2.1 一元二次方程的概念（教学设计）数学新教材苏科版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数识别、方程整理与根的检验。通过回顾一元一次方程，结合正方形桌面、矩形花圃等生活情境引导列方程，对比旧知引出新知，搭建前后知识的学习支架。 此资料以“生活情境—建模—归纳—提升”为主线，通过扶贫数据等情境培养抽象能力与模型意识，对比归纳定义训练推理能力，梯子问题中根的检验强化应用意识。助力学生构建数学概念，提升教师教学效率与课堂互动性。

2.1 一元二次方程的概念 教学设计 1.教学内容 本课选自苏科版九年级上册第二章《一元二次方程》2.1《一元二次方程的概念》。核心知识点： 1.一元二次方程的定义； 2.一般形式 及各项、各系数的识别； 3.方程整理与根的意义及检验。 2.内容解析 本节以“生活情境—列式建模—对比归纳—抽象提升”的路径展开。先通过正方形桌面、矩形花圃、扶贫数据等实际问题，引导学生经历“审题—设未知数—找等量关系—列式”过程，获得 、等整式方程。再与已学的一元一次方程对比，提取“三特征”（整式、唯一未知数、最高次数为2），自悟“若 ，则称为一元二次方程”，完成概念形成。随后通过去括号、移项、整理、降幂等操作，统一写成一般形式 ，突出 的必要性，并训练二次项、一次项、常数项及其系数的快速识别。借助梯子问题归纳“方程的根”概念，强调回归实际情境进行合理性检验。全课聚焦“何谓一元二次方程”“如何写成一般形式”“什么是方程的根”三大核心，旨在让学生完成从经验性认知到形式化、结构化的数学建构，奠定后续学习求根公式、判别式等内容的基础。 1.教学目标 •能根据实际问题列出等量关系式，整理得到整式方程，归纳一元二次方程的定义。 •掌握一元二次方程一般形式 ，能准确识别二次项、一次项、常数项及对应系数。 •会将任意一元二次方程整理成一般形式，理解方程根的含义，能检验数值是否为方程的根。 2.目标解析 • 通过多元情境创设，引导学生动手列式、比较分析，自主总结出一元二次方程的本质特征。 • 借助一般形式的列举与剖析，让学生在填表、口答中快速锁定各项及其系数；重点强调 。 • 通过“梯子问题”等综合应用，训练从实际到数学、从形式到意义的双向迁移。 3.重点难点 • 教学重点：一元二次方程的定义及其一般形式。 • 教学难点：从实际问题正确建立一元二次方程模型并化为一般形式。 学生已系统学习过整式的加减乘除、因式分解及一元一次方程，具备基本的列方程与变形能力，对“次数、未知数、整式”已有初步认识。但对“二次”概念、一般形式化处理的必要性及数学建模的整体思维尚不成熟，易在去括号、移项变号及缺项系数判定上出错；对“方程的根”与“实际解”的区别亦需加强理解。针对这一特点，教学中应通过直观情境与多元练习，突出“对比—归纳—应用”策略，帮助学生顺利过渡到更高层次的代数学习。 创设情景，引入新课 知识回顾： 教师提问：什么是一元一次方程？一般形式是什么？ 学生回答： 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程，叫作一元一次方程．一般形式是 ax＋b＝0 (a≠0)． 教师提问：列方程的一般步骤是什么？ 学生回答： 审题→设未知数→找等量关系→列式 情景引入 根据下列问题，设未知数列方程： 1．面积为2的正方形桌面边长是多少？ 解:设正方形桌面的边长为x m， 由题意得： ＝2． 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19 m，花圃的面积是24 ，花圃垂直于墙的一边长是多少？ 解：设花圃垂直于墙的一边长为 x m， 由题意得： x(19－2x)＝24． 3．我国在2020年底实现农村贫困人口全部脱贫．已知我国2017年农村贫困人口为3 046万人，2019年农村贫困人口为551万人，求我国2017—2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率． 解：设我国2017－2019年农村贫困人口平均每年下降的百分率为x， 由题意得： 3 046＝551． 【设计意图】以贴近生活的三幅情境图激活学习兴趣，引发 “为什么需要新方程” 的思考。通过对比旧知（一次方程）→归纳共性→提出新概念，帮助学生明确学习方向和目标。 探究点1：归纳一元二次方程的定义 1.讨论交流 对比一元一次方程，这三个方程共同点是什么？ 1， 具有这样特征的方程应该如何定义呢？ 解：①方程的等号两边都是整式，没有分式或根式等其他形式； ②方程中只含有一个未知数（如x）； ③未知数的最高次项次数是2，且二次项的系数不为0． 2.新知归纳 等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程（quadratic equation with one unknown）． 教师提问：你能举出一个不是一元二次方程的例子吗？ 【设计意图】通过“观察—比较—归纳”突破概念形成难点，培养分类与抽象能力。 探究点2：一元二次方程的一般形式及项、系数 1.尝试交流 数学中为了方便研究，常常将方程化为统一的形式． 你能尝试将方程 x(19－2x)＝24 化为等号右边为0的形式吗？ 解：x(19－2x)＝24 去括号，得 19x－2＝24 移项，得 －2＋19x－24＝0 （方程的左边按 x 的降幂排列） 2.新知归纳 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都可以化为：a ＋ bx ＋ c ＝0（a、b、c为常数，a≠0）的形式，我们把这种形式称为一元二次方程的一般形式． 3.新知讲解 关键特征：a≠0 a≠0是一元二次方程的必要条件． 如果a＝0，方程就变成bx＋c＝0，是一元一次方程了． b、c 可以为 0． 【设计意图】统一形式便于后续求根，为后续公式法埋下伏笔；通过“指名—补充”促进课堂参与度。 探究点 3：一元二次方程的根及其检验 1.尝试交流 说出方程－2＋19x－24＝0中的二次项、一次项和常数项及它们的系数． 方程＝2的一般形式是什么？各项以及它们的系数呢？ 方程3046 ＝551化为一般形式后，各项系数是什么？ 注意：确定各项及其系数时，不能忽略前面的符号． 2.例题讲解 例 如图，长5 m的梯子斜靠在墙上，梯子的底端到墙面的距离比梯子的顶端到地面的距离多1 m．设梯子顶端到地面的距离为x m，列出相应的方程． （结果化为一般形式．） 3.尝试交流 观察方程 ＋x－12＝0．你能找到它的解吗？ 观察方程 ，回忆勾股数3，4，5，你有什么发现？ 解:当 x＝3时，＋3－12＝9＋3－12＝0， 所以 x＝3是方程的根． 当 x＝－4时，＋(－4)－12＝16－4－12＝0， 所以 x＝－4也是方程的根． x＝3，x＝－4都是这个方程的根． 4.知识归纳： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，也称为一元二次方程的根． 在解决实际问题时，求出方程的根后，必须回到实际情境中检验它是否符合题意．不符合实际意义的根要舍去． 【设计意图】用直观的梯子问题串联“列方程—整理—求根—检验”全过程，落实学习目标 1、3，并培养数学建模与应用意识。 1．根据题意列方程： (1) 一张面积是240 c的长方形彩纸，长比宽多 8cm．设它的宽为xcm，可得方程_______________； 解：x (8＋x)＝240 (2) 如图，一枚圆形古钱币的中间是一个边长为 1 cm 的正方形孔．已知正方形面积是圆面积的 ．设圆的半径为x cm，可得方程____________． 解：π＝9 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数、一次项系数和常数项． （1） （2) （3） （4） 解：(1) 将方程化成一般形式，得－x－2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－1、－2． (2) 将方程转化成一般形式，得－4x－1＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、－4、－1． (3) 将方程化成一般形式，得2＋3x＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是2、3、0． (4) 将方程转化成一般形式，得＋3x＋2＝0， 二次项系数、一次项系数和常数项分别是1、3、2． 注：◎ 也可以化为－＋4x＋1＝0，一般形式不唯一，但通常将二次项系数化为正数，且按降幂排列． ◎将方程化为一般形式时，务必注意移项要变号；各项系数包括它前面的符号，不可遗漏；若方程中缺少某一项，该项的系数即为0． 3．你能找到方程 ＝2 的解吗？试一试． 解：根据平方根的定义，对于方程 ＝2，x是2的平方根， 所以 x＝±． 所以方程 ＝2 的解为 ＝，＝－． 4．判断下列 x 的值是否为对应的一元二次方程的根： (1) ，方程 ； (2)，方程 (3) ，方程 ． 解：(1) 把 x＝2代入： 左边＝－4＝4－4＝0＝右边，x＝2是方程的根； 把 x＝－2代入： 左边＝－4＝4－4＝0＝右边，x＝－2是方程的根． (2) 把 x＝－1代入： 左边＝＋2×(－1)＋1＝1－2＋1＝0＝右边， x＝－1是方程的根． (3) 把 x＝2代入： 左边＝－3×2＋2＝4－6＋2＝0＝右边，x＝2是方程的根； 把 x＝3代入： 左边＝－3×3＋2＝9－9＋2＝2≠0，x＝3不是方程的根． 能力提升 已知关于x的方程(m－1)＋(m－2)x－1＝0，回答下面的问题： (1) 若方程是一元二次方程，求m的值． (2) 若方程是一元一次方程，则m的值是否存在？若存在，请求出m的值，并求出方程的解． 解：(1) 根据题意，得＋1＝2，且m－1≠0，解得m＝－1． (2) 存在　有两种情况： ① 当满足＋1＝1，且(m－1)＋(m－2)≠0时，解得m＝0，则方程变为－3x－1＝0， 解得 x＝－； ② 当满足m－1＝0，且m－2≠0时，解得m＝1，则方程变为－x－1＝0，解得x＝－1． 【设计意图】精选“易错—易混—常考”四类基础题，帮助学生在“会列—会化—会检验”三个环节上形成稳固技能，落实三维目标。 主板书 2.1 一元二次方程的概念 探究点1 归纳一元二次方程的定义 探究点 2 一元二次方程的一般形式及项、系数 探究点3 一元二次方程的根及其检验 课堂小结 副板书 例题 学生练习板演 课后习题练习。 学科网（北京）股份有限公司 $