则可列方程为_______________________． 返回 6. (20－x) 2x (100＋2x) (20－x)(100＋2x) (20－x)(100＋2x)＝1 650 考试考法 返回 7. 如图，一艘轮船以10 n mile/h的速度由西向东航行，在途中接到台风警报，台风中心正以20 n mile/h的速度由南向北移动，距台风中心10 n mile的圆形区域(包括边界)都属于台风区域．当轮船航行到点A处时，测得台风中心已经移动到位于点A正南方向的点B处，且AB＝50 n mile.若这艘轮船从点A处按原速度继续航行，在途中 是否会遇到台风？请说明理由． 考试考法 解：在途中不会遇到台风．理由如下： 如图，假设途中会遇到台风，设最初遇到台风时轮船从 点A处开始航行了t h，此时轮船位于点C处， 台风中心移动到点E处，连接CE， 则CE＝10 n mile，AC＝10t n mile，AE＝AB－BE＝(50－ 20t)n mile.易知AC2＋AE2＝EC2，∴(10t)2＋(50－20t)2＝102， 整理，得5t2－20t＋24＝0.∵Δ＝(－20)2－4×5×24＝－80<0， ∴方程无实数根，∴轮船在途中不会遇到台风． 返回 考试考法 返回 8. “这么近，那么美，周末到[河北．”某特产销售店购进一批贝壳画，进价为10元/幅，市场部门规定售价不能超过进价的3倍，店长整理了几天的销售情况，发现该贝壳画每天的销售量y(幅)与销售单价x(元/幅)之间满足一次函数关系，部分对应数据如下． x/(元/幅) … 15 25 … y/幅 … 600 400 … (1)y与x之间的函数关系式为_______________； y＝－20x＋900 考试考法 解：由题意，得(x－10)(－20x＋900)＝5 000， 解得x1＝20，x2＝35. ∵35>10×3，∴x＝35不合题意，舍去，∴x＝20. 答：该贝壳画的销售单价为20元/幅． (2)若销售该贝壳画每天的利润要达到5 000元，求该贝壳画的销售单价． 返回 考试考法 返回 9. 九年级乒乓球赛采用单循环赛制(即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场)，以下是小锦和小江对比赛总场数的统计： (1)若参赛者有6位，按此赛制共进行了几场比赛？ 考试考法 24 (2)小江的说法有道理吗？请说明理由． 返回 解：小江的说法有道理．理由如下： 设有x位参赛者比赛， 考试考法 4 (3)赛后经查询，小锦的统计正确．因为有一人身体不适，参与n场比赛后中途退赛，则n的值为________． 返回 考试考法 返回 10. 某中学九年级(1)班共有48名同学，网课期间，全班每两名同学都通一次电话且仅通一次电话，那么全班同学共通了多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 用点A1，A2，A3，…，A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名同学、…、第48名同学，把该班人数x与通电话次数y之间的关系用如图所示的模型表示． 考试考法 27 返回 (1)图中x＝5时，y的值为________，x＝6时，y的值为________； (2)通过探索发现，通电话次数y与该班人数x之间的关系式为_____________，当x＝48时，对应的y＝________； 10 15 1 128 考试考法 28 返回 (3)若九年级(1)班全体女生相互之间共通电话190次，则该班共有多少名女生？ 解：设该班共有a名女生，依题意，得 化简，得a2－a－380＝0. 解得a1＝20，a2＝－19(不符合题意，舍去)． 答：该班共有20名女生． 考试考法 实际问题与 一元二次方程 球赛问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 课堂小结 谢谢观看 THANKS x(x－1) x(x－1)＝10 x(x－1)＝45 解：由题意，得6位参赛者按此赛制共进行了＝15(场)比赛． 由题意得＝40，整理得x2－x－80＝0， 解得x1＝，x2＝，均不是整数， ∴方程的解不符合实际，故小江的说法有道理． y＝ ＝190. $