专题1.2 全等三角形（暑假预习讲义）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

专题1.2 全等三角形 【本节预习目标】 1.经历三角形平移、翻折、旋转的变换过程，理解全等三角形的概念，认识全等图形的形状与大小特征。 2.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，掌握全等符号的规范书写，理解对应顶点有序书写的意义。 3.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的核心性质，能运用性质进行简单的线段长度、角度计算与推理。 4.能在平移、旋转、翻折等图形变换背景下，灵活运用全等三角形的性质解决问题，发展空间观念。 5.能从拼图、工艺设计、实际测量等生活情境中抽象出全等三角形模型，体会全等的应用价值，提升几何直观素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 图形的变换 平移、轴对称、旋转只改变图形位置，不改变图形的形状和大小 平移、翻折、旋转前后的两个三角形是全等三角形，是全等的三大基本类型 三角形基础 三角形的边、角、顶点等基本元素，以及内角和定理 全等三角形的对应边、对应角是对两个三角形元素对应关系的研究，是单三角形知识的拓展 线段与角 线段长度、角度大小的比较与和差计算 全等三角形对应边、对应角相等，是进行线段与角度计算的重要依据 知识点1：全等三角形的相关概念 1.定义与表示 定义：两个能完全重合的三角形叫作全等三角形。全等三角形的形状相同、大小相等，与位置无关。 符号表示：“全等”用符号“”表示，读作“全等于”。书写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如，表示点与、点与、点与分别对应。 2.三类基本全等变换 变换类型 图示特征 对应关系规律 平移型 两个三角形沿某一方向平行移动得到 对应边平行（或共线），对应角为同位角 翻折型 沿某条直线对折后完全重合 公共边、公共角为对应边、对应角 旋转型 绕某一点旋转一定角度后重合 公共顶点通常为对应顶点，对顶角为对应角 知识点2：全等三角形的性质 1.核心性质 对应边相等，对应角相等。 拓展性质：全等三角形的周长相等，面积相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线分别相等。 2.对应元素的确定方法 字母顺序法：按照全等符号书写的对应顶点顺序，直接确定对应边与对应角。 图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角；公共边、公共角、对顶角一定是对应元素。 位置关系法：对应角所对的边是对应边，两条对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 【基础巩固题型】 【题型1】全等三角形的概念识别与符号表示 1.核心知识点 全等三角形的定义；全等符号的书写规范 2.解题方法技巧 ①判断两个三角形是否全等，核心看能否完全重合，即形状、大小是否均相同，与位置无关； ②书写全等符号时，必须按对应顶点的顺序排列字母，不能随意调换顺序； ③若仅说“两个三角形全等”而未写符号，则对应关系未确定，必要时需分类讨论。 【例题1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【变式题1-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课前预习）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【题型2】全等三角形对应元素的确定 1.核心知识点 对应顶点、对应边、对应角的识别方法 2.解题方法技巧 ①有规范书写的全等式时，直接按字母顺序一一对应； ②无规范书写时，先找公共边、公共角、对顶角，它们都是天然的对应元素； ③再根据“大边对大边、大角对大角”的原则，锁定剩余的对应边与对应角。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【变式题2-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【题型3】利用全等性质直接求线段长度 1.核心知识点 全等三角形对应边相等；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①先找准对应边，将已知边长转移到目标线段所在的图形中； ②利用线段的和差关系，如公共部分加减、整体减部分，计算所求线段长； ③注意：公共线段是两个三角形边长的重叠部分，是和差计算的关键。 【例题3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，的周长为12，，则的长为______． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式题3-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【题型4】利用全等性质直接求角度 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①先根据全等关系，将已知角转化为所求角所在三角形的内角； ②结合三角形内角和为，计算未知角的度数； ③遇到外角、邻补角等关系时，可借助外角性质简化计算。 【例题4】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，则的度数为__________． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，，，则的度数为________． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，，边与边、边与边分别是对应边．如果，那么_______． 【培优提升题型】 【题型5】格点图中的全等三角形作图 1.核心知识点 全等三角形的定义；网格作图 2.解题方法技巧 ①格点中画全等三角形，可通过平移、翻折、旋转三种变换方式作图； ②作图后可通过数格子计算边长，验证三边是否对应相等，确保图形全等； ③注意题目要求的对应关系，避免画出位置不符的全等图形。 【例题5】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【变式题5-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在图中作，使，且所作图形的顶点必须在格点上． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东滨州·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 【题型6】利用全等性质求周长与面积 1.核心知识点 全等三角形周长相等、面积相等；对应线段相等 2.解题方法技巧 ①全等三角形周长、面积直接相等，无需逐一计算各边各部分； ②阴影面积类题目，常用“整体减空白”或“平移拼接法”，将不规则阴影转化为规则图形； ③重叠部分的面积，可利用全等面积相等，推导剩余部分的面积关系。 【例题6】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【变式题6-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，，则的周长为____________，面积为____________，斜边上的高为____________． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【压轴素养题型】 【题型7】平移背景下的全等三角形综合应用 1.核心知识点 平移的性质；全等三角形的性质；平行线的判定 2.解题方法技巧 ①平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应角相等； ②利用对应角相等可证明直线平行，利用对应边相等可计算线段长度； ③平移距离等于对应点连线的长度，也等于对应边平移的长度。 【例题7】.（26-27八年级·全国·暑假作业）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【变式题7-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式题7-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【题型8】旋转背景下的全等三角形综合应用 1.核心知识点 旋转的性质；全等三角形的性质 2.解题方法技巧 ①旋转前后的图形全等，旋转角等于对应边的夹角，也等于对应点与旋转中心连线的夹角； ②旋转中心处会出现等腰三角形，可结合等腰三角形性质计算角度； ③常见结论：旋转后对应边所在直线的夹角，等于旋转角或其补角。 【例题8】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【变式题8-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式题8-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 易错点 1、全等书写不规范：书写符号时未按对应顶点顺序排列，导致后续对应边、对应角找错；误以为“全等”和“”表述等价，忽略未明确对应关系时需分类讨论。 2、对应元素识别错误：混淆“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的概念；复杂图形中错把非对应边、非对应角当作相等的量。 3、位置关系证明跳步：由全等得到角相等后，直接判定平行或垂直，未说明角是同位角、内错角，或未推导夹角为，逻辑不严谨。 4、动点全等漏解：只考虑一种对应情况，忽略不同的顶点对应方式，导致答案不完整。 重点 1、全等三角形的概念与规范表示，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2、全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，以及相关的角度、线段计算。 难点 1、复杂图形中对应元素的快速识别，以及多步倒角的逻辑推导。 2、动点背景下全等三角形的分类讨论，掌握分类标准与方程求解的方法。 一、单选题 1．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，点D落在边上，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，点是正方形的边上的一点，绕着点逆时针旋转到位置，则__________________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________；由于_________=_________，因此上述旋转的旋转角度等于_________． 5．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 6．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 三、解答题 7．如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 8．如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 9．如图，有一张三角形纸片．请你将这个三角形纸片分成面积相等的四部分． (1)如果分割后的四部分都是三角形，在图中画出示意图，并说明分割的方法； (2)如果分割后的四部分至少包含一个四边形，在图中画出示意图，并说明分割的方法． 10．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线对折后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若的周长为12，的周长为4，求的长． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 全等三角形 【本节预习目标】 1.经历三角形平移、翻折、旋转的变换过程，理解全等三角形的概念，认识全等图形的形状与大小特征。 2.能准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角，掌握全等符号的规范书写，理解对应顶点有序书写的意义。 3.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的核心性质，能运用性质进行简单的线段长度、角度计算与推理。 4.能在平移、旋转、翻折等图形变换背景下，灵活运用全等三角形的性质解决问题，发展空间观念。 5.能从拼图、工艺设计、实际测量等生活情境中抽象出全等三角形模型，体会全等的应用价值，提升几何直观素养。 【前置旧知回顾】 知识模块 已学旧知 本节新知关联 图形的变换 平移、轴对称、旋转只改变图形位置，不改变图形的形状和大小 平移、翻折、旋转前后的两个三角形是全等三角形，是全等的三大基本类型 三角形基础 三角形的边、角、顶点等基本元素，以及内角和定理 全等三角形的对应边、对应角是对两个三角形元素对应关系的研究，是单三角形知识的拓展 线段与角 线段长度、角度大小的比较与和差计算 全等三角形对应边、对应角相等，是进行线段与角度计算的重要依据 知识点1：全等三角形的相关概念 1.定义与表示 定义：两个能完全重合的三角形叫作全等三角形。全等三角形的形状相同、大小相等，与位置无关。 符号表示：“全等”用符号“”表示，读作“全等于”。书写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，如，表示点与、点与、点与分别对应。 2.三类基本全等变换 变换类型 图示特征 对应关系规律 平移型 两个三角形沿某一方向平行移动得到 对应边平行（或共线），对应角为同位角 翻折型 沿某条直线对折后完全重合 公共边、公共角为对应边、对应角 旋转型 绕某一点旋转一定角度后重合 公共顶点通常为对应顶点，对顶角为对应角 知识点2：全等三角形的性质 1.核心性质 对应边相等，对应角相等。 拓展性质：全等三角形的周长相等，面积相等；对应边上的中线、对应边上的高、对应角的平分线分别相等。 2.对应元素的确定方法 字母顺序法：按照全等符号书写的对应顶点顺序，直接确定对应边与对应角。 图形特征法：最长边对最长边，最短边对最短边；最大角对最大角，最小角对最小角；公共边、公共角、对顶角一定是对应元素。 位置关系法：对应角所对的边是对应边，两条对应角所夹的边是对应边；对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。 【基础巩固题型】 【题型1】全等三角形的概念识别与符号表示 1.核心知识点 全等三角形的定义；全等符号的书写规范 2.解题方法技巧 ①判断两个三角形是否全等，核心看能否完全重合，即形状、大小是否均相同，与位置无关； ②书写全等符号时，必须按对应顶点的顺序排列字母，不能随意调换顺序； ③若仅说“两个三角形全等”而未写符号，则对应关系未确定，必要时需分类讨论。 【例题1】.（25-26七年级下·河南南阳·期末）在下列各组图形中，属于全等图形的是（     ） A．两个周长相等的三角形 B．两个面积相等的三角形 C．两个半径相等的圆 D．两个底和高分别相等的平行四边形 【答案】C 【分析】根据全等图形的定义，即能完全重合的两个图形是全等图形，逐一判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 能完全重合的两个图形叫做全等图形. A 选项：周长相等的三角形，边长不一定对应相等，无法完全重合，不是全等图形. B 选项：面积相等的三角形，边长和形状不一定相同，无法完全重合，不是全等图形. C 选项：圆的大小只由半径决定，半径相等的圆大小完全相同，可以完全重合，是全等图形. D 选项：底和高分别相等的平行四边形，内角大小不一定相同，形状不一定一致，无法完全重合，不是全等图形. 【变式题1-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式题1-2】.（26-27七年级·全国·暑假作业）已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 【变式题1-3】.（25-26七年级下·全国·课前预习）全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫______，重合的边叫_____，重合的角叫______． 【答案】 对应点 对应边 对应角 【分析】本题主要考查两个全等三角形对应边角的概念，掌握概念是解题的关键，直接根据全等三角形的对应关系的概念填空即可． 【详解】全等三角形的对应关系：两个全等三角形重合在一起， 重合的顶点叫对应点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角． 故答案为：对应点；对应边；对应角． 【题型2】全等三角形对应元素的确定 1.核心知识点 对应顶点、对应边、对应角的识别方法 2.解题方法技巧 ①有规范书写的全等式时，直接按字母顺序一一对应； ②无规范书写时，先找公共边、公共角、对顶角，它们都是天然的对应元素； ③再根据“大边对大边、大角对大角”的原则，锁定剩余的对应边与对应角。 【例题2】.（25-26七年级下·全国·随堂练习）如图，，则的对应角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的概念，根据已知条件，和，和是对应边，点与点对应点，点与点是对应点，由此即可得到的对应角，理解其概念是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴的对应角是， 故选：B． 【变式题2-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·河北·课后作业）如图，点，在线段上，与全等，点与点，点与点是对应顶点，与交于点． (1)表示这两个三角形全等； (2)写出对应边及对应角． 【答案】(1) (2)与，与，与；与，与，与 【分析】本题主要考查全等三角形的对应边，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）根据题意写出全等三角形即可； （2）根据全等三角形的表示找出对应边与对应角． 【详解】（1）解：点与点，点与点是对应顶点， ； （2）解：， 故与，与，与为对应边；与，与，与为对应角． 【变式题2-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图所示，，其中与，与是对应顶点，则的对应边是______，的对应角是_______．    【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的对应边与对应角．解题的关键是牢记“全等三角形的对应边相等，对应角相等”即可．解题时要找对对应边，对应角即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴的对应边是，的对应角是． 故答案为：，． 【题型3】利用全等性质直接求线段长度 1.核心知识点 全等三角形对应边相等；线段的和差计算 2.解题方法技巧 ①先找准对应边，将已知边长转移到目标线段所在的图形中； ②利用线段的和差关系，如公共部分加减、整体减部分，计算所求线段长； ③注意：公共线段是两个三角形边长的重叠部分，是和差计算的关键。 【例题3】.（25-26七年级下·江苏泰州·期末）若，的周长为12，，则的长为______． 【答案】 【分析】先求出中的长，再利用全等三角形的性质即可求得的长． 【详解】解：∵，的周长为， 的周长为，， ，， ， ． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·重庆万州·期末）如图，，点、、、在同一直线上，与相交于点，，，则的长度是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据得到，再根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【变式题3-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，已知，点，，，依次在同一条直线上．若，，则的长为______． 【答案】 1.5 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，再根据求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·江苏淮安·期末）如图，已知，D，A，E，B四点在一条直线上，若，则的长为（     ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】因为，所以根据全等三角形对应边相等的性质，可得．进而得到．由，即可得到的长度． 【详解】∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵四点共线，，， ∴． 【题型4】利用全等性质直接求角度 1.核心知识点 全等三角形对应角相等；三角形内角和定理 2.解题方法技巧 ①先根据全等关系，将已知角转化为所求角所在三角形的内角； ②结合三角形内角和为，计算未知角的度数； ③遇到外角、邻补角等关系时，可借助外角性质简化计算。 【例题4】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，，则的度数为__________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等可得，然后结合图形利用角的和差关系得出． 【详解】解： ， ． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·河北邯郸·期末）如图，与交于点，已知△△，，，则的度数为______． 【答案】 【详解】解：△△，，， ． 【变式题4-2】.（25-26七年级下·安徽宿州·期末）如图，已知，，，则的度数为________． 【答案】/80度 【分析】根据全等三角形的对应角相等，可得，进而即可求解． 【详解】解：，， ， ， ． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·上海普陀·期末）如图，，边与边、边与边分别是对应边．如果，那么_______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质可得，再根据角度转换即可解答． 【详解】解：， ， ，即． 【培优提升题型】 【题型5】格点图中的全等三角形作图 1.核心知识点 全等三角形的定义；网格作图 2.解题方法技巧 ①格点中画全等三角形，可通过平移、翻折、旋转三种变换方式作图； ②作图后可通过数格子计算边长，验证三边是否对应相等，确保图形全等； ③注意题目要求的对应关系，避免画出位置不符的全等图形。 【例题5】.（26-27八年级·全国·暑假作业）在的网格中（每个小网格都是边长为1的正方形），的三个顶点都在格点上．         (1)在图1中，画一个格点，使与全等，并且使点P在内部； (2)在图2中，画一个格点，使与全等，并且使的一个顶点在一边的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质作图即可； （2）根据网格特点作出的垂直平分线，再根据全等三角形的性质作图即可． 【详解】（1）解：所求图形，如图所示； （2）解：直线l是的垂直平分线，所求三角形如图所示． 【变式题5-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点均在格点上．在图中作，使，且所作图形的顶点必须在格点上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质找出对应点即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，每个小正方形的顶点叫做格点．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上，点C的坐标为． (1)请以x轴为对称轴，画出与对称的，同时写出点的坐标_______． (2)如果以点A、B、D为顶点的三角形与全等，那么点D的坐标是_______． 【答案】(1)图见详解， (2)或或． 【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据全等三角形的判定确定点的位置，即可得出答案． 本题考查作图轴对称变换、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质、全等三角形的判定是解答本题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，结合网格特征以及全等三角形的性质， 即点，，均满足题意， ∴点的坐标是或或． 故答案为：或或． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·山东滨州·阶段检测）如图，在的网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在格点上． (1)在图甲中画直线，将分成面积相等的两个三角形，与的边交于点； (2)在图乙中画，使得与全等（只画一个）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—格点作图，三角形中线的性质、全等三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据网格即可画出的中线； （2）根据网格结合全等三角形的性质即可画出． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图：即为所作， ． 【题型6】利用全等性质求周长与面积 1.核心知识点 全等三角形周长相等、面积相等；对应线段相等 2.解题方法技巧 ①全等三角形周长、面积直接相等，无需逐一计算各边各部分； ②阴影面积类题目，常用“整体减空白”或“平移拼接法”，将不规则阴影转化为规则图形； ③重叠部分的面积，可利用全等面积相等，推导剩余部分的面积关系。 【例题6】.（26-27八年级·全国·暑假作业）已知的三边长度为4、和，的三边长度为，则的周长是____ ． 【答案】18 【分析】根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长即可． 【详解】解：根据全等三角形对应边相等的性质，分情况列出方程组求解，舍去不符合三角形边长要求的解，得到三角形三边长后计算周长如下： 情况1：列方程组，解得， 此时△ABC的三边长为4，，，满足三角形三边关系，符合题意； 情况2：列方程组，由得，与矛盾，舍去； 情况3：列方程组， 由得，边长不能为0，不符合题意，舍去； 情况4：列方程组， 由得，则，此时，这与矛盾，舍去， 故的周长为． 【变式题6-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 【变式题6-2】.（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，，，，，则的周长为____________，面积为____________，斜边上的高为____________． 【答案】 12 6 2.4 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，关键是掌握全等三角形的性质． 全等三角形的对应边和对应角相等，因此的边长和角度与完全相同，周长、面积和斜边上的高也一致． 【详解】解：∵ ，，，， ∴的周长 ， 的面积， 那么斜边上的高， ∵， ∴的周长为，面积为，斜边上的高为． 故答案为：，，． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·全国·期末）如图，在中，，延长至点D，点E在边上，连接、，．若，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】32 【分析】本题考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 由得到，，得到，，从而，再由即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：32． 【压轴素养题型】 【题型7】平移背景下的全等三角形综合应用 1.核心知识点 平移的性质；全等三角形的性质；平行线的判定 2.解题方法技巧 ①平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应角相等； ②利用对应角相等可证明直线平行，利用对应边相等可计算线段长度； ③平移距离等于对应点连线的长度，也等于对应边平移的长度。 【例题7】.（26-27八年级·全国·暑假作业）某数学兴趣小组探究三角形的平移变化引出新的思考．现将两个全等的和重叠在一起，固定不变，将沿射线平移．若的周长为8，平移的距离为2，则四边形的周长______． 【答案】12 【分析】本题考查平移性质，根据平移性质得到，进而可求解． 【详解】解：∵沿方向平移的距离为2， ∴，， ∵的周长为8，即， ∴ ∴四边形的周长为， 故答案为：12． 【变式题7-1】.（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，由平移得到，下列说法中，不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵由平移得到， ∴，，， ∴，， 因此，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【变式题7-2】.（25-26八年级下·广东茂名·期中）如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，全等三角形的性质，因为平移得，则，即可作答． 【详解】解：∵沿直线向右平移，得到， ∴ ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【变式题7-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，的边长长为，将向上平移得到，已知四边形为长方形，则阴影部分的面积为__． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质、矩形的面积公式，证明及是解题的关键． 由平移得，可得，再根据，即可求解． 【详解】解：由平移得， ， ， ∵四边形为长方形，， ， ， 故答案为：． 【题型8】旋转背景下的全等三角形综合应用 1.核心知识点 旋转的性质；全等三角形的性质 2.解题方法技巧 ①旋转前后的图形全等，旋转角等于对应边的夹角，也等于对应点与旋转中心连线的夹角； ②旋转中心处会出现等腰三角形，可结合等腰三角形性质计算角度； ③常见结论：旋转后对应边所在直线的夹角，等于旋转角或其补角。 【例题8】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，将三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到三角形，若点恰好落在线段上，，交于点，则下面结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．根据旋转的性质可得，旋转角，再根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，旋转角，则选项A正确； ∴，，则选项C和D均正确； 由已知条件无法得出，则选项B错误； 故选：B． 【变式题8-1】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，绕着点B旋转（顺时针）到，且． (1)和是否全等？如果全等，请指出对应边和对应角． (2)直线与直线有怎样的位置关系？请说明理由． 【答案】(1)，对应边：与与与；对应角：与与与 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键： （1）根据全等三角形的定义，以及全等三角形的性质，进行作答即可； （2）延长交于点，根据全等三角形的性质，结合三角形的内角和定理求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：； ∵绕着点B旋转（顺时针）到， ∴， ∴对应边为：与与与； 对应角为：与与与； （2）直线与相互垂直，理由如下： 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线与相互垂直． 【变式题8-2】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，E是正方形中边上的点，以点A为中心，把顺时针旋转，得到，其中．那么旋转角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的性质等知识点，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 根据正方形的性质得到，由旋转的性质推出，求出即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角的度数是． 故选：C． 【变式题8-3】.（26-27八年级·全国·暑假作业）如图，中，，，，将绕点逆时针旋转得到．在旋转过程中：    (1)旋转中心是什么，为多少度？ (2)与线段相等的线段是哪一条？ (3)的面积是多少？ 【答案】(1)     (2) (3) 【分析】（1）根据旋转中心的定义、旋转的性质即可求得答案． （2）根据旋转前后的图形全等，即可直接求得答案． （3）根据旋转前后的图形全等，即可求得答案． 【详解】（1）观察图形可知，旋转中心为． ∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为： ，； （2）∵旋转前后的图形全等，即， ∴． 故答案为：． （3）∵旋转前后的图形全等，即， ∴，，． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，即旋转前后的图形全等，牢记旋转的性质是解题的关键． 易错点 1、全等书写不规范：书写符号时未按对应顶点顺序排列，导致后续对应边、对应角找错；误以为“全等”和“”表述等价，忽略未明确对应关系时需分类讨论。 2、对应元素识别错误：混淆“对应边”与“对边”、“对应角”与“对角”的概念；复杂图形中错把非对应边、非对应角当作相等的量。 3、位置关系证明跳步：由全等得到角相等后，直接判定平行或垂直，未说明角是同位角、内错角，或未推导夹角为，逻辑不严谨。 4、动点全等漏解：只考虑一种对应情况，忽略不同的顶点对应方式，导致答案不完整。 重点 1、全等三角形的概念与规范表示，能准确识别对应顶点、对应边、对应角。 2、全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，以及相关的角度、线段计算。 难点 1、复杂图形中对应元素的快速识别，以及多步倒角的逻辑推导。 2、动点背景下全等三角形的分类讨论，掌握分类标准与方程求解的方法。 一、单选题 1．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 【详解】解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 2．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，点D落在边上，则下列结论中不一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转得，然后根据全等三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：由旋转得，，故A正确； ∴，，故C正确； ∴，即，故B正确； ∵和不一定相等 ∴和不一定相等，故D错误． 3．如图，两个三角形全等，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵两个三角形全等，对应的角是边的夹角， ∴． 二、填空题 4．如图，点是正方形的边上的一点，绕着点逆时针旋转到位置，则__________________，这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________；由于_________=_________，因此上述旋转的旋转角度等于_________． 【答案】 【分析】据旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角． 结合正方形的性质，，即可确定旋转角及对应关系． 【详解】解：点是正方形的边上的一点，绕着点逆时针旋转到位置，则，这两个三角形的对应边是与，与，与；对应角是与，与，与；由于，因此上述旋转的旋转角度等于． 5．如图，已知，和，和是对应顶点．如果，，，那么_____． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 6．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 三、解答题 7．如图，，你能从图中找出几组平行线？ 小颖找出了一组平行线，她的思考过程如下． 因为， 所以． 所以． 请说明每一步的理由． 【答案】2组 ，，，（全等三角形对应角相等）；（内错角相等两两直平行） 【分析】利用全等三角形的性质得出，，再利用内错角相等两直线平行即可得出，． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴共有2组平行线，分别是，． 因为， 所以（全等三角形对应角相等） 所以（内错角相等两直线平行）． 8．如图，，，． (1)求的长； (2)若、、在一条直线上，求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ， ， ． 【分析】（1）首先根据全等三角形的性质得到，，然后利用线段的和差求解即可； （2）根据全等三角形的性质得到，然后根据题意得到，进而可得到． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）略． 9．如图，有一张三角形纸片．请你将这个三角形纸片分成面积相等的四部分． (1)如果分割后的四部分都是三角形，在图中画出示意图，并说明分割的方法； (2)如果分割后的四部分至少包含一个四边形，在图中画出示意图，并说明分割的方法． 【答案】(1)如图1所示，分割方法：先对边进行四等分，再连接即可得到四个三角形； (2)如图2所示，先取的中点，连接，可知四边形是平行四边形，连接，产生交点，过此交点作线段，交于，交于，易知；，四部分面积相等； 【分析】（1）先取的四等分点，再连接即可得到； （2）先取中点，再连接产生交点，过此交点作线段,得到四边形和四边形,这样的四部分面积相等． 【详解】（1）略 （2）略 10．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线对折后，点C落到点E处，与相交于点F，． (1)求证：； (2)若的周长为12，的周长为4，求的长． 【答案】(1)证明：由对折可知，． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴； (2)4 【分析】（1）由对折可知，，可求得，再求出，由，判定； （2）由对折可知，，根据全等三角形性质，将转化为，根据已知的周长为12，的周长为4，构造方程求即可． 【详解】（1）略； （2）解：∵的周长为12，的周长为4， ∴，． ∵， ∴，． ∴ ， 即． 解得． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $