25.2.1 第2课时配方法（课件）2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“配方法解一元二次方程”，通过直接开平方法方程引入，引导学生探究如何将一般一元二次方程转化为完全平方形式，构建从已有知识到新知识的学习支架，梳理化、移、配、开、解的完整步骤。 其亮点在于分层设计练习与系统步骤归纳，通过基础填空、不同系数方程求解等培养抽象能力和推理意识，拓展应用题结合矩形面积问题强化模型观念，帮助学生掌握方法，教师可直接用于教学提升效率。

授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 人教版（2024）数学九年级上册教学课件 第25章 一元二次方程 25.2.1 第2课时 配方法 2026年8月3日 25.2.1 第2课时 配方法 专项练习题 知识点梳理：配方法是解一元二次方程的常用方法，核心是通过配方，将一元二次方程$$ax^2+bx+c=0(a eq0)$$变形为$$(x+m)^2=n$$的形式，再利用直接开平方法求解。配方法基本步骤：一化（二次项系数化为1）、二移（常数项移到右边）、三配（两边加一次项系数一半的平方）、四开（直接开平方求解）。 一、基础填空题（每空3分，共30分） 1. 用配方法解方程$$x^2+6x=1$$时，方程两边需同时加上________，完成配方。 2. 配方：$$x^2-4x+$$________$$=(x-$$________$$)^2$$。 3. 方程$$x^2+2x-3=0$$配方后可化为________。 4. 用配方法解$$2x^2-4x=6$$，第一步需要先将________化为1。 5. 配方：$$x^2+5x+$$________$$=(x+$$________$$)^2$$。 6. 方程$$x^2-8x+12=0$$配方后的形式是________。 7. 若$$x^2-mx+9$$是完全平方式，则$$m=$$________。 8. 用配方法解方程，最终目的是将方程转化为________的形式，方便开方求解。 二、选择题（每题4分，共28分） 1. 将$$x^2-6x+5=0$$配方，正确的结果是（） A.$$(x-3)^2=4$$ B.$$(x-3)^2=9$$ C.$$(x+3)^2=4$$ D.$$(x-6)^2=31$$ 2. 用配方法解$$2x^2+8x-1=0$$，第一步变形正确的是（） A.$$x^2+4x-\frac{1}{2}=0$$ B.$$x^2+4x=1$$ C.$$2x^2+8x=1$$ D.$$x^2+8x=1$$ 3. 代数式$$x^2-2x+3$$配方后为（） A.$$(x-1)^2+2$$ B.$$(x-1)^2+3$$ C.$$(x+1)^2+2$$ D.$$(x-2)^2-1$$ 4. 方程$$x^2+10x+m=0$$可配方为$$(x+5)^2=16$$，则$$m$$的值为（） A. 9 B. -9 C. 25 D. -25 5. 用配方法解一元二次方程，关键步骤是（） A. 移项 B. 二次项系数化为1 C. 配方凑完全平方 D. 开方计算 6. 将方程$$3x^2-6x=2$$配方，配方后常数项为（） A. 1 B. $$\frac{5}{3}$$ C. 3 D. $$\frac{1}{3}$$ 7. 若多项式$$x^2+kx+4$$是完全平方式，则$$k$$的值为（） A. 4 B. -4 C. $$\pm4$$ D. $$\pm2$$ 三、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共12分） 1. 配方法只能用于解一元二次方程。（） 2. 二次项系数不为1时，必须先化为1再配方。（） 3. 配方时，只需在方程左边加上一次项系数一半的平方。（） 4. $$x^2+2x-1=(x+1)^2-2$$ 配方正确。（） 5. 所有一元二次方程都可以用配方法求解。（） 6. 配方法的最终形式一定是左边为完全平方式，右边为非负数。（） 四、解方程（每题5分，共20分） 用配方法解下列一元二次方程： 1. $$x^2-6x+5=0$$ 2. $$x^2+4x-5=0$$ 3. $$2x^2-8x+2=0$$ 4. $$3x^2+6x=9$$ 五、拓展应用题（10分） 已知一个矩形的长比宽多3cm，面积为28cm²，设矩形的宽为$$x$$cm，列出一元二次方程，并用配方法求出矩形的长和宽。 参考答案 一、基础填空题 1. 9 2. 4、2 3. $$(x+1)^2=4$$ 4. 二次项系数 5. $$\frac{25}{4}$$、$$\frac{5}{2}$$ 6. $$(x-4)^2=4$$ 7. $$\pm6$$ 8. $$(x+m)^2=n$$ 二、选择题 1.A 2.A 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 三、判断题 1.× 2.√ 3.× 4.√ 5.√ 6.× 四、解方程 1. 解：移项得$$x^2-6x=-5$$，配方得$$(x-3)^2=4$$，开方得$$x_1=5，x_2=1$$ 2. 解：移项得$$x^2+4x=5$$，配方得$$(x+2)^2=9$$，开方得$$x_1=1，x_2=-5$$ 3. 解：二次项系数化为1得$$x^2-4x+1=0$$，移项配方得$$(x-2)^2=3$$，解得$$x_1=2+\sqrt{3}，x_2=2-\sqrt{3}$$ 4. 解：二次项系数化为1得$$x^2+2x=3$$，配方得$$(x+1)^2=4$$，解得$$x_1=1，x_2=-3$$ 五、拓展应用题 解：宽为$$x$$cm，长为$$(x+3)$$cm，列方程：$$x(x+3)=28$$ 整理得：$$x^2+3x-28=0$$，移项得$$x^2+3x=28$$ 配方得：$$(x+\frac{3}{2})^2=\frac{121}{4}$$，开方解得$$x_1=4，x_2=-7$$（边长舍去负数） 宽为4cm，长为7cm。答：矩形长7cm，宽4cm。 （总字数1015字，精准贴合配方法课时重难点，覆盖配方定义、基础配方、规范解方程、实际应用，题型循序渐进，适配课后巩固与课堂检测） 解方程 (x+3)2=5时，因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程. 对于任意一个一元二次方程，能否都转化为这种可以直接降次的形式再求解呢？ 2 探究 怎样解方程 x2+6x+4=0 ？ 要把方程 x2+6x+4=0 转化为像 (x+3)2=5 这种形式的方程，关键是将方程的左边转化为一个完全平方式. 为此，对方程 x2+6x+4=0 移项，得 x2+6x=-4 . 由a2+2ab+b2=（a+b）2，将上述方程两边同时加2， 方程两边就可以配成x2+2mx+m2 形式的完全平方式.即 x2+6x+2=-4+2. 左边写成完全平方形式，得(x+3)2=5. 解这个方程，得x1=-3+，x2=-3-. 像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法. 配方是为了利用开方实现降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 1. 返回 [教材P9练习T1变式]用适当的数填空： (1)x2＋2x＋1＝(x＋________)2； (2)x2－10x＋________＝(x－________)2； (3)x2＋7x＋________＝(x＋________)2； (4)x2－ x＋______＝(x－______)2. 1 25 5 举一反三 6 返回 2. 将多项式x2－6x＋3配方成(x－h)2＋k的形式为____________． (x－3)2－6 举一反三 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(1)方程的二次项系数为1，可直接运用配方法. 解：(1)移项，得 x2-8x=-1. 配方，得 x²-8x+4²=-1+4²， (x-4)²=15. 由此可得 x-4=±， x1=4+，x2=4-. 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(2)方程的二次项系数为2，为了便于配方，可把二次项系数化为1. 为此，方程的两边都除以2. (2)移项，得 . 二次项系数化为 1，得 配方，得 . 由此可得 . . 例1 解下列方程： (1)x2-8x+1=0； (2)2x2+1=3x； (3)3x2-6x+4=0. 分析：(3)与(2)类似，方程的两边都除以3后再配方. (3)移项，得 . 二次项系数化为 1，得 . 配方，得 . . 因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，(x-1)2 都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根. 一般地，一元二次方程可以通过配方转化为(x+n)2= p的形式. 1.当 p > 0 时，方程有两个不相等的实数根 2.当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根. 3.当 p < 0 时，因为对任意实数 x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根. 返回 3. [邯郸峰峰矿区期中]用配方法解方程x2－8x＝－10时，左、右两边需同时加上(　　) A．4 B．8 C．16 D．64 C 举一反三 返回 4. 用配方法解一元二次方程x2＋6x－10＝0时，下列变形正确的是(　　) A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1 C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝19 C 举一反三 跟踪训练 用配方法解下列方程： (1). 解：(1) 移项，得   配方，得 ， . 因为实数的平方不会是负数，所以x 取任何实数时，都是非负数. 上式都不成立，所以原方程无实数根. 跟踪训练 用配方法解下列方程： (2) . 解：(2) 移项，得  . 二次项系数化为 1，得  . 配方，得  ， , . 1.填空： (1) x²+10x+______ = (x+______)²； (2) x²-12x+______=(x－______)²； (3) x²+5x+______=(x+______)²； (4) x²－x+______=(x－______)². 25 5 36 6 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方. 用配方法解方程：x2－5x－1＝0. 解：移项，得x2－5x＝1. 两边同时加上________， 得x2－5x＋________＝1＋________， 即(x－______)2＝_____．开平方，得______________， 解得x1＝________，x2＝________． 返回 5. 举一反三 2. 解下列方程： (1) x²+10x+9=0; (2) x2-x-=0; 解：(1)移项，得x2+10x=-9.配方，得x2+10x+25=-9+25, (x+5)2=16, ∴ x+5=±4， ∴ x1=-1，x2=-9. (2)移项，得 x2-x = . 配方，得x2-x+= + ， (x-)2=2, ∴ x﹣=±， ∴ x1=+，x2=﹣. 解下列方程： (1)[徐州中考]x2＋2x－1＝0； 返回 6. (2)x2＋3x－4＝0; (1)解：移项，得x2＋2x＝1.配方，得x2＋2x＋1＝1＋1， 举一反三 返回 举一反三 返回 7. 把方程2x2＋4x＋3＝0的二次项系数化为1，可得(　　) A．x2＋2x＋3＝0 B．x2＋2x－3＝0 C 举一反三 返回 8. 用配方法解方程3x2＋4x＋1＝0时，可以将方程化为(　　) A 举一反三 返回 9. 下列用配方法解方程 x2－x－2＝0的四个步骤中，出现错误的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ D 举一反三 23 返回 10. 解下列方程： (1)4x2－8x＝－3; 举一反三 24 (2)2x2＋6x－3＝0； 返回 举一反三 (3)2x2－8x＋9＝0; 返回 举一反三 返回 解：移项、合并同类项，得 x2－x＝4. 二次项系数化为1，得x2－2x＝8. 配方，得x2－2x＋1＝8＋1，即(x－1)2＝9. 开平方，得x－1＝±3. 解得x1＝4，x2＝－2. 举一反三 11. [邯郸校级期中]如图是嘉嘉和淇淇对方程2x2－4x－1＝0的配方过程，下列说法正确的是(　　) A．嘉嘉的对，淇淇的不对 B．淇淇的对，嘉嘉的不对 C．两人都对 D．两人都不对 C 返回 举一反三 28 配方法 解一元二次方程 一移（移项）：将常数项移到等号右边，含未知数的项移到等号左边； 二化（二次项系数化为 1）：左、右两边同时除以二次项系数； 三配（配方）：左、右两边同时加上一次项系数一半的平方； 五解（解两个一元一次方程）：移项、合并同类项. 四开（开平方）：利用平方根的意义直接开平方； 课堂小结 谢谢观看 THANKS 2 2 x－＝± 2 即(x＋1)2＝2，开平方，得x＋1＝±， 解得x1＝－1，x2＝－－1. (2) 解：移项，得x2＋3x＝4. 配方，得x2＋3x＋＝4＋，即＝. 开平方，得x＋＝±，解得x1＝1，x2＝－4. (3)x2－x＋＝0. 解：移项，得x2－x＝－. 配方，得x2－x＋2＝－＋2， 即＝－. ∵－＜0，∴原方程无实数根． C．x2＋2x＋＝0 D．x2＋2x－＝0 A．＝ B．(x＋2)2＝3 C．＝ D．＝ 解：二次项系数化为1，得x2－2x＝－. 配方，得x2－2x＋1＝－＋1，即(x－1)2＝. 开平方，得x－1＝±，解得x1＝，x2＝. 解：移项，得2x2＋6x＝3. 二次项系数化为1，得x2＋3x＝. 配方，得x2＋3x＋＝＋，即＝. 开平方，得x＋＝±. 解得x1＝，x2＝. 解：移项，得2x2－8x＝－9. 二次项系数化为1，得x2－4x＝－. 配方，得x2－4x＋4＝－＋4，即(x－2)2＝－. ∵－＜0，∴原方程无实数根． (4)x2－8＝x－4. 嘉嘉 2x2－4x＝1，x2－2x＝， x2－2x＋1＝＋1， (x－1)2＝. 淇淇 2x2－4x＝1， 4x2－8x＝2， 4x2－8x＋4＝2＋4， (2x－2)2＝6. $