26.2.1 二次函数 y＝ax² 的图象和性质 课件-2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = ax^2\)的图象与性质，通过复习一次函数描点法，类比迁移引导学生用列表、描点、连线画出\(y = x^2\)等图象，搭建从一次函数到二次函数的学习支架。 其亮点是通过动手操作探究抛物线特征，对比不同\(a\)值函数图象培养几何直观（数学眼光）和推理意识（数学思维），用表格系统总结性质强化数学语言表达。学生能主动参与知识构建，教师可依托结构化流程提升教学效率。

26.2.1 二次函数 y＝ax² 的图象和性质 第二十六章 二次函数 x y O －2 2 2 4 1.画出一次函数 y＝x＋1 的图象． （1）列表 x y＝x＋1 0 3 1 2 （2）描点、连线． y＝x＋1 2.一次函数的图象是一条________，当________时，y 随 x 的增大而增大；当_________时，y 随 x 的增大而减小． 直线 k＞0 k＜0 1.列表：在 y = x2 中，自变量 x 可以是任意实数， 列表表示几组对应值； 9 4 1 0 1 4 9 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y = x2 ... ... 任务一：用描点法画出二次函数 y = ax2 的图象，了解抛物线的有关概念. 活动：类比一次函数的描点画法，画出二次函数y = x2 的图象. 2.描点：根据表中x， y 的数值在坐标平面中描出点(x，y)； 3.连线：再用平滑的曲线顺次连接各点，就得到 y=x² 的图象. -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 问题1：观察二次函数的图象，它的形状类似于什么？ 二次函数 y=x² 的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮时或掷铅球时球在空中经过的路线，只是这条曲线开口向上. 这条曲线叫作抛物线 y=x² . 实际上，二次函数的图象都是抛物线，它们的开口或者向上或者向下. 一般地，二次函数 y=ax²+bx+c的图象叫作抛物线 y=ax²+bx+c. -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 抛物线y = x2 与它的对称轴的交点(0,0)叫作抛物线的顶点，它是抛物线y = x2的最低点. x取值关于原点对称时，y值相同——y轴是抛物线y = x2 的对称轴. 当取更多个点时，二次函数 y=x² 的图象如下： 问题2：根据以往学习函数图象特征的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征? 1. y＝x2 的图象是一条抛物线； 2. 图象开口向上； 3. 图象关于 y 轴对称； 4. 顶点 (0，0)； 5. 图象有最低点． -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 问题3：观察二次函数 y=x² 的图象，y 随 x 如何变化？ 从二次函数 y=x² 的图象可以看出： 在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降→当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小； 在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升→当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大. -3 -2 -1 1 2 3 9 8 7 6 5 4 3 2 1 动手操作：在平面直角坐标系中，画出函数 ，y=2x2的图象. 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... ... 1.列表： 4.5 8 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=2x2 ... ... 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 2.描点： 3.连线： -4 -2 2 4 8 6 4 2 任务二：归纳二次函数 y = ax2 的图象特征和性质. 不同点：a值越大，抛物线的开口越小． 共同点：开口向上． 顶点：原点(0，0)——最低点． 对称轴： y轴． 增减性：在 y 轴左侧，y随x增大而减小；在 y 轴右侧，y随x增大而增大． 观察图象，你发现函数 ， 的图象与函数 的图象相比，有什么共同点和不同点？ -4 -2 2 4 8 6 4 2 活动1： 二次函数y＝ax2(a＞0)的图象和性质如下表： 函数 图象 开口方向 开口 大小 顶点坐标 对称轴 增减性 最值 y = ax2 (a＞0) 向上 |a|越大， 开口越小 (0，0) y轴(直线x = 0) 左减 右增 当x = 0时， y最小值 = 0 -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y = -x2 ... ... 1.列表： 动手操作： 画出二次函数 y =- x2， ，y=-2x2 的图象. -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ... ... ... -4.5 -8 x ... -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ... y=-2x2 ... ... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 2.描点： 3.连线： y =- x2 你发现函数 y=-x2， ，y=-2x2的图象之间，有什么共同点和不同点？ 不同点：a值越小，抛物线的开口越小． 相同点：开口向下． 顶点：原点(0，0)——最高点． 对称轴：y轴． 增减性：在y轴左侧，y随x增大而增大； 在y轴右侧，y随x增大而减小． 活动2： 一般地，抛物线 y＝ax2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点． 当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2 的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当 a＜0时，抛物线 y＝ax2 的开口向下，顶点是抛物线的最高点． 对于抛物线 y＝ax2 ，|a|越大，抛物线的开口越小． y = ax2 a>0 a<0 图象 开口方向 对称性 顶点最值 增减性 开口向上，在x轴上方 开口向下，在x轴下方 a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称，对称轴是直线 x = 0 顶点坐标是原点（0，0） 当x = 0时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减 y O x y O x 二次函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质如下表： 变式：二次函数y =ax2 与y =-2x2 的形状相同，开口大小一样，开口方向相反，则a=_____. 2 夕夕用软件绘制抛物线 y =4x2 时，将“4”按成了“5”，和原图象相比，发生改变的是( ) A.开口方向 B.开口大小 C.对称轴 D.顶点坐标 B 二次函数 y＝ax2 (a≠0)的图象和性质 a＞0 a＜0 开口 顶点 对称轴 增减性 最值 针对本节课的关键词“二次函数 y=ax2 的图象及性质”，说说学到了哪些知识？ 1.若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y=x2的图象上，则( ) A. y3>y2>y1 B. y2>y1>y3 C. y1>y3>y2 D. y3>y1>y2 A 2.在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： （1）y = 3x2； （2）y = -3x2 . 3.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y = 4x2； （2）y = -4x2 ； （3）y = x2； （4）y = - x2. 开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 开口向上，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴是y轴，顶点是(0, 0)，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. 解： (1)根据题意，得k+2≠0且k2+k-4=2，解得k1=-3，k2=2， ∵当x<0时，y随x的增大而增大， ∴二次函数的图象的开口向下，即k+2＜0， ∴k=-3. 4.已知函数 是二次函数，且当x＜0时，y随x的增大而增大. (1)求k的值； (2)直接写出顶点坐标和对称轴. (2)由(1)得y=-x2， ∴顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴. $