第二章一元二次方程单元测试题2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程单元测试，分A（100分）、B（50分）卷，覆盖方程定义、解法、应用等核心知识，梯度设计适配单元复习，注重运算能力、推理意识与模型意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|方程定义、解法、根的概念|结合表格数据估计方程解，考查数据分析能力| |填空题|10/40|根与系数关系、实际建模（传染问题）|等腰三角形腰底分类讨论，培养推理意识| |解答题|8/78|利润问题、几何动点、创新定义|矩形动点问题融合几何与代数，体现模型意识；B卷“对称方程”创新题，发展创新意识|

第二章一元二次方程单元测试题2026-2027学年北师大版九年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4 2．方程x2＝4x的根是（　　） A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 3．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+3b＝0的一个根为﹣2，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 5．一元二次方程x2+4x﹣1＝0配方后化为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5 6．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝17（a，b，c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c 28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3 8．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2025的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 10．三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是　 　 ． 11．设a是方程x2+2x﹣2025＝0的一个实数根，则2a2+4a的值为　 　 ． 12．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是　 　 ． 13．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有　 　 人． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．用适当的方法解一元二次方程：(1)． (2)． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值． 17．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）每件商品降价多少元时，商场每月盈利最多？盈利多少元？ 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　 　 ． 20．已知m，n同时满足m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1，则m2﹣4n2的值是 　 　 ． 21．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则 　 　 ． 22．已知关于x的方程的解是x＝22，那么关于y的一元一次方程的解是y＝　 　 ． 23．已知矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，E是边DC上一点，将△ADE绕点A旋转得到△AD1E1，使得点D的对应点D1落在线段AE上，如果D1E1的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于 　 　 ． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24． 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”． (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解． 25．【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程．例如：方程中，方程的解为，一次项系数与常数项的和，则方程为和谐方程． 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： （1）方程是和谐方程吗？试说明理由； （2）已知关于x的一元一次方程x+3m＝0是和谐方程，求m的值． 26．综合与实践 小型停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为50个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下：∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4． 任务1 求道路的宽是多少米？ 任务2 求当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ 任务3 请直接写出该停车场月租金收入最高为　 　 元，此时每个车位月租金为　 　 元． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4 【解答】解：A、x3+2x＝0，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意； B、x（x﹣3）＝0，即x2﹣3x＝0，是一元二次方程，符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、y﹣x2＝4，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：B． 2．方程x2＝4x的根是（　　） A．x＝4 B．x＝0 C．x1＝0，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4 【解答】解：方程整理得：x（x﹣4）＝0， 可得x＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝0，x2＝4， 故选：C． 3．把一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式，正确的是（　　） A．x2﹣2x﹣2＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2﹣3x﹣1＝0 D．x2+4x+3＝0 【解答】解：将一元二次方程x（x+1）＝3x+2化为一般形式之后，变为x2﹣2x﹣2＝0， 故选：A． 4．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+3b＝0的一个根为﹣2，则b的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 【解答】解：由条件可知（﹣2）2﹣（﹣2）+3b＝0， 解得b＝﹣2， 故选：A． 5．一元二次方程x2+4x﹣1＝0配方后化为（　　） A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝5 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5 【解答】解：x2+4x﹣1＝0， 移项，得x2+4x＝1， 等式两边都加4得x2+4x+4＝1+4， 配方，得（x+2）2＝5， 故选：B． 6．某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小明同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：设花带的宽度为xm， 则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）20×30， 故选：A． 7．根据表格中的信息，估计一元二次方程ax2+bx+c＝17（a，b，c为常数，a≠0）的一个解x的范围为（　　） x 0.5 1 1.5 2 3 ax2+bx+c 28 18 10 4 ﹣2 A．0.5＜x＜1 B．1＜x＜1.5 C．1.5＜x＜2 D．2＜x＜3 【解答】解：由表格可知： 一元二次方程在ax2+bx+c＝18和ax2+bx+c＝10之间，对应的x在1和1.5之间， 所以ax2+bx+c＝17一个解的取值范围为1＜x＜1.5． 故选：B． 8．若m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则6m2﹣9m+2025的值为（　　） A．2026 B．2027 C．2028 D．2029 【解答】解：∵m是方程2x2﹣3x﹣1＝0的一个根， ∴将x＝m代入方程2x2﹣3x﹣1＝0，得 2m2﹣3m﹣1＝0，即2m2﹣3m＝1． ∴6m2﹣9m+2025 ＝3（2m2﹣3m）+2025 ＝3×1+2025 ＝2028． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是一元二次方程，则m的值为　﹣2　 ． 【解答】解：∵方程（m﹣2）x|m|+3mx+1＝0是一元二次方程， ∴|m|＝2且m﹣2≠0． 由|m|＝2，得m＝±2． 但m﹣2≠0，即m≠2． 故m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 10．三角形两边长分别为3和5，第三边是方程x2﹣6x+8＝0的一个解，则这个三角形的面积是　6　 ． 【解答】解：解方程x2﹣6x+8＝0得：x1＝4，x2＝2， ①当三角形的三边为3，4，5时，符合三角形三边关系定理， ∵32+42＝52， ∴此时三角形为直角三角形， ∴这个三角形的面积为6； ②当三角形的三边为3，2，5时，不符合三角形三边关系定理，此时三角形不存在； 故答案为：6． 11．设a是方程x2+2x﹣2025＝0的一个实数根，则2a2+4a的值为　4050　 ． 【解答】解：∵a是方程x2+2x﹣2025＝0的一个实数根， ∴a2+2a﹣2025＝0， ∴a2+2a＝2025， ∴2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×2025＝4050， 故答案为：4050． 12．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，小明看错了一次项系数p，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是x2+2x﹣20＝0　 ． 【解答】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p＝﹣2，αβ＝q＝﹣20， 则以α、β为根的一元二次方程是x2+2x﹣20＝0． 故答案为：x2+2x﹣20＝0． 13．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有　22　 人． 【解答】解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感， 根据题意得：1+x+x（x+1）＝121， 解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去）， ∴2（1+x）＝22． 故答案为：22． 三、解答题（本大题共5小题，14题-15题每小题8分，16-17题每小题10分，18题12分，共48分） 14．用适当的方法解一元二次方程：(1)． (2)． 【详解】（1）解： ，，， ， ∴ ，． （2） 整理，得， ， ，． 15．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+2m﹣2＝0（m为常数）． （1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根； （2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根． 【解答】解：（1）把x＝1代入方程可得1﹣（m+1）+2m﹣2＝0， 解得m＝2， 当m＝2时，原方程为x2﹣3x+2＝0， ∴（x﹣1）（x﹣2）＝0， 解得x1＝1，x2＝2， 即方程的另一根为2； （2）∵a＝1，b＝﹣（m+1），c＝2m﹣2， ∴Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×（2m﹣2） ＝m2﹣6m+9 ＝（m﹣3）2≥0， ∴不论m为何值时，方程总有两个实数根． 16．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根． （1）求m的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2﹣1＝0有实数根， ∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4（m2﹣1）≥0， 整理得：﹣4m+5≥0， 解得：m； （2）∵该方程的两个实数根分别为x1，x2， ∴x1+x2＝1﹣2m，x1x2＝m2﹣1， ∵x12+x22＝9， ∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝9，即（1﹣2m）2﹣2（m2﹣1）＝9， 整理得：m2﹣2m﹣3＝0，即（m﹣3）（m+1）＝0， 解得：m＝3（舍去）或m＝﹣1， 则m的值为﹣1． 17．某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件，为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件． （1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？ （2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？ （3）每件商品降价多少元时，商场每月盈利最多？盈利多少元？ 【解答】解：（1）降价前每月销售该商品的利润为（360﹣280）×60＝4800元； （2）设每件商品应降价x元， 由题意得：（360﹣x﹣280）（5x+60）＝7200， 解得：x1＝8，x2＝60， 要更有利于减少库存，则x＝60， 即要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价60元． （3）y＝（360﹣x﹣280）（60+5x）， ＝﹣5x2+340x+4800， ＝﹣5（ x﹣34）2+10580， ∴当x＝34时，y取得最大值10580， 即降价34元时，每月总利润最大，最大为10580元． 18．如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动． （1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？ （2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？ 【解答】解：（1）过点P作PE⊥CD于E， 设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102， ∴，； ∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm； （2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2． ①当时，PB＝16﹣3y， ∴，即， 解得y＝4； ②当y时，BP＝3y﹣16，QC＝2y， 则， 解得（舍去）； ③时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y， 则， 解得y＝18（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为　15　 ． 【解答】解：x2﹣9x+18＝0， 因式分解得（x﹣3）（x﹣6）＝0， 解得x1＝3，x2＝6， 当等腰三角形的腰为3时，三边是3，3，6， ∵3+3＝6，不符合三角形的三边关系定理， ∴此时不能组成三角形； 当等腰三角形的腰为6时，三边是3，6，6， ∵3+6＞9，符合三角形的三边关系定理， ∴周长是3+6+6＝15． 故答案是：15． 20．已知m，n同时满足m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1，则m2﹣4n2的值是 　﹣5　 ． 【解答】解：∵m+2n＝5与m﹣2n＝﹣1， ∴m2﹣4n2＝（m+2n）（m﹣2n）＝5×（﹣1）＝﹣5． 故答案为：﹣5． 21．设x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则 　﹣6　 ． 【解答】解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两根， ∴x1x2＝﹣2，x1+x2＝3， ∴， 故答案为：﹣6． 22．已知关于x的方程的解是x＝22，那么关于y的一元一次方程的解是y＝　45　 ． 【解答】解：关于y的方程可变形为：，即， 令y﹣23＝z，则原方程可化为， ∵关于x的方程的解是x＝22， ∴关于z的方程的解是z＝22， ∴y﹣23＝22， ∴y＝45． 故答案为：45． 23．已知矩形ABCD中，AD＝6，AB＝10，E是边DC上一点，将△ADE绕点A旋转得到△AD1E1，使得点D的对应点D1落在线段AE上，如果D1E1的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于 　　 ． 【解答】解：如图所示，连接BE，BE1． ∵∠D＝∠AD1E1＝90°，AD＝AD1＝6． ∵D1E1的延长线恰好经过点B， ∴∠AD1B＝90°． ∴BD18， ∵， ∴AE， ∴DE． 故答案为：． 二、解答题（本大题共3小题，24题8分，25题10分，26题12分，共30分） 24． 定义：如果关于的方程（，，，是常数）与（，，，是常数）的二次项系数、一次项系数、常数项分别满足，，，则称这两个方程互为“对称方程”．例如：方程的“对称方程”是．请根据上述内容，解决以下问题： (1)直接写出方程的“对称方程”． (2)若关于的方程与互为“对称方程”，求，的值及的解． 【详解】（1）解：根据对称方程的定义可得方程的“对称方程”是； （2）解：由移项，得． 关于的方程与互为“对称方程”， ，，解得，， 化为， 解得，． 25．【阅读材料】定义：如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程．例如：方程中，方程的解为，一次项系数与常数项的和，则方程为和谐方程． 【解答问题】 请根据上述定义解答下列问题： （1）方程是和谐方程吗？试说明理由； （2）已知关于x的一元一次方程x+3m＝0是和谐方程，求m的值． 【解答】解：（1）如果一个一元一次方程的一次项系数与常数项的和刚好是这个方程的解，则称这个方程为和谐方程． 方程不是和谐方程；理由如下： ， 解得：， 一次项系数与常数项的和为， ∴方程不是和谐方程； （2）x+3m＝0， 解得：x＝﹣3m， 一次项系数与常数项的和为1+3m， ∵关于x的一元一次方程x+3m＝0是和谐方程， ∴﹣3m＝1+3m， 解得： 26．综合与实践 小型停车场设计与收费问题 素材1 设计要求：矩形停车场，其布局如图．已知AD＝50m，AB＝30m，阴影部分设计为停车位，面积为800m2，车位总数为50个，其余部分均为宽度为x米的道路． 素材2 收费运营：该停车场只接受月租用户，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出：若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位． 素材3 数学小贴士：我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式a2﹣2a+5的最小值．方法如下：∵a2﹣2a+5＝a2﹣2a+1+4＝（a﹣1）2+4，由（a﹣1）2≥0，得（a﹣1）2+4≥4；∴代数式a2﹣2a+5的最小值是4． 任务1 求道路的宽是多少米？ 任务2 求当每个车位的月租金为多少元时，停车场的月租金收入为10080元？ 任务3 请直接写出该停车场月租金收入最高为　10125　 元，此时每个车位月租金为　225　 元． 【解答】解：任务1，由题意得：（50﹣2x）（30﹣2x）＝800， 整理得：x2﹣40x+175＝0， 解得：x1＝5，x2＝35（舍去）， 答：道路的宽是5米； 任务2，设当每个车位的月租金上涨y元时，停车场的月租金收入为10080元， 由题意得：（200+y）（50）＝10080， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， ∴当每个车位的月租金为210元或240元时，停车场的月租金收入为10080元； 任务3，设每个车位的月租金上涨a元时，停车场的月租金收入为W元， 则W＝（200+a）（50） a2+10a+10000 （a2﹣50a+625）+10125 （a﹣25）2+10125， 当a＝25时，W有最大值10125， ∴该停车场月租金收入最高为10125元，此时每个车位月租金为225元， 故答案为：10125；225． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $