3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 椭圆中与弦有关的问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦椭圆弦长、中点弦等核心问题，通过基础选择、进阶填空、综合解答三级分层，实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学推理与运算能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|椭圆弦长计算、焦点弦性质|单选直接应用通径公式，强化概念理解| |进阶层|中点弦斜率关系、面积计算|填空结合点差法，提升运算能力| |综合层|方程求解与综合证明|解答题融合几何直观与代数推理，培养逻辑思维|

3.1.2 椭圆的简单几何性质 第3课时 椭圆中与弦有关的问题 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 一、单选题 1.过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为（　 ） A.1 B.2 C. D.4 2.已知F1（－2，0），F2（2，0）是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜的最小值为6，则椭圆C的方程为（　 ） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 3.我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积的最大值为4，则椭圆C的方程为（　 ） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 4.过点M（－2，0）的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（　 ） A.2 B.－2 C. D.－ 5.已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则实数m的取值范围是（　 ） A.（－，） B.（－，） C.（－，） D.（－，） 二、填空题 6.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB长度的最小值为 . 7.已知直线x＋3y－7＝0与椭圆＋＝1（0＜b＜3）交于A，B两点，椭圆的两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C（1，2），则△CF1F2的面积为 . 8.若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F（－2，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，已知线段AB的中点为M（－1，），则椭圆的长轴长为 . 三、解答题 9.设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为. （1）求C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设点P在椭圆上，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积． 11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且点P（2，1）在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为－1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 12.已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）经过点P（－2，0），且其焦距为2. （1）求椭圆M的方程； （2）过点Q（－2，－1）作直线l与椭圆M的下半部分交于A，B两点，连接PA，PB分别交直线y＝－1于C，D两点，求证：｜QC｜＋｜QD｜－｜QC｜·｜QD｜为定值. 解析版 一、单选题 1.过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为（　D　） A.1 B.2 C. D.4 解析：过椭圆＋y2＝1的左焦点作弦AB，则最长弦AB的长为长轴长，即2a＝4. 2.已知F1（－2，0），F2（2，0）是椭圆C的焦点，过F2的直线交椭圆C于A，B两点，且｜AB｜的最小值为6，则椭圆C的方程为（　C　） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）.由过焦点的最短弦为通径，其长为，所以＝6，又c＝2，a2＝b2＋c2，所以a2＝16，b2＝12，故选C. 3.我们把离心率为的椭圆称为“最美椭圆”.已知椭圆C为“最美椭圆”，焦点在x轴上，且以椭圆C上一点P和椭圆两焦点F1和F2为顶点的三角形的面积的最大值为4，则椭圆C的方程为（　D　） A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由e＝＝，得c＝a，故b＝＝a，∵（）max＝bc＝4，∴a×a＝4，得a2＝8，故b2＝a2＝4，∴椭圆C的方程为＋＝1.故选D. 4.过点M（－2，0）的直线m与椭圆＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为（　D　） A.2 B.－2 C. D.－ 解析：设直线m与x2＋2y2＝2的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），则中点P（x0，y0），且x0＝，y0＝，将P1（x1，y1），P2（x2，y2）代入椭圆方程，可得＋2＝2，＋2＝2，以上两式相减，可得－＋2（－）＝0， 所以1＋2·＝0， 又k1＝，k2＝＝， 所以1＋2k1k2＝0，所以k1k2＝－. 5.已知椭圆C：x2＋＝1，直线l：y＝x＋m，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则实数m的取值范围是（　C　） A.（－，） B.（－，） C.（－，） D.（－，） 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆C上关于直线l对称的两点，连接AB（图略），设线段AB的中点为M（x0，y0），则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，kAB＝－1.因为A，B在椭圆C上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减可得＝－2，即y0＝2x0.又点M在直线l上，故y0＝x0＋m，解得x0＝m，y0＝2m.因为点M在椭圆C内部，所以m2＋2m2＜1，解得m∈（－，）. 6.已知F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F2的直线交椭圆于A，B两点，则线段AB长度的最小值为　　. 解析：由椭圆方程知a＝5，b＝3.∵过焦点的最短弦为通径，∴｜AB｜min＝＝. 二、填空题 7.已知直线x＋3y－7＝0与椭圆＋＝1（0＜b＜3）交于A，B两点，椭圆的两个焦点分别是F1，F2，线段AB的中点为C（1，2），则△CF1F2的面积为　2　. 解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则两式相减， 得＝－，因为直线AB的斜率为－，所以＝－， 又因为线段AB的中点为C（1，2）， 所以－＝－，解得b2＝6. 又因为a＝3，所以c＝， 故△CF1F2的面积为×2×2＝2. 8.若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F（－2，0）的直线l与椭圆交于A，B两点，已知线段AB的中点为M（－1，），则椭圆的长轴长为　　. 解析：由焦点F（－2，0）在x轴上，可设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）. ∵A（x1，y1），B（x2，y2）在椭圆上， ∴ 两式作差得＋＝0.（*） ∵直线l过M（－1，）和F（－2，0）， 且线段AB的中点为M， ∴x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1， kl＝＝＝， 代入（*）式，得＋＝＋×＝0，即b2＝a2. 又∵c＝2，c2＋b2＝a2，∴a＝， ∴椭圆的长轴长为. 三、解答题 9.设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）过点（0，4），离心率为. （1）求C的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标. 解：（1）将点（0，4）代入C的方程得＝1，则b＝4.∵e＝＝，∴＝，则1－＝，解得a＝5.∴椭圆C的方程为＋＝1. （2）过点（3，0）且斜率为的直线方程为y＝·（x－3）， 设直线与C的交点分别为A（x1，y1），B（x2，y2）. 将直线方程y＝（x－3）代入C的方程， 得＋＝1， 即x2－3x－8＝0，故x1＋x2＝3. 设线段AB的中点坐标为（x0，y0）， 则x0＝＝， y0＝＝（x1＋x2－6）＝－， 即所求中点坐标为（，－）. 10．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C所截得的弦长为2. (1)求椭圆C的方程； (2)设点P在椭圆上，且∠F1PF2＝，求△F1PF2的面积． 解：(1)设A(－c，y)在椭圆C上，则＋＝1，解得y＝±， 所以解得 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 则m＋n＝2a＝4， 由余弦定理得(2c)2＝m2＋n2－2mn cos ， 即m2＋n2－mn＝(m＋n)2－3mn＝32－3mn＝16，则mn＝， 所以S△F1PF2＝mn sin ＝××＝. 11.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，且点P（2，1）在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为－1的直线与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的最大值. 解：（1）由题意得∴ ∴椭圆C的方程为＋＝1. （2）设直线AB的方程为y＝－x＋m， A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立 消去y整理，得3x2－4mx＋2m2－6＝0， ∴ ∴｜AB｜＝｜x1－x2｜ ＝ ＝， 原点到直线AB的距离d＝. ∴S△OAB＝× ＝≤＝， 当且仅当m＝±时，等号成立， ∴△AOB面积的最大值为. 12.已知椭圆M：＋＝1（a＞b＞0）经过点P（－2，0），且其焦距为2. （1）求椭圆M的方程； （2）过点Q（－2，－1）作直线l与椭圆M的下半部分交于A，B两点，连接PA，PB分别交直线y＝－1于C，D两点，求证：｜QC｜＋｜QD｜－｜QC｜·｜QD｜为定值. 解：（1）由题意得解得 所以椭圆M的方程为＋y2＝1. （2）证明：由题意得直线l的斜率存在且不为0，则可设直线l：x＋2＝t（y＋1）（t＞0）. 联立消去x整理得（t2＋4）y2＋（2t2－4t）y＋（t2－4t）＝0，Δ＝（2t2－4t）2－4（t2＋4）（t2－4t）＝64t＞0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝. 设C（xC，－1），D（xD，－1）. 由P（－2，0），A（x1，y1），C（xC，－1）三点共线，得＝， 从而xC＝＝ ＝， 同理得，xD＝. 所以＋＝＋＝＋＝ －＝－＝1， 则｜QC｜＋｜QD｜＝｜QC｜·｜QD｜，所以｜QC｜＋｜QD｜－｜QC｜·｜QD｜为定值0. 页 学科网（北京）股份有限公司 $