3.2.2双曲线的简单几何性质（二）同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦双曲线几何性质，通过基础到综合的分层设计，覆盖渐近线、离心率等核心知识点，助力学生从概念理解到综合应用，培养数学思维与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一知识点（渐近线方程、实虚轴）|单选题（1-5）直接应用公式，强化概念记忆| |中档|综合考点（离心率与渐近线关系）|多选题（8-9）辨析参数关系，提升推理意识| |提升|综合应用（求方程、弦长计算）|解答题（15-16）结合直线与双曲线位置关系，发展应用意识|

3.2.2 双曲线的简单几何性质（二） 同步练习（附解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知等轴双曲线的中心在原点，它的一个焦点为，则双曲线的方程是（    ） A． B． C． D． 4．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．若双曲线的渐近线方程为，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．已知双曲线的离心率为，则C的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知焦点在轴上的双曲线的渐近线方程是，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．已知双曲线，则（    ） A． B．双曲线的实轴长为 C．双曲线的渐近线方程为 D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时， 9．若双曲线的渐近线方程为，则下列结论正确的有（   ） A．双曲线的离心率为2 B．双曲线的虚轴长是实轴长的倍 C．双曲线与双曲线有相同渐近线 D．以双曲线实轴和虚轴端点为顶点的椭圆的离心率为 三、填空题 10．已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 11．已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为______． 12．已知双曲线C： 的离心率为，则双曲线的渐近线方程为___． 13．与椭圆的焦点相同，且离心率为的双曲线的方程为____. 四、解答题 14．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 15．已知双曲线的一条渐近线方程为，左、右焦点分别为、. (1)求双曲线的方程和离心率； (2)过且斜率为1的直线与双曲线交于两点，求线段的长度. 16．已知双曲线的左、右顶点分别为、． (1)若双曲线的离心率，求实数的值； (2)在（1）的条件下，求以、为焦点，离心率为的椭圆的标准方程； (3)直线与双曲线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，求实数的取值范围． 《3.2.2双曲线的简单几何性质（二） 同步练习（附解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B B A B D ABD 题号 9 答案 ABC 1．B 【知识点】根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 2．D 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、根据顶点或实虚轴关系求参数 【分析】由实轴长为1可列方程求出参数的值，即可求得渐近线方程. 【详解】双曲线，即， 所以双曲线的实轴长为，则，解得， 所以，，双曲线的渐近线方程为． 故选：D. 3．B 【知识点】等轴双曲线、根据a、b、c求双曲线的标准方程 【分析】依题意设双曲线方程为，根据焦点坐标求出，即可得解. 【详解】依题意设双曲线方程为， 则，解得， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 4．B 【知识点】等轴双曲线、根据双曲线过的点求标准方程 【分析】利用等轴双曲线的标准方程，结合代入法进行求解即可. 【详解】设对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程为， 因为该双曲线过点， 所以，即， 故选：B 5．A 【知识点】根据双曲线的渐近线求标准方程 【详解】双曲线（焦点在轴上）的渐近线方程为， 由题中方程，得，即， 所以，解得． 6．B 【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率求出，即可得双曲线线的渐近线方程.. 【详解】因为， 所以，即， 因为双曲线的渐近线方程为 所以C的渐近线方程为. 7．D 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】∵ 焦点在轴上的双曲线的渐近线方程为， 因焦点在轴上的双曲线渐近线为（其中为实半轴长，为虚半轴长）， 则 ，即，则， ∴ 双曲线的离心率. 8．ABD 【知识点】根据方程表示双曲线求参数的范围、求双曲线的实轴、虚轴、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据双曲线标准方程的特点，可得双曲线C的焦点在x轴上，由此确定.对照确定的值，依次判断选项，可得正确答案. 【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确； 选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误； 选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确. 故选：ABD. 9．ABC 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的实轴、虚轴、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【详解】因双曲线渐近线方程为：，则. 对于A，双曲线离心率，故A正确； 对于B，虚轴长为，实轴为，则双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，故B正确； 对于C，双曲线的渐近线方程为，故C正确. 对于D，双曲线C实轴端点为,虚轴端点为. 则对应椭圆方程为：，离心率为，故D错误. 10．（答案不唯一） 【知识点】求共渐近线的双曲线的标准方程 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 11． 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 【分析】根据离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，根据斜率求出渐近线的倾斜角，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 所以，所以渐近线方程为，所以渐近线的倾斜角分别为与， 所以其两条渐近线的夹角大小为. 故答案为： 12． 【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据离心率求双曲线的标准方程 【详解】已知双曲线中，，，离心率， ， ，两边平方得， 交叉相乘得，解得，即， 双曲线渐近线方程为． 13． 【知识点】求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据离心率求双曲线的标准方程 【分析】根据椭圆方程，求出焦点坐标，可得c值，根据离心率公式，可得双曲线中a值，根据关系，求出，即可得答案. 【详解】由题设知椭圆中，则，则焦点为， 所以双曲线中c=1，且焦点在x轴上， 又离心率，解得， 故， 所以双曲线的方程为. 故答案为： 14．(1)； (2). 【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、求共渐近线的双曲线的标准方程 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解. （2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得. 【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的方程为，标准方程为. 15．(1)； (2) 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、根据双曲线的渐近线求标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、求双曲线中的弦长 【分析】（1）根据渐近线方程结合求出，再利用求出，即可求出答案； （2）由题意求出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，再利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意得，又，所以， 所以， 所以双曲线的方程为，离心率. （2）设，， 由题意得，则直线的方程为， 联立双曲线方程得，即， 所以，， 所以. 所以线段的长度为. 16．(1) (2) (3) 【知识点】根据离心率求椭圆的标准方程、已知方程求双曲线的渐近线、根据离心率求双曲线的标准方程、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据双曲线的离心率求的值即可. （2）根据椭圆中的关系和离心率求，，即可确定椭圆的标准方程. （3）先将直线方程与双曲线方程联立，根据方程有两个不同的解确定的取值范围，再根据与的关系求的取值范围. 【详解】（1）由已知，可得，解得． （2）由已知、， 设椭圆方程为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，， 所以椭圆的标准方程为． （3）如图：    联立， 消去，得， 双曲线与直线相交于相异两点， 等价于不等式组， 解得或； 依题意：， 当时，；当时，， 所以的取值范围是． 21．(1) (2) (3) 【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、由双曲线的离心率求参数的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围 【分析】（1）根据双曲线的离心率公式求解即可； （2）根据双曲线的离心率公式的运用，计算求解即可； （3）联立直线与双曲线C，消去y解一元二次方程，再由双曲线C与直线相交于互异两点列出不等式组，求解即可； 【详解】（1）由已知，可得，解得； （2）由已知，可得；解得； （3）联立方程组；消去y得 而双曲线C与直线相交于互异两点， 等价于不等式组， 解得或；依题意得， 当时，；当时，； 所以k的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $