25.3 实际问题与一元二次方程 第3课时 循环问题与销售问题 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心讲解循环问题（单循环、双循环）及销售问题。通过排球邀请赛、足球联赛等情境导入，从单循环到双循环逐步深入，结合例题、变式构建学习支架，衔接前后知识。 其亮点是以实际问题为载体，用数学眼光观察比赛、握手等生活情境，通过方程建立与求解培养数学思维，总结公式模型强化数学语言表达。如双循环总场数验证体现逻辑推理，销售问题两种设元方法提升应用能力，助力学生发展建模意识，为教师提供系统案例与分层教学资源。

第二十五章 一元二次方程 25.3 实际问题与一元 二次方程(第3课时） 学习目标 1 2 能正确列出关于循环赛问题的一元二次方程． 进一步体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意识. 【探究】 比赛问题 【操作尝试】 探究与应用 问题1: 要组织一次排球邀请赛,赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,组织者应邀请多少支球队参加比赛? 3.每两个队之间都要比赛一场，全部比赛共全部比赛共 x(x-1)场; 4.可列方程为: x(x-1)=28. 2.每个队都要比赛(x-1)场; 分析:设应邀请x个队参赛. 1.每个队要与(x-1)个队进行比赛; 【尝试交流】 探究与应用 问题2 ：若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好 是300，他算得对吗？为什么?　 【探究】 比赛问题 分析 : 双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛。如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为n(n-1). 由于1201不是完全平方数, ∴n不可能为整数. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 解 : 假设这个人算得对， 即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么n(n-1)=300. 解方程，得 2 合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 . n(n−1) n(n−1)=300 n= 由于1201不是完全平方数，所以n不可能为整数.因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 双循环 假设这个人算得对，即n支球队进行主客场双循环比赛的总场数为300，那么 . 解方程，得 . 2 合作探究 探究3 若干支球队进行主客场双循环比赛，有人说，我算出总场数正好是300.他算得对吗?为什么? 分析：双循环比赛是指所有参赛球队彼此间进行两场比赛.如果有n支球队参赛，那么比赛的总场数为 . n(n−1) 由总场数为n(n−1)可知，其必为两个连续正整数的乘积，如2，6，12，20，…，240，272，306，…. 因此，总场数不可能为300，这个人算得不对. 新课讲解 知识点1 循环问题 例 1.《教育强国建设规划纲要年 》中指出，实施学生体质强健计划，加强校园足球建设.某市以此为契机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场. (1) 如果有4支球队参加比赛，那么共需进行___场比赛. (2) 如果全市共需进行28场比赛，那么共有多少支球队参加比赛? (3) 如果赛制改为双循环形式（每两支球队之间都需要进行两场比赛）， 共需进行90场比赛，那么共有多少支球队参加比赛？ 解：(1) 设共有 支球队参加比赛. 根据题意，得 , 解得， (不符合题意，舍去). 答：共有8支球队参加比赛. (2) 设共有 支球队参加比赛. 根据题意，得 ， 解得， (不符合题意，舍去). 答：共有10支球队参加比赛. 6 新课讲解 例 解：(1) 小诚的说法有道理. 理由如下： 设有x人报名参赛，由题意，得 解得 ∵  x1 与 x2 都不是整数， ∴ 方程的解不符合实际，故小诚的说法有道理. 2. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (1)小诚的说法有道理吗？请通过计算说明； 【理解应用】 探究与应用 例 一次会议上有若干人，每两人之间都握手一次，共握手10次,有多少人参加会议? 解：设这次聚会共有x人参加， 依题意，得 （x-1）=10， 整理，得2--20=0， 解得：1=5，2=-4（不符合题意，舍去）． 答：这次聚会共有5人参加． 【理解应用】 探究与应用 变式2 . 某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共 有多少个球队参加比赛? 答案 : 10个 变式1. 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，若一共碰杯55次, 则有多少人参加酒会? 答案 : 11人 计数问题的关键是:是否会出现重复，主客，互送表重复 2 合作探究 归纳总结 n支球队进行单循环比赛，比赛总场数为 . n支球队进行双循环比赛，比赛总场数为 . n(n−1) n(n−1) 新课讲解 例 解：(2) 设原来有  人参加比赛， 则 解得x1=9，x2=-6 (不符合题意，舍去). ∴ 原来有 9 人参加比赛. 2. 