精品解析：甘肃省酒泉市瓜州县第二中学2021—2022学年七年级下学期数学竞赛卷

2021—2022学年北师大版七年级数学竞赛卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用幂的乘方的逆运算，将三个数的指数统一为相同值，再通过比较底数大小得到三个数的大小关系． 【详解】∵ ，，， ，，， ∵ ，指数相同的正整数幂，底数越大幂越大， ∴ ，即． 2. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　） A. 50°、130° B. 都是10° C. 50°、130°或10°、10° D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】首先由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角比另一个角的3倍少20°，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解． 【详解】解：∵两个角的两边分别平行， ∴这两个角相等或互补． 设其中一角为x°， 若这两个角相等，则x＝3x﹣20， 解得：x＝10， ∴这两个角的度数是10°和10°； 若这两个角互补， 则180﹣x＝3x﹣20， 解得：x＝50， ∴这两个角的度数是50°和130°． ∴这两个角的度数是50°、130°或10°、10°． 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用． 3. 图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（ ） A. 从起点到终点共用了 B. 时速度为0 C. 前速度为 D. 与时速度是不相同的 【答案】B 【解析】 【分析】分别根据函数图象的实际意义可依次判断各个选项是否正确． 【详解】、从起点到终点共用了，故本选项错误； 、时速度为0，故本选项正确； 、前的速度是，故本选项错误； 、与时速度是相同的，故本选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查了函数图象的读图能力．要理解函数图象所代表的实际意义是什么才能从中获取准确的信息． 4. 如图，平分和，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出． 【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图， ∵的外角和的外角是同角， ∵，， ∵平分和， ∴，， ∴，， ∵在中，， 在中， ∴，； ∵， ∴， ， 整理得，， 化简得， 将，代入，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键． 5. 已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE， ∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】作AF平分∠BAD．可根据证△ABF≌△ADF，推出AB=AD，得出△ABD为等腰三角形；可根据同弦所对的圆周角相等知点A、B、C、E共圆，可判出BE=CE=CD，根据三角形内角和等于180°，可判出AE=AC；求出∠7=90°﹣∠2，根据∠1=∠4=∠2推出∠4≠∠7，即可得出BC不是∠ACE的平分线． 【详解】解：作AF平分∠BAD， ∵∠BAD=∠3，∠ABD+∠3=90°， ∴∠BAF=∠3=∠DAF， ∴∠ABF+∠BAF=90° ∴∠AFB=∠AFD=90°， 在△BAF和△DAF中 ∴△ABF≌△ADF(ASA)， ∴AB=AD，故①正确； ∵AE＝AC， ∴∠6＝∠4＋∠7＝＝90°−， ∵∠5＝∠ADB＝∠ABD＝＝90°−，∠1＝∠2， ∴∠5＝∠6＝90°− ∴CE＝CD，∠4＝180°−∠5−∠6＝180°−2（90°−）＝∠1， ∵∠1＝∠3， ∴∠4＝∠3， ∴BE＝CE， ∴BE＝CE＝CD， ∴③正确； ∵∠6+∠2+∠ACE=180°，∠6=∠5=∠ADB=∠ABD=90°﹣∠2． ∴∠ACE=180°﹣∠6﹣∠2=90°﹣∠2， ∴∠ACE=∠6， ∴AE=CE，故②正确 ∵∠5=∠2+∠7=90°﹣∠2， ∴∠7=90°﹣∠2， ∵∠BAD=∠4=∠2， ∴∠4≠∠7，故④错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同弦所对的圆周角相等、三角形内角和的相关知识，灵活运用所学知识是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，AB=BC，，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（） A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠3=∠4 D. ∠4=∠5 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，先根据直角三角形两锐角互余可得，再根据三角形全等的判定定理与性质推出，又根据三角形全等的判定定理与性质推出，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点C作BC的垂线，交BF的延长线于点G，则，即 在和中， 点D是BC的中点 在和中， 故选：A． 【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了直角三角形的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等的三角形是解题关键． 7. 若，则等于（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. －2020 【答案】C 【解析】 【分析】将变形为，，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ =2018． 故选：C 【点睛】本题考查了根据已知代数式的值求新代数式的值，将已知条件适当变形，代入所求代数式求解是解题关键． 8. 用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】要先根据题意，画出图形，通过对图形观察，思考，得出需要小木棍的根数，然后图形对比，选出最少需要小木棍的根数． 【详解】图1没有共用部分，要6根小木棍， 图2有共用部分，可以减少小木棍根数， 仿照图2得到图3，要7根小木棍， 同法搭建的图4，要9根小木棍， 如按图5摆放，外围大的等边三角形，可以得到5个等边三角形，要9根小木棍， 如按图6摆成三棱锥(西面体)就可以得到4个等边三角形， ∴搭建4个等边三角形最少需要小木棍6根． 故选：D 【点睛】此题考查的是组成图形的边的条数，解答此题需要灵活利用立体空间思维解答． 二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） 9. 若，则x的值为_____________． 【答案】0或4或2 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，有理数的乘方计算，1的任何次方的结果都为1，负1的偶次方的结果为1，非零底数的零指数幂结果为1，据此分底数为正负1和指数为0三种情况讨论求解即可． 【详解】解：当，解得：， 此时，符合题意 当，解得： ， 此时，符合题意； 当，， 此时，符合题意； 综上所述：x的值为：0或4或2． 故答案为：0或4或2． 10. 若的积不含项，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a． 【详解】解： = = ∵的积不含项， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． 11. 如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)． 【答案】 【解析】 【分析】过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案． 【详解】解：如图，过点向右作，过点向右作 , 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的性质定理,根据题意作合适的辅助线是解题的关键． 12. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是__________度． 【答案】90 【解析】 【分析】根据两条直线平行， 内错角相等， 则，根据平角定义， 则图中的，，进一步求得图中，进而求得图中的． 【详解】解：，， ， 图中的， 图中， 图中． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了根据折叠能够发现相等的角， 同时运用了平行线的性质和平角定义解决问题 ． 13. 若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______． 【答案】±4x ， 4x4 【解析】 【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q，①如果这里首末两项是2x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和1积的2倍，故Q = ±4x； ②如果如果这里首末两项是Q和1，则乘积项是4x2=2×2x2，所以Q = 4x4. 【详解】解：∵4x2 +1±4x = (2x±1)2 4x2+1+4x4 = (2x2+1)2； ∴加上的单项式可以是±4x ， 4x4中任意一个， 故答案为：±4x ， 4x4 【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键. 14. 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 【答案】6 【解析】 【分析】，所以求出的面积和的面积即可，而，点是的中点，且，则有，，由此即可求出的值． 【详解】解：点是的中点，即：， ， ． ，， ， ， 即， 即． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差． 三、解答题（本大题共4小题，15题，16题7分，17，18题8分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，点M在直线上，点N、Q在直线上，点P在直线之间，，平分． （1）如图1，求的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，过点Q作交的延长线于点E，过E作平分交于点F．请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）解：，理由如下：  由（1）知，， ∵平分， ∴， 即， ， ． 平分， ． ∴在中，， ∴，  ． （3）解：．理由： 由（1）知，， ∵平分， ∴, ， ∴． ∵， ∴， 平分， ． ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）过点P作平行线平行于，因为，所以所作平行线也平行于，利用平行线的内错角相等性质，结合已知，即可得到的表达式． （2）由角平分线定义可得与的关系，由，利用平行线的同旁内角互补性质，得到与的数量关系；结合平分，以及（1）中得到的的数值，推导中两个角的和，进而判断与的位置关系． （3）由平行线性质和，可得，根据平行线性质和角平分线定义可得，根据三角形内角和定理得，由直角三角形两锐角关系得，即可求出的度数表达式，和的度数表达式 比较，即可得与的关系． 【小问1详解】 解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 【答案】（1）P、Q两灯照射一次各需要的时间分别为18秒、45秒；（2） ；（3）当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【解析】 【分析】（1）直接利用180除以两灯的速度即可求得结果； （2）过点作，利用平行线的相关性质求解即可； （3）分三种情况：①当两灯开启时间小于18秒时，②当两灯开启时间大于18秒，小于36秒时，返回时，第一次与相遇，③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时，返回时，第二次与相遇，分别根据两灯的光束互相垂直，利用平行线的相关性质，找准等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）∵灯P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒， ∴P灯照射一次需要的时间是：（秒） Q灯照射一次需要的时间是：（秒）； （2）∵转动12秒时，两光束恰好在M点汇聚， ∴, ， 如下图示，过点作， 则有 ∴， ， ∴， ∴； （3）①当两灯开启时间小于18秒时， 如图1所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ②当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第一次与相遇，则如图2所示， 过点作， 则有 ∴， ， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； ③当两灯开启时间大于18秒，小于35秒时， 返回时，第二次与相遇，则如图3所示， 过点作， 则有 ∵，， ∴， ∵两灯的光束互相垂直， ∴依题意可得： 解之得：； 综上所述，当开启15s或s或s后，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，熟悉相关性质是解题的关键． 17. 点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上，． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数； （3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数． 【答案】（1）∠AOC=144°；（2）∠BOE =81°；（3）∠EOF =117°或171° 【解析】 【分析】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α，根据已知条件列方程即可得到结论； （2）由余角的定义得到∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°，根据角平分线的定义得到∠COE=∠COD=×90°=45°，于是得到结论； （3）①根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠DOC+∠BOC=36°+90°=126°，根据比较的定义列方程即可得到结论； ②根据角平分线的定义得到∠FOG=∠BOG，推出D，O，G共线，根据角的和差即可得到结论． 【详解】（1）设∠BOC=α，则∠AOC=4α， ∵∠BOC+∠AOC=180°， ∴α+4α=180°， ∴α=36°， ∴∠AOC=144°； （2）∵∠AOD与∠BOC互余， ∴∠AOD=90°-∠BOC=90°-36°=54°， ∴∠COD=180°-∠AOD-∠BOC=180°-54°-36°=90°， ∵OE平分∠COD， ∴∠COE=∠COD＝×90°=45°， ∴∠BOE=∠COE+∠BOC=45°+36°=81°； （3）①如图1， ∵OG平分∠FOB， ∴∠FOG=∠BOG， ∵∠FOD与∠BOG互补， ∴∠FOD+∠BOG=180°， 设∠BOG=x°，∠BOF=2x°，∠BOD=∠BOC+∠DOC =36°+90°=126°， ∵∠FOD=∠BOD+∠BOF， ∴126+2x+x=180， 解得：x=18， ∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=81°+2×18°=117°； ②如图2， ∵OG平分∠FOB， ∴∠FOG=∠BOG， ∵∠FOD与∠BOG互补， ∴∠FOD+∠BOG=180°， ∴∠FOD+∠FOG=180°， ∴D，O，G共线， ∴∠BOG=∠AOD=54°， ∴∠AOF=180°-∠BOF=72°， ∴∠AOE=180°-∠BOE=180°-81°=99°， ∴∠EOF=∠AOF+∠AOE=72°+99°=171°． 【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，补角的定义，正确的识别图形是解题的关键． 18. 已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②． （1）当，时，求线段FD的长度； （2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值． 【答案】（1）4；（2）图见解析，或；（3）= 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得AF=AB=6，从而求出结论； （2）根据点G的位置分类讨论，分别画出对应的图形，根据折叠的性质分别用x表示出FD和DG，根据题意列出方程即可求出结论； （3）过点H作HM⊥EF于M，根据用a和b表示出S△HFE和S四边形ABCD，结合已知等式即可求出结论． 【详解】解：（1）由折叠的性质可得AF=AB=6 ∵ ∴FD=AD－AF=4； （2）若点G落在线段FD上时，如下图所示 由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x ∴FD=AD－AF=10－x， ∴DG=FD－FG=10－2x ∵ ∴ 解得：； 若点G落在线段FD的延长线上时，如下图所示 由折叠的性质可得：FG=AF=AB=x ∴FD=AD－AF=10－x， ∴DG=FG－FD=2x－10 ∵ ∴ 解得：； 综上：或； （3）如下图所示，过点H作HM⊥EF于M ∴HM=FD， 由题意可知：AF=AB=b，EF=AB=b， ∴FD=AD－AF=a－b ∴HM=a－b ∴S△HFE=EF·HM=b（a－b），S四边形ABCD=AD·AB=ab ∵ ∴ 整理可得： ∴=． 【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，掌握折叠的性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021—2022学年北师大版七年级数学竞赛卷 一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分） 1. 已知，，，则有（ ） A. B. C. D. 2. 如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的3倍少20°，那么这两个角是（　　） A. 50°、130° B. 都是10° C. 50°、130°或10°、10° D. 以上都不对 3. 图是某人骑自行车出行的图象，从图象中可以得到的信息是（ ） A. 从起点到终点共用了 B. 时速度为0 C. 前速度为 D. 与时速度是不相同的 4. 如图，平分和，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，延长AD到点E，连接BE、CE， ∠ABD+∠3=90°，∠1=∠2=∠3，下列结论：①△ABD为等腰三角形；②AE=AC；③BE=CE=CD；④CB平分∠ACE．其中正确的结论个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，在△ABC中，AB=BC，，点D是BC的中点，BF⊥AD，垂足为E，BF交AC于点F，连接DF.下列结论正确的是（） A. ∠1=∠3 B. ∠2=∠3 C. ∠3=∠4 D. ∠4=∠5 7. 若，则等于（ ） A. 2020 B. 2019 C. 2018 D. －2020 8. 用若干根等长的小木棍搭建等边三角形（三边相等的三角形），搭建1个等边三角形最少需要3根小木棍，搭建2个等边三角形最少需要5根小木棍，搭建4个等边三角形最少需要小木棍的根数是（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分） 9. 若，则x的值为_____________． 10. 若的积不含项，则___________． 11. 如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)． 12. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的的度数是__________度． 13. 若多项式是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q是_______． 14. 如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别S、S1、S2，且S=36，则S1-S2=_______． 三、解答题（本大题共4小题，15题，16题7分，17，18题8分，共30分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，点M在直线上，点N、Q在直线上，点P在直线之间，，平分． （1）如图1，求的度数（用含α的式子表示）； （2）如图2，过点Q作交的延长线于点E，过E作平分交于点F．请你判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，连接，若平分，请你判断与的数量关系，并说明理由． 16. 梅溪湖公园某处湖道两岸所在直线（AB∥CD）如图所示，在湖道两岸安装探照灯P和Q，若灯P射线自PA逆时针旋转至PB便立即回转，灯Q射线自QD逆时针旋转至OC便立即回转，每天晚间两灯同时开启不停交叉照射巡视．设灯 P转动的速度是10度/秒，灯Q转动的速度是4度/秒，湖面上点M是音乐喷泉的中心． （1）若把灯P自PA转至PB，或者灯Q自QD转至QC称为照射一次，请求出P、Q两灯照射一次各需要的时间； （2）12秒时，两光束恰好在M点汇聚，求∠PMQ； （3）在两灯同时开启后的35秒内，请问开启多长时间后，两灯的光束互相垂直？ 17. 点O在直线AB上，射线OC上的点C在直线AB上，． （1）如图1，求∠AOC的度数； （2）如图2，点D在直线AB上方，∠AOD与∠BOC互余，OE平分∠COD，求∠BOE的度数； （3）在（2）的条件下，点F，G在直线AB下方，OG平分∠FOB，若∠FOD与∠BOG互补，求∠EOF的度数． 18. 已知：如图①长方形纸片ABCD中，．将长方形纸片ABCD沿直线AE翻折，使点B落在AD边上，记作点F，如图②． （1）当，时，求线段FD的长度； （2）设、，如果再将沿直线EF向右起折，使点A落在射线FD上，记作点G，若线段，请根据题意画出图形，并求出x的值； （3）设．，沿直线EF向右翻折后交CD边于点H，连接FH，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $