3.1.2椭圆的简单几何性质同步练- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，梯度合理，通过基础巩固与能力提升双层次设计，实现椭圆几何性质从概念理解到综合应用的递进，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A级|椭圆基本量（a,b,c,e）计算、方程形式、焦点位置|以单选为主，聚焦基础概念辨析（如焦距与离心率关系），结合实际情境题（阿基米德椭圆面积）| |B级|椭圆参数范围、综合应用（三角形面积、距离最值）|含多选题与填空题，深化逻辑推理（如焦点三角形性质），渗透数学模型观念（最值问题）|

3.1.2　椭圆的简单几何性质 A级 必备知识基础练 1.(2026河北衡水期中)已知椭圆=1(a>b>0)的焦距为6,离心率为,则b=(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 2.(2026广西高二期中)已知椭圆mx2+y2=1的焦点在y轴上且离心率为,则实数m的值为(　　) A.3 B. C. D. 3.曲线=1与=1(0<k<9)的关系是(　　) A.有相等的焦距,相同的焦点 B.有相等的焦距,不同的焦点 C.有不等的焦距,不同的焦点 D.以上都不对 4.若椭圆C:=1(a>b>0)满足a=2b,则该椭圆的离心率e=(　　) A. B. C. D. 5.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点,焦点F1,F2均在x轴上,椭圆C的面积为2π,过点F1的直线交椭圆C于点A,B,且△ABF2的周长为8,则椭圆C的标准方程为(　　) A.+y2=1 B.=1 C.=1 D.=1 6.(2026浙江温州期中)已知点P在椭圆C:=1上运动,圆C'的圆心为椭圆的右焦点F,半径r=,点Q在圆C'上,则|PQ|的取值范围是(　　) A.[2-,6+] B.[0,8] C.[2-,8] D.[1,7] 7.已知椭圆C:=1(a>b>0)的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点,且椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为,则椭圆C的方程为　　　　　　. B级 关键能力提升练 8.(多选题)已知曲线=1表示椭圆,则下列说法正确的有(　　) A.m的取值范围为(4,16) B.若该椭圆的焦点在y轴上,则m∈(10,16) C.若m=6,则该椭圆的焦距为4 D.若椭圆的离心率为,则m=7 9.设椭圆=1的焦点分别为F1(0,2)与F2(0,-2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形,则m2+n2=(　　) A.4+2 B.2 C.28 D.36 10.已知椭圆+y2=1,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,则的取值范围为(　　) A.[1,2] B.[] C.[,4] D.[1,4] 11.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为2,则椭圆长轴长的最小值为　　　　.  参考答案 1.B　记椭圆的半焦距为c,由2c=6得c=3,于是由得a=6,可知b==3.故选B. 2.D　椭圆mx2+y2=1变形为+y2=1,因为焦点在y轴上,所以a2=1,b2=,所以离心率e=,解得m=.故选D. 3.B　曲线=1的焦距为2c=8,而曲线=1(0<k<9)表示的椭圆的焦距也是8,但两椭圆焦点所在的坐标轴不同. 4.B　因为a=2b,所以e=.故选B. 5.C　因为△ABF2的周长为8,所以|AB|+|AF2|+|BF2|=8,所以|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8,即(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=8.由椭圆的定义可知,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,所以2a+2a=8,解得a=2.由题意可得abπ=2π,得b=.因为椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆C的标准方程为=1. 6.A　在椭圆C中,a=4,b=2,则c==2,即F(2,0).设点P(x,y),则-4≤x≤4,且=1,可得y2=12-.所以|PF|==4-∈[2,6],所以|PQ|≤|PF|+|FQ|=|PF|+≤6+,当且仅当P为椭圆的左端点,且Q为射线PF与圆C'的交点时,上述不等式中的两个等号同时成立,|PQ|≥||PF|-|FQ||=|PF|-≥2-,当且仅当P为椭圆的右端点,且Q为线段PF与圆C'的交点时,上述不等式中的两个等号同时成立,综上所述,|PQ|的取值范围是[2-,6+].故选A. 7.=1　因为椭圆的两焦点与短轴的一个顶点恰好是一个正三角形的三个顶点, 所以有tan 60°=,即b=c.又因为椭圆C上的点到椭圆的焦点的最短距离为, 所以有a-c=,而a2=b2+c2,三个等式联立得解得所以椭圆的标准方程为=1. 8.BC　由题意故A错误; 椭圆的焦点在y轴上,则m-4>16-m>0⇒10<m<16,故B正确; 若m=6,则=1,故c==2,该椭圆的焦距为4,故C正确; 若椭圆的离心率为,则1-或1-,可得m=7或m=13,故D错误.故选BC. 9.C　由已知可得椭圆的焦点位于y轴上,且|PF1|=|PF2|=|F1F2|=4,所以点P位于短轴的顶点,且|PF1|+|PF2|=2n=8,解得n=4. 又椭圆的半焦距c=2,所以m2=n2-c2=12,所以m2+n2=28.故选C. 10.D　根据椭圆的定义|PF1|+|PF2|=2a=4,设m=|PF1|,n=|PF2|,则m+n=4,m,n∈[a-c,a+c],即m,n∈[2-,2+],故∈[1,4].故选D. 11.4　由题意知,当椭圆上的点为短轴端点时,三角形面积取得最大值,即bc=2.∴a2=b2+c2≥2bc=4,当且仅当b=c=时等号成立.∴a≥2, ∴2a≥4,即椭圆长轴长的最小值为4. 4 学科网（北京）股份有限公司 $