暑假培优预习：二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练-2026年八升九暑假数学（人教版）

**基本信息** 聚焦二次函数翻折与新定义两大难点，通过坐标变换法与定义转化法构建系统性解题体系，衔接概念理解与综合应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数中的翻折问题|3例+3变式|坐标变换法（设点翻折推导表达式）、翻折后图形性质分析（平衡点、交点、最值）|从单一轴向翻折到复合变换（平移+翻折+旋转），从函数表达式推导到图形与直线交点综合应用| |二次函数中的新定义问题|3例+3变式|定义转化法（新定义译为数学表达式）、方程与函数结合（建立方程求解点坐标及参数范围）|从具体定义（阶梯n点）到抽象定义（精致函数、不动点），从点坐标求解到函数性质（增减性、最值）综合探究|

暑假培优预习：二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 暑假培优预习：二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 二次函数中的翻折问题 二次函数中的新定义问题 考点一 二次函数中的翻折问题 例1．（25-26九年级下·广东惠州·月考）（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 例3．（24-25九年级上·北京·阶段检测）【问题背景】解方程：； 【解决方法】建立函数， (1)求：该函数与轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线的轴下部分沿轴翻折得到该函数，由图象可知，当的取值范围是_________时问题方程有个不同根的时候，所有根的和为_________． 变式1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 变式2．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求出该二次函数的解析式； (2)已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点． ①当时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有个公共点时，求的取值范围． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值． 考点二 二次函数中的新定义问题 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 例3．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． (1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） (2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； (3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 变式1．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 变式2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）【定义与性质】 如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 (1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为； 【思考与探究】 (2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）． ①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围； ②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）定义：我们把横、纵坐标相同的点叫做“和谐点”． (1)求二次函数的“和谐点”的坐标； (2)已知二次函数 ①若该函数只有一个“和谐点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，则的取值范围是___________； 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优预习：二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 暑假培优预习：二次函数中的翻折问题、二次函数中的新定义问题专项训练 考点目录 二次函数中的翻折问题 二次函数中的新定义问题 考点一 二次函数中的翻折问题 例1．（25-26九年级下·广东惠州·月考）（1）问题：将函数的图象沿y轴翻折，所得到的图象对应的函数表达式是什么？ 解决方法：设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为→将点P沿y轴翻折得点（______，______）（点在原函数图象上）→翻折后的图象对应的函数表达式为_____． （2）将函数（a，b，c为常数，）的图象先向左平移1个单位长度，再沿y轴翻折，最后绕原点旋转，求所得到的图象对应的函数表达式． 【答案】（1），（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数翻折、平移、旋转的性质，掌握以上知识是关键． （1）根据点关于y轴的对称性质得到，代入计算即可求解； （2）根据题意，设最后得到新函数图象的点为，由旋转，翻折，平移的性质得到点是函数（a，b，c为常数，）的一点，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）设翻折后新的函数图象上任意P的坐标为， ∴将点P沿y轴翻折得点， ∵点在原函数的图象上， ∴， ∴翻折后的图象对应的函数表达式为， 故答案为：，； （2）设最后得到新函数图象上的任意点为， ∴点A绕原点旋转后对应点， 再沿y轴翻折后，点B的对应点为， 图象向右移动1个单位长度后，点C的对应点为， ∴点是函数（a，b，c为常数，）上的一点， ∴， 整理得，， ∴所得到的图象对应的函数表达式为． 例2．（25-26九年级上·湖南长沙·阶段检测）我们约定：若将抛物线（，）在x轴下方的部分沿x轴翻折，其他部分保持不变，得到函数的图象，则称函数为二次函数，（，）的“W”函数，抛物线的顶点经过翻折后得到的点称为其“W”函数图象的“平衡点”．根据该约定，解答下列问题： (1)二次函数的“W”函数图像如图所示，请你判断下列关于该函数的“W”函数说法是否正确（在题后相应括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）； ①图象的“平衡点”是，与x轴的交点是和；（   ） ②当时，函数取最小值1；（   ） ③当或时，y随x的增大而减小．（   ） (2)在同一平面直角坐标系中，若关于x的二次函数图象的顶点为点A，它的“W”函数图象的“平衡点”为点B，函数图象与x轴交于不同两点C，D.当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，求实数k的值； (3)在（2）问条件下，若当时，二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大，求实数h的取值范围． 【答案】(1)①√；②×；③√ (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与x轴的交点坐标，正方形的判定与性质等，熟练掌握相关知识点，根据题中函数定义求解是解题的关键； （1）先求出二次函数的顶点、与x轴的交点横坐标，由题中定义可得它的“W”函数图象的“平衡点”， 与x轴的交点坐标，由此可判定①，再结合图象可判定②和③； （2）先用含的式子表示出线段，的长，再由以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形，可得，代入含的式子解方程即可； （3）先确定二次函数的“W”函数的值随x的增大而增大的图象部分，再分类讨论，综合可得结果． 【详解】（1）二次函数，顶点为， 它的“W”函数图象的“平衡点”为． 当时，，解得，， 它的“W”函数图象与x轴的交点是和，故说法①正确； 由图知，当或时，函数取最小值0，故说法②错误； 由图知，当或时，y随x的增大而减小，故说法③正确； 故答案为：①√；②×；③√． （2）由关于x的二次函数可得其图象顶点A的坐标为， 由对称可得它的“W”函数图象的“平衡点”B的坐标为， ， 当时，， 解方程得，， ， 由对称可得线段AB与线段CD互相垂直平分， 当以A，B，C，D为顶点的四边形是正方形时，， 即，解得，， ， ． （3）当时，， 解得，， 如图，作抛物线的对称轴交抛物线的“W函教”图象于点B，分两种情况： ①由图象可知，在图象CB段，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． ②由图象可知，在图象点D的右侧，“W”函数的值随x的增大而增大， 则， 解得． 综上所述，实数h的取值范围为或． 例3．（24-25九年级上·北京·阶段检测）【问题背景】解方程：； 【解决方法】建立函数， (1)求：该函数与轴的交点及其顶点坐标 (2)设，则可以通过将抛物线的轴下部分沿轴翻折得到该函数，由图象可知，当的取值范围是_________时问题方程有个不同根的时候，所有根的和为_________． 【答案】(1)该函数与轴的交点坐标为：，；顶点坐标为：， (2)，4． 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，根据二次函数的图象和性质求解即可． （1）把二次函数化成顶点式，可求出顶点坐标，令，可求出函数与轴的交点坐标． （2）画出函数图像可求解，根据函数图象可求解． 【详解】（1）解：， ∴该函数的顶点坐标为：， 令，则， 即， 解得：，， ∴该函数与轴的交点坐标为：，． （2）∵，则可以通过将抛物线在轴下部分沿轴翻折得到该函数，如下图： ∵， ∴函数的顶点坐标为：，对称轴， ∴翻折后的顶点坐标变成， 令，根据函数与坐标轴的交点，，以及定点坐标结合函数图象可知当时，方程有个实数根． 由图象可知，当问题方程有个不同根的时候，由二次函数的对称性质以及对称轴可知，个不同根的和为， 故答案为：，4． 变式1．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图1，抛物线：（是常数，）与轴交于点，，点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式，并求其顶点坐标； (2)求点，的坐标及直线的函数表达式； (3)如图2，将抛物线在轴上方的部分沿轴向下翻折，与抛物线在轴下方的部分合在一起得到新的图形记作，将直线向下平移个单位，得到直线，若直线与图形有四个不同交点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；顶点坐标为 (2)，， (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）先求出抛物线与轴交点，再由待定系数法求解一次函数解析式； （3）先求出翻折后的解析式，设出平移后的直线解析式，找出两个临界状态，一个是直线经过点，一个是直线与抛物线相切时，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：将代入． ， 则， 则． 抛物线解析式为 即． 顶点坐标为； （2）解：当时，， ，． 点，． 设直线的表达式为．将，点代入得 ， 解得 直线的函数表达式为； （3）解：将直线向下平移个单位所得直线的解析式为， 当直线过点时，， 解得； 将抛物线位于轴上方的部分关于轴对称， 得到新的图形的解析式为． 当直线与抛物线相切时， 令， 整理得， ． 解得 当时，直线与新的图形有四个不同交点． 的取值范围为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，翻折的性质，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题等知识点． 变式2．（25-26九年级上·湖北荆门·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，直线经过两点． (1)求出该二次函数的解析式； (2)已知点为直线上的一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点． ①当时，求点的横坐标； ②当的长度随的增大而增大时，直接写出的取值范围． (3)如图，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，当直线与这个新图象有个公共点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①或或或；②或 (3) 【分析】（）利用一次函数求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）①由题意得，，即得，根据对称轴为直线，可得，即得，解方程即可求解；②由，分当或时和当时，结合二次函数的性质解答即可求解； （）根据折叠可得翻折上来的部分抛物线解析式为，再分别求出直线与新图象恰好有个公共点时的值，进而即可求解． 【详解】（1）解：在中，令得，令得， ∴，， 将，代入 得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①如图， ∵点为直线上的一点，其横坐标为， ∴，， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴或 ， 解得或或或， ∴点横坐标为或或或， ②由①知，， 当或时，， ∴关于的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，的长度随的增大而增大， 又∵或， ∴当时，的长度随的增大而增大； 当时，， ∴关于的抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，的长度随的增大而增大， 又∵， ∴时，的长度 随的增大而增大； 综上，当或时，的长度随的增大而增大； （3）解：在中，令得， 解得或， ∴，， ∵， ∴抛物线的顶点为， ∴将抛物线的图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方，则翻折上来的部分抛物线顶点为， ∴翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移个单位长度得到直线， 当直线经过点或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点， 如图： ①当直线经过点时， 把代入得，， 解得； ②当直线与相切时，即直线与抛物线只有一个交点，此时方程只有一个解， 即方程的判别式， ∴， 解得； 综上，直线与这个新图象有个公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数几何应用，折叠的性质，一次函数的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 变式3．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图1，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，，直线经过，两点． (1)求该二次函数的解析式； (2)已知为线段上一点，设其横坐标为，过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点．当时，求点的横坐标； (3)如图2，将二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴的上方，图象的其余部分不变，得到一个“”形状的新图象，再将直线向上平移个单位长度，得到直线，直接写出当直线与这个新图象分别有2个或3个公共点时，的取值范围或的值． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)点P的横坐标为或 (3)当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或 【分析】（1）由、得，再用待定系数法可得二次函数的解析式； （2）根据题意得直线l的表达式，进而表示出，，根据两点之间距离公式得到，再求出，由，列绝对值方程求解即可得到答案； （3）根据题意，得到翻折变换后的函数表达式，由题意作出图象，得到当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点；当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点，分类讨论求解即可得到答案． 【详解】（1）解：，， ， 将，代入， 得：， 解得， 二次函数的解析式为； （2）解：设直线l：，直线经过，两点， 将，代入， 得：，解得， 直线l的表达式为， 如图所示， 点P为线段上一点，设其横坐标为t，则， ，， ， 抛物线的对称轴为直线， ， ， ， 或， 则或， 解得或或或， ， 点P的横坐标为或； （3）解：在中， 令得， 解得或， ，， ， 抛物线的顶点为， 将抛物线的图象在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴的上方， 则翻折上来的部分抛物线顶点为， 翻折上来的部分抛物线解析式为， 直线向上平移n个单位长度得到直线：， 如图所示， 当直线经过点A或与相切时，直线与新图象恰好有三个不同的交点； 当直线经过点B时，直线与新图象恰好有一个交点， ①当直线经过点时，把代入： 得：，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ②当直线：与相切时， 只有一组公共解，即方程的判别式为0， ，解得， 即当时，直线与这个新图象有3个公共点； ③当直线经过点时，把代入： 得：，解得， 即当时，直线与这个新图象有1个公共点； ④如图所示，当时，直线与这个新图象有4个公共点； ⑤如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑥如图所示，当时，直线与这个新图象有2个公共点； ⑦如图所示，当时，直线与这个新图象没有公共点； 综上所述，当直线与这个新图象有2个公共点时：或；有3个公共点时：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、两点之间距离公式、解绝对值方程、翻折变换、一元二次方程与二次函数的关系等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和相关线段的长度． 考点二 二次函数中的新定义问题 例1．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）在学习抛物线的过程中，我们积累了一定的经验，请运用已有经验，对抛物线的“阶梯n点”进行研究． 定义：若抛物线上存在一点P，且点P的横、纵坐标之和为n，则称点P为此抛物线的“阶梯n点”． 例如：点在抛物线上，且点P的横、纵坐标之和为1，则点P就叫做此抛物线的“阶梯1点”． 根据以上定义，解决以下问题： (1)若点P是抛物线的“阶梯6点”，求点P的坐标． 设点P的坐标为，由定义可知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为________或（请直接写出点P的另一个坐标）． (2)若点P是抛物线的“阶梯1点”，求点P的坐标； (3)若抛物线上存在“阶梯3点”P，请直接写出c的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系： （1）根据新定义可得到关于x的方程，解出方程，即可； （2）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于m的方程，解出方程，即可； （3）设点P的坐标为，根据新定义可得到关于s的方程，利用根的判别式解答即可． 【详解】（1）解：设点P的坐标为，由定义知：，且， 所以，解得，． 所以点P的坐标为或； 故答案为： （2）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为或； （3）解：设点P的坐标为， 由定义知：，且， ∴， 整理得：， ∴， 解得：． 例2．（25-26八年级下·福建泉州·期末）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 例3．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）对于二次函数（a，b，c是常数，且），给出如下新定义：若，则该函数是“精致函数”．例如：“精致函数”，这里，其中，即． 根据该定义，完成下列各题． (1)填空：二次函数______“精致函数”；（选填“是”或“不是”） (2)求证：“精致函数”（a，b，c是常数，且）的图象与直线总有两个不相同的交点； (3)当时，若“精致函数”的最大值与最小值的和为2n，求n的值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到新定义、二次函数的图象和性质，理解新定义和数形结合是解题的关键． （1）分别求出，，即可求解； （2）由题意可得，即可求解； （3）先求出该函数图象的对称轴为直线，顶点为．然后分3种情况讨论． 【详解】（1）∵， ∴， ∴，， ∴， ∴二次函数是“精致函数”． 故答案为：是； （2）∵是“精致函数”， ∴ 当时，， ． ∵， ∴， ∴“精致函数”的图象与直线总有两个不相同的交点． （3）∵是“精致函数”， ∴， 解得， ∴， ∴该函数图象的对称轴为直线，顶点为． 分以下3种情况讨论： ①当，即时， ∴当时，； 当时，． ∵函数最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）． ②当，即时， ∴当时，；当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 解得（舍去）． ③当时， ∴当时，； 当时，． ∵函数的最大值与最小值的和为2n， ∴， 整理，得， 解得（舍去），（舍去）． 综上所述，n的值为． 变式1．（2026·河南平顶山·三模）定义：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． (1)对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是___________（填写正确结论的序号）． 该兴趣小组继续对二次函数进行探究，并设计了以下问题，请你解答． (2)若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式． (3)在（2）的条件下，当时，对应函数的最大值与最小值的差为5，请求出b，c的值． 【答案】(1)②③ (2) (3)b，c的值分别为，或， 【分析】（1）根据新定义逐一进行判断即可； （2）一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据新定义即可得出对应的关系式； （3）分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：①当时，，故不是“不动点函数”； ②把点代入，得，解得， ∴是“不动点函数”，且只有一个不动点； ③对于任意一个的值，点都在直线上，故是“不动点函数”，且有无数个不动点． 综上：正确的是②③； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点， ∴，即． （3）解：由（2），得． ∴函数图象为开口向上的抛物线，顶点坐标为． 分以下三种情况讨论： ①当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，． ∴，解得． ∵， ∴符合题意． 将代入，得． ∴，． ②当时，由二次函数的性质，可知当时，y随x的增大而减小． ∴当时，y有最大值，；当时，y有最小值，． ∴，解得， ∵， ∴符合题意， 将代入，得， ∴，． ③当时，函数在时取最小值，． Ⅰ．当时，函数在时取最大值，． ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意． Ⅱ．当时，函数在时取最大值，， ∴，即，解得． ∵， ∴不符合题意， 综上所述，b，c的值分别为，或，． 变式2．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）【定义与性质】 如图1，记二次函数和的图象分别为抛物线和，且与轴都有两个交点． 定义：若抛物线的顶点为抛物线的顶点关于抛物线与轴交点的对称点，则称是关于点的对称抛物线，简称是的对称抛物线． 性质：①一条抛物线有2条对称抛物线； ②若是的对称抛物线，则也是的对称抛物线， 【理解与运用】 (1)试说明二次函数的其中1条对称抛物线为； 【思考与探究】 (2)设抛物线的函数表达式为．若该抛物线与轴交于，两点（且点在点的右侧）． ①若抛物线关于点的对称抛物线与轴的另一个交点为，其中，求的取值范围； ②如图2，抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，试问当，满足什么关系时，为等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2)①；②当时，为等边三角形 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、等边三角形的性质与判定、特殊角的三角函数值，理解新定义并掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）先求出二次函数的顶点为，与轴的交点为和，得出点关于点的对称点为，再根据新定义得出是的对称抛物线，即可解答； （2）①根据对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点，得出，再根据对称抛物线的性质可知，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上，得出，结合即可求出的取值范围；②过点作轴于点，连接、、，根据对称抛物线的性质可得点、分别是、的中点，推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质、二次函数的性质和锐角三角函数的知识即可求出，的关系式． 【详解】（1）证明：令， 解得：，， 二次函数与轴的交点为和， 又的顶点为， 点关于点的对称点为， 由题意得，是的对称抛物线， 二次函数的其中1条对称抛物线为． （2）解：①由对称抛物线的定义可知，点是抛物线与轴的交点， 代入得，， ， ， 由对称抛物线的性质可得，对称抛物线上的点关于点的对称点在抛物线上， 点关于点的对称点为， 代入点到得，， 整理得：， ， ， ； ②如图，过点作轴于点，连接、、， 是等边三角形， ， 抛物线关于点的对称抛物线的顶点为，且点是抛物线的顶点， 点是的中点， 同理，点是的中点， 是的中位线，且， ，， 是等边三角形， 又轴， ，， 设，， 令，则， ，，且， ， 又， ， ， 二次函数， 抛物线的顶点， ， 在中，， ， ， 解得：或（舍去）， 当时，为等边三角形． 变式3．（25-26九年级上·河南信阳·阶段检测）定义：我们把横、纵坐标相同的点叫做“和谐点”． (1)求二次函数的“和谐点”的坐标； (2)已知二次函数 ①若该函数只有一个“和谐点”，求的值； ②若该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，则的取值范围是___________； 【答案】(1) (2)①，；② 【分析】本题考查了二次函数的其他应用，新定义，一元二次方程的判别式，二次函数的图象性质，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解“和谐点”的定义，进行列式计算，即可作答． （2）①先得，结合该函数只有一个“和谐点”，则，得出方程，得，解得，； ②同理得，令，当时，则，则，结合函数中的，得开口方向向上，的的取值范围为或；又因为该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”，把代入令，得；把代入，得；因为函数的，得函数开口向上，故且，得且，由对称轴在和之间得到，从而得到得，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，令， 则， 则， 解得； 即二次函数的“和谐点”的坐标分别是； （2）解：①依题意，令， 则， ∴， ∵该函数只有一个“和谐点”， ∴， 解得：， ∴，； ②依题意，令， 则， ∴， ∵该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”， ∴， 令， 当时，则 ∴， ∵函数中的， ∴开口方向向上， ∴的的取值范围为或； ∵该函数在的范围内有两个不同的“和谐点”， 令， ∴把代入令，得； 整理得， 把代入，得； 整理得， ∵函数的， ∴函数开口向上， ∴且， ∴且， 即， ∵函数 ∴对称轴为直线， ∵在的范围内有两个不同的“和谐点” ∵ ∴③， ∴综合①②③得： 即的取值范围是 2 学科网（北京）股份有限公司 $