周末作业4（第二章一元二次方程）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册一元二次方程周测同步练，含选择（10题）、填空（5题）、解答（5题），总分120分。以“基础巩固-能力提升-综合拓展”分层设计，覆盖概念、运算、应用全路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|定义判断、基本解法、直接应用|如选择1（定义）、填空11（方程解）、解答16（解方程），夯实概念与运算能力| |提升层|根的判别式、实际问题建模|如选择7（判别式）、填空14（道路面积）、解答18（新定义方程），强化推理与模型意识| |拓展层|综合应用与数学文化|如选择10（三角形边长）、解答20（杨辉数学问题），融合几何与代数，发展创新意识|

· 周末作业 4（第二章 一元二次方程） · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（    ） A． B． C． D． 3．某城市为绿化环境，改善城市容貌，计划经过两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（    ） A． B． C． D． 4．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的个主干上长出个枝干，每个枝干上再长出个小分支．若在一个主干上的主干，枝干和小分支的数量之和是个，则等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．观察下列表格，估计一元二次方程的正数解在（   ） 0 1 2 3 4 5 13 23 A．和0之间 B．0和1之间 C．1和2之间 D．2和3之间 6．若是一元二次方程的一个根，则m的值是（   ） A．0 B． C．3 D． 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B． C．且 D． 8．如图，用长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设段的长为，则可列方程为（   ）    A． B． C． D． 9．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成判断一元二次方程根的情况，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成判断．过程如下图所示：    接力中，自己负责的一步出现错误的是（    ） A．只有甲 B．甲和乙 C．乙和丙 D．乙和丁 10．已知三角形的两边长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（   ） A．24或 B．24 C． D．或24 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．若关于的一元二次方程的一个解为，则的值为_____． 12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是________________． 13．已知是一元二次方程的一个根，则的值为____________． 14．如图，在一块长12、宽8的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一边平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77，设道路的宽为x，则______．    15．现定义表示不超过实数x的最大整数，如，，，则方程的解为______． 三、解答题（共5小题，满分75分） 16．解方程： (1) (2) (3) (4) 17．已知关于的一元二次方程有两个相等的实根， (1)求的值． (2)求代数式的值． 18．我们规定：对于任意实数有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于的方程有两个实数根，求的取值范围． 19．某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件． (1)若降价6元时，则平均每天销售数量为多少件？ (2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 20．阅读下面的材料并完成解答． 《田亩比类乘除捷法》是我国南宋数学家杨辉的著作，其中记载了这样一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，欲先求阔步，得几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽之和为60步，问它的宽是多少步？书中记载了这个问题的几何解法：    (1)将四个完全相同的面积为864平方步的矩形，按如图所示的方式拼成一个大正方形，则大正方形的边长为 步； (2)中间小正方形的面积为 平方步； (3)若设矩形田地的宽为x步，则小正方形的面积可用含x的代数式表示为 ； (4)你依据（2）（3）列出关于x的方程，并求矩形田地的宽． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C C D A D B B 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵一元二次方程需满足三个条件：①只含一个未知数；②未知数最高次数为2；③是整式方程， 对于选项A：，满足上述三个条件，∴是一元二次方程，符合题意； 对于选项B：，未知数最高次数为1，不满足条件②，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项C：，含有分式，不是整式方程，不满足条件③，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于选项D：，含有两个未知数x和y，不满足条件①，∴不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2．D 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 3．B 【分析】设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，然后根据题意可列方程为，进而求解即可． 【详解】解：设这两年平均每年绿地面积的增长率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的增长率问题是解题的关键． 4．C 【分析】根据在个主干上的主干、枝干和小分支的数量之和是个，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．C 【分析】本题考查估计一元二次方程根的方法，根据和时的代数式的值，即可得到答案． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， ∴的一个解x的取值范围为， 故选C． 6．D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入，得，解得，即可作答． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴把代入，得， 解得， 故选：D． 7．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意可得，，由此计算即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，， 解得：且， 故选：A． 8．D 【分析】设段的长为，根据篱笆总长为以及有两个宽为的门，表示出的长，再根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设段的长为， 篱笆总长为，且中间隔有一道篱笆， 垂直于墙的三段篱笆总长为， 在上有两扇宽为的小门（不用篱笆）， 平行于墙的边的长度为 ，即， 花圃的面积为， 可列方程为 ． 9．B 【分析】甲没有把方程化为一般式，乙计算的平方时出现错误． 【详解】解：方程化为一般式为， ，所以甲出现错误， ，所以乙出现错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 10．B 【分析】此题考查了解一元二次方程——因式分解法和三角形的三边关系及勾股定理逆定理的运用，解方程求出方程的解得到x的值，利用三角形的三边关系判断出符合条件的值，再判断出该三角形为直角三角形，即可得到结果． 【详解】解：， ∴或， 解得：， 当时， ∵， ∴不能构成三角形， ∴不合题意，舍去， 当时， ∵， ∴能构成三角形， 此时该三角形的三边长为：， ∵， ∴该三角形是直角三角，直角边为和， ∴该三角形的面积是， 故选：B． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得，然后解一次方程即可． 【详解】解：把代入得， 解得 故答案为： 12． 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，再变形所求代数式代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 13．3 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，整式的化简求值，利用 m 是方程的根，得到 ，再根据多项式乘以多项式的运算法则把所求式子展开为，据此求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：3． 14． 【分析】由题意得：栽种花草的部分可合成长为，宽为的矩形．据此即可求解． 【详解】解：∵道路的宽为x ∴栽种花草的部分可合成长为，宽为的矩形 ∴ 解得：（舍去） 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用．正确理解题意即可． 15．或 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 先根据，可得，分情况进行讨论：（1）时；（2）时；（3）；（4）时；（5）同理可知4 时，方程无解；即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， （1）时，，解得：； （2）时，，解得：或（舍）； （3）时，，解得：（舍）或（舍）； （4）时，，解得：（舍）； （5）同理可知时，方程无解； 综上所述：方程的解为或， 故答案为：或． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题重点考查​一元二次方程的解法（包括直接开平方法、因式分解法等）​，​熟练掌握这些方法并根据方程特点灵活选择简便方法是解题的关键． （1）利用直接开方的方式求解即可； （2）利用因式分解的方法求解即可； （3）利用因式分解的方法求解即可； （4）提公因式，利用因式分解的方法求解即可． 【详解】（1） 或 解得； （2） 或 解得； （3） 或 解得； （4） 或 解得． 17．(1)或 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，分式的化简求值，根据方程有两个相等的实数根，得到是本题解题关键； （1）根据方程有两个相等的实数根，得到即可求出a的值； （2）根据分式的运算法则化简后，把a的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵方程两个相等的实根， ∴， ∴． （2） ， ∵当时，原式， 当时，原式． 综上可知，代数式的值为． 18．(1)10 (2)且 【分析】本题考查了新定义、一元二次方程的判别式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意求值即可； （2）根据一元二次方程的判别式得，解题即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ， 此方程有两个实数根， ， 解得且． 19．(1)平均每天销售数量为32件 (2)当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 【分析】（1）根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件”，列出平均每天销售的数量即可， （2）设每件商品降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每件盈利不少于25元”列出关于的一元二次方程，解之，根据实际情况，找出盈利不少于25元的答案即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 若降价6元，则多售出12件， 平均每天销售数量为：（件)， 答：平均每天销售数量为32件； （2）解：设每件商品降价元， 根据题意得： ， 解得：，， ，（符合题意）， ，（舍去）， 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键． 20．(1)60 (2)144 (3) (4)；矩形田地的宽为24步 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用： （1）根据图形可得，大正方形的边长是由一个矩形的宽和长组成即可求解； （2）先求得大正方形的面积，再减去四个矩形的面积即可求解； （3）设矩形田地的宽为x步，则长为步，，从而可得小正方形的边长，再利用正方形的面积公式即可求解； （4）由②③求得小正方形的面积相等即可得出方程． 【详解】（1）解：∵矩形田地的面积为864平方步，它的长与宽之和为60步， ∴大正方形的边长为 60步； 故答案为：60 （2）解：中间小正方形的面积为平方步； 故答案为：144 （3）解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， ∴小正方形的边长为步， ∴小正方形的面积为平方步； （4）解：由②③可得关于x的方程：． ∴(舍去) ， ∴   答：矩形田地的宽为24步． 答案第6页，共10页 答案第5页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $