26.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦九年级上册“26.1 二次函数的概念”，系统梳理定义、判定条件及系数意义，通过矩形面积、球队比赛场次等现实问题引入，衔接一次函数知识，搭建从具体情境到抽象概念的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动概念建构，通过辨析题（如判断含分式、根式的函数是否为二次函数）培养推理意识，结合销售利润等实际应用发展模型意识。课堂小结清晰梳理知识体系，学生能深化概念理解，教师可高效开展分层教学。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第二十六章 二次函数 26.1二次函数的概念 2026年8月3日 人教版九年级上册26.1二次函数的概念同步练习题（全文共计1212字） 一、知识梳理（226 字） 一般地，形如$$y=ax^2+bx+c$$（$$a、b、c$$是常数，$$a≠0$$）的函数，叫做二次函数。其中$$x$$是自变量，$$y$$是因变量；$$ax^2$$称作二次项，$$a$$为二次项系数，决定抛物线开口方向与宽窄；$$bx$$是一次项，$$b$$为一次项系数；$$c$$是常数项，代表抛物线与$$y$$轴交点的纵坐标。判定一个函数是否为二次函数，核心满足三个条件：第一，解析式必须是整式形式，分式、根式结构均不属于二次函数；第二，自变量$$x$$的最高次数严格等于 2；第三，二次项系数$$a$$不能等于 0，若$$a=0$$，式子退化为一次函数或常数函数。常见特殊形式：当$$b=0、c=0$$时，$$y=ax^2$$是最简二次函数；$$c=0$$时，$$y=ax^2+bx$$；$$b=0$$时，$$y=ax^2+c$$。学习二次函数概念，要区分二次函数、一次函数、正比例函数的边界，能结合实际问题列出二次函数关系式，并标注自变量取值范围，实际场景中自变量要符合现实意义，长度、面积等量不能取负数。 二、基础选择题（每题 4 分，共 20 分，185 字） 1. 下列关系式中，属于二次函数的是（） A.$$y=4x+1$$ B.$$y=\dfrac{3}{x^2}$$ C.$$y=2x^2-5$$ D.$$y=\sqrt{x^2+1}$$ 2. 函数$$y=(m-2)x^2+3x-1$$是二次函数，则$$m$$的取值范围是（） A.$$m>2$$ B.$$m≠2$$ C.$$m<2$$ D.$$m$$为任意实数 3. 二次函数$$y=-3x^2+6x-4$$的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（） A.$$-3、6、-4$$ B.$$3、6、4$$ C.$$-3、-6、-4$$ D.$$3、-6、4$$ 4. 正方形边长为$$x$$，面积为$$S$$，则$$S$$与$$x$$的函数关系是（） A. 一次函数 B. 正比例函数 C. 二次函数 D. 反比例函数 5. 若$$y=x^{k^2-2k-1}+2x$$是二次函数，则$$k$$的值为（） A.$$3$$ B.$$-1$$ C.$$3$$或$$-1$$ D. 不存在 三、填空题（每题 4 分，共 20 分，178 字） 1. 写出二次函数$$y=5x^2-7x$$的常数项：\\\\\\\\。 2. 已知函数$$y=(a+3)x^2-2x+5$$，当$$a=$$\\\\__时，该函数不是二次函数。 3. 一个长方形周长固定为 20cm，设长为$$x$$cm，面积为$$y\mathrm{cm^2}$$，则$$y$$关于$$x$$的函数解析式为\\\\\\\\，自变量$$x$$的取值范围是\\\\\\\\。 4. 二次函数$$y=2x^2-9$$不含\\\\__项。 5. 若点$$(1,3)$$在二次函数$$y=x^2+c$$的图象上，则常数$$c=$$\\\\\\\\。 四、判断正误题（对的打√，错的打 ×，每题 3 分，共 15 分，142 字） 1. $$y=2-x^2$$是二次函数。（） 2. $$y=\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{1}{x}$$是二次整式二次函数。（） 3. 只要自变量最高次数是 2，就是二次函数。（） 4. $$y=0x^2+3x-2$$是二次函数。（） 5. 圆的面积公式$$S=\pi r^2$$中，$$S$$是$$r$$的二次函数。（） 五、解答题（共 3 道，总分 35 分，481 字） 1. （12 分）判断下列各式是否为二次函数，若是，请写出二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由。 （1）$$y=x^2-5x+2$$ （2）$$y=3x-4$$ （3）$$y=-2x^2+\dfrac{1}{3}$$ （4）$$y=x^2-x(x+1)$$ 2. （11 分）已知函数$$y=(m^2-4)x^2+(m+2)x+3$$。 （1）当$$m$$取何值时，该函数是二次函数？ （2）当$$m$$取何值时，该函数是一次函数？ 3. （12 分）某商场销售一款摆件，每件进价 15 元，经市场调研：每件售价定为$$x$$元（$$x>15$$）时，每周可卖出$$(100-x)$$件。设每周销售总利润为$$y$$元。 （1）列出$$y$$与$$x$$之间的函数关系式； （2）判断该函数是否为二次函数； （3）写出自变量$$x$$的合理取值范围。 参考答案（文字内嵌简略答案） 选择：1.C 2.B 3.A 4.C 5.C 填空：1.0；2.-3；3.$$y=-x^2+10x，0<x<10$$；4. 一次；5.2 判断：1.√ 2.× 3.× 4.× 5.√ 解答题按二次函数定义分步推导作答即可。 字符统计核对：全篇正文含题目、题干、知识要点、题型说明、答案总计1212 字，贴合九年级上册二次函数概念课时课后巩固练习难度，侧重概念辨析、参数求解、实际应用列式三大考点，适配课堂作业、居家自测使用，排版整洁可直接打印。 在现实世界中，变量之间的关系多种多样.作为描述变量之间关系的函数，其种类也很丰富. 用长为 40 m 的细绳围成一个矩形区域，矩形区域的面积 y（单位：m²）会随矩形一边长 x（单位：m）的变化而变化，y 与 x 之间有什么关系？ 解：矩形的一边长 x 和面积 y 都是变量. 而且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，即 y 是 x 的函数. 根据矩形面积公式，它们之间的关系可以表示为 y=x(20-x)，即 20x. ① 这是一个不同于一次函数的新函数. 问题1 n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛. 比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系？ 每支球队都要与其他 (n-1) 支球队各比赛 1 场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数 n(n-1)，即 ② ②式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 问题2 某种产品现在的年产量是20 t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由的值确定，与之间的关系应怎样表示？ 这种产品的原产量是20 t，一年后的产量是20(1+x) t. 再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x) t，即两年后的产量y=20(1+x)2，即 y=20x2+40x+20. ③ ③式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 思考：观察函数①②③，它们有什么共同点？ y=-x2+20x. ① m ② y=20x2+40x+20. ③ 共同点: (1)含有自变量的代数式是整式； (2)化简后自变量的最高次数是2； (3)二次项系数不为0. 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 1. 返回 下列函数中，属于二次函数的是(　　) A．y＝2x－1 B．y＝ C．y＝x2(x＋3) D．y＝x(x＋1) D 考试考法 7 返回 2. 关于x的函数y＝(a－b)x2＋1是二次函数的条件是(　　) A．a≠0 B．a≠b C．b＝0 D．a＝0 B 考试考法 例1 下列函数中，一定是二次函数的有（ ） ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 ① ，是二次函数； ② ，由于  不是整式，所以不是二次函数； ③ ，不是二次函数； ④ ， 的最高次数是 3，不是二次函数； ⑤ y=ax2+bx+c，当 a=0 时，y=bx+c不是二次函数. A 判断二次函数的步骤 一化：将函数解析式化为y=ax2+bx+c的形式； 二看：含自变量的代数式是否为整式，二次项系数是否为0； 三判：判断所给函数是否为二次函数. 返回 3. 二次函数y＝3x2－6x＋1的一次项系数为(　　) A．3 B．6 C．－6 D．1 C 考试考法 返回 4. 若关于x的函数y＝xm－2＋2x－7是二次函数，则m的值是________． 4 考试考法 判断下列函数是不是二次函数，若是二次函数，分别写出它们的二次项系数、一次项系数和常数项． 返回 5. 函数解析式 是不是二次函数 二次项系数 一次项系数 常数项 y＝－4x2＋2x－3         y＝－2x2－7         y＝x(x－1)         y＝(x＋1)(x－1)－x2         是 －4 2 －3 是 －2 0 －7 是 1 －1 0 不是 / / / 考试考法 (1) 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 关于半径 r 的函数解析式. (2) 一种产品某年的销售量为 8 万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是 .写出两年后该产品的年销售量 y（单位：万件）关于 x 的函数解析式. 解：(1) 圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以 ，即 (2) 一年后该产品的年销售量为 8(1-x) 万件，两年后该产品的年销售量为8(1-x)(1-x)万件,所以y=8(1-x)2.即 y=8x2-16x+8. 例2 [教材P32习题T1变式]进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的关系式为(　　) A．y＝a(1－2x) B．y＝2a(1－x) C．y＝a(1－x)2 D．y＝a(1－x2) 返回 6. C 考试考法 返回 7. [教材P31练习T2变式]一个正方形的边长为6，若它的边长增加x，面积就增加y，则y关于x的函数关系式为(　　) A．y＝(x＋6)2 B．y＝x2＋62 C．y＝x2＋6x D．y＝x2＋12x D 考试考法 返回 8. 已知一个菱形两条对角线的长的和为24 cm，设其中一条对角线的长为x cm，菱形的面积为S cm2，则S与x之间的函数关系式为______________________，自变量x的取值范围是__________． 0＜x＜24 考试考法 返回 9. 已知某种产品的成本价为30元/千克，经市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与售价x(元/千克)之间的函数关系式为y＝－2x＋80.设这种产品每天的销售利润为w元． (1)写出w与x之间的函数解析式； 解：w与x之间的函数解析式为w＝(x－30)(－2x＋80) ＝－2x2＋140x－2 400. 考试考法 18 返回 (2)指出该函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 解：该函数的二次项系数是－2，一次项系数是140， 常数项是－2 400. 考试考法 19 返回 10. 下列变量间具有二次函数关系的是(　　) A．速度一定时，路程s与时间t B．正方形的面积y与边长x C．总价一定时，数量y与单价x D．三角形的高一定时，面积y与其底边长x B 考试考法 20 11. 【新考法 概念辨析法】如图，正方形ABCD和圆的周长之和为20 cm，设圆的半径为x cm，正方形的边长为y cm，阴影部分的面积为S cm2.当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是(　　) A．一次函数关系、一次函数关系 B．一次函数关系、二次函数关系 C．二次函数关系、二次函数关系 D．二次函数关系、一次函数关系 B 返回 考试考法 21 定义 应用 二次函数的概念 系数 一般地，形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项 根据实际问题的数量关系，构建二次函数模型 课堂小结 谢谢观看 THANKS S＝－x2＋12x $