北京时间2025年8月25日凌晨，WTT欧洲大满贯瑞典站女单决赛，孙颖莎战胜王曼昱，夺得WTT欧洲大满贯瑞典站女单冠军. 趁此机会，某班举行乒乓球赛，球赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），如图是小米和小诚对比赛总场数的统计. (2)赛后经查询，小米的统计正确.因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，求原来有多少人参加比赛. 新课讲解 循环类问题的解决策略 类型 等量关系 单循环赛：每两支球队之间比赛一场. 类似的还有握手问题、多边形对角线条数等. m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环赛：所有参赛球队彼此间进行两场比赛. 类似的还有互发微信、车票类型等. m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 新课讲解 练一练 1. 某班全体学生在观看完2025年9月3日的盛大阅兵式后万分激动，王老师让全体学生互赠勉励卡激励同学们努力学习、报效祖国.已知共赠勉励卡1 640张，则全班共有多少名学生？ 解：设全班共有 名学生，根据题意得 ， 解得 （不合题意，舍去）， . 答：全班共有41名学生. 新课讲解 练一练 2. 某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，则参加此次比赛的球队数是（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 解：设参加此次比赛的球队数为x. 根据题意,得x(x-1)=36， 解得x1=9，x2=-8(舍去). 故参加此次比赛的球队数是9． D 3 典例分析 中考演练（2026湖北）2026年湖北省城市足球联赛（简称“楚超”）是省内最大的群众足球赛事．楚超有n支代表队参赛，常规赛采取单循环形式（每两支球队之间比赛1场），共需进行136场比赛，则可列方程（     ） A．n(n−1)=136 B．n(n−1)=136 C．n(n+1)=136 D．n(n+1)=136 A 单循环 3 典例分析 中考演练（2026四川凉山州）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x支球队进入决赛阶段，共比赛72场，根据题意可列关于x的方程为（     ） A．x(x−1)=72 B．x(x−1)=72 C．x(x+1)=72 D．x(x+1)=72 B 双循环 新课讲解 知识点2 销售问题 例 3. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：销售单价每降低1元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家每星期还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？ 解：方法一(间接设未知数)设商品的销售单价应降低x元， 则商品的销售单价为(60-x)元，销售量为(300+20x)件， 列方程，得(60-x-40)(300+20x)=6 080. 整理，得x2-5x+4=0. 解方程，得x1=1，x2=4， 要使顾客得实惠，取x=4，所以销售单价定为56元， 答：应将销售单价定为56元. 解：方法二(直接设未知数)设销售单价为x元. 列方程，得 (x-40)[300+20(60-x)]=6 080. 整理，得 x2-115x+3 304=0. 解方程，得 x1=56，x2=59. 要使顾客得实惠，取x=56. 答：应将销售单价定为56元. 新课讲解 例 4. 某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调查，售价定为每袋16元时，每天可售出200袋；若每袋售价每降低1元，则可多售出80袋，此种粽子每袋售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子的利润可达到1440元？若设每袋粽子售价降低 元，则可列方程为 ( ) A. B. C. D. A 3.[2025延边州期末]某超市以10元每袋的价格购进一批粽子，根据市场调 查，售价定为每袋16元时，每天可售出200袋；若每袋售价每降低1元，则 可多售出80袋，此种粽子每袋售价降低多少元时，超市每天售出此种粽子 的利润可达到1 440元？若设每袋粽子售价降低 元，则可列方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】 当每袋粽子售价降低 元时,每袋粽子的销售利润为 元,每天可售出 袋,依题意得 ． 20 4．如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出四个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为 (　 　) A．40 B．48 C．52 D．56 C 日 一 二 三 四 五 六     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31   课堂小结 实际问题与 一元二次方程 循环问题 销售问题 单循环：m=， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 双循环：m=n(n−1)， m 是总共比赛场次，n 是参赛球队数量. 7 布置作业 A B 习题25.3：第3题. 习题25.3：第9题. $