第四章指数函数与对数函数单元测试-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学《指数函数与对数函数》单元卷，通过基础运算、函数性质及实际情境问题，全面考查指数幂运算、单调性、零点等核心知识，适配单元复习，培养数学运算、模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|指数幂运算（1）、充分条件判断（2）、函数单调性（6）|基础巩固，梯度合理| |多选|3/18|指数幂运算（9）、函数性质比较（10）|多角度考查知识综合| |填空|3/15|指数幂化简（12）、分段函数最值（13）|聚焦关键技能| |解答|5/77|模型选择与预测（19，直播平台会员增长）、奇偶性与单调性综合（18）|真实情境应用，凸显数学建模与逻辑推理|

第四章 《指数函数与对数函数》单元测试 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列各式计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数则（    ） A．7 B．10 C．13 D．16 5．（     ） A． B． C． D． 6．函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 7．不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 8．函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列计算正确的是（      ） A． B． C． D． 10．已知，，则下列不等式能使成立的有（     ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列函数存在零点的是（　　） A． B． C．（且） D． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12．计算____________ 13．函数的最大值为_________. 14．已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．化简求值： (1)； (2)已知，求的值. 16．已知不等式的解集为． (1)当时，求集合； (2)若，求实数的取值范围． 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．已知函数是R上的奇函数． (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不需要证明）； (2)若，求实数的取值范围． 19．近几年，直播平台作为一种新型的学习渠道，正逐渐获得越来越多人的关注和喜爱.某平台从2024年初建立开始，得到了很多网民的关注，会员人数逐月增加，如下表所示： 建立平台第个月 1 2 3 4 5 会员人数（万） 2 5 6.7 8 8.9 为了描述从第1个月开始会员人数随时间变化的关系．现有以下三种函数模型供选择：①， ②， ③. (1)选出最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)选取表格中的前两组数据，求出你选择的函数模型的解析式，并预测第几个月会员人数超过15.5万． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第四章 指数函数与对数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B C C D A B ABD ABD 题号 11 答案 ABC 1．D 【知识点】指数幂的运算、数与式 【详解】同底数幂相乘，底数不变、指数相加，，故A错误； 积的乘方，每个因式分别乘方，，故B错误； 完全平方公式展开得，故C错误； 将看作整体，用平方差公式计算： ，故D正确. 2．A 【知识点】比较指数幂的大小、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据指数函数的单调性，结合充分性、必要性的定义进行求解即可. 【详解】由于指数函数是单调递增的，所以， 所以当时，，即”是“”的充分条件； 当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件； 综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确. 3．B 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【详解】因为，所以，即. 4．C 【知识点】对数的概念判断与求值、求分段函数值 【详解】由题意可得：，所以. 5．C 【知识点】对数的运算 【分析】利用对数的幂运算性质化简计算即可. 【详解】，故C正确. 6．D 【知识点】求对数型复合函数的定义域、对数型复合函数的单调性 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. 7．A 【知识点】由对数函数的单调性解不等式 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. 8．B 【知识点】判断零点所在的区间 【详解】因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 9．ABD 【知识点】分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据指数幂的运算性质逐项计算后可判断各项的正误. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性 【详解】因为为增函数，且，所以，故A正确； 因为为上的减函数， 所以由，得，故B正确； 因为为上的增函数，由，可得，故C错误； 因为，，所以，故D正确. 11．ABC 【知识点】求函数的零点 【详解】A，令，解得，得函数的零点为1和-1，A正确； B，令，解得或，定义域为或， 令，解得或，即函数的零点为和1，B正确； C，的定义域为，令，解得， 即函数的零点为1和-1，C正确； D，当时，，此时函数无零点， 当时，，此时函数无零点， 故不存在零点. 12．4 【知识点】根式的化简求值、分数指数幂与根式的互化、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【详解】． 13． 【知识点】分段函数的值域或最值 【详解】因为函数， 当，则，当且仅当时，等号成立； 当，则； 综上所述：函数的最大值为1. 14． 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】应用对数函数的单调性列不等式求解. 【详解】由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即， 函数在上单调递增，且， 所以不等式的解集为， 从而不等式的解集为． 15．(1)1 (2) 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【详解】（1）原式. （2）解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 16．(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）通过换元将指数不等式转化为一元二次不等式求解； （2）利用基本不等式求出不等式左侧表达式的最小值，再根据不等式恒成立条件得到的取值范围. 【详解】（1）令，当时原不等式可转化为， ，，解得或. ，所以或，解得或. 即. （2）由题意知，即不等式恒成立. ，，当且仅当，即时等号成立. 所以的取值范围. 17．(1) (2) (3) 【知识点】指数幂的化简、求值、对数的运算 【分析】根据幂的运算法则和对数的运算法则计算即可. 【详解】（1）； （2）； （3） . 18．(1)，函数在R上单调递减. (2) 【知识点】由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、研究对数函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】（1）由奇函数的定义进行判断； （2）由奇函数及函数的单调性求解． 【详解】（1）由，得， 则， 因为函数是R上的奇函数， 所以恒成立，所以. 则，函数在R上单调递减. （2）由题意得是R上的奇函数，可得， 有， 又因为函数在R上单调递减，所以， 整理得，则， 解得，所以实数x的取值范围是. 19．(1)最符合实际的函数模型为①，理由见解析 (2)函数解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万 【知识点】根据实际问题增长率选择合适的函数模型、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）由给定数表确定函数模型的特征，再对给定的3个模型逐一分析判断即可； （2）由（1）选择的模型，将数据组代入求出即可求得解析式，再求出时的值即可. 【详解】（1）由给定数表知，函数定义域为，会员人数增速随增大而减缓， 对于模型②：，当时无意义，不符合题意； 对于模型③：，会员人数增速随增大而变快，不符合题意； 对于模型①：，会员人数增速随增大而减缓，符合题意； 所以最符合实际的函数模型是模型①. （2）由（1）知选择模型①：， 将数据组代入，得，解得， 所以， 令时，即，解得， 所以所求函数模型的解析式为，预测第23个月会员人数超过15.5万. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